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线性代数单元习题之行列式

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1 第三章 行列式 一、单项选择题

4．0001001001001000( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2 5. 0001100000100100( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2 6．在函数1000323211112)(xxxxxf中3x项的系数是( ). (A) 0 (B)1 (C) 1 (D) 2 7. 若21 333231232221131211aaaaaaaaaD，则323133312221232112111311122222 2aaaaaaaaaaaaD ( ). (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 8．若aaaaa22211211，则21112212kaakaa ( ).

(A)ka (B)ka (C)ak2 (D)ak2 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4, 第3行元的余子式依次为x,1,5,2, 则x( ). (A) 0 (B)3 (C) 3 (D) 2 2

10. 若5734111113263478D，则D中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 11. 若2235001011110403D，则D中第四行元的余子式的和为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 12. k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组000321321321xxkxxkxxkxxx有非零解. ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)0

二、填空题 5. 行列式0100111010100111.

6．行列式000100002000010nn. 8．如果MaaaaaaaaaD333231232221131211 ，则323233312222232112121311133333 3aaaaaaaaaaaaD. 9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所 3

有元素，则所得的新行列式的值为. 10．行列式1111111111111111xxxx.

11．n阶行列式111111111. 12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.

13．设行列式5678123487654321D，jA4)4,3,2,1(j为D中第四行元的代数余子式，则44434241234AAAA. 14．已知dbcaccabbabcacbaD， D中第四列元的代数余子式的和为.

15．设行列式62211765144334321D，jA4为)4,3,2,1(4jaj的代数余子式，则4241AA，4443AA. 4

16．已知行列式nnD0010301002112531，D中第一行元的代数余子式的和为. 17．齐次线性方程组0020232121321xxxkxxxxkx仅有零解的充要条件是.

18．若齐次线性方程组0230520232132321kxxxxxxxx有非零解，则k=. 三、计算题 1. cbadbadcadcbdcbadcbadcba33332222; 2．yxyxxyxyyxyx；

3．解方程0011011101110xxxx； 四、证明题 5

2．3332221112333332222211111)1(cbacbacbaxcbxaxbacbxaxbacbxaxba. 5．设cba,,两两不等，证明0111333cbacba的充要条件是0cba. 参考答案 一．单项选择题 A D A C C D A B C D B B 二．填空题

1.n; 2.”“; 3.43312214aaaa; 4.0; 5.0; 6.!)1(1nn;

7.1)1(212)1()1(nnnnnaaa; 8.M3; 9.160; 10.4x; 11.1)(nn; 12.2; 13.0; 14.0; 15.9,12; 16.)11(!1nkkn; 17.3,2k; 18.7k 三．计算题 1．))()()()()()((cdbdbcadacabdcba； 2. )(233yx；

3. 1,0,2x; 4. 11)(nkkax

5. )111()1(00nkknkkaa; 6. ))2(()1)(2(bnbb; 6

7. nkkknab1)()1(; 8. nkknkkaxax11)()(; 9. nkkx11; 10. 1n; 11. )1)(1(42aaa. 四. 证明题 (略) 7

行列式补充题目 1、已知12，为2维列向量，矩阵121212(2,),(,)AB，若行列式6,AB则 。

3、设210120001A，矩阵B满足2ABABAE，其中A为A的伴随矩阵，E

为三阶单位矩阵，则B的行列式B= 。 5、已知四阶行列式中第二列元素依次为1，2，3，4，其对应的余子式依次为4，3，2，1，则该行列式的值为 。

设1200010000220012A, (1)用初等变换法求1A；（2）将1A表示为初等矩阵之积。 所以 112000100001110012A „„„5分

（2）11(1,2(2))(3,4(1))(4,3(1))(3())2AEEEE „„„8分 2．设123221,343AijA为A中元ija的代数余子式，则 111213AAA 。 8

计算四阶行列式2123100023126231 5设A为3阶方阵且2A，则AA231 ； 【分析】只要与*A有关的题，首先要想到公式，EAAAAA**，从中推 你要的结论。这里11*2AAAA代入

AAAAA1)1(231311 9

第二章 矩阵 一、单项选择题 1. A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

(a)22AA(b)))((22BABABA (c)ABAABA2)(

(d)TTTBAAB)( 2.设方阵A、B、C满足AB=AC,当A满足( )时，B=C。 (a) AB =BA (b) 0A (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B、C可逆

3.若A为n阶方阵，k为非零常数，则kA( )。 (a) Ak (b) Ak (c) Akn (d) Akn 4.设A为n阶方阵，且0A，则( )。 (a) A中两行(列)对应元素成比例 (b) A中任意一行为其它行的线性组合 (c) A中至少有一行元素全为零 (d) A中必有一行为其它行的线性组合 5.设A，B为n阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( )。 (a) 111)(BABA (b) BAABT)(

(c) BABAT11)( (d) 111)(BABA 6.设A为n阶方阵,*A为A的伴随矩阵,则( )。 (a) (a) 1*AA (b) AA* (c) 1*nAA (d) 1*nAA 7. 设A为3阶方阵,行列式1A,*A为A的伴随矩阵,则行列式*12)2(AA( )。

(a) 827 (b) 278 (c) 827 (d) 278 10

8. 设A，B为n阶方矩阵,22BA,则下列各式成立的是( )。 (a) BA (b) BA (c) BA (d) 22BA 9. 设A，B均为n阶方矩阵,则必有( )。 (a) BABA (b) BAAB (c) BAAB (d) 22BA 10.设A为n阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（ ）。 （a）TAA22 (b) 112)2(AA

(c) 111])[(])[(TTTAA (d) TTTTAA])[(])[(11

11.如果333231232221331332123111333231232221131211333aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaA，则A（ ）。

（a）103010001 (b) 100010301 (c) 101010300 (d) 130010001 12.已知113022131A，则（ ）。 （a）AAT (b) *1AA （c）113202311010100001A （d）113202311010100001A 13.设ICBA,,,为同阶方阵，I为单位矩阵，若IABC，则（ ）。 （a）IACB （b）ICAB （c）ICBA （d）IBAC 14.设A为n阶方阵，且0||A，则（ ）。 （a）A经列初等变换可变为单位阵I （b）由BAAX，可得BX

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线性代数行列式经典例题

线性代数行列式经典例题

线性代数行列式经典例题例1计算元素为a= | i－j|得n阶行列式、ij解方法1 由题设知,=0,,,故其中第一步用得就是从最后一行起,逐行减前一行.第二步用得每列加第列.方法2=例2、设a, b, c就是互异得实数, 证明:得充要条件就是a + b + c =0、证明: 考察范德蒙行列式:=行列式即为y2前得系数、于就是=所以得充要条件就是a + b + c = 0、例3计算D=解: 方法1 递推法按第1列展开,有D= x D+(－1)a = x D+ a由于D= x + a,,于就是D= x D+ a=x(x D+a)+ a=xD+ ax + a== xD+ ax++ ax + a= 方法2 第2列得x倍,第3列得x倍,,第n列得x倍分别加到第1列上===方法3 利用性质,将行列式化为上三角行列式.Dx k= x( + +++a+x)=方法4 ++++=(－1)(－1)a+(－1)(－1) ax++(－1)(－1)ax +(－1)( a+x) x=例4.计算n阶行列式:()解采用升阶(或加边)法.该行列式得各行含有共同得元素,可在保持原行列式值不变得情况下,增加一行一列,适当选择所增行(或列)得元素,使得下一步化简后出现大量得零元素.=这个题得特殊情形就是=可作为公式记下来.例5.计算n阶“三对角”行列式D=解方法1 递推法.DD—D－D即有递推关系式D=D－D (n3)故＝递推得到＝＝＝＝而,＝＝,代入得(2、1)由递推公式得＝＝αD ＋＝＝＋＋＋＝方法2 把D按第1列拆成2个n阶行列式D=＋上式右端第一个行列式等于αD,而第二个行列式=β于就是得递推公式,已与(2、1)式相同.方法3 在方法1中得递推公式D=D－D又因为当时D=====D= =-2= =于就是猜想,下面用数学归纳法证明.当n=1时,等式成立,假设当nk 时成立.当n=k+1就是,由递推公式得D=D－D=—=所以对于nN,等式都成立例6.计算阶行列式:其中.解这道题有多种解法.方法1 化为上三角行列式其中,于就是.方法2 升阶(或加边)法方法3 递推法.将改写为+由于因此=为递推公式,而,于就是======。

矩阵与行列式练习题及解析

矩阵与行列式练习题及解析

矩阵与行列式练习题及解析矩阵与行列式是线性代数的重要内容之一，对于理解和运用线性代数的基本概念和方法具有重要作用。

本文将为读者提供一些矩阵与行列式的练习题，并对其解析过程进行详细讲解，帮助读者掌握相关知识。

练习题一：已知矩阵A=⎡⎣⎢123456⎤⎦⎥，求A的转置矩阵AT。

解析：矩阵的转置是指将矩阵的行与列进行对调。

根据定义，矩阵AT的第i行第j列元素等于矩阵A的第j行第i列元素。

因此，可以得到矩阵A的转置矩阵AT=⎡⎣⎢143256⎤⎦⎥。

练习题二：已知矩阵B=⎡⎣⎢112233⎤⎦⎥，求B的逆矩阵B-1。

解析：矩阵的逆是指与之相乘得到单位矩阵的矩阵。

对于2×2的矩阵而言，可以通过下面的公式求得逆矩阵：B-1 = 1/(ad-bc) * ⎡⎣⎢dd-bb-cc-aa⎤⎦⎥，其中a、b、c、d分别代表B的对应元素。

根据此公式，可以得到矩阵B的逆矩阵B-1=⎡⎣⎢-1/3-2/30.5-1⎤⎦⎥。

练习题三：已知矩阵C=⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥，求C的行列式|C|。

解析：行列式是用来表征矩阵性质的量，对于3×3的矩阵而言，行列式的计算公式如下：|C| = a(ei-hf) - b(di-hg) + c(dg-ge)，其中a、b、c、d、e、f、g、h、i分别代表矩阵C的对应元素。

带入矩阵C的值，可以得到|C|=0。

练习题四：已知矩阵D=⎡⎣⎢123456789⎤⎦⎥，求D的特征值和特征向量。

解析：特征值和特征向量是矩阵在线性变换过程中的重要指标，特征值是矩阵对应特征向量的线性变换因子。

首先，求解特征值需要解特征方程Det(D-λI)=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。

通过计算得到特征值λ1=0，λ2=15，λ3=-15。

然后，根据特征值求解对应的特征向量，即求解方程组(D-λI)X=0，其中X为特征向量。

求解过程中，可以得到特征向量X1=⎡⎢⎣-1-101⎤⎥⎦，X2=⎡⎢⎣111⎤⎥⎦，X3=⎡⎢⎣100-11⎤⎥⎦。

线性代数 行列式小结与练习

线性代数 行列式小结与练习


7、Vander monde行列式
a1n Dn1 a2 n an 1 n
a1n1b1 a2 n1b2 an1n1bn1
a1b1n1 a2b2 n1
b1n b2 n
an1bn1n1 bn1n
1 3 3 8、综合法 3 2 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 n
9、证明
3 行列式按行和列展开 余子式与代数余子式
i 在n 阶行列式中，把元素 a 所在的第 行和第 列j ij a ij 划去后，留下来的 n 阶行列式叫做元素 的余子式， 1
记作 M.ij i j 记 Aij 1 M ij， 叫做元素 a的代数余子式． ij
关于代数余子式的重要性质
D , 当 i j, aik Ajk D ij k 1 0 , 当 i j;
如果线性方程组的系数行列式 D 则线性方 0, 程组一定有解,且解是唯一的 . 如果线性方程组无解或有两个不同的解（无穷多 解），则它的系数行列式必为零.
行列式的求法
1、定义法
a1 b1 0 0
a2 0 b2 0
a n 1 0 0 bn1
an 0 0 0
x 0
2、展开法
y x 0 0 0
D 20 0, D2 60,
D1 40, D3 20.
由克莱姆法则，得 D D D a 1 2, b 2 3, c 3 1. D D D 于是，所求的多项式为
f ( x ) 2 x 2 3 x 1.
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n , D1 a n1 a n 2 a nn
a11 a 21 b D2 a n1 b
证明 D1 D2
矩阵和行列式的性质单元测试

矩阵和行列式的性质单元测试

矩阵和行列式的性质单元测试在学习线性代数的过程中，矩阵和行列式是非常重要的内容。

通过对矩阵和行列式的性质进行深入的了解和掌握，可以帮助我们更好地理解和运用线性代数的知识。

为了检验同学们对矩阵和行列式的性质是否掌握透彻，特意设计了以下单元测试，请同学们仔细阅读题目，填写答案。

1. 对于任意矩阵A和B，满足结合律的是：A. A + B = B + AB. A * B = B * AC. A * (B + C) = A * B + A * CD. A * (B + C) = A * B * A * C2. 对于矩阵的转置运算，下列说法正确的是：A. (A^T)^T = AB. (A + B)^T = A^T + B^TC. (A * B)^T = B^T * A^TD. (A * B)^T = A^T * B^T3. 行列式的性质中，行列式A的转置记为|A|，下列说法错误的是：A. |A| = |A^T|B. |A * B| = |A| * |B|C. |A + B| = |A| + |B|D. \(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{vmatrix}\) = ad - bc4. 下列关于矩阵和行列式性质的陈述中，错误的是：A. 矩阵的逆存在当且仅当矩阵行列式不为零B. 行列式的性质中，互换行列式的两行（列），行列式的值变号C. 两个矩阵相乘的秩等于两个矩阵的秩之和D. 矩阵的迹是主对角元素之和5. 关于行列式的计算规则，下列说法正确的是：A. 行列式的某一行（列）所有元素乘以一个数，行列式的值也相应乘以这个数B. 行列式的两行（列）相等，行列式的值等于0C. 对调行列式的两行（列），行列式的值变号D. 行列式的值等于矩阵主对角元素之和答案：1. C2. D3. C4. C5. C希望同学们通过本单元测试，加深对矩阵和行列式性质的理解，提高解题的能力。