线性代数复习笔记

线性代数复习笔记
首先，要先搞明白整本书的学习脉络及重点：
第一章先介绍了线性方程组及矩阵的一些基本概念，从线性方程组的消元法引出
矩阵的初等变换；
1.掌握线性方程组的消元法（书p.4例1）
2.利用矩阵的初等变换解线性方程，会将矩阵化成行最简形矩阵。（书p.15例1
p.16例2）（一定是简答题）
第二章从分析二阶矩阵和三阶矩阵所确定的行列式结构出发，得出n阶矩阵所确
定的n阶行列式，并导出求解一类特殊线性方程组的克拉姆法则；
1.计算二，三阶行列式（p.25课后习题1）
2.排列的逆序数(p.26例1)
3灵活运用行列式的性质计算行列式的值（p37习题5：可做一半的题目）
4.会求行列式的每个元的代数余子式及各行各列的展开式（p.46习题1）
5.掌握克拉默法则中定理1，定理2的内容，会解方程（p50.习题1和习题2）
第三章则讨论了矩阵运算、逆矩阵、分块矩阵、初等矩阵、矩阵的秩等的概念；
1.矩阵的加法和数乘运算比较简单，重点要会矩阵的乘法（p.56例5和例6）
2.特殊矩阵的关键运算方法。
3.转置矩阵的性质，对称矩阵和反称矩阵的概念（p.66例4，习题4）（会出推理
题）（p.69习题1,3,4,7）
4.矩阵的伴随矩阵（p.69习题8）
5.知道逆矩阵的定义，重点掌握方阵可逆的充分必要条件（p.71例2，例3）
6.利用逆矩阵求解线性方程（p.72例6）
7.综合运用（p.73例8 p.75习题7，9）
8．利用初等变换求矩阵的逆矩阵（p89.例1）
9.利用初等变换解矩阵方程（p.90例2）
10利用初等变换求矩阵的秩（p.95例4 p.96习题4和习题7）
第四章利用矩阵秩的概念和及性质讨论线性方程有解的条件，随后又讨论了向量
组的线性相关性，最后再综合利用前面的知识，讨论线性方程组解的结构。
1.线性方程组有解的条件中掌握定理1，看书102页倒数3,4段的文字，即是解
齐次方程组和非齐次方程组的过程（p.102例1 p.103例2）
2.向量的线性运算较简单（p.109习题5）
3.掌握判定向量线性相关和无关的方法。（p.116习题4，5）
4.会求向量组的秩和向量的最大无关组（p.121例4）
5.求齐次线性方程的一个基础解系和通解（p.128例1 两种方法掌握一种即可。）
6.求非齐次方程组的通解（p.131例3）这个较麻烦，需要记忆解题过程
第五章讨论了矩阵的特征值和特征向量，需要学习矩阵可对角化的条件，以实对
称矩阵可对角化为重点。
1.求向量的内积，长度和夹角（p.149习题1）
2.用施密特正交化方法将向量组正交化（p.147例2和例3）
3.根据正交矩阵定义6判定正交矩阵（p.149习题3）
4.求矩阵的特征值和特征向量（p.157习题2）
5.利用特征值和特征向量的定义解题（p.151例1）
6.利用矩阵相似和矩阵可对角化解题（p.160例1和p.161例2）
7掌握实对称矩阵对角化的方法（p.167习题1和习题2）
第六章讨论了二次型化为标准型的三种方法及正定二次型的判定，和用正交变换
化二次型为标准型。
1.会实对称矩阵和实对称矩阵对应的二次型的相互转化（p.174习题1和p.175
习题3）
2.化二次型为标准型，掌握其中一种方法即可。（p.181习题1）
3.二次型的正定型的判断，掌握定义1的内容。（p.184例3）
线性代数总结
1.若|A|=0则①A不可逆，②r(A)的列（行）向量线性相关。

2.逆矩阵的求法:

①1AAA
②1()()AEEA初等行变换
③11abdbcdcaadbc TTTTTABACCDBD
3.矩阵方程的解法：设法化成AXBXAB(I) 或 (II)
当0A时,
,BABEX初等行变换（当为一列时
(I)的解法：构造()()
即为克莱姆法则）

TTT
T
AXBXX(II)的解法：将等式两边转置化为，

用(I)的方法求出，再转置得

4线性方程组1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)kkkkAxAxkkAxkAxAxAxAxAx 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212,0(7),,,,100kkkkkkkAxAxAxAxAx 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则 也是的解 是的解
5,矩阵转置的性质：()TTAA ()TTTABBA ()TTkAkA TAA
()TTTABAB

矩阵可逆的性质：11()AA 111()ABBA 111()kAkA 11AA
11()()TTAA


11()()kkkAAA

伴随矩阵的性质：2()nAAA ， ()ABBA ， 1()nkAkA ，

1nAA



，11()()()()AATTAAAA ， ()()kkAA ，

AAAAAE
，

6.施密特正交化法：（123,,线性无关）112122111313233121122(,)()(,)(,)()()正交化
单位化：111 222 333
7.用正交变换法化二次型为标准形:
①求出A的特征值、特征向量；②对n个特征向量单位化、正交化；
③构造C（正交矩阵）,1CAC；
成为正定矩阵的必要条件：0iia ； 0A.
最后，需要同学们注重对基本概念的理解与把握，熟练运用基本性质及基本运算，
线性代数中定义性质比较多，同学们应整理清楚不要混淆，同时基本运算与基本
方法要过关，并注重知识点的衔接与转换，
总之，数学题目千变万化，有各种延伸或变式，但变化总离不开书本，同学们要
在考试中取得好成绩，一定要认真仔细地复习，将书本多复习几遍，最重要的是
掌握书本上的习题和课后练习题。希望同学们都能取得好成绩。