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线性代数笔记

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线性代数笔记第一章行列式 (1)第二章矩阵 (2)第三章向量空间 (8)第四章线性方程组 (11)第五章特征值与特征向量...................................... 错误!未定义书签。

第一章行列式1.3。

1 行列式的性质给定行列式，将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或。

性质1 转置的行列式与原行列式相等。

即(这个性质表明：行列式对行成立的性质,对列也成立，反之亦然）性质2 用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。

推论1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。

推论2 若行列式中某一行（列）的元素全为零,则行列式的值为0。

可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。

性质3行列式的两行(列)互换，行列式的值改变符号。

以二阶为例推论3 若行列式某两行(列)，完全相同，则行列式的值为零.性质4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。

性质5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和,则行列式可分解为两个行列式的和，注意性质中是指某一行（列）而不是每一行。

性质 6 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以加到另一行（列)，所得的行列式的值不变。

范德蒙德行列式例10 范德蒙行列式…….=(x2-x1)（x3—x1)(x3—x2）1。

4 克莱姆法则定理1.4.1 对于n阶行列式定理1.4。

2 如果n个未知数，n个方程的线性方程组的系数行列式D≠0，则方程组有惟一的解:定理1.4。

3 如果n个未知数n个方程的齐次方程组的系数行列式D≠0，则该方程组只有零解，没有非零解.推论如果齐次方程组有非零解,则必有系数行列式D=0.第二章矩阵一、矩阵的运算1、矩阵的加法设A=(a ij)m×n，B=(b ij)m×n，则A+B=（a ij+b ij）m×n矩阵的加法适合下列运算规则：（1）交换律：A+B=B+A（2）结合律：(A+B）+C=A+（B+C)（3）A+0=0+A=A此处0表示与A同型的零矩阵,即A=（a ij）m×n，0=0m×n(4）矩阵A=（a ij）m×n，规定—A=（-a ij)m×n，（称之为A的负矩阵），则有A+(—A）=(-A）+A=02、矩阵的数乘设A=（a ij)m×n，K为数,则KA=(Ka ij）m×n矩阵的数乘适合下列运算规则：（1）K（A+B）=KA+KB（2）（K+L)A=KA+LA（3）（KL）A=K（LA）（4)1*A=A（5）0*A=0(左端的零是指数0，而右端的“0”表示一个与A行数列数相同的零矩阵。

)3、矩阵的乘法设A=（a ij)m×n,B=(b jk）n×l,则A*B=C=（c ik)m×l其中C=Σa ij b jk（j=1，n)注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数；矩阵乘法不满足交换律,即AB不一定等于BA；矩阵乘法有零因子,即A≠0(零矩阵),B≠0（零矩阵），但有可能A＊B=0（零矩阵)矩阵的乘法适合以下法则：（1）结合律:（AB)C=A（BC）（2）分配律（A+B）C=AC+BCC（A+B)=CA+CB（3）k（AB）=（kA）B=A（kB），此处k是一个数。

由于矩阵乘法的结合律，故对于方阵A来说，A的方幂是有意义的,即A k=A*A…A共k个A 相乘,从而有（1）A k A l=A k+l(2)（A k)l=A kl(3）I n A=AI n=A4、矩阵的转置将矩阵A的行变成列,列变成行得到的矩阵称为A的转置矩阵，记作A T或A/注意A是m×n矩阵,则A T为n×m矩阵矩阵的转置适合下列运算法则：(1)（A T）T=A（2)（A+B）T=A T+B T(3)(kA)T=kA T（4)（AB）T=B T A T5、方阵的逆矩阵设A，B为同阶可逆矩阵。

常数k≠0。

则1.可逆，且。

AA-1=A-1A=E2。

AB可逆,。

3.也可逆，且. （A—1）k=(A k）—14。

kA也可逆,且。

(注：K不能为0）5.消去律设P是与A,B同阶的可逆矩阵，若PA=PB,则A=B。

若a≠0，ab=ac则b=c。

6。

设A是n阶可逆方阵。

定义,并定义。

则有，其中k，l是任意整数.7。

设A 是 n阶可逆方阵，则.2.3.1 逆矩阵的定义定义2.3。

1 设A是一个n阶方阵。

若存在一个n阶方阵B使得。

则称A是可逆矩阵，也称非奇异阵。

并称。

若这样的B不存在，则称A不可逆。

定理2。

3.1可逆矩阵A的逆矩阵是惟一的。

定理2。

3。

2n阶方阵A可逆的充分必要条件是，且当时，。

推论设A,B均为n阶方阵，并且满足AB=E，则A,B都可逆，且.2.4.1 分块矩阵的概念对于行数列数较高的矩阵A，为运算方便，经常采用分块法处理。

即可以用若干条横线和竖线将其分成若干个小矩阵.每个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.2.4.3 几个特殊的分快矩阵的运算（1）准对角矩阵方阵的特殊分块矩阵形如的分块矩阵称为分块对角阵或准对角阵,其中，均为方阵.(2）两个准对角（分块对角）矩阵的乘积则（3）准对角矩阵的逆矩阵若均为可逆阵。

可逆，且.(4）准上（下）三角矩阵的行列式.可以证明※（1）用初等行变换方法求逆矩阵时，不能同时用初等列变换！（2)在求矩阵的秩时,可以只用初等行变换，但也允许用初等列变换,而且不必化成简化行阶梯形矩阵定义2。

5。

1（线性方程组的初等变换）称下列三种变换为线性方程组的初等变换.(1)两个方程互换位置；（2）用一个非零的数乘某一个方程；（3)把一个方程的倍数加到另一个方程上。

显然，线性方程组经初等变换后所得的新方程组与原方程组同解。

事实上,上述解线性方程组的过程，只要对该方程组的增广矩阵做相应的行变换即可。

二、矩阵初等变换的定义定义2。

5。

2 分别称下列三种变换为矩阵的第一、第二、第三种行(列）初等变（1)对调矩阵中任意两行（列）的位置；（2）用一非零常数乘矩阵的某一行（列)；（3）将矩阵的某一行（列)乘以数k后加到另一行（列）上去。

把行初等变换和列初等变换统称为初等变换。

定义2。

5.3如果一个矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记为A~B。

等价具有反身性即对任意矩阵A，有A与A等价；对称性若A与B等价，则B与A等价传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。

三、矩阵的行最简形式和等价标准形简单地说,就是经过行初等变换可以把矩阵化成阶梯型，进而化成行最简形，而经过初等变换（包括行和列的）可以把矩阵化成等价标准形.阶梯形矩阵的定义：满足（1）全零行（若有）都在矩阵非零行的下方；（2）各非零行中从左边数起的第一个非零元(称为主元）的列指标j随着行指标的增加而单调地严格增加的矩阵称为阶梯形矩阵。

（每个阶梯只有一行）行最简形式以称满足(1)它是阶梯形；（2）各行的第一个非零元都是1；（3）第一个非零元所在列的其它元素均为零的矩阵为行最简形式.若允许再作初等列变换可继续得这最后的式子就是A的等价标准形.一般,任何一个矩阵的等价标准形都是分块对角阵，也可能为或。

2。

5。

2 初等方阵定义2.5。

4 对单位阵施行一次初等变换所得到的矩阵称为初等方阵。

以三阶方阵为例第一种：第二种：第三种:显然,初等阵都是非奇异阵.2。

5。

3 用初等变换法求逆矩阵因为任意非奇异阵只经行初等变换就可化成单位阵，即则这表明,当对A作初等行变换将A变成单位矩阵E时，若对单位矩阵做完全相同的初等变换则单位矩阵E将变成。

于是有求逆矩阵的初等变换法:写出分块矩阵作初等行变换，当A化成单位阵时，E就化成为。

2。

5.4 用初等变换法求解矩阵方程一元一次方程的标准形 ax=b（a≠0）矩阵方程的三种标准形AX=B XA=B（3)AXB=C则解法:对第一类作分块矩阵对A作初等行变换,当A变成单位阵时，由于B做的是同样的初等行变换,则得到的是。

对于第二类的可先转化为第一类的，即由两边转置得按上例的方法求出进而求出X二。

初等变换的性质定理2。

5.1 设线性方程组的增广矩阵经有限次的初等行变换化为，则以与为增广矩阵的方程组同解.定理2.5。

2任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换（包括行及列）化成等价标准形。

且其标准形由原矩阵惟一确定,而与所做的初等变换无关。

定理2。

5。

3设A是一个m×n阶的矩阵，则（1）对A做一次初等行变换，就相当于用一个与这个初等变换相应的m阶初等矩阵左乘A；（2）对A做一次初等列变换,就相当于用一个与这个初等变换相应的n阶初等矩阵右乘A；推论1 方阵经初等变换其奇异性不变.定理2.5.4对于任意的m×n阶矩阵A，总存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得推论2 n阶可逆阵（非奇异阵）必等价于单位阵。

因为否则，其等价标准形不可逆。

定理2。

5.5 n阶方阵A可逆的充分必要条件是A能表示成若干个初等阵的乘积。

证充分性是显然的。

下面证必要性。

“”已知A为n阶可逆阵，则A与等价，故存在有限个n阶初等阵，即,亦即A能表示成有限个初等矩阵的乘积。

必要性得证。

推论3任意可逆阵A(非奇异阵）只经过有限次的初等行(列)变换就能化成单位阵.对n阶方阵A，初等变换不改变其奇异性.定义2。

6.1 矩阵A的最高阶非零子式的阶数称为该矩阵的秩。

记为r(A），有时也记为秩（A）。

事实上，如果A有一个r阶子式不等于零，而所有r+1阶子式都等于零，则r（A)第三章向量空间一、n维向量线性运算的定义和性质;定义：设是一组n维向量构成的向量组。

如果存在一组不全为零的数使得则称向量组线性相关.否则，称向量组线性无关。

向量线性运算的性质：向量的运算满足下列8条运算律:设α，β，γ都是n维向量，k,l是数，则（1）α+β=β+α；（加法交换律)（2）（α+β)+γ=α+（β+γ）；（加法结合律）（3）α+0=α；(4）α+（—α）=0（5）1×α=α（6）K(α+β)=kα+kβ；(数乘分配律）（7)(k+l）α=kα+lα；（数乘分配律）（8）(kl）α=k(lα）；（数乘向量结合律）二、n维向量组的线性相关性1.向量组的线性相关性的定义和关于线性相关的几个定理；(1）m个n维向量线性相关的充分必要条件是至少存在某个是其余向量的线性组合.线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合。

（2）如果向量组线性无关，而线性相关,则β可由线性表示，且表示法唯一.（3）线性相关的向量组再增加向量所得的新向量组必线性相关.（部分相关，则整体相关；或整体无关，则部分无关）（4) 若向量组线性无关，则接长向量组必线性无关。

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线性代数序章线性代数基础知识1.单位矩阵：对角线上均为1，其余元素都是0的n 阶方阵，记作I在矩阵多项式f(A) 中单位阵I 对应代数多项式 f(x) 中的 1，纯量阵kI 对应常数k 2.零矩阵：元素全为0的矩阵，记作O3.矩阵的p 阶子式：设},min{n m L =，指以）（L p a a pp ≤-11的p 个元素为主对角线构成的，含2p 个元素的p 阶方阵的行列式第一篇线性空间第一章向量和向量组1.1 线性组合1.向量组和矩阵的对应关系：一个向量组A 对应一个矩阵的列（或行）向量组A’2.线性表示：如果存在一组数{}i x 使向量∑==ni ii i ax b 1，那么称b 能被向量组A （或记{}i a ）线性表示；也就是线性方程组Ax=b 有解（这也是求坐标表示的方法）3.等价：如果向量组B’中的任何向量b 都能被组A’线性表示，反之亦成立，称组B’和组A’等价； 也就是矩阵方程AX=B 和BX -1=A 都有解，即)()(B r A r = 行向量组等价与矩阵等价的关系：（1）向量组的等价（不要求两个组同向量数）和矩阵的等价（要求两个阵同型）是不同的概念 （2）当两个同型矩阵A ，B 的列向量组等价，A 与B 等价此时：方程Ax=0和Bx=0同解，r(A)=r(B)（3）当矩阵A 与B 等价，经行/列变换得到B ，则A 与B 的行/列向量组等价1.2 线性相关性和秩1.线性相关：对于向量n a a a ,...,,21，如果存在不全为零的实数n k k k ,...,,21使得01=∑=ni ii ak ，那么这些向量线性相关，也就是方程Ak=0有非零解线性无关：对于向量n a a a ,...,,21，如果当且仅当n k k k ,...,,21全为零时，才有01=∑=ni ii ak ，那么这些向量线性无关，也就是方程Ak=0只有零解2.判定方法：如果向量组A 对应的矩阵的秩<向量数，则组A 线性相关； 如果向量组A 对应的矩阵的秩 = 向量数，则组A 线性无关；3.向量组的秩定义：向量组A 中线性无关向量的最大个数，记为r ，A 中任意r+1个向量都线性相关4.向量组与矩阵的秩：矩阵的秩 = 行向量组的秩 = 列向量组的秩1.3 基、维数和坐标1.基：如果向量空间V 中任一向量都可被V 中一线性无关向量组A 线性表示，称组A 为V 的一个基 基变换：设A,B 为V 的两组基，记B A P 1-=为过渡矩阵，则A P B T=2.维数：基中的向量数r （也是基的秩）称为向量空间V 的维数，称V 为r 维向量空间3.坐标：如果向量空间V 中一向量∑==ni ii i ax b 1，且{}i a 是V 的基，则称{}i x 为b 在基A 中的坐标证明向量组A 是空间V 的基，就是要写出V 中任一向量{}i b 在基A 中的坐标表达式坐标变换：设A,B 为V 的两组基，对应坐标为x,y ，记B A P 1-=为过渡矩阵，则x P y 1-=1.4 范数、投影和正交性1.向量的范数：x x xx T ni i==∑=12，n 为向量维数2.广义的向量夹角：ba ba b a T = ,cos ；b 在a 上的投影：a a a b a p T T =3.向量的正交性：两个向量x,y 的点积（或y x T）为零，则两向量正交；零向量没有长度，和所有向量都正交正交和线性相关性：如果一组向量互正交，则它们线性无关4.规范正交基：两两正交的单位基向量组向量的坐标：设q 为规范正交基，若向量∑==n i i i q x b 1，则坐标b q x T i i =或写作b Q x T =5. 基向量的规范正交化：第二章向量空间2.1 向量空间和子空间1.向量空间：对加法和数乘封闭，包含所有n 维实向量的非空集合，记作nR 公理化定义：设V 是一非空集合，R 为实数域； Part1：运算的封闭性若对于任意两个元素V ∈βα,，总有唯一的元素V ∈γ 与之对应，称γ 为βα ,的和；若对于实数λ与任一元素V ∈α，总有唯一的元素V ∈δ与之对应，称δ 为λα,的积；Part2：运算的法则 八条运算律分别为：（1）加法交换律（2）加法结合律（3）加法元为0 （4）元素的负元素唯一 （5）乘法元为1 （6）乘法交换律（7）数乘结合律（8）乘法结合律若和与积运算具备封闭性且满足八条运算律，即称V 为实向量空间，V 中元素称为向量。

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一章行列式一、重点1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。

2、掌握：行列式的基本性质及推论。

3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。

二、难点行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。

三、重要公式1、若A为n阶方阵，则│kA│= kn│A│2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│·│B│3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-14、若A为n阶方阵，λi（i=1,2,…,n）是A的特征值，│A│＝∏λi四、题型及解题思路1、有关行列式概念与性质的命题2、行列式的计算（方法）1）利用定义2）按某行（列）展开使行列式降阶3）利用行列式的性质①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。

②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。

③逐次行（列）相加减，化简行列式。

④把行列式拆成几个行列式的和差。

4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式5）数学归纳法，多用于证明3、运用克莱姆法则求解线性方程组若D =│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。

注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。

4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解）2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法则求出第二章矩阵一、重点1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）2、掌握：1）矩阵的各种运算及运算规律2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法3）矩阵的初等变换方法二、难点1、矩阵的求逆矩阵的初等变换2、初等变换与初等矩阵的关系三、重要公式及难点解析1、线性运算1）交换律一般不成立，即AB≠BA2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵(A+B)2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2(AB)2=(AB)(AB)≠A2B2(AB)k≠AkBk(A+B)(A-B)≠A2-B2以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。

《线性代数》学习笔记三

《线性代数》学习笔记三

主 题： 《线性代数》学习笔记 内 容：《线性代数》学习笔记三——矩阵的概念、运算、分块矩阵1． 矩阵概念定义：由mxn 个数a ij (i-1.2,……，m;j=1.2,……,n)排成m 行n 列的数表 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211称为一个mxn 矩阵，a ij 称为第i 行第j 列上的元素，可简记作A=(a ij )mxn 或Amxn ，当m=n 时也称Amxn 为n 阶方阵，可记为An 。

当m=1时，Amxn=(a 11,a 12,……a 1n )称为行矩阵，当n=1时，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12111m mxna a a A 称为列矩阵，有元素皆为0的矩阵称为零矩阵，记作0。

对于n 阶方阵An ，称a n ，a 22 ，…，nn a 为A 的全对角线上元素称∑=ni ii a 1为分阵A 的迹，记作tr A ，即tr A =1nii i a 。

当n 阶方阵A 的主对角线以下（上）的所有元素皆为零称A 为上（下）三角形矩阵，除主对角线上元素外其元素皆为零的方阵为对角形矩阵，主对角线上有元素皆为1的对角形矩阵称为单位方阵，记作F 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001F 2.矩阵运算1加法A=（ij a ）mxn ，B=（ig b ）mxn 则A+B=（a ij +b ij ）mxn即只有两个矩阵都是mxn 矩阵，也称为同型矩阵，才能做加法运算。

称（－a ij ）mxn 为A 的负矩阵，记作－A ，即－A=（－a ij ）mxn 。

由此可定义A －B=A+（－B ）=（a ij －bij ）mxn 。

证与数的加、减运算类似，矩阵的加法运算满足 （1）A+B=B+A （交换律）（2）（A+B ）+C=A+（B+C ）（结合律） （3）A+O=O+A=A ，（4）A+（－A ）=（－A ）+A=O 2．数乘：设K 是一个数， mxnijmxnA a 则R 与矩阵A 相乘定义为111212122212n n ijmxnm m mnka ka ka ka ka ka kAka ka kaka也就是ka 是指用k 去乘A 的每一个元素，另证，其满足以下规律： （1）K （A+B ）=KA+KB ，（K+L ）A=KA+LA ，（分配律） （2）（KL ）A=K （LA ）=L （KA ），（结合律）， （3）若KA=0，则K=0或A=0。

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等行变换，则得到的是 。
对于第二类的可先转化为第一类的 ，即由
两边转置得
按上例的方法求出 进而求出 X
二.初等变换的性质
定理 2.5.1 设线性方程组的增广矩阵 经有限次的初等行变换化为 ，则以 与
为增广矩阵的方程组同解。 定理 2.5.2 任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换 （包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无
3、矩阵的乘法 设 A=（aij）m×n，B=（bjk）n×l，则 A*B=C=（cik）m×l 其中 C=Σaijbjk（j=1，n） 注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数；矩阵乘法不满足交换 律，即 AB 不一定等于 BA；矩阵乘法有零因子，即 A≠0（零矩阵），B≠0（零矩阵），但 有可能 A*B=0（零矩阵） 矩阵的乘法适合以下法则： （1）结合律：（AB）C=A（BC） （2）分配律（A+B）C=AC+BC
hing at a time and All things in their being are good for somethin
此处 0 表示与 A 同型的零矩阵，即 A=（aij）m×n ，0=0m×n （4）矩阵 A=（aij）m×n，规定-A=（-aij）m×n，（称之为 A 的负矩阵），则有 A+（-A）=（A）+A=0
如果 n 个未知数，n 个方程的线性方程组的系数行列式 D≠0,则方程组
定理 1.4.3 如果 n 个未知数 n 个方程的齐次方程组的系数行列式 D≠0，则该方程组只有零 解，没有非零解。 推论 如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式 D=0。
第二章 矩阵
一、矩阵的运算