91中高二数学复习《双曲线》2008-6

高二双曲线的基本知识点总结

双曲线是数学中的一种重要曲线，它在高中数学中也是一个重要的学习内容。本文将对高二双曲线的基本知识点进行总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、双曲线的定义和基本属性

双曲线可以通过平面上一对直角坐标轴以及两个焦点和一个给定的常数e来定义。它具有以下基本属性：

1. 双曲线有两条分支，分别接近于两条渐近线，渐近线的斜率分别是正无穷和负无穷。

2. 与坐标轴的交点是曲线的特殊点，它们被称为顶点和焦点。

3. 双曲线在顶点处对称。

4. 双曲线的离心率e大于1。

二、双曲线的方程和图像特点

1. 标准方程

双曲线的标准方程为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b分别为双曲线的半轴长。当x轴为对称轴时，a为x轴上的顶点到焦点的距离。当y轴为对称轴时，b为y轴上的顶点到焦点的距离。 2. 图像特点

双曲线的图像呈现两个向外打开的分支，两个分支在顶点处相交，顶点是双曲线的对称中心。双曲线的两条渐近线分别与x轴和y轴相交于双曲线的两个顶点，与x轴交点对应的坐标为(-a, 0)和(a, 0)，与y轴交点对应的坐标为(0, -b)和(0, b)。

三、双曲线的参数方程和焦点及直径方程

1. 参数方程

双曲线的参数方程为：x = asecθ，y = btanθ，其中θ是参数。

2. 焦点及直径方程

双曲线的焦点坐标可通过以下公式计算：(±ae, 0)，其中e为离心率。双曲线的一个焦点到曲线上任意一点的距离是常数c，满足c^2 = a^2 + b^2。

四、双曲线的性质和应用

1. 双曲线的准线和离心率

双曲线的准线是通过焦点的渐近线。离心率e决定了双曲线的形状，当离心率接近于1时，双曲线的形状趋近于直线，离心率越大，双曲线的形状越扁平。 2. 双曲线的应用

双曲线在物理学、工程学和经济学等领域中有广泛的应用。例如，双曲线可以描述电磁场的分布和力学系统中的轨迹，也可以用于描述经济增长模型中的边际效应。

高二数学双曲线试题

1. 双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，易求M坐标为，在三角形中，即，由得，答案选B.

【考点】双曲线的性质

2. 已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点，两曲线的一个公共

点为，且，则双曲线的离心率为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可得：双曲线的焦点为，且两曲线的一个公共点为在y轴右侧，因为，因此可设点,所以,所以，

所以双曲线的离心率为．

【考点】双曲线、抛物线的定义及性质．

3. 与双曲线有共同的渐近线，并且过点A(6,8)的双曲线的标准方程为__________．

【答案】

【解析】设所求双曲线为，把点(6,8)代入，得,解得 λ=-4，

∴所求的双曲线的标准方程为．故答案为：．

【考点】双曲线的性质和应用．

4. 已知集合P={x|1≤x≤8，x∈Z}，直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1有且只有一个公共点，其中m、n∈P，则满足上述条件的双曲线共有__________________个.

【答案】3

【解析】依题意，将直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1的方程联立，消去y得：（m-4n）x2-4nx-n-1=0；分①直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1相切，②直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1相交，讨论，分利用判别式与直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1的一条渐近线y=x平行即可求得答案．

【考点】直线与双曲线的位置关系.

5. 已知双曲线中心在原点，一个焦点为，点P在双曲线上，且线段的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是________________. 【答案】

【解析】由题可得P（，4），∵，∴把P（，4）代入双曲线标准方程，解方程组即可.

【考点】双曲线的标准方程.

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高二数学椭圆第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系知识精讲

一. 本周教学内容：

椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系

［知识点］

1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数

ecaeM()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为

椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。

注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，xaybabFc22222100()()

方程是，对应于左焦点，的准线为左准线xacFcxac2120()

②e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。

2.

焦半径及焦半径公式：

椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。

对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：xaybabPxy22210()()

左焦半径∴·左左rxaccarexcaacaex02020

右焦半径右右racxcaraex200

3. 椭圆参数方程

问题：如图以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BN⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕O旋转时点M的轨迹的参数方程。 2

解：设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为Mxy()Ox

参数。

那么∴xONOAyNMOBxayb||cos||sincossin()1

这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”

说明：<1> 对上述方程（1）消参即

xaybxaybcossin22221普通方程

<2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。

4. 补充

第 1 页 高二数学复习题之双曲线的知识点

?一、选择题:

1.在下列双曲线中,渐近线为3x±2y=0,且与曲线x2-y2=0不相交的双曲线是()

(A)=1(B)=1(C)=1(D)=1

2.双曲线3mx2-my2=3的一个焦点是(0,2),则m的值是()

A.1B.-1C.D.-

3.若方程ax2-by2=1、ax2-by2=λ(a>0,b>0,λ>0,λ≠1)分别表示两圆锥曲线

C1、C2,则C1、与C2有相同的()

A.顶点B.焦点C.准线D.离心率

4.过双曲线x2-y2=4上任一点M(x0,y0)作它的一条渐近线的垂线段,垂足为N,O是

坐标原点,则ΔMON的面积是()

A.1B.2C.4D.不确定

5.设双曲线=1(a>0,b>0)的一条准线与两条渐近线相交于A、B两点,相

应的焦点为F,以AB为直径的圆恰过点F,则该双曲线的离心率为()

A.B.C.2D.

6.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的范围是() 第 2 页 A.(-,)B.(0,)C.(-,0)D.(-,-1)

7.已知平面内有一定线段AB,其长度为4,动点P满足|PA|-|PB|=3,O为AB的中点,则|PO|

的最小值为()

A.1B.C.2D.3

8.以椭圆+=1的右焦点为圆心,且与双曲线-=1的渐近线相切的圆的方程为()

A.x2+y2-10x+9=0B.x2+y2-10x-9=0C.x2+y2+10x-9=0D.x2+y2+10x+9=0

9.与双曲线=1有共同的渐近线,且经过点A(-3,3)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是()

A.8B.4C.2D.1

10.已知两点M(0,1)、N(10,1),给出下列直线方程:①5x-3y-22=0;②5x-3y-52=0;③x-y-4=0;④4x-y-14=0在直线上存在点P满足|MP|=|NP|+6的所有直线方程是()