第7讲 离散型随机变量及其分布列
一、选择题
1.某射手射击所得环数X 的分布列为
X 4 5 6 7 8 9 10 P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
解析 P (X ＞7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10) ＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 答案 C
2.设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：
X －1
0 1 P
2－3q
q 2
则q 的值为( ) A.1 B.32±336 C.32－336
D.32＋336 解析 由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧2－3q ≥0，q 2
≥0，
13＋2－3q ＋q 2
＝1，
解得q ＝32－33
6. 答案 C
3.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( ) A.0
B.12
C.13
D.23
解析 由已知得X 的所有可能取值为0，1， 且P (X ＝1)＝2P (X ＝0)，由P (X ＝1)＋P (X ＝0)＝1，
得P(X＝0)＝1
3.
答案 C
4.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是()
A.ξ＝4
B.ξ＝5
C.ξ＝6
D.ξ≤5
解析“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6. 答案 C
5.从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是()
A.4
35 B.
6
35 C.
12
35 D.
36
343
解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问
题，故所求概率为P＝C23C14
C37＝12 35.
答案 C
二、填空题
6.设离散型随机变量X的分布列为
X 0123 4
P 0.20.10.10.3M 若随机变量Y＝|X
解析由分布列的性质，知
0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，
∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)
＝P(X＝4)＋P(X＝0)
＝0.3＋0.2＝0.5.
答案0.5
7.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________.
解析P(X≤6)＝P(取到3只红球1只黑球)＋P(取到4只红球)＝C34C13
C47
＋C44
C47
＝13
35.
答案13 35
8.在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________.
解析η的所有可能值为0，1，2.
P(η＝0)＝C11C11
C12C12
＝1
4
，
P(η＝1)＝C11C11×2
C12C12
＝1
2
，
P(η＝2)＝C11C11
C12C12
＝1
4.
∴η的分布列为
η012
P
答案
η012
P
三、解答题
9.(2017·成都诊断)某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：
由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到
语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为2 5.
(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；
(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列.
解(1)用A表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，
∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6＋n)名，
∴P(A)＝6＋n
20＝
2
5，解得n＝2，∴m＝4，
用B表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生”，
∴P(B)＝1－C26
C29＝
7
12.
(2)随机变量X的可能取值为0，1，2.
∵20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数共有8名，
∴P(X＝0)＝C212
C220＝
33
95，
P(X＝1)＝C18C112
C220＝
48
95，
P(X＝2)＝C28
C220＝
14
95，
∴X的分布列为
X 012
P
10.元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：
奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励.
(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；
(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X的分布列.
