新人教版必修二高中数学《4.1.2圆的一般方程》教案

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高中数学 4.1.2 圆的一般方程

问题导学

一、圆的一般方程的定义

活动与探究1

判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．

迁移与应用

1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )

A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0

C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0

2．下列方程能表示圆的是________．

(1)x2＋y2＋2x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ay－1＝0；

(3)x2＋y2＋20x＋121＝0；(4)x2＋y2＋2ax＝0．

3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围及圆心坐标和半径．

形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：

(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F＞0，则表示圆，否则不表示圆；

(2)将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方为

x＋D22＋y＋E22＝D2＋E2－4F4求解．

二、求圆的一般方程

活动与探究2

△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，求其外接圆的方程．

迁移与应用

求经过点C(－1,1)和D(1,3)且圆心在直线y＝x上的圆的一般方程．

用待定系数法求圆的方程：

(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r．

(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D，E，F． 打印版

高中数学 三、求动点的轨迹方程

活动与探究3

已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．

(1)求动点M的轨迹方程；

(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．

迁移与应用

1．到两个点A(－1,2)，B(3，－4)的距离相等的点的轨迹方程是________．

圆的一般方程

【教学目标】

1．使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。

2．使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力。

3．通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础。

【教学重难点】

教学重点：（1）能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；（2）能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。

教学难点：圆的一般方程的特点。

【教学过程】

一、情景导入、展示目标

前面，我们已讨论了圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0.请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题。复习引出课题为“圆的一般方程”。

二、检查预习、交流展示

1．写出圆的标准方程。

2．写出圆的标准方程中的圆心与半径。

三、合作探究、精讲精练

探究一：圆的一般方程的定义

1．分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹

将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：

（1）

（1）当D2+E2-4F＞0时，方程（1）与标准方程比较，可以看出方程

半径的圆；

（3）当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形。

这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、

法。

2．引出圆的一般方程的定义

当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程。

4．1．2圆的一般方程

学习目标

主要概念：

圆的一般方程――022

FEyDxyx

(0422

FED

)。

轨迹方程-----是指点动点M的坐标),(yx

满足的关系式。

教材分析

一、重点难点

本节教学重点是掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程，难点是二元

二次方程与圆的一般方程的关系及求动点的轨迹方程。

二、教材解读

本节教材的理论知识有问题提出、探索研究、思考交流三个板块组成。编写形式上采用了特殊到一般，由具体到抽象的认知方式。

第一板块问题提出解读

方程014222

yxyx

表示什么图形？方程

064222

yxyx

表示什

么图形？对给出的方程通过配方，化成圆的标准方程的形

式，第一个方程为4)2()1(22

yx

，它表示以

(1，-2)为圆心，2为半径的圆；第二个方程为

1)2()1(22

yx

，由于不存在点的坐标

),(yx

满足这个方程，所以它不表示任何图形。

第二板块探索研究解读

方程022

FEyDxyx

在什么条件下表示圆？配方得

44

)

2()

2(22

22FEDE

yD

x



。

(1)当0422

FED

时，方程表示以)

2,

2(ED



为圆心，FED4

21

22



为半径的圆；

(2)当0422

FED

时，方程表示一个点

)

2,

2(ED



；

(3)当0422

FED

时，方程不表示任何图形。

关于yx,

的二元二次方程

022

FEyDxCyBxyAx

成为圆方程的

充要条件是(1)2x

和2y

的系数相同且不等于0，即

A=C

0；(2)没有xy

这样的二次项，即B=0；(3)

0422

AFED

。

对于圆的一般方程，要熟练地通过配方法，求

出圆的圆心坐标和半径。

根据已知条件求圆的方程，仍然采用待定系数

法，但要注意的是待定的方程是设标准方程还是设一般方程，这要根据已知条件而定。

第三板块思考交流解读

1、圆的标准方程和圆的一般方

程各有什么特点？

2、课本P.129例4解完后，问：

《4.1.2圆的一般方程》教学设计

一、教材分析

《圆的一般方程》安排在高中数学必修2第四章第一节第二课时.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.

二、目标分析

知识与技能：

(1).掌握圆的一般方程及一般方程的特点

(2).能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求出圆心和半径

(3).能用待定系数法由已知条件求出圆的方程

过程与方法：

(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；

(2)加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用，认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察，思考能力。

(3)增强学生应用数学的意识. 情感，态度与价值观：

(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识；

(2)培养学生勇于思考，探究问题的精神。

(3)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.

教学重点： (1)．圆的一般方程。

(2)．待定系数法求圆的方程。

教学难点： (1)．圆的一般方程的应用。

(2)．待定系数法求圆的方程及选用合适的圆方程。

三、教学内容与过程

一、复习引入

圆的标准方程为：222()()xaybr

把圆的标准方程展开，并整理得220xyDxEyF

思考：此方程都能表示圆么？

二、课堂探究

观察下列各式，先将它们分别配方，然后分析它们是否表示圆？

（设计意图）通过对这两个问题的探究，.一方面引导学生22(1)2410xyxy22(2)2460xyxy回顾了旧知，另一方面，抓住了学生的注意力，把学生的思维引到研究圆的方程上来，激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移。