立体几何典型例题精选(含答案)
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立体几何专题复习
热点一：直线与平面所成的角
例1.(2014,广二模理18)如图，在五面体 ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF //
ABCD , EF -1, FB =FC^ BFC =90 , A^ .3.
求证：AB _平面BCF ;
求直线AE与平面BDE所成角的正切值•
变式1： (2013湖北8校联考)如左图，四边形 ABCD中，E是BC的中点，DB =2,DC
AB =AD =：-?2•将左图沿直线BD折起，使得二面角
(1) 求证： AE _平面BDC;
(2) 求直线AC与平面ABD所成角的余弦值•
变式2： [2014福建卷]在平面四边形 ABCc中，AB= BD= CD= 1, ABL BD CDL BD将厶ABD沿BD折 起，使得平面 ABD-平面BCD如图1-5所示. 平面
(1)
(2)
=1,BC
A-BD -C为60 ,如右图. 热点二：二面角
(1)求证：ABLCD (2)若M为AD中点，求直线 AD与平面
热点二：二面角
例2. [2014广东卷]如图1-4 ,四边形ABCD^正方形，PDL平面ABCD∠ DPC= 30°, AF⊥ PC于点 F, FE// CD
交 PD于点 E
(1)证明：CFL平面ADF (2)求二面角D-AF- E的余弦值.
变式3: [2014 浙江卷]如图1-5,在四棱锥 A-BCDEL 平面ABCL平面BCDE ∠ CDE=∠ BED= 90 AB= CD= 2,
DE= BE= 1, AC= 2.
(1)证明：DEL平面ACD (2)求二面角B-AD- E的大小.变式4: [2014全国19]如图1-1所示，三棱柱 ABGAIBCI中，点A在平面ABC内的射影D在AC上,
∠ ACB= 90°, BC= 1, AC= CC= 2.
(1)证明：AC⊥ AB; (2)设直线AA与平面BCGl的距离为√3,求二面角 A - AB- C的大小.
热点三：无棱二面角
例3.如图三角形BCD与三角形 MCC都是边长为2的正三角形，平面 MC⊥平面BCD AB丄平面BCD
AB=2、3
(1) 求点A到平面MBC的距离；
(2) 求平面ACM⅛平面BCD所成二面角的正弦值
1 3
变式 5：在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，K BB1 , M CC1 ,且 BK BB1 , CM CC1 .
4 4
求：平面AKM与 ABCD所成角的余弦值.
A
变式 6:如图 ABCD -A1B1C1D1 是长方体，AB= 2, AAI=AD = 1 ,求二平面 AB1C 与 A1B1C1D1 所
成二面角的正切值.
高考试题精选
1. [2014四川，18]三棱锥A- BCD及其侧视图、俯视图如图 1-4所示•设M N分别为线段 AD AB
的中点，P为线段BC上的点，且 MNL NP
(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角A - NP- M的余弦值.
2. [2014湖南卷]如图所示，四棱柱 ABCD∙ABCD的所有棱长都相等， A8 BD= O, AC ∩ BD = 0, 四边形ACGAI和四边形BDDB均为矩形.
(1)证明：OOL底面 ABCD⑵ 若∠ CBA= 60°,求二面角 C-OB∙D的余弦值.
3. [2014江西19]如图1-6,四棱锥 P - ABCDK ABCC为矩形，平面 PADL平面 ABCD
(1)求证：ABL PD (2) 若∠ BPC= 90°, PB= 2, PC= 2,问 的体积最大？并求此时平面 BPC与平面DPC夹角的余弦值. D
B AB为何值时，四棱锥 P - ABCD 立体几何专题复习答案
例 1. (2014 ,广二模)
(1)证明:
∙∙∙ EF
∙ EF
∙∙∙ EF 取AB的中点M ,连接EM ,则AM= MB =1 , //平面
ABCD , EF 平面 ABFE ,
// AB ,即 EF // MB .
=MB =1 平面ABCD 平面ABFE= AB ,
....... 1分
∙四边形EMBF是平行四边形.
∙ EM // FB , EM =FB.
在 Rt△ BFC 中，FB2 FC2 = BC2 = 4 , 又 FB=FC ,得 FB i 2 .
∙∙∙ EMj2.
在厶 AME 中，AE「3, AM -1 , EM
2 2 2
∙ AM EM =3 =AE ,
∙ AM _ EM .
∙ AM -FB ,即 AB _ FB .
•••四边形 ABCD是正方形，
∙ AB _ BC .
∙∙∙ FBnBC=B , FB 平面 BCF , BC 平面 BCF , ∙ AB _ 平面
BCF .
(2)证法1 ：连接AC , AC与BD相交于点
取BC的中点 H ,连接 OH ,EO , FH
则OH //
AB , OHJAB =1.
2
由（1） 知EF
∙ EF
∙四边形
∙ EO
由(1)
∙ FH //
//
∙∙∙ FH 1
// AB ,且 EF AB ,
2
且 EF =OH . OH ,
EOHF是平行四边形.
FH ,且 Eo=FH =1
知AB _平面BCF ,又FH -AB. 则点O是AC的中点,
平面
8分
-BC , ABnBC= B,AB 平面 ABCD , BC 平面 ABCD ,
∙ FH
∙ EO —平面 ABCD.
∙∙∙ AO 平面 ABCD , ∙
EO _ AO. —平面ABCD.
10分
∙∙∙ AO — BD , EOnBD=0,E0 平面 EBD , BD 平面 EBD ,
∙ AO —平面 EBD. 11分
∙∙∙ . AEo是直线AE与平面BDE所成的角• ......... 12分
AO
在 Rt △ AOE 中，tan AEO 2 . ....... 13 分
EO
∙直线AE与平面BDE所成角的正切值为.2 . ......... 14分
1 则 OH // AB , OH AB -1. 2
1 由（1）知 EF // AB ,且 EF AB , 2
∙ EF // OH ,且 EF =OH .
∙四边形EOHF是平行四边形•
∙ EO // FH ,且 EO=FH =1.
由（1）知AB _平面BCF ,又FH 平面BCF ,
∙ FH _ AB∙ ∙∙∙ FH_BC , ABnBC=B,AB 平面 ABCD , BC 平面 ABCD ,
FH —平面 ABCD.
EO _ 平面 ABCD.
以H为坐标原点，BC所在直线为X轴，OH所在直线为y轴，HF所在直线为Z轴,
H -XyZ ,则 A 1,-2,0 , B 1,0,0 , D -1,-2,0 , E 0,-1,1 .
得-2x -2y=0 , -x-y z=0 ,得 z=0,x = -y.
令x=1 ,则平面BDE的一个法向量为n= 1, -1,0 .
设直线AE与平面BDE所成角为,
则 Sin
V 11分
∙ CoSV - .,1 -Sin2 3 ,
3 Sin
二
CoSr 「2. 13分 ∙直线AE与平面BDE所成角的正切值为.2 . 14分 证法2：连接AC , AC与BD相交于点O ,则点
取BC的中点H ,连接OH ,EO，FH ,
-1,1,1 ,
设平面BDE的法向量为n = x, y, Z , n BE= 0 ,
建立空间直角坐标系
10分 7分 D
H
B M % O是AC的中点,
BD= -2^2,0 ,
由 n BD = 0 ,
变式1 : (2013湖北8校联考)
(1)取 BD 中点 F ,连结 EF,AF ,则 AF =1,EF =1,. AFE =60',
2
由余弦定理知A^ I- ； 2 -2 1 丄cos60：' =^3,: AF 2+EF2 =AE2,二 AE 丄 EF 2 2
又 BD _平面 AEF , . BD _AE,AE _平面 BDC
(2)以E为原点建立如图示的空间直角坐标系，
则 A(0,0,^3),C(-1,∣0) , B(1^1,0), D(-1^1,0) •
设平面ABD的法向量为n =(x,y,z),
2x =0
1 3 ,取 ZU ,则 y - -3,. n =(0,」,..3).
X 1y 二3 z =0
2 2 由n DB=O得
n DA =0
:AC *1,2,专)” CaSm忌 11分
故直线AC与平面ABD所成角的余弦值为 』
4 12分 4分
变式2: (2014福建卷)
解：(1)证明：•••平面 AB⊥平面BCD平面 AB□∩平面BCD= BD
AB?平面 ABD ABL BD, ∙∙∙ AE⊥平面 BCD ............ 3 分
又CD平面BCD ∙ AB丄CD ............ 4分
(2)过点B在平面BCc内作BEL BD
由(1)知 ABL平面 BCD BE?平面 BCD BDP 平面 BCD ∙ AB丄 BE AEL BD
以B为坐标原点，分别以BE, BD →的方向为 X轴，y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系 (如
图所示)•依题意，得 耳0, 0, 0), C(1 , 1, 0), Q0, 1, 0) , A(0 , 0, 1),
则 →> (1 , 1, 0) , BM=
0 , 1 1 →
2, 2 , AD= (0 , 1,- 1) •
n BC= 0, 则
→
n BM=0,
取Z0= 1 ,得平面 MBC勺一个法向量n= (1 , - 1, 1). 设直线 设平面MBC勺法向量n= (X0, y°, z°), r^X0 + y = 0,
即1 1
尹+尹=0,
....... 9分
则Sin
即直线 AD与平面MBC所成角为θ
→ InAD
θ = | CaS〈 n, AD | = → = 3 •
|n| ∙AD 3
AD与平面MBC^成角的正弦值为 12分 11分
