【100所名校】河南省开封市2020届高三第一次模拟考试(12月)数学(理)试卷 Word版含答案

河南省开封市2020届高三第一次模拟考试

（12月）数学（理）试卷

1. 已知集合220,AxxxxR，11xBxxZx，，则BA=（ C ）

A.(0,1) B.0,1 C.0,1 D.0,1,2

2.设i是虚数单位，复数（a∈R）的实部与虚部相等，则a=（ B ）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

3.已知命题p：方程2210xax有两个实数根；命题q：函数4fxxx的最小值为4．给出下列命题：①pq；②pq；③pq；④pq．则其中真命题的个数为 C

.A1 .B2 .C3 .D4

4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=54，则a2+a4+a9=（ C ）

A.9 B.15 C.18 D.36

5.如图，ABCD为矩形，C、D两点在函数222fxxx的图象上，

点A、B在x轴上，且(1,0)B，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自

阴影部分的概率等于（B）

A．415 B．25 C．12 D． 815

6.下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,,abi的值分别为8，10，0，则输出a和i的值分别为（ B ）

A.2,4 B.2,5

C.0,4 D.0,5

7. 已知函数)(),(xhxg都是R上的奇函数，2)()()(xbhxagxf，且)(xf在0,上最大值为8，则()fx在,0上的最小值是C

.A8.B6.C4.D6

8.函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（ C ）

A． B． C． D．1

解：由图知，T=2×=π，∴ω=2，因为函数的图象经过（﹣），0=sin（﹣+ϕ）∵，所以ϕ=，，，所以

9. 将正三棱柱截去三个角（如图1所示ABC，，分别是GHI△三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为 A

10. 某学校安排A、B、C、D、E五人进入3个班，每个班至少住1人，且A、B不能在同一班，则不同的安排方法有（ ）种．D

A．24 B．48 C．96 D．114

11.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），过F且垂直于x轴的直线在第一象限内与双曲线、双曲线的渐近线的交点依次为A，B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为（ A ）

A． B． C．2 D．3

12. 已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为

A．2-23， B．2-13， C．1-12， D．1-22，

13.已知向量=（1，2），=10，|+|=，则||=（ C ）

A． B． C．5 D．25 E

F D I A H G

B C

E

F D A

B C 侧视

图1 图2 B

E A B

E

B B

E

C B

E

D 14.已知点P是抛物线y2＝8x上一动点，设点P到此抛物线准线的距离为1d，到直线x+y－10＝0的距离为2d，则12dd的最小值是 . 62

15.已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为 .9

16. 已知数列{an}满足：a1=2，121nnnnaaa，记bn=11nnaa，则数列{bn}的前n项和Sn= .2121n

17.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.

(I)求角A的大小；

（II）若AB=3，AC边上的中线BD的长为13，求△ABC的面积.

解：(I)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得

2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0.

解得cos A＝12或cos A＝－2(舍去)．

因为0

(II)在ABD中，3AB，13BD， 3A，利用余弦定理，222cos2BDAADABADAB，解得4AD，又E是AC的中点 8AC

36sin21AACABSABC.

18.（本小题满分12分）

已知在四棱锥ABCDP中，，O为AB中点，POC平面平面ABCD；

BCAD//，BCAB，

2ABBCPBPA，3AD.

（Ⅰ）求证：平面PAB面ABCD

（Ⅱ）求二面角CPDO的余弦值. P

A

B C D

O

zyx第18题图 P

A

B C D

O （Ⅰ）证明： BCAD//，BCAB，

2BCAB，3AD.

3225OCADCD，，

222BCOBOC5

OCCD 即CDPOC平面

CDPO

ABPBPA，O为AB中点 ABPOPO底面ABCD

CD平面POC  平面PAB面ABCD……………6分

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系xyzO，则)3,0,0(P，

)0,3,1(D，)0,2,1(C

(0,0,3),(1,3,0),(1,2,3),(2,1,0)OPODCPCD

假设平面OPD的一个法向量为),,(111zyxm，

平面PCD的法向量为),,(222zyxn则

由00mODmOP可得0303111yxz，

取11y，得31x，01z，即)0,1,3(m，

由00nCDnCP可得0203222222yxzyx，取32x，得322y，52z，

即)5,32,3(n43401035,cosnmnmnm

故二面角CPDO的余弦值为43.……………12分

19.（本小题满分12分）

从那些只乘坐一号线地铁，且在市中心站出站的乘客中随机选2人，记X为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；

20．（本小题满分12分）

已知平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心为坐标原点，左右焦点分别为12,FF，过椭圆右焦点2F斜率为1的直线交椭圆于,AB两点，且OAOB与(3,1)a共线．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为3，直线l与椭圆C交于,PQ两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求POQ面积的最大值. 解：（1）设椭圆方程为22221(0),xyabab右焦点(,0),0Fcc，则直线方程为yxc，设1122(,),(,)AxyBxy

由22222222222222()200yxcbaxacxacabbxayab

0

22222121222222,acacabxxxxbaba，得21212222bcyyxcxcba…………2分

OAOB与(3,1)a共线12123()()0yyxx

222222223()0bcacbaba22633abe…………4分

（2）由椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为3a，得椭圆的方程为2213xy

①当ABx⊥轴时，3AB．…………5分

②当AB与x轴不垂直时，

设直线AB的方程为ykxm．由已知2321mk，得223(1)4mk

把ykxm代入椭圆方程，整理得222(31)6330kxkmxm，

设11()Axy，，22()Bxy，，则212122263(1),3131kmmxxxxkk…………6分

22221(1)()ABkxx22222223612(1)(1)(31)31kmmkkk22223(1)(91)=(31)kkk

2422212121233(0)34196123696kkkkkk≤．…………9分

当且仅当2219kk，即33k时等号成立．当0k时，3AB，…………10分

综①②所述，max2AB．…………11分

当AB最大时，AOB△面积取最大值max133222SAB． …………12分

21.（本小题满分12分）

已知函数f（x）=（x3﹣6x2+3x+t）ex，t∈R．

（Ⅰ）当1t时，函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（Ⅱ）若函数y=f（x）有三个不同的极值点，求t的值；

（Ⅲ）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，求正整数m的最大值．

解：（Ⅰ）函数f（x）=（x3﹣6x2+3x+t）ex，

则f′（x）=（x3﹣3x2﹣9x+3+t）ex，

函数f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为f′（0）=3+t，

由题意可得，3+t=4，解得，t=1；

（Ⅱ） f′（x）=（x3﹣3x2﹣9x+3+t）ex，

令g（x）=x3﹣3x2﹣9x+3+t，则方程g（x）=0有三个不同的根，

又g′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x2﹣2x﹣3）=3（x+1）（x﹣3）

令g′（x）=0得x=﹣1或3

且g（x）在区间（﹣∞，﹣1），（3，+∞）递增，在区间（﹣1，3）递减，

故问题等价于，即有，解得，﹣8＜t＜24；

（Ⅲ）不等式f（x）≤x，即（x3﹣6x2+3x+t）ex≤x，即t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x．

转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，

不等式t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x恒成立．

即不等式0≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x在x∈[1，m]上恒成立．

即不等式0≤e﹣x﹣x2+6x﹣3在x∈[1，m]上恒成立．

设φ（x）=e﹣x﹣x2+6x﹣3，则φ'（x）=﹣e﹣x﹣2x+6．

设r（x）=φ'（x）=﹣e﹣x﹣2x+6，则r'（x）=e﹣x﹣2.

因为1≤x≤m，有r'（x）＜0，故r（x）在区间[1，m]上是减函数．

又r（1）=4﹣e﹣1＞0，r（2）=2﹣e﹣2＞0，r（3）=﹣e﹣3＜0

故存在x0∈（2，3），使得r（x0）=φ'（x0）=0．