高二数学第14讲圆锥曲线的定义(王炜)

专题限时集训(十四)[第14讲 圆锥曲线的定义、图形、方程与性质](时间：45分钟)1．已知抛物线y 2＝16x 的准线经过双曲线a 2－8＝1(a >0)的一个焦点，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．2 22．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为( )A ．3 B.5153或15C. 5D.253或33．双曲线x 2－y 23＝1的一个焦点到它的渐近线的距离为( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．24．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在5．已知双曲线y22－x23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，则满足△PF 1F 2的周长为6＋25的动点P 的轨迹方程为( )A.x 24＋y 29＝1B.x 29＋y 24＝1C.x 24＋y 29＝1(x ≠0)D.x 29＋y 24＝1(x ≠0) 6．已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，椭圆C 上异于A 1，A 2的点P 恒满足kPA 1·kPA 2＝－49，则椭圆C 的离心率为( )A.49B.23C.59D.537．已知P 点是以F 1，F 2为焦点的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝2，则此双曲线的离心率等于( )A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．38．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝13B ．a 2＝132C ．b 2＝2D ．b 2＝129．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率为________．10．短轴长为5，离心率e ＝23的椭圆的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为________．11．F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．12．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ＝22，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与直线x －3y －3＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线y ＝x 交椭圆C 于A ，B 两点，D 为椭圆上异于A ，B 的点，求△ABD 面积的最大值．13．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值为2＋1.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C (m ，0)是线段OF 上一个动点(O 为坐标原点)，试问是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 点，使|AC |＝|BC |？并说明理由．14．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，⊙O ：x 2＋y 2＝b 2，点A 、F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是⊙O 上的动点．(1)若P (－1，3)，PA 是⊙O 的切线，求椭圆C 的方程；(2)是否存在这样的椭圆C ，使得|PA ||PF |是常数？如果存在，求C 的离心率，如果不存在，请说明理由．专题限时集训(十四)【基础演练】1．C [解析] 因为抛物线y 2＝16x 的准线方程为x ＝－4，所以双曲线的半焦距为c ＝a 2＋8＝4，解得a ＝22，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝422＝ 2.2．D [解析] 当焦点在x 轴上时，5－m 5＝105，解得m ＝3；当焦点在y 轴上时，m －5m＝105，解得m ＝253. 3．C [解析] 双曲线x 2－y 23＝1的焦点为(±2，0)，渐近线方程为y ＝±3x ，因为双曲线任何一个焦点到它的任何一条渐近线的距离都是相等的，故取焦点(2，0)到渐近线方程y ＝3x 的距离为d ＝|23|（3）2＋（－1）2＝ 3.4．D [解析] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为A ，B 两点它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，所以x 1＋2＋x 2＋2＝5.所以x 1＋x 2＝1.由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝3.而过抛物线焦点弦的最小值(当弦AB ⊥x 轴时，是最小焦点弦)为4，所以不存在满足条件的抛物线．【提升训练】5．C [解析] 由题意，|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝6＋2 5.又|F 1F 2|＝25，所以|PF 1|＋|PF 2|＝6>2 5.故动点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，长轴长为6的椭圆(除去横坐标为0的点)，即x 24＋y 29＝1(x ≠0)．6．D [解析] 设P (x 0，y 0)，则y 0x 0＋a ×y 0x 0－a ＝－49，化简得x 20a 2＋y 204a 29＝1，可以判断b 2a 2＝49，e ＝1－b a 2＝1－49＝53. 7．A [解析] 根据PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝2，可得△PF 1F 2为直角三角形且|PF 2|＝2|PF 1|，根据双曲线定义得|PF 2|－|PF 1|＝2a ，由此得|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a ，根据勾股定理(2a )2＋(4a )2＝(2c )2，由此得c 2a2＝5，即e ＝ 5.8．D [解析] 因为椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，c2＝5，所以a 2＝b 2＋5.因为C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点，C 1恰好将线段AB 三等分，设渐近线与椭圆C 1交于C ，D 两点，由椭圆及圆的对称性得|OC |2＝a 29＝5a 2b2b 2＋4a2＝5a 4－25a 25a 2－5，a 2＝112，b 2＝12. 9.17 [解析] 因为焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，所以b ＝4a ，c 2＝17a 2，e ＝17.10．6 [解析] 由题知⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝5，c a ＝23，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝52，a 2－b 2a 2＝49，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝52，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ＝4×32＝6.11.52 [解析] 本题主要考查抛物线的定义．属于基础知识、基本运算的考查． |AF |＋|BF |＝6，由抛物线的定义即AD ＋BE ＝6，又线段AB 的中点到y 轴的距离为12(AD＋BE )＝3，抛物线的准线为y ＝－12，所以线段AB 的中点到y 轴的距离为52.12．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)， 则由已知得|－c －3×0－3|1＋3＝2c ，解得c ＝1，又c a ＝22，∴a ＝2， 故b 2＝a 2－c 2＝2－1＝1. ∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－2＝0，y ＝x ，解得x 2＝23，故x 1＝63，x 2＝－63.∴A63，63，B －63，－63，解得|AB |＝433.欲使△ABD 面积最大，则D 点要离y ＝x 的距离最大，D 点应在与y ＝x 平行且与椭圆相切的直线l 上，设直线为y ＝x ＋λ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－2＝0，y ＝x ＋λ，消去y 得3x 2＋4λx ＋2λ2－2＝0.令Δ＝16λ2－4×3×(2λ2－2)＝0，解得λ＝±3， 则直线l ：x －y ±3＝0.故点D 到直线l 的距离为两平行直线的距离d ＝32＝62， ∴S △ABD ＝12×|AB |·d ＝12×433×62＝2，即△ABD 面积的最大值为 2.13．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧e ＝ca ＝22，a ＋c ＝2＋1，所以⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，∴b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)得F (1，0)，所以0≤m ≤1，假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，①∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k2k 2＋1.设AB 的中点为M ，则M 2k 22k 2＋1，－k2k 2＋1，∵|AC |＝|BC |，∴CM ⊥AB ，即k CM ·k AB ＝－1，∴k2k 2＋1m －2k 22k 2＋1·k ＝－1⇔(1－2m )k 2＝m . ∴当0≤m <12时，k ＝±m1－2m，即存在这样的直线l ； 当12≤m ≤1，k 不存在，即不存在这样的直线l .14．解： (1)∵P (－1，3)在圆上，∴b 2＝4， 又∵PA 是⊙O 的切线，∴PA ⊥OP ，∴AP →·OP →＝0， 即(－1，3)·(a －1，3)＝0，解得a ＝4， ∴椭圆C 的方程为x 216＋y 24＝1.(2)设F (－c ，0)，c 2＝a 2－b 2，设P (x 1，y 1)，要使得|PA ||PF |是常数，则有：(x 1＋a )2＋y 21＝λ[(x 1＋c )2＋y 21]，λ是常数．∵x 21＋y 21＝b 2，∴b 2＋2ax 1＋a 2＝λ(b 2＋2cx 1＋c 2)， 比较两边系数得，∴b 2＋a 2＝λ(b 2＋c 2)，a ＝λc ， 故cb 2＋ca 2＝a (b 2＋c 2)，即2ca 2－c 3＝a 3，即e 3－2e ＋1＝0，即(e －1)(e 2＋e －1)＝0，又0<e <1，∴e ＝5－12，即这样的椭圆存在，离心率为5－12.。

第十六页，编辑于星期五：十点 二十三分。
【解析】选A.
设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，r1>r2，椭圆的长半轴长为a1，
双曲线的实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为
e1，e2.则由椭圆、双曲线的定义，得r1＋r2＝2a1，r1－r2＝
2a2，平方得4a21
＝r
21＋r22
＋2r1r2，4a
【命题立意】本题考查双曲线的定义与几何性质，注意 利用基本量的关系进行求解．
第四页，编辑于星期五：十点 二十三分。
考题2(2014 福建)设 P，Q 分别为圆 x2＋(y－6)2＝2 和椭
圆1x02＋y2＝1 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是(
)
A．5 2 B. 46＋ 2 C．7＋ 2 D．6 2
第五页，编辑于星期五：十点 二十三分。
【命题立意】知识：考查了圆与椭圆的位置关系 的相关知识及待定系数法．能力：本题考查了学生综 合运用圆锥曲线知识分析问题、解决问题的能力，考 查学生数形结合的能力、转化与化归的能力．试题难 度：较大．
第六页，编辑于星期五：十点 二十三分。
考题3(2014 辽宁)已知点 A(－2，3)在抛物线 C：y2＝
2 2
＝r21
－2r1r2＋r22
.又由余
弦定理得4c2＝r21＋r22－r1r2，消去r1r2，得a21＋3a22＝4c2，
即
1 e12
＋
3 e22
＝4.所以由柯西不等式得
e11＋e12
2
＝
e11＋
1× 3
e232≤e121＋e3221＋13＝136.
所以e11＋e12≤4 3 3.
【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义、性质及柯西

高中圆锥曲线吴宝龙1.定义：在同一平面上，动点到定点的距离比上动点到定直线的距离为常数e（定点不在定直线上）（1）.若0＜e＜1,则形成的图形为椭圆。

（2）.若e＝1，则形成的图形为抛物线。

（3）若e＞1,则形成的图形为双曲线。

注：若定点在定直线上，（1）.当e=1时，轨迹为过定点且与定直线垂直的直线（2）.当e＞1时，轨迹为过定点与定直线斜交的直线。

2.我们把定点称为焦点，定直线称为准线。

对于高中的圆锥曲线一般是未经过旋转的，也就是说对称轴为X轴或Y轴。

对于椭圆和双曲线的准线为a²/c,而抛物线就是X=±P/2或Y=±P/2。

3.利用定义可推导出一些性质:如图所示，E为焦点，直线MN为准线，设EF=m EG=n 直线GF的倾斜角为Θ由定义有：FM=m/e GN=n/e由几何关系有：FM=a²/c－c－m cosΘGN= a²/c－c＋n cosΘ联立求出m=b²/(a+c cosΘ)n= b²/(a－c cosΘ)所以FG=m+n=2ab²/（a²－ c ²cos²Θ）例：如下图所示椭圆Q的方程为X²/a²+Y²/b²=1（b＞c）其中四边形为过焦点的平行四边形，求四边形的面积的最大值S为多少？解：设CA的倾斜角为Θ，过E做EI垂直CA于I。

由上面的公式有:AC=2ab²/（a²－c ²cos²Θ）IE=2c sinΘ所以S=4acb²/(b²/sinΘ+c ²sinΘ)由于b＞c,y由函数可得最大值为sinΘ=1故 S 最大值=4cb ²/a总结：若直接设直线去求显然计算量大，而采用该结论避免了繁琐的计算。

对于双曲线也有类似的结论，只是在分母上加上绝对值，这就留给读者去证明。

高中数学-圆锥曲线知识点解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形在坐标系中的性质和变换。

其中，圆锥曲线是解析几何中的重要内容之一，下面将介绍椭圆和双曲线的知识点。

一、椭圆1、定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离之和（大于│F1F2│）为常数的点的轨迹。

其中，定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离│F1F2│叫做椭圆的焦距。

注：2a＞│F1F2│非常重要，因为当2a＝│F1F2│时，其轨迹为线段F1F2；当2a＜│F1F2│时，其轨迹不存在。

2、标准方程、图形和性质：椭圆的标准方程为│MF1│+│MF2│=2a(a＞0)，其中M为椭圆上任一点。

椭圆的焦点在y项系数的大小决定，由x、y项系数的大小关系可以确定椭圆的长轴、短轴、焦距、焦点坐标、离心率和顶点坐标等性质。

椭圆的离心率e＝(＜e＜1)，长轴长＝2a，短轴长＝2b，焦点在长轴上，对称轴为x轴或y轴，原点是对称中心。

二、双曲线1、定义：双曲线是平面内与两定点F1、F2的距离之差（小于│F1F2│）为常数的点的轨迹。

其中，定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离│F1F2│叫做双曲线的焦距。

2、标准方程、图形和性质：双曲线的标准方程为│MF1│-│MF2│=2a(a＞0)，其中M为双曲线上任一点。

双曲线的焦点在y项系数的大小决定，由x、y项系数的大小关系可以确定双曲线的长轴、短轴、焦距、焦点坐标、离心率和顶点坐标等性质。

双曲线的离心率e＞1，长轴长＝2a，短轴长＝2b，焦点在长轴上，对称轴为x轴或y轴，原点是对称中心。

以上是解析几何中椭圆和双曲线的基本知识点，掌握了这些知识，可以更好地理解和应用解析几何。

双曲线是一种与两个定点和一个常数有关的点的轨迹，其轨迹上满足两个定点到该点距离之差的绝对值小于定点之间距离的常数。

这两个定点分别称为双曲线的焦点，该常数为双曲线的焦距。

对于双曲线上的任意一点M，其到焦点F1和F2的距离之差的绝对值减去焦距的结果为常数2a。