对数平均不等式1.定义：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a bab a b+->>-其中ln ln a b a b --被称为对数平均数2.几何解释：反比例函数()()10f x x x=>的图象，如图所示，AP BC TU KV||||||，MN CD x ||||轴， (),0,A a 1,,P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,0,,B b Q b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1,,T ab ab ⎛⎫ ⎪⎝⎭作()f x 在点2,2a b K a b +⎛⎫⎪+⎝⎭处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知，因为ABNM ABQP ABFE S S S >=矩形曲边梯形梯形，所以()12ln ln ,badx b a b a x a b=->-+ò① 又1ln ln abAUTP aS dx ab a x==-ò曲边梯形， ()11ln ln 22ABQP b a S =-=曲边梯形，()11111222AUTPABCD b a S ab a S aab ab骣-÷ç=+-=?÷ç÷ç桫梯形梯形， 根据右图可知，AUTP AUTP S S <曲边梯形梯形 ，所以ln ln b ab a ab--<， ②另外，ABQX ABYP ABQP ABQP S S S S <<<矩形矩形曲边梯形梯形，可得：()()()11111ln ln ,2b a b a b a b a b a b a骣÷ç-<-<+-<-÷ç÷ç桫 ③ 综上，结合重要不等式可知：()()()()211111ln ln 2b a b a b a b a b a b a b a b a b a ab骣--÷ç-<<-<<+-<-÷ç÷ç桫+，即 ()20112ln ln a b b ab ab a b a b aa b+->>>>>>>-+. ④等价变形： )0.()(2ln ln >≥+-≥-b a ba b a b a)0.(ln ln >≥-≤-b a ab b a b a 3.典例剖析对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的． （一）()0ln ln b ab a a b a->>>-的应用例1 （2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=其中()f x '是)(x f 的导函数．（1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++ 与()n f n -的大小，并加以证明．解析 （3）因为()1xgx x=+， 所以()()()1211112231231n gg g n n n n ⎛⎫+++=+++=-+++ ⎪++⎝⎭， 而()()ln 1n f n n n -=-+，因此，比较()()()12g g g n +++ 与()n f n -的大小，即只需比较113121++++n 与()ln 1n +的大小即可． 根据0b a >>时，ln ln b ab b a ->-，即()1ln ln ,b a b a b -<-令,1,a n b n ==+则()1ln 1ln ,1n n n <+-+ 所以1ln 2ln1ln 22<-=，1ln 3ln 23<-，1,ln(1)ln 1n n n <+-+ ， 将以上各不等式左右两边相加得：()111ln 1231n n +++<++ ， 故()()()()12gg g n n f n +++>- .评注 本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握． 当0b a >>时，ln ln b a a b a ->-，即()1ln ln ,b a b a a-<-令,1,a n b n ==+则()1ln 1ln ,n n n +-<可得：()111ln 1123n n+<++++L . （二）()2202ln ln a b b a b a b a+->>>-的应用 例2设数列{}n a 的通项()111n a n n =++，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1nS n <+．解析 根据0b a >>时，222ln ln a b b ab a+->-，即()222ln ln b a b a a b-->+，令1,,b n a n =+=则()()222ln 1ln 1n n n n +->++22221n n =++22222n a n n >>++，易证()ln 1n S n <+．（三）()02ln ln a b b ab a b a+->>>-的应用 例3.设数列{}n a 的通项111123n a n=++++ ，证明：()ln 21n a n <+．解析 根据0b a >>时，2ln ln a b b a b a+->-，即()2ln ln b a b a a b-->+，令21,21,b n a n =+=-则()()1ln 21ln 21n n n+-->，易证()ln 21na n <+．（四）()2011ln ln b a b a b a a b->>>-+的应用 例 4.（2010年湖北）已知函数()()0bf x ax c a x=++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．（1）用a 表示出,b c ；（2）（略）（3）证明：()()()1111ln 11.2321n n n n n ++++>++?+L 解析 （1）1,12b a c a =-=-；（3）当0b a >>时，211ln ln b a b a a b->-+，即()111ln ln 2b a b a a b骣÷ç-<+-÷ç÷ç桫， 令,1,a n b n ==+则()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ 所以111ln 2ln1,212骣÷ç-<+÷ç÷ç桫111ln 3ln 2,223骣÷ç-<+÷ç÷ç桫L ，()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+将以上各不等式左右两边分别相加得： ()()111111ln 1,223421n n n 骣÷ç+<++++++÷ç÷ç桫+L即()()111111ln11,234212n nn +<++++++-+L故()()1111ln 1.2321n n n n ++++>+++L（五）()0ln ln b aab b a b a->>>-的应用例5. （2014福建预赛）已知1()ln(1)311f x a x x x =+++-+． （1）（略） （2）求证：()222223411ln 21411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯- 对一切正整数n 均成立．解析 （2）根据0b a >>时，ln ln b aab b a->-，即ln ln ,b ab a ab --<令21,21,b n a n =+=-则()()22ln 21ln 21,41n n n +--<-变形可得：()()2222111142ln 21ln 21,4414141n n n n n n n -+轾+--<=<臌---则 ()212ln 3ln1,4411-<?()213ln 5ln 3,,4421-<?L ()()211ln 21ln 21,441n n n n +轾+--<臌-将以上各不等式左右两边相加得： 222223411ln(21)411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯- 对一切正整数n 均成立． 评注 本题提供标准答案是借助于第一问的a的最小值2a =-时，12l n (1)3101x x x -+++->+,即()1312ln 11x x x +->++，结合待证不等式的特征， 令()2*21x k N k =∈-，得122312ln(1)22121121k k k +⨯->+--+-， 整理得：288212ln 4121k k k k ++>--，即()()211ln 21ln 21414k k k k +>+--⎡⎤⎣⎦-,借此作为放缩的途径达到证明的目的．你能注意到两种方法的区别吗？对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘，水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法方是提升数学素养的途径. 强化训练1.（2012年天津）已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0．（1）（2）（略）（3）证明：()()12ln 212*.21ni n n N i =-+<∈-∑解析 （3）易求1a =，待证不等式等价于()2222ln 2135721n n ++++<+- ． 根据0b a >>时，ln ln b ab b a ->-，即()1ln ln ,b a b a b -<-令21,21,a n b n =-=+则()()()22ln 21ln 21,21121n n n n =<+--+-+2ln 3ln1,3<-2ln 5ln 3,5<-2ln 7ln 5,,7<-L()()()2ln 21ln 21,211n n n <+--+-将以上各不等式左右两边分别相加得：()22222ln 213572121n n n +++++<+-+ ， ()122ln 21222121ni n i n =-+<-<-+∑.得证. 2.（2013年新课标Ⅰ）已知函数()()()1ln 11x x f x x xλ+=+-+．（1）若0x ≥时,()0,f x ≤求λ的最小值；（2）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++ ，证明：21ln 24n na a n-+>． 解析 （1）易得()()()221200,(1)x x f f x x λλ--'==+．令()0,f x '=则120,,x x λλ-==若0λ<，则当0x >时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若102λ≤<，则当120x λλ-≤<时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若12λ≥，则当0x >时，()()0,f x f x '<是减函数，()()00,f x f ≤=符合题意；综上，λ的最小值是12．（2) 当0b a >>时，211ln ln b a b a a b->-+，即()111ln ln 2b a b a a b 骣÷ç-<+-÷ç÷ç桫， 令,1,a n b n ==+则()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ 所以()111ln1ln ,21n n nn 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ ()()111ln 2ln 1,212n n n n 骣÷ç+-+<+÷ç÷ç桫++ ()()111ln 3ln 2,223n n n n 骣÷ç+-+<+÷ç÷ç桫++L()111ln 2ln 21,2212n n n n 骣÷ç--<+÷ç÷ç桫-将以上各不等式左右两边分别相加得： 1122221ln 2ln ,2123212n n n n n n n n骣÷ç-<++++++÷ç÷ç桫+++-L 即111111ln 2,2123214n n n n n n骣÷ç<++++++÷ç÷ç桫+++-L 故1111ln 21224n n n n++++>++ ． 评注 本题提供标准答案是借助于第一问的λ的最小值12λ=时，()()()2l n 1022x x x x x++<≥+加以赋值，并进行变形，令1x k=，有()121111l n 12121k k kk k k +⎛⎫⎛⎫+<=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，亦即()111ln 1ln 21k k k k ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭达到放缩的目的.两者相比较，自然是运用对数平均值的不等式链的方法简捷.。
对数平均数不等式链的几何证明及变式探究对数平均数不等式链的几何证明及变式探究中学数学教育专家安振平在剖析2013年陕西高考数学压轴题时指出，其理论背景是： 设0ba，则2112ln ln a bb a baba b aab，其中ln ln a ba b--被称为“对数平均数”.安振平老师通过构造函数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大.基于此，笔者进行了深入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解.1 对数平均数不等式链的几何证明 如图，先画反比例函数()()10f x x x=>的图象，再画其他的辅助线，其中AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴，(),0,A a 1,,P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,0,,B b Q b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1,T ab ab ⎛⎫ ⎪⎝⎭.设函数()f x 在点2,2a b K a b +⎛⎫⎪+⎝⎭处的切线分别与直线,AP BQ 交于点,E F ，则根据左图可知：因为ABNM ABQPABFES S S 矩形曲边梯形梯形，所以12ln ln badx baba xab. ① 因为1ln ln ab AUTPaS dx abax曲边梯形11ln ln 22ABQP b a S 曲边梯形，11111222AUTPABCD b a S ab aS aabab梯形梯形， 而根据右图可知：AUTP AUTP S S 曲边梯形梯形，所以ln ln bab aab. ② 另外，根据ABQXABYP ABQPABQPS S S S 矩形矩形曲边梯形梯形，可得：11111ln ln 2b a b ab ab a baba. ③综上，结合重要不等式可知：211111ln ln 2b a ba b ab ab ab a b a ba baab ，即20112ln ln a bb a baba b a b aab. ④2 对数平均数不等式链的变式探究近年来，以对数平均数不等式链为落点的压轴试题层出不穷，如2010年湖北卷、2012年天津、2013年新课标Ⅰ、2014年陕西卷、2014福建预赛、2014年绵阳一、三诊、2015合肥最后一卷等等，因此关注对数平均数不等式链的变式探究是十分必要的.为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的不等式2ln ln a bb aba，记为①式；将ln ln ba ab ba，记为②式；将211ln ln b a bb aab，记为③式.变式探究1：取12,a x b x ==，则由①知：1221212ln ln +->-x x x x x x .于是，可编制如下试题：已知210>>x x ，求证：2121122()ln ln -->+x x x x x x .变式探究2：取12,ax b x ==，则由②知：2121ln ln ->-x x x x 于是，可编制如下试题：已知210>>x x ，求证：21ln ln -<x x变式探究3：取12,a x b x ==，则由③知：2122112211ln ln ->>-+x x x x x x x .于是，可编制如下试题：已知210>>x x ，求证：22121212121ln ln 2--<-<x x x x x x x x .变式探究4：取121,1a x b x =+=+，则由①知：122121(1)(1)(1)(1)2ln(1)ln(1)++++-+>+-+x x x x x x .于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈-+∞，且12x x ≠，求证：2112211ln(1)ln(1)2-+<++-+x x x xx x .变式探究5：取121,1a x b x =+=+，则由②知：2121(1)(1)ln(1)ln(1)+-+>+-+x x x x 于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈-+∞，且12x x ≠，求证：2121ln(1)ln(1)->+-+x x x x .变式探究6：取121,1a x b x =+=+，则由③知：2122112(1)(1)2111ln(1)ln(1)11+-++>>+-++++x x x x x x x .于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈-+∞，且12x x ≠，求证：2112221122(1)(1)1ln(1)ln(1)2-+++>>+-+++x x x x x x x x x .变式探究7：取121,1a x b x =-=-，则由①知：122121(1)(1)(1)(1)2ln(1)ln(1)-+---->---x x x x x x .于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ≠，求证：2112211ln(1)ln(1)2-+<----x x x xx x .变式探究8：取121,1a x b x =-=-，则由②知：2121(1)(1)ln(1)ln(1)--->---x x x x 于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ≠，求证：2121ln(1)ln(1)->---x x x x 变式探究9：取121,1a x b x =-=-，则由③知：2122112(1)(1)2111ln(1)ln(1)11---->>---+--x x x x x x x .于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ≠，求证：211222112(1)(1)2(1)(1)1ln(1)ln(1)2------>>---+-x x x x x x x x x .变式探究10：取12,x x a e b e ==，则由①知：1221212+->-x x x x e e e e x x .于是，可编制如下试题：对任意12,x x ∈R ，且21>x x ，求证：2112212-->+x x x x x x e e e e . 变式探究11：取12,x x a e b e ==，则由②知：2121->-x x e e x x 于是，可编制如下试题：对任意12,x x ∈R ，且21>x x ，求证：()()12212221+-<-x x x x x x e e e .变式探究12：取12,x x a e b e ==，则由③知：2121221211->>-+x x x x x e e e x x e e.于是，可编制如下试题：对任意12,x x ∈R ，且21>x x ，求证：21121122121221212211+--->>⇔<<-++-x x x x x x x x x x x x e e e e e e x x e e e e x x .…… ……总之，对数平均数不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如陕西师范大学罗增儒教授所言：我们可以通过有限的典型考题的学习，去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘.水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法，方是提升数学思维素养的有效途径.。
对数平均不等式的几何意义1. 嘿，你知道吗，对数平均不等式的几何意义就像是一座神奇的桥梁！比如说，两个数 a 和 b，它们之间的对数平均就像是连接它们的最佳路径。
就好比你要从 A 地到 B 地，走这条路径就是最快捷的！2. 哇塞，对数平均不等式的几何意义可太有意思啦！想想看啊，它就像一把精准的尺子，能衡量出不同数量之间的特殊关系呢。
就像你衡量两件物品哪个更有价值一样！3. 哎呀呀，对数平均不等式的几何意义呀，那简直就是数学世界里的神秘宝藏！比如说在比较两个班级的成绩时，它就能像指南针一样指明方向。
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这真的太重要啦！我的观点结论：对数平均不等式的几何意义充满了奇妙和惊喜，在各种情境中都能发挥独特的作用，让人不得不感叹数学的魅力啊！。
35be b ba作c图图2a ~ba ~b对数平均数不等式的证明与应用0),P9+2&成立'a陀,0),0卩，+),幷 Tab彳二 t(t>l),设/"(t ) = 21nr<屮，即证In 牛2 b令》=心 > l),g(O = In 一^119 M 15%2 -119,9a;2 -18% -119 WO,% W 1 +攀2020年第4期中学数学研究安徽省合肥一六八中学(230000) 谈世勇故原不等式成立.注8：本题来源于对2019年秘鲁数学奥林匹克 试题的改进：已知 a,b,c 是满足 a + — = b + — = c + -7-=cab1的实数，求证：丨a I +1 6 1+1 cl < 5.令％ =丨 a I +1 b I +1 c 丨，贝J % > 0=(I al +1 6 1 +1 cl )2 = a 2 + 62 + c 2 + 2(1 I +al? + b 2 c 2 + c a + 2 I abc I (I al+l & I+I cl)=9 + J18 +6% ,(%+ 3)( %3 - 3%2 一 9% + 3) = 0, 3x(x + 3) = x 3 + 3,6x(x + 3) =(/+%'+ 125)-已知为两不等的正实数，我们称］"十人Ina - lnb为a,b 的“对数平均数”.它与a,b 的“几何平均数应”及“算术平均数巻乜”之间有如下不等关系：质 < 1 a < 屮•此不等式我们称之为“对Ina - lnb 2/(/)在(1,+8)递减，而/(I) =0,因此当/ >1时,O'则刃)所以 g(t)在(1, + 8 )递增，而g(l) = 0,因此当t > 1时川-半屮>0恒成立，即吕 <中成立.该不等式本身的证明是通过构造函数，借助于导数作为工具，利用函数单调性而得•在处理某些与 指数、对数相关的不等式问题时，可以尝试应用它来帮助思考分析.2.对数平均数的不等关系的几何证明所示,AP // BC // TU // KV,MN // CD // x 轴,A(a,/(%)在点《(号2焉)处的切线分别与AP,BQ 交于E,F,根据图1可知.2(f -1)数平均不等式”.1.对数平均不等式的代数证明不妨设a > b > 0,先证価< | a 十即证Ina - lnb1),则7(0 = y-l = - (^1)2 <0,所以/(f) = 2 I ni - / + *<0恒成立，即1咗<反比例函数/■(%)=—(X > 0)的图象，如图1X审、〒 a - b 再证 Ina - lnb・36 •中学数学研究2020年第4期因为S 曲边梯形4BQP > S 梯形4BFE = S 矩形ab /VM ，所以『^—dx = ln6 - Ina > - ？J a x as/ab ]—dx a XT （lnb — Ina ）=㊁S 曲边abqp ,=In ^ab - Ina S 梯^autp 二 +（+ + ^=）（_ °）二*.~由图2可知S 曲边梯形A&7P < S 梯形As ,所以lnb -V ab1 b - aIna < — .y/ab综上可得质 < 严二h<屮.Ina - lnb 23.对数平均数不等关系的应用举例例1(2010年天津高考理科21题)已知函数= xe~x (x e 7?).(I )求函数/仏)的单调区间和极值；(II )已知函数y = g (久)的图象与函数y =fM 的图象关于直线％二1对称，证明：当％〉1时， /(^) > g (光);(皿)如果久1工％2,且/(衍)二/(衍)，证明沦1 +光2 > 2.分析：(I )、( H)略•(皿)由前知,％ = 1是函数/(%)的极值点，不妨设0 <衍< 1 <悠，则根据 心)=心)，有*—2宀即宀诗按故要证f(x 0) <0,即证％ =法则这样高等数学的知识•调整思路,利用对数平均数不等式作如下尝试.将衍= x 2e~X2两边取自然对数得lrujj -x x =久1 + %2lnx 2 -慾，故]I/ = 1.由对数平均数不等式知久i - 久1 +心 一]-----}—二 1 < 一5—,即衍 + %2 > 2.llU¥ ] — 厶例2 (2011年辽宁高考理科压轴题)已知函数_/(%) - In% - ax 2 + (2 - a)x.(1) 讨论函数人小的单调性；(2) 设a > 0,证明：当0<力 < 丄时,/(丄+%)a a> y (+ - %)；(3)若函数y =只小的图象与％轴交于两点，线段中点的横坐标为％，证明：/(%0) < 0.分析:(1)、(2)略；(3)由(1)知a > 0时歹= 尸仏)在(0, + 8 )单调递减且f (+)=0.已知函数y =/&)的图象与％轴交于两点，设4(衍,0), B (X 2,0) ,0 < 幻 < * < %2,由/(«1 ) =/(%2)= 0 得lnx 1 - ax^ + (2 - a)%】二 0,lnx 2 - % + (2 - a)x 2 =0,故 In%] - lnx 2 +2(%i -％2)二 a (并-光；+%i -%2),所以「肌-血2 +2(衍7)2 2 , '久1_ %2 + %] _ X 2尤1 +禺 1 一>丄，即证2 a—=t(t > 1),则["2 =阿' 二衍+"(：+」罟,然后通过构I 一 久1 + %2 -匕 1造函数h(t) = a + 1?叫/ > 1)来解决.但如此需i — 1要两次构造函数过程繁琐，而且还要用到像罗必塔照常规思路，一般设e+%22---------<街+尤2\nx 1 - \nx 2lnx 1 - lnx 2 £x 1 - x 2（光]+ %2 ） +1，光1+ x 20—->街一％2 2不等式可得命题得证.只x 1 -光22需证卞<\nx 1 - liLr 2'由对数平均数。
