一、选择（每题2分，共20分）。
1．已知集合{}X a b c d =，，，，下列集族中，（ ）是X 的拓扑.
A {{}{b}}T X a φ=，，，
B {{}{b}{c d}}T X a φ=，，，，，
C {{}{b c}}T X a φ=，，，，
D {{}{b}}T X a a φ=，，，，
2.已知集合{}X a b c d =，，，，拓扑{{}}T X a φ=，，，{}A b c =，，则A =（ ） A φ B X C {c}b ， D {c d}b ，，
3.已知集合{}X a b c d e =，，，，，拓扑{{}{b},{}}T X a a a b c d φ=，，，，，，，，{}A c d e =，，，则o A = （ ）
A φ
B {c}
C {c d}，
D {c d e}，，
4.已知集合{}X a b c d =，，，，拓扑{{b},{}}T X a c d φ=，，，，，则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）个.
A 1
B 2
C 3
D 4
5．设X 是一个拓扑空间，A B ，是X 的子集，则下列关系中不正确的是（ ） A ()()()d A B d A d B = B A B A B =
C ()()()d A B d A d B =
D A A =
6.已知{}X a b c =，，上的拓扑T {{}}X a φ=，，,则点a 的邻域个数是（ ）
A 1
B 2
C 3
D 4
7.在实数空间中，有理数集Q 的导集()d Q 是（ ）
A φ
B Q
C R Q -
D R
8.拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ( )
A 拓扑不变性质
B 在连续映射下保持不变的性质
C 可商性质
D 可积性质
9.设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ⨯是（ ）
A 离散空间
B 不连通空间
C 平庸空间
D 连通空间
10.有理数集Q 是实数空间R 的一个 （ ）
A 不连通子集
B 连通子集
C 开集
D 闭集
二、填空题（每题4分，共20分）
1.已知集合{}X a b c d =，，，，{{}{b c}{c d}}a b B =，，，，，，则X 的以B 为基的拓扑为=T ________________________________．
2.已知集合{}X a b c d =，，，,{{b}{c}{d}}S a a =，，，，，则X 的以S 为子基的拓扑为=T ________________________________．
3.已知集合{}X a b c d e =，，，，，拓扑{{}{b}{}}T X a a a b c d φ=，，，，，，，，，
{}Y a b c =，，，则Y 的相对拓扑|Y T =____________________________________．
4.设X Y ，是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个___________．
5.若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个_____________．
三、解答题（共20分）
设集合{}X a b c d =，，，，拓扑{{}{,}}T X a a b φ=，，，，{}A b c =，,求集合A 的内部，边界，闭包．
四、证明题（每小题20分，共40分）
1．设(X ，T)是一个拓扑空间，Y 是一个非空集合，:f X Y →是一个满射，证明：11{|()}T U Y f U T -=⊂∈是Y 的拓扑，且相对于该拓扑，f 是一个连续映射．
2．设X是一个拓扑空间，A X
⊂.证明：A是一个开集当且仅当A的补集A'是一个闭集.
