拓扑学测试题一
一、选择题（每小题2分，共10分）
下列拓扑性质中，不满足连续不变性的是（ ）
A. 列紧
B. 序列紧
C. 可数紧
D. 紧致
下列拓扑性质中，没有遗传性的是（ ）
A. 1T 空间
B. 2T 空间
C. 3T 空间
D. 4T 空间
下列拓扑性质中，有限积性不成立的是（ ）
A. 1T 空间
B. 2T 空间
C. 3T 空间
D. 4T 空间
设X 多于两点， 21,ττ是X 的两个拓扑，则下列命题不成立的是（ ）
(A) 21ττ⋃是X 的某个拓扑的基;
(B) 21ττ⋂是X 的一个拓扑;
(C) 21ττ⋃是X 的一个拓扑;
(D) 21ττ⋂是X 的某个拓扑的基。
设A 为度量空间 ),(d X 的任一非空子集,则下列命题不成立的是（ ）
(A) x 为A 的边界点当且仅当 (,)(,)0d x A d x X A =-=
(B) x 为A 的聚点当且仅当 (,)0d x A =
(C) x 为A 的内点当且仅当 (,)0d x X A ->; (D) A x ∈当且仅当 0),(=A x d .
二、 二、判断题（每小题5分，共25分）
三、 仿紧空间是度量空间.（）
四、 商映射一定是闭映射或开映射. （）
五、 局部道路连通空间不一定是道路连通空间. （）
六、 连通空间一定是局部连通空间. （）
七、 若 11:f S →连续，则 1t ∃∈，使 1()f t -不可数. （）
八、 三、解答题（第1小题10分，第2小题15分，共25分）
九、 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点.
十、 设 {}0,1,2X =，试写出 X 上的所有拓扑.
十一、 四、证明题（每小题10分，共40分）
十二、 若 X 满足 1T 公理，则 X 中任一子集的导集都是闭集. 十三、 证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的. 十四、 证明至少有两个点的T 4空间的连通子集一定是不可数集.
十五、 证明 X 为Hausdorff 空间当且仅当 {(,)|}x x x X ∆=∈是 X X ⨯的闭集.
答案
一 、 选择题 1、A 2、D 3、D 4、C 5、B
二 、 是非题 1、ⅹ 2、ⅹ 3、√ 4、ⅹ 5、√
三 、 解答题 1. 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点.
解 例如 {}0,1X =， {},0,X τ=∅， {}{}01'=.
2. 设 {}0,1,2X =，试写出X 上的所有拓扑.
解 2个开集的共有1个：{Φ,{0,1,2}}, 3个开集的共有6个： {Φ,{0},{0,1,2}},{Φ,{1},{0,1,2}},{Φ,{2},{0,1,2}}，{Φ,{1,2},{0,1,2}},{Φ,{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0,2},{0,1,2}} 4个开集的共有9个：
{Φ,{0},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{0,2},{0,1,2}}，
{Φ,{1},{1,2},{0,1,2}}，{Φ,{1},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{2},{0,2},{0,1,2}}，{Φ,{2},{1,2},{0,1,2}}，{Φ,{0},{1},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{2},{0,2},{0,1,2}} {Φ,{1},{2},{1,2},{0,1,2}}
5个开集的共有6个：
{Φ,{0},{0,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{1},{1,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{2},{1,2},{0,2},{0,1,2}}
{Φ,{1},{2},{1,2},{0,1,2}}{Φ,{0},{1},{0,1},{0,1,2}} {Φ,{0},{2},{0,2},{0,1,2}}
6个开集的有6个：
{Φ,{0},{1},{0,2},{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0},{1},{1,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{1},{2},{1,2},{0,2},{0,1,2}},
{Φ,{1},{2},{1,2},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{2},{0,1},{0,2},{0,1,2}},{Φ,{0},{2},{1,2},{0,2},{0,1,2}} …
8个开集的有1个：{Φ,{0},{1},{2},{1,2},{0,2},{0,1},{0,1,2}} 因此共有1+6+9+6+6+1＝29个拓扑
四 、证明题 1. 若X 满足 1T 公理，则X 中任一子集的导集都是闭集. 证明 设 A X ⊂，只要验证 ()c A '是开集.
()c
x A '∀∈，则x 有开邻域U ，使得 {}()\U x A =∅，由 1T 公理知， {}\U x 是开集，从而 {}()\c U x A '⊂，于是 ()c U A '⊂；所以x 是 ()c A '的内点.
2. 证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的.
证明 设X 是从 2R 除去可数个点后所得到的空间, ,x y X ∀∈，若 x y ≠，设L 是线段xy 的中垂线，设 z L ∈,用 (,,)x y z 表示连接 ,,x y z 的折线, 由于这样的折线有不可数多条, 而 X 的余集 Y 是可数集, 所以至少有一条折线 (,,)x y z 不含 Y 中的点, 这表明X 是道路连通的.
3. 证明至少有两个点的 4T 空间的连通子集一定是不可数集. 证明 设X 是至少有两个点的连通的 4T 空间 Y 的子集，设 ,x y 是 X 中的两个不同点，令 {},{}A x B y ==，则 A 和 B 是子空间 X 中的两个非空不相交的闭集，故由乌里松引理知，存在连续函数 :[0,1]f X →使得， ()0,()1f x f y ==，又因 X 是连通的，故 ()f X 是 [0,1]中的连通集，而 0,1()f X ∈，因此 ()[0,1]f X =，于是 X 一定是不可数集.
4.证明 X 为Hausdorff 空间当且仅当 {(,)|}x x x X ∆=∈是 X X ⨯的闭集.
证明 （必要性）要证 ∆为闭集，只要证它的余集是开集。 (,),(,)c x y x y ∈∆为内点.由 (,)c x y ∈∆知，
x y ≠，因 X 为Hausdorff 空间知，存在 x 开邻域 U ， y 的开邻域 V ，使得 ,U V ⋂=∅于是 (,)c x y U V ∈⨯⊂∆，所以 (,)x y 为内点，这就证明了 ∆为闭集. （充分性）对 ,,x y x y ∀∈∆≠,由 ∆的定义知， (,)x y ∈∆，即由Δ为闭集知， c ∆为开集，于是存在开集 ,U V 使得 (,)c x y U V ∈⨯∆，由 c U V ⨯∆知， ,U V 为 ,x y 的不相交的邻域，这表明 X 为Hausdorff 空间.
