浙江省杭州地区（含周边）重点中学2021届高三上学期期中考试
数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合P ＝{}14x x <<，Q ＝{}02x x <<，则P
Q ＝
A ．
{}01x x <≤ B ．{}12x x << C ．{}24x x << D ．{}04x x <<
2．已知复数1i
i
z +=
（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．若实数x ，y 满足约束条件210
40
x y x y -+≤⎧⎨
+-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是
A ．(-∞，5]
B ．(-∞，7]
C ．[7，+∞)
D ．(-∞，+∞) 4．将函数()sin(2)6
f x x π
=+
向左至少平移多少个单位，使得到的图像关于y 轴对称
A ．12π
B ．6π
C ．3π
D ．2
π
5．函数sin(cos())y x =的部分图象大致为
6．已知正项等比数列{}n a 的公比不为1，n T 为其前n 项积，若20172021T T =，则2020
2021
ln ln a a ＝
A ．1：3
B ．3：1
C ．3：5
D ．5：3 7．已知a ，b ∈R ，则“a ＋b ＜0”是“0a a b b +<”的
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．已知a ∈R ，b ≠0，若x ＝b 是函数2
()()()f x x b x ax b =-++的极小值点，则实数b
的
取值范围为
A ．b ＜1且b ≠0
B ．b ＞1
C ．b ＜2且b ≠0
D ．b ＞2 9．在△ABC 中，点D 满足1
AD DB 3
=
且CD ⊥CB ，则当角A 最大时，cosA 的值为 A ．45
- B ．
35 C ．4
5
D
．34
10．已知函数2
2, 0
()(2)ln , 0
x
x f x a x x x x -⎧<⎪=⎨++>⎪⎩，若恰有3个互不相同的实数1x ，2x ，3x ，使得312222123
()
()()2f x f x f x x x x ===，则实数a 的取值范围为 A ．1e a >- B ．10e a -
<< C ．0a ≥ D ．0a ≥或1e
a =- 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．已知3
4a
=，2log 3b =，则ab ＝ ；4b ＝ ．
12．二项展开式52345012345(2)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则3a ＝ ；1a ＋3
a ＋5a ＝ ． 13．已知1tan 2θ=
，则tan()4
π
θ-＝ ；sin 2θ＝ ． 14．已知函数11, 0()sin(), 0
x x f x x x π⎧+-≤⎪=⎨>⎪⎩，则3
(())2f f ＝ ；
若
()f x 在x ∈(a ，32
)既有最大值又有最小值，则实数a 的取值范围为 ．
15．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝1，则2112y x y
++的最小值为 ． 16．若2(e 2e )(e e )e
0x
x
x
m x x ++-≤在x ∈(0，+∞)上恒成立，则实数m 的取值范围为
．
17．已知平面向量a ，b 满足23a a b =+=，则b a b ++的最大值为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）
已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，
b ，
c ，且a sinB cosA ＝0． （1）求角A 的大小；
（2）求2cosA ＋2cosB ＋cosC 的取值范围．
如图，三棱台ABC —DEF 中，∠ABC ＝90°，AC ＝2AB ＝2DF ，四边形ACFD 为等腰梯形，∠ACF ＝45°，平面ABED ⊥平面ACFD ．
（1）求证：AB ⊥CF ；
（2）求直线BD 与平面ABC 所成角的正弦值．
20．（本题满分15分）
已知数列1n n a ⎧⎫⎨
⎬-⎩⎭
的前n 项和为n ，数列{}n
b 满足11b =，1n n n b b a +-=，N n *
∈． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足22
n n n
a c
b =，N n *
∈，求满足12363
16
n c c c c ++++≤
的最大整数n ．
21．（本题满分15分）
如图，点A 为椭圆C 1：22
21x y +=的左顶点，过A 的直线l 1交抛物线C 2：2
2y px
=(p ＞0)于B ，C 两点，点C 是AB 的中点．
（1）若点A 在抛物线C 2的准线上，求抛物线C 2的标准方程；
（2）若直线l 2过点C ，且倾斜角和直线l 1的倾斜角互补，交椭圆C 1于M
，
N 两点，①证明：点C 的横坐标是定值，并求出该定值；②当△BMN 的面积最大时，求p 的值．
