3-1微分中值定理

区间(a, b)内可微,则 (a, b)，使
f (b) f (a) f ( )
证
ba 作辅助函数 g( x)
f (x)
f (b) f (a) x, ba
则 g(a) g(b) bf (a) af (b) , y
ba
g(x)满足Rolle定理的条件，则
故

4

1
1 2
,从而
4 (0,1).
例5 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x [1,1]
f ( x) 1 ( 1 ) 0,
1 x2
即 f ( x) 在 I 上是一个常数.
由推论1可得 :
推论2 如果函数f ( x), g( x)在区间I上恒有f ( x) g( x), 则在区间上f ( x) g( x) C
由拉格朗日中值定理可以推出:
推论3 如果函数f ( x)在区间I上恒有f ( x) k,(k 0) 则在区间上f ( x)是一次函数
1 x2
由推论得 f (x)=C, x [-1 , 1],
又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 ,
22
即C . 2
则
arcsin x arccos x .
2
例6 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
(2)Lagange定理精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
如果记b =x+x, a=x, 则 f (x x) f (x) f ( ) x . (3.5)

3[1]1微分中值定理及其应用3.2 微分中值定理及其应用教学目的：1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础；2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。

教学重点、难点：本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。

教学时数：2学时一、微分中值定理:1. Rolle中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导,且有.则«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».grange中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导,则«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数.推论2 函数和在区间I上可导且推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导.若存在,则右导数也存在,且有(证)但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得).Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 ) 由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数在闭区间上可导, 且( 证 )Th ( Darboux ) 设函数在区间上可导且. 若为介于与之间的任一实数, 则设对辅助函数, 应用系4的结果. ( 证 )3.Cauchy中值定理:Th 3 设函数和在闭区间上连续, 在开区间内可导, 和在内不同时为零, 又则在内至少存在一点使.证分析引出辅助函数. 验证在上满足Rolle定理的条件,必有, 因为否则就有.这与条件“和在内不同时为零”矛盾.Cauchy中值定理的几何意义.（二）中值定理的简单应用:1. Rolle中值定理的应用例1设函数在区间上连续,在内可导,且有.试证明: .提示：设«Skip Record If...»例2设函数«Skip Record If...»在区间上连续,在内可导,且«Skip Record If...».试证明:«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».例3设函数«Skip Record If...»在区间上连续,在内可导,对«Skip Record If...»,试证«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...»提示：设«Skip Record If...»例4 已知函数«Skip Record If...»具有二阶导数,且«Skip Record If...»试证在区间«Skip Record If...»内至少存在一点«Skip Record If...»例5 证明方程在内有实根.例6 证明方程在内有实根.练习设函数在区间«Skip Record If...»上连续,在«Skip Record If...»内可导,且«Skip Record If...»,试证明(1)«Skip Record If...»;(2) 对任意实数«Skip Record If...»,必存在«Skip Record If...».提示：(2)«Skip Record If...», «Skip Record If...»广义Rolle中值定理：设函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»可微，«Skip Record If...»存在且等于«Skip Record If...»，则存在«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».例7设函数在«Skip Record If...»上连续可微,«Skip Record If...»,证明存在一点«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...».练习设函数在«Skip Record If...»上可微,«Skip Record If...», 试证«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...».grange中值定理的应用例8 设是可微函数, 导函数«Skip Record If...»严格单调增加,若«Skip Record If...»,试证对一切«Skip Record If...»,有«Skip Record If...».(不得直接利用凸函数的性质)3.Cauchy中值定理的应用例1 设函数在区间上连续, 在内可导,«Skip Record If...»则«Skip Record If...».练习设函数在区间上连续, 在内可导,«Skip Record If...»则«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»(三).Jensen不等式及其应用:Jensen 不等式: 设在区间上恒有( 或, 则对上的任意个点, 有Jensen不等式:( 或,且等号当且仅当时成立.证令, 把表为点处具二阶Lagrange型余项的Taylor公式，仿前述定理的证明，注意即得所证.对具体的函数套用Jensen不等式的结果, 可以证明一些较复杂的不等式. 这种证明不等式的方法称为Jensen不等式法或凸函数法. 具体应用时, 往往还用到所选函数的严格单调性.例2证明: 对有不等式.例3证明均值不等式: 对, 有均值不等式.证先证不等式.取.在内严格上凸, 由Jensen不等式, 有. 由↗↗.对用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端.例4证明: 对, 有不等式. ( 平方根平均值 )例5设，证明.解取, 应用Jensen不等式.Jensen不等式在初等数学中的应用举例: 参阅荆昌汉文: “凸(凹)函数定理在不等式证明中的应用”,《数学通讯》1980.4. P39.例6在⊿中, 求证.解考虑函数在区间内凹, 由Jensen不等式, 有..例7 已知. 求证.解考虑函数, 在内严格上凸. 由Jensen不等式, 有..例8已知求证.( 留为作业 ) 解函数在内严格下凸. 由Jensen不等式, 有.。

在开区间 ( a , b ) 内至少存在一点 ，使得
F f((b b)) F f((a a))F f(( ))
(1.3)
15
弦的斜率 切线斜率
注意:
x F (t)

y

f (t)
dy f (t) d x F (t)
y
f (b)
f (a )
o F (a )F ( )
谢谢
可导，且 f (－ 1 ) = f ( 1 )，因此由罗尔定理知，
至少存在一点
使得
同理，至少存在一点
使得
7
同理，至少存在一点
使得
至少存在一点
使得
由于
是三次函数，方程 f(x)0是
的三次代数方程， 所以它最多有三个实根.
综上，方程 f(x)0恰有三个实根，分别在
区间( 1 ,1 )( ,1 ,2 )( ,2 ,3 )内.
2°结论(1.2)亦可写成： f ( b ) f ( a ) f ( ) b ( a )
3°结论(1.2)的几何意义 A(a, f(a))， B (b, f(b))
AB弦的斜率：
k f(b)f(a) ba
10
拉格朗日中值定理的几何意义：
如果连续曲线 y f ( x)的弧 AB上除端点外处处
A
o a 1
yf(x) B
D
2b x
当 f (a) ＝ f (b) 时: Rolle定理;
当 f (a) ≠ f (b) 时: Lagrange中值定理.
12
推论 2.1.1
若函数 在区间 I 上满足 则 在 I 上必为常数.
推论2.1.2 如果函数 f(x) 和 g(x)在区间 I上可导， 且 f(x)g(x), 则在区间 I上 f(x )g (x )C , 其中 C 为任意常数.

练习
P.64 7(2,7,8)
二、 0 , ,0 ,1 , 型未定式解法
0 0

1. 0 型
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 0 ( ), ( ) 的类型: . 0
1 1 步骤: 0 , 或 0 0 . 0 x 2e x . ( 0 ) 例7 求 xlim x x x ( e ) e e lim lim 解: 原式 lim 2 x ( x ) x 2 x x x 2 x

0 0
例12
解 原 式 lim 1 sin x lim (1 sin x).
x
x cos x 求 lim . x x
极限不存在
x

1
洛必达法则失效。
1 实际上 原 式 lim (1 cos x ) 1. x x
小结
洛必达法则
型
1 g 1 f f g 1 g 1 f
例
证明 cos x cos y x y
设 f ( t ) cos t
当x y时 f ( x ) 在 以x与y为 端 点 的 区 间 上 满足拉格朗日中值定的 理条件
证:
f ( x ) f ( y ) f ( )( x y ), ( 在x与y之 间)
cos x cos y sin ( x y ),
第三章 导数的应用
罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 函数之商 应用
0 及 0
型的极限
研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
§3.1 中值定理与洛必达法则
(一)中值定理