高中数学 第二章 基本初等函数Ⅰ章末专题整合课件 新人教A版必修1

• 一、阅读教材P50～52回答： ，
3
12
a12＝a4＝a 3 思考：
(1)结果的指数与被开方数的指数、根指数有什么关系？
由此可得：当根式的被开方数的指数被根指数整除时，
根式可以写成 a
的形式．
• (2)当根式的被开方数的指数不能被根指数 整除时，根式是否也可以写成分数指数幂 的形式？
• 答案： 可以
• 2．我们规定：
• (幂无3)意0的义 正分数指数．幂(其等中于a>00,0，的m负，分n∈数N指*数， 且n>1)
• 整(4数)规定了分分数数指数幂的意义以后，指数的 概念就从 推广到 ．
• (5)整数指数幂的运算性质，对于有理数指
数幂也同样am适·an用＝a的m＋有n(a>①0，m、n∈Q)
• 计算下列各式：
• [点评] 一般地，进行指数幂运算时，化 负指数为正指数，化根式为分数指数幂， 化小数为分数进行运算．
• 化简：
[分析] 注意分析各幂中指数间的相互关系，如－12＝－14 ×2，－1＝－14×4 等，从而能利用乘法公式进行运算．
• [解析] 原式
• 总结评述：对于这类问题，要仔细观察分 析指数的关系与变化，灵活地运用乘法公 式进行因式分解和变形.
• [例1] x取何值时，下列各式有意义？
• [分析] 根据根式与分数指数幂的意义解 题．
• [解析] (1)1－x≥0，∴x≤1. • (2)x－1≠0，∴x∈R且x≠1.
• x取何值时，下列各式有意义？
• [例2] 化简
• [分析] 利用分数指数幂的运算性质来化 简．
• 总结评述：根式与指数运算混合时，将 根式化为分数指数幂表示运算较为方 便．原式有根式时，最后结果一般应化为 根式．

是减函数
在第一象限内，当 α＞1 时，图象下 在第一象限内，图象
凸；当 0＜α＜1 时，图象上凸
都下凸
幂函数 y＝xα(α 为常数)
α＞0
α＜0
(1)α 是奇数时，幂函数为奇函数；α
是偶数时，幂函数是偶函数． 性
(2)幂函数的图象最多只能同时出现在 质
两个象限内，必出现在第一象限内，
一定不会出现在第四象限内
式子
常数
指数函数：y＝ax a 为底数
(a>0 且 a≠1)
幂函数：y＝xα α 为指数
名称 x
指数 底数
y 幂值 幂值
[典例 1] (1)下列函数： ①y＝x3； ②y＝12x； ③y＝4x2； ④y＝x5＋1； ⑤y＝(x－1)2； ⑥y＝x； ⑦y＝ax(a>1)．
其中幂函数的个数为 ( )
[练习 2]对于幂函数 y＝xα(α∈R)，当 α 取不同的正数时，在 区间[0,1]上，其图象是一簇美丽的曲线(如图所示)，设点 A(1,0)， B(0,1)，连接 AB，线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y＝xα，y＝xβ 的图象三等分，即 BM＝MN＝NA，则 αβ＝________.
答案：1 解析：过 M，N 分别作 x 轴、y 轴的垂线，则由题 意知，点 M 的坐标为13，32，点 N 的坐标为23，13，
2．在第一象限，作直线 x＝a(a>1)，它同各幂函数图象都相 交，若按交点从下到上的顺序，对应的幂指数有什么规律？
答案：幂指数按从小到大的顺序排列．
类型 1 幂函数的概念 [要点点击] 1.幂函数解析式的结构特征 (1)指数为常数． (2)底数是自变量． (3)幂 的系数为 1.
2．幂函数与指数函数的比较

(1)a>1时， f(x)>g(x)>0； (2)0<a<1时，
0<f(x)<g(x).
第三十二页，共46页。
已知偶函数 f(x)在 x∈[0，＋∞)上是增 函数，且 f12＝0，求不等式 f(logax)>0(a>0， 且 a≠1)的解集．
第三十三页，共46页。
解析： f(x)是偶函数，且 f(x)在[0，＋∞)上 递增，f12＝0， ∴f(x)在(－∞，0)上递减，f－12＝0， 则有 logax>12或 logax<－12. (1)当 a>1 时，logax>12或 logax<－12， 可得 x> a或 0<x< aa；
第二十六页，共46页。
而直线 y＝3－x 与 y＝x 垂直， ∴P，Q 两点关于直线 y＝x 对称． 又∵直线 y＝3－x 与 y＝x 交于点32，32， ∴α＋2 β＝32，即 α＋β＝3.故 α>β，且 α＋β＝3.
第二十七页，共46页。
关于 x 的方程 x＝loga(－x2＋2x＋a)(a>0，
第三十九页，共46页。
log2xx≥1， 解析： f(x)＝|log2x|＝log12x0＜x＜1， 结合图象知应选 A.
答案(dáàn)： A
第四十页，共46页。
5．设a＝lg e，b＝(lg e)2，c＝lg，则a，b，c的从 大到小的顺序(shùnxù)是
________>________>________.
第十四页，共46页。
因为 a>－1，所以 y＝(u＋1)2－2 在a，1a上是 增函数， 即 u＝1a时，y 最大．∴1a2＋2×1a－1＝14， 解得 a＝13. 综上所述，a＝3 或13.

如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法--场景法
解析 f(x)＝12x 在 x∈(－∞，0)上为减函数，g x＝log1 x 为偶函数， 2
x∈(0，＋∞)时g x＝log1 x 为减函数，所以在(－∞，0)上为增函数.
2
解析答案
1 2345
4.已知 P＝2－32，Q＝253，R＝123，则 P，Q，R 的大小关系是( B ) A.P＜Q＜R B.Q＜R＜P C.Q＜P＜R D.R＜Q＜P 解析 由函数 y＝x3 在 R 上是增函数知，253＜123，
跟踪训练3 函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1). (1)求函数f(x)的定义域； 解 要使函数有意义，则有1x＋－3x>>00， ， 解得－3<x<1，∴定义域为(－3,1).
解析答案
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值.
解 函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x ＋1)2＋4]. ∵－3<x<1，∴0<－(x＋1)2＋4≤4. ∵0<a<1，∴loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4.
解析答案
1
2.函数 y＝x3 的图象是( B )
1 2345
解析 ∵0＜13＜1.
1
∴在第一象限增且上凸，又 y＝x3 为奇函数，过(1,1)，故选B.

2
2
正解:同法二知
a
2
1
4
a 2
1, 2 a＞0,
所以
a a
1, 1. 2
所以-1≤a≤
1 2
.
故实数 a 的取值范围为[-1, 1 ]. 2
真题体验——真题引领·感悟提升
1.(2017·全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( A) (A)A∩B={x|x<0} (B)A∪B=R (C)A∪B={x|x>1} (D)A∩B=
四、幂函数、指数函数、对数函数的综合 【典例4】(1)若y=lg(x2+mx+1)的定义域为R,则实数m的取值范围是 (2)若函数y=lg(x2+2x+a2)的值域是R,则实数a的取值范围是
; .
解析:(1)把题中条件进行等价转化,即x2+mx+1>0在R上恒成立. 即Δ=m2-4<0,得-2<m<2. (2)y=lg(x2+2x+a2)的值域为R,即x2+2x+a2的值包含一切正数. 即Δ=4-4a2≥0,a2≤1,得-1≤a≤1. 答案:(1)(-2,2) (2)[-1,1]
递减;
1 mx
(2)证明:g(x)= 1 x , 1 x
设 x1,x2∈(-1,1),且 x1<x2,
则 x1+1>0,x2+1>0,x2-x1>0.
因为
g(x1)-g(x2)=
2 x2 x1 1 x11 x2
>0,
所以 g(x1)>g(x2),
所以函数 y=g(x)在区间(-1,1)上单调递减.

• 并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接 写成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时，才有ax＝N⇔x＝logaN.
〔跟踪练习1〕
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)42＝16；
(2)102＝100；
1
(3)42
＝2；
(4)log1 32＝－5. 2
(3)原式＝(alogab) logbc＝blogbc＝c.
• 『规律方法』 运用对数恒等式时注意事项 • (1)对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式： • ①它们是同底的；②指数中含有对数情势；③其值为对数的真数． • (2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．
〔跟踪练习3〕 求31＋log36－24＋log23＋103lg3＋(19)log34的值． [解析] 原式＝3·3 log36－24·2 log23＋(10lg3)3＋(3 log34)－2 ＝3×6－16×3＋33＋4－2 ＝18－48＋27＋116＝－4176.
• 3．对数与指数的关系
• 当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝____ln_N_______.
• 4．对数的基本性质 • (1)___零___和_负_数______没有对数．
• (2)loga1＝_0____(a＞0，且a≠1)． • (3)logaa＝_1____(a＞0，且a≠1)． • 5．对数恒等式
B．log1 9＝－2 3
C．log1 (－2)＝9 3
D．log9(－2)＝13
[解析] 将(13)－2＝9写成对数式为log13 9＝－2，故选B．
• 4．若log2(log3x)＝0，则x＝_3____. • [解析] 由题意得log3x＝1，∴x＝3.

自主学习
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
思考 (1)任意一次函数和二次函数都是幂函数吗？若函数y＝mxα是幂函
数，m应满足什么条件？
答 并不是所有一次函数和二次函数都是幂函数，只有其中的y＝x和y＝
x2是幂函数.若y＝mxα是幂函数，则必有m＝1.m2－m－1) xm22m3 ，当 x∈(0，＋∞)时为减函数，
求实数 m 的值，并求函数的定义域.
解 因为 y＝(m2－m－1) xm2 2m3 为幂函数，
所以m2－m－1＝1，即(m－2)(m＋1)＝0，
所以m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减
重点突破
解析答案
(2)已知函数f(x)＝(a2－3a＋3)x a2－5a＋5 (a为常数)为幂函数，且在(0，＋∞)
上单调递减，求实数a的值.
解 ∵f(x)为幂函数，∴a2－3a＋3＝1，
得a＝1或a＝2.
当a＝1时，f(x)＝x，在(0，＋∞)上单调递增，不合题意.
当a＝2时，f(x)＝x－1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意.
偶函数；若 q 为偶数，则 y＝xn 为非奇非偶函数.
反思与感 悟
解析答案
5
跟踪训练 4 函数 y＝x 9 在[－1,1]上是( ) A.增函数且是奇函数 B.增函数且是偶函数 C.减函数且是奇函数 D.减函数且是偶函数
解析答案
易错点 忽略幂函数定义致误
1
例 5 函数 y＝(a2＋1) x1a2 是幂函数，求 a 的取值范围. 错解 根据幂函数的定义y＝xα，α为常数， 知指数1－1a2有意义，有 1－a2≠0，即 a≠±1， 所以a的取值范围是{a|a≠±1}. 正解 根据幂函数的定义y＝xα，α为常数， 知a2＋1＝1，即a＝0， 此时指数1－1 a2有意义， 所以a的取值范围为{0}.

m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数， 当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合题意. ∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.
明目标、知重点
解析答案
题型二 幂函数的图象
例2 如图所示，图中的曲线是幂函数 y＝xn 在
1 第一象限的图象，已知 n 取± 2，± 2四个值，则 相应于 c1，c2，c3，c4 的 n 依次为(
反思与感悟 1.幂函数的特点：系数为1，底数为自变量，指数为常数.
2.当α>0时，幂函数在第一象限内单调递增；当α<0时，幂函数在第一象 限内单调递减.
明目标、知重点
反思与感
解析答案
跟踪训练1 函数f(x)＝(m2－m－1)x m2＋m－3 是幂函数，且当x∈(0，＋∞) 时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式. 解 根据幂函数定义得，
大”，有0＜m＜1，n＜－1.
方法二 根据幂函数图象增减性知m>0，n<0，由x ＝ 1 右侧指数逆时针增大，知 n< － 1 ，由图象上凸 知0<m<1，故选B.
明目标、知重点
解析答案
题型三 比较幂的大小
例3 比较下列各组数的大小.
(1)3
5 2
和 3.1

5 2
；
5 2
解 函数 y＝x
解
3 3－4＝(32)－2＝9－2，函数 y＝x－2 在(0，＋∞)上为减函数，又4<9，
3 －2 －2 3 －2 －4 所以(4) >9 ，即(4) >3 .
1 (4)(－3)－3 和 2 .
解 1 －3 1 －3 5 5 因为(－3) <0，2 >0，所以(－3) <2 .