第一章 第3讲(时间：45分钟 分值：100分)一、选择题1. [2019·石家庄模拟]已知命题p ：∃x 0∈R,2x 0＝1，则綈p 是( )A. ∀x ∈R,2x ≠1B. ∀x ∉R,2x ≠1C. ∃x 0∈R,2x 0≠1D. ∃x 0∉R,2x 0≠1答案：A解析：∵命题p ：∃x 0∈R,2x 0＝1.∴綈p ：∀x ∈R,2x ≠1，故应选A.2. [2019·咸阳模考]命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A. 所有不能被2整除的整数都是偶数B. 所有能被2整除的整数都不是偶数C. 存在一个不能被2整除的整数是偶数D. 存在一个能被2整除的整数不是偶数答案：D解析：否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，故选D.3. [2019·湖南长沙一中月考]已知命题p ：“x ∈R ，x 2＋1>0”；命题q ：“x ∈R ，sin x ＝2”则下列判断正确的是( )A. p ∨q 为真命题，綈p 为真命题B. p ∨q 为真命题，綈p 为假命题C. p ∧q 为真命题，綈p 为真命题D. p ∧q 为真命题，綈p 为假命题答案：B解析：容易判断p 真q 假，所以p ∨q 为真命题，綈p 为假命题，故选B.4. 下列命题是真命题的有( )①p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0； ②q ：所有的正方形都是矩形；③r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；④s ：至少有一个实数x ，使x 2＋1＝0.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：B解析：x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，故①是真命题；x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1>0，故③是假命题；易知②是真命题，④是假命题．5. 已知命题：p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数；p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是()A. q1，q3B. q2，q3C. q1，q4D. q2，q4答案：C解析：∵y＝2x在R上是增函数，y＝2－x在R上是减函数，∴y＝2x－2－x在R上是增函数，p1为真，p2为假，故q1：p1∨p2为真，q2：p1∧p2为假，q3：(綈p1)∨p2为假，q4∶p1∧(綈p2)为真，故真命题是q1，q4.选C.6. [2019·佛山月考]下列命题错误的是()A. “x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件B. 命题“x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x＝1，则x2－3x＋2≠0”C. 对命题“对任意k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是“∃k>0，方程x2＋x－k ＝0无实根”D. 若命题p：x∈A∪B，则綈p：x∉A且x∉B答案：B解析：命题“x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．二、填空题7. 条件p：|x|>1，条件q：x<－2，则綈p是綈q的________条件．答案：充分不必要解析：由|x|>1得x<－1或x>1，则綈p为－1≤x≤1，綈q为x≥－2，则綈p是綈q的充分不必要条件．8. [2019·西安模拟]若命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．答案：－22≤a≤2 2解析：因为“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9<0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a≤2 2.9. [2019·金版原创]已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x>1，若(綈q )且p 为真，则x 的取值范围是________．答案：(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析：因为綈q 且p 为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，即2<x <3，所以q 假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧ x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或 1<x ≤2或x <－3，所以x 的取值范围是x ≥3或1<x ≤2或x <－3.故填(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．三、解答题10. 用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，并判断真假．(1)所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0恰有唯一解；(2)存在实数x 0，使得1x 20－2x 0＋3＝34. 解：(1)∀a ∈R ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有唯一解．假命题．∵a ＝0，b ＝1时无解．(2)∃x 0∈R ，使得1x 20－2x 0＋3＝34.假命题． ∵x 20－2x 0＋3＝(x 0－1)2＋2≥2，∴1(x 0－1)2＋2≤12. ∴不存在x 0∈R ，使得1x 20－2x 0＋3＝34. 11. [2019·东城月考]已知命题P ：函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增；命题Q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立．若P ∨Q 是真命题，求实数a 的取值范围．解：命题P 函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增；∴0<a <1.又∵命题Q 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立；∴a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，即－2<a ≤2.∵P ∨Q 是真命题，∴a 的取值范围是－2<a ≤2.12. [2019·桂林模拟]已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根，命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．解：由已知得：p ，q 中有且仅有一个为真，一个为假．命题p 为真⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x 1＋x 2＝－m <0，x 1x 2＝1>0⇒m >2.命题q 为真⇔Δ<0⇒1<m <3.(1)若p 假q 真，则⎩⎨⎧ m ≤2，1<m <3⇒1<m ≤2； (2)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3⇒m ≥3. 综上所述：m ∈(1,2]∪[3，＋∞)．。
第2章 第2节一、选择题1. 若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A. 增函数B. 减函数C. 先增后减D. 先减后增答案：B4)，∵e>1，∴函数f (x )的单调减区间为[32，4)．4. (2010·安庆一模)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ， x <0，a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a的取值范围是( )A. (0,1)B. [13，1) C. (0，13]D. (0，23]答案：B解析：据单调性定义，f (x )为减函数应满足：⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a 0，即13≤a <1.在(1,2)上是减函数且f (x )>0，故选D.二、填空题7. 函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．答案：[0，32]解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x (x >0)，x 2－3x (x ≤0).作出该函数的图象，观察图象知递增区间为[0，32]．8. 若在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，则f (x )在该区间上的最大值是________．答案：3∵区间(m,2m ＋1)中2m ＋1>m ，∴m >－1. 综上，－1<m ≤0. 三、解答题10. (2010·青岛调研)已知f (x )＝x x －a (x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．(1)证明：任设x1<x2<－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2(x1－x2) (x1＋2)(x2＋2).∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，(2)令h(t)＝s(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m.由h′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(舍去)．则有∴h (t )在(0,2)内有最大值1－m ，∴s (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)时恒成立等价于h (t )<0恒成立，即1－m <0，∴m >1.12. (2010·广东一模)定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界．已知函数f (x )＝1－m ·2xx. 化简得：⎩⎪⎨⎪⎧m ·2x ＋2＋21＋m ·2x≥0，m ·2x ＋1＋41＋m ·2x≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <－12x 或m ≥－12x ＋1，m ≤－22x或m >－12x.上面不等式组对一切x ∈[0,1]都成立，故⎨⎧m <－1或m ≥－14，－1，∴m ≤－2或m ≥－14.。
