高三数学第二章 极限复习(理)人教版知识精讲.doc

高三数学第二章 极限复习（理）人教版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

第二章 极限复习

二. 教学重、难点：

最值连续函数在闭区间上的连续求函数极限函数极限的四则运算函数极限数列极限的四则运算数列极限极限证明不等式证明数列问题证明几何问题证明整除性问题证明恒等式教学归纳法;_______________

【典型例题】

[例1] 已知}{na、}{nb的极限存在且满足：8)52(limnnnba，2)(limnnnba，求)23(limnnnba。

解：设)()52(23nnnnnnbaybaxbannbyxayx)5()2(

∴

2532yxyx 解得75x，711y

∴ 7622711875)23(limnnnba

[例2] 设)(xf是一个三次函数，61)(lim1xxfx，232)(lim2xxfx，求3)(lim3xxfx的值。

解：由题意知：))(2)(1()(axxxmxf

由61)(lim1xxfx，得6)1(3ma ①

由232)(lim2xxfx，得23)2(3am ②

①②联立得3a，21m ∴ )3)(2)(1(21)(xxxxf

2)2)(1(21lim3)(lim33xxxxfxx

[例3] 设11)(22xxxxxf分别求)(limxfx，)(limxfx的值。)(limxfx存在吗？

解： ∵ 11)(22xxxxxf11112222xxxxxxxx

11222xxxxx

∴

112lim)(lim22xxxxxxfxx112lim222xxxxxx

11121111112lim22xxxxx

∴

112lim)(lim222xxxxxxfxx221111112limxxxxx

1112

∵ )(lim)(limxfxfxx ∴ )(limxfx不存在

[例4] 设)1(3)1()(xxxxxf，)1(12)1()(3xxxxxg，讨论)]([xgf的连续区间。

解：当1x时，13x ∴ 3)]([xxgf

当1x时，112x ∴ 22)12(3)]([xxxgf

∴ 解析式为)1(22)1()]([3xxxxxgf且1)]([lim1xgfx，4)]([lim1xgfx

)]([lim1xgfx不存在 ∴ 连续区间为),1()1,(

[例5] 用数学归纳法证明17)13(nn能够被9整除)(*Nn。

解：（1）当1n时，27174被9整除

（2）假设)1(kkn时，17)13(kk能被9整除，则当1kn时，

17)43(717]1)1(3[1kkkk17277187)13(kkkkk

)32(79]17)13[(kkkk

以上两项均能被9整除，故当1kn时命题也成立

由（1）和（2）知，对任意*Nn命题成立

[例6] 已知数列}{na中，211a，nnanS2)(*Nn，（1）求432,,aaa的值；（2）推测}{na的通项公式，并用数学归纳法证明所得结论。

解：（1）211a，22124aaaS ∴ 612a

332139aaaaS ∴ 612183a ∴ 1213a 44321416aaaaaS ∴ 129154a ∴ 2014a

（2）由211211a，321612a，4311213a，5412014a

猜想)1(1nnan，下面用数学归纳法证明

① 当1n时，结论成立

② 假设)1(kkn时，结论成立

即)1(1kkak且有kkakaa21

当1kn时，12121)1(kkkakaaaa

1212)1(kkkakaak

∴ kkakka1)1(221)1(11)1(22kkkk

)1()2(2kkkkk)2)(1(1kk

∴ 1kn时，结论成立

由①②知，结论对*Nn都成立

[例7] 求)1()1)(1)(1(lim242naaaan )10(a

解：方法一：∵ )1()1)(1)(1(242naaaa12211naaa

aan1112 )10(a

∴ )1()1)(1)(1(lim242naaaanaaann1111lim12

方法二：)1()1)(1)(1(lim242naaaan

aaaaaann1)1()1)(1)(1)(1(lim242

aaann1111lim12

[例8] 设数列}{na满足21a，nnnaaa11 ),3,2,1(n

（1）证明：12nan对一切正整数n成立；

（2）令),3,2,1(nnabnn判断nb与1nb的大小，并说明理由。

证：（1）① 当1n时，11221a ∴ 成立

② 假设kn时，12kak成立 当1kn时，1)1(21322122221kakaaakkkk

∴ 1kn时，1)1(21kak成立

∴ 由①②知，12nan对一切正整数成立

（2）1)12()1(21)1211(1)11(1211nnnnnnnnnananabbnnnnn

12141)21(12)1(22nnnnn ∴ nnbb1

【模拟试题】（答题时间：20分钟）

一. 选择题

1. nnn1111lim（ ）

A. 1 B. 21 C. 0 D. 1

2. 下列极限为1的是（ ）

A. 99999.0lim个nn B. nnn)9999.0()1(lim

C. 123234lim22nnnnn D. )11(lim2nnenn

3. 若9)21(x展开式的第3项为288，则)111(lim2nnxxx的值是（ ）

A. 2 B. 1 C. 21 D. 52

4. 设2222423)(2xaxxxxxf在2x处连续，则a的值为（ ）

A. 21 B. 41 C. 41 D. 31

5. nnnnnnCCC41lim221202的值是（ ）

A. 0 B. 41 C. 21 D. 1

6. xxn32cos1sin2lim的值是（ ）

A. 1 B. 3 C. 34 D. 2 7. 11)12(4321lim22nnnn（ ）

A. 21 B. 3 C. 31 D. 41

8. 下列各函数中，在1x处不连续的是（ ）

A. 2cos1)(xxxf B.

13111)(3xxxxxf

C.

1111)1()(0xxxxf D. )2cot()(xxf

二. 解答题：

1. 已知等差数列前三项为aa3,4,，前n项和为nS，2550kS，（1）求a及k的值；（2）求)111(lim21nnSSS。

2. 设函数)0(lg)0(0)0(2)(xxxxxfx；)(xf在0x处是否有极限？

3. 已知数列}{na满足10a，)10,(1*1PNnaPann。

（1）求证：01naP（*Nn）

（2）求321aaa、、，猜想通项公式na，并用数学归纳法证明。

试题答案

一.

1. B 2. A 3. A 4. C 5. D 6. C 7. A 8. C

二.

1. 解：

（1）由已知：aa1，42a，aa33及2312aaa，所以423aa，所以2a，公差22412aad。

由dkkakSk2)1(1，得255022)1(2kkk，所以025502kk，解得k50或51k（舍去），所以50,2ka。

（2）由dnnnaSn2)1(1，得)1(nnSn，

所以)1(132121111121nnSSSn

111)111()3121()211(nnn

所以1)111(lim)111(lim21nSSSnnn

2. 解：当0x时，xxf2)(，所以12lim)(lim00xxxxf；当0x时，xxflg)(，所以xxfxxlglim)(lim00不存在，所以)(xf在0x处没有极限。

3.

（1）证明：① 因为10a，所以1101PaPa，又因为10P，所以011P，且11P，所以0111aP，故1n时不等式成立

② 假设kn时，不等式成立，即01kaP，则Pak10，所以kaP01，011kaP，所以0111kaP，所以1kn时不等式也成立，由①、②知对一切*Nn，01naP成立。

（2）解：由（1）知0na，11nnPaa计算得11Pa，122PPa，1233PPPa，猜想：PPann1)(11（*Nn）下面用数学归纳法证明，①

1n时，11121PPPa等式成立；② 假设kn时，等式成立，即11)(1PPakk，即kn1时，11)(111)(1211PPPPPPaankkk，所以1kn时等式也成立，由①、②知，对于一切*Nn，等式都成立。