§21.5_二元二次方程和方程组

沪教版初中数学目录八年级数学第一册第十六章二次根式第1节二次根式的概念和性质16.1 二次根式16.2 最简二次根式和同类二次根式第2节二次根式的运算16.3 二次根式的运算第十七章一元二次方程第1节一元二次方程的概念17.1 一元二次方程的概念第2节一元二次方程的解法17.2 一元二次方程的解法17.3 一元二次方程根的判别式第3节一元二次方程的应用17.4 一元二次方程的应用第十八章正比例函数和反比例函数第1节正比例函数18.1函数的概念18.2 正比例函数第2节反比例函数18.3 反比例函数第3节函数的表示法18.4 函数的表示法第十九章几何证明第1节几何证明19.1 命题和证明19.2 证明距离第2节线段的垂直平分与角的平分线19.3 逆命题和逆定理19.4 线段的垂直平分线19.5 角的平分线19.6 轨迹第3节直角三角形19.7 直角三角形全等的判定19.8 直角三角形的性质19.9 勾股定理19.10 两点的距离公式八年级第二册第二十章一次函数第1节一次函数的概念20.1 一次函数的概念第2节一次函数的图像与性质20.2 一次函数的图像20.3 一次函数的性质第3节一次函数的应用20.4 一次函数的应用第二一章代数方程第2节整式方程21.1 一元整式方程21.2 特殊的高次方程的解法第2节分式方程21.3 可化为一元二次方程的分式方程第3节无理方程21.4 无理方程第4节二元二次方程组21.5 二元二次方程和方程组21.6 二元二次方程组的解法第5节列方程（组）解应用题21.7列方程（组）解应用题第二十二章四边形第1节多边形22.1 多边形第2节平行四边形22.2 平行四边形22.3 特殊的平行四边形第3节梯形22.4 梯形22.5等腰梯形22.6 三角形、梯形的中位线第4节平面向量积及其加减运算22.7 平面向量22.8 平面向量的加法22.9 平面向量的减法第二十三章概率初步第1节事件及其发生的可能性23.1确定事件和随机事件23.2 事件发生的可能性第2节事件的概率23.3事件的概率23.4 概率计算举例。

第二章二元二次函数、方程和不等式本章主要介绍二元二次函数、方程和不等式的基本性质和解法。

二元二次函数二元二次函数是由两个变量的二次函数构成的，其一般形式为：$f(x, y) = ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f$，其中$a, b, c, d, e, f$为常数。

二元二次函数的图像通常为二次曲线，例如椭圆、双曲线和抛物线。

它们可以描述二维空间中的各种现象和关系。

二元二次方程二元二次方程是由两个变量的二次方程构成的，一般形式为：$ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0$，其中$a, b, c, d, e, f$为已知常数，$x$和$y$为未知变量。

求解二元二次方程可以采用配方法、提公因式法、三角函数法等多种方法。

通过求解方程，我们可以找到方程的解集，进一步研究问题的解和特性。

二元二次不等式二元二次不等式是由两个变量的二次不等式构成的，其一般形式为：$ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f > 0$（或$<$、$\ge$、$\le$等），其中$a, b, c, d, e, f$为已知常数，$x$和$y$为未知变量。

解二元二次不等式的方法与解方程类似，通过找到不等式的解集，可以确定不等式的满足条件以及在二维平面上的区域。

总结在本章中，我们介绍了二元二次函数、方程和不等式的基本概念和解法。

二元二次函数和方程可以用来描述二维空间中的各种现象和关系，而不等式则可以用来表示不同条件下的区域。

对于二元二次函数、方程和不等式的解法，我们可以根据具体情况选择不同的方法和策略。

通过深入学习和应用这些知识，我们能够更好地理解和解决相关问题。

知识梳理二元二次方程组的含义：二元二次方程组是指由两个未知数构成，且未知数的最高次数至少有一个为二次的方程组.其一般形式可以表示为：{a1x2+b1xy+c1y2+d1x+e1y+f1=0a2x2+b2xy+c2y2+d2x+e2y+f2=0.其中，a i,b i,c i,d i,e i,f i(i=1,2)为常数，且a1,b1,c1或a2,b2,c2不同时为零.二元二次方程组的求解思想：二元二次方程组的求解思想主要是“消元”与“降次”.消元，即通过一定的方法减少未知数的个数.例如，可以利用代入消元法或加减消元法，将两个未知数中的一个用另一个表示，从而将方程组转化为只含有一个未知数的方程.降次，是指降低方程中未知数的次数.通过对方程进行变形、因式分解、配方等操作，将二次方程转化为一次方程来求解.二元二次方程组的求解原理：二元二次方程组的求解原理主要基于等量代换和方程变形.通过对其中一个方程进行变形，用一个未知数表示另一个未知数，然后将其代入另一个方程，实现消元，把二元转化为一元.对于二次方程，利用配方法、因式分解等手段将其变形为乘积形式，从而降低方程的次数，达到求解的目的.其本质是利用数学的恒等变形和等量关系，逐步简化方程组，求出未知数的值，使得方程组中的两个方程同时成立.二元二次方程组的求解方法及步骤：1.代入消元法代入消元法是解决二元二次方程组的基本方法之一。

其基本思想是将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，然后代入另一个方程中，从而消去一个未知数，得到一个一元二次方程，先求出一个未知数再代回原式进而求出另一个未知数。

2.加减消元法加减消元法也是解决二元二次方程组的基本方法之一。

其基本思想是通过将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，先求出一个未知数再代回原式进而求出另一个未知数。

3.因式分解法因式分解法是解决二元二次方程组的一种特殊方法。

其基本思想是将方程组中的两个方程进行因式分解，然后将因式分解后的式子相乘，得到一个一元二次方程，先求出一个未知数再求出另一个未知数。

二元二次方程组的解法一般的二元二次方程组如上，很不好解。

所以中学数学课本里只介绍了很简单的几个例题，并没有给出一般解法，使人总感觉遗憾。

我综合了几种资料中的介绍，总算是得到一套完整的解法，特此奉献给大家。

其中资料1 是我最先接触到的，但有的疑问并没有解开，后来参考另几种资料，方得明白。

在开始下面内容以前，先说明一下，二元二次方程组一般由两个方程组成，其中之一如果是一次的，或者是一元的，则利用代入法即可求解，这也就是中学课本里讲过的。

因此下面只针对两个方程都是二元二次方程的情况。

下面谈谈我们的思路：如果其中一个方程的式子能分解成两个一次式的乘积，只要把这两个一次式方程分别和另外一个方程联立，当然也就成功了。

如果不行呢？我们可以利用恒等变换，得到一个含参数的新方程(3)，进而求解（下面的和即是方程(3)左边分解后得到的两个一次式）：因此，我们的任务包括：得到合适的值，对二元二次多项式进行分解。

幸运的是，这两方面都有公式。

一、二元二次多项式能分解的条件一个一般的二元二次多项式（注意交叉项和一次项系数前有个）能分解的充分必要条件是：以上结论的证明参见资料2（原文给出的行列式有误，对照其后的展开式可知正确表达式）。

我们只要把含的方程(3)各项系数带入上面的行列式，就可以求出合适的值。

可以看出，这个关于的行列式方程最高是三次的，大不了可以利用三次方程求根公式求出。

二、二元二次多项式分解的方法有了合适的，仅能保证(3)式能够分解，但是如何分解呢？以下给出一种方法——取零法（见资料3）：对可分解的二元二次多项式，先忽略掉所有含的项，包括交叉项、的二次项和一次项，对剩余的项进行分解，得到再忽略掉所有含的项，对剩余的项进行分解，得到两式综合在一起（注意两个式子里的常数项是对应的），即原式可分解为此法简单有效。

而其中道理也很简单，把上面几个式子分别展开然后对比系数就可以，只是要注意必须先确定原式能分解才行。

资料4 中介绍了二元二次多项式因式分解的公式法，比较复杂，这里就不介绍了。