电工教案

第四章 正弦交流电路的基本概念和基本定律

第一节 正弦量

在生产和生活中使用的电能，几乎都是交流电能，即使是电解、电

镀、电讯等行业需要直流供电，大多数也是将交流电能通过整流装置变

成直流电能。在日常生产和生活中所用的交流电，一般都是指正弦交流

电。因为交流电能够方便地用变压器改变电压，用高压输电，可将电能

输送很远，而且损耗小；交流电机比直流电机构造简单，造价便宜，运

行可靠。所以，现在发电厂所发的都是交流电，工农业生产和日常生活

中广泛应用的也是交流电。

交流电与直流电的区别在于：直流电的方向、大小不随时间变化；

而交流电的方向、大小都随时间作周期性的变化，并且在一周期内的平

均值为零。图示为直流电和交流电的电波波形。

直流电和交流电的电波波形图

正弦电压和电流等物理量，常统称为正弦量。正弦量的特征表现在

变化的快慢、大小及初始值三个方面，而它们分别由频率（或周期）、

幅值（或有效值）和初相位来确定。所以频率、幅值和初相位就称为确

定正弦量的三要素。

正弦交流电的基本特征和三要素

下面以电流为例介绍正弦量的基本特征。依据正弦量的概念，设某

支路中正弦电流i在选定参考方向下的瞬时值表达式为

1．瞬时值、最大值和有效值

正弦交流电随时间按正弦规律变化，某时刻的数值不一定和其它时

刻的数值相同。我们把任意时刻正弦交流电的数值称为瞬时值，用小写

字母表示，如i、u及e表示电流、电压及电动势的瞬时值。瞬时值有

正、有负，也可能为零。

最大的瞬时值称为最大值（也叫幅值、峰值）。用带下标的小写字

母表示。如Im、Um及Em分别表示电流、电压及电动势的最大值。最大

值虽然有正有负，但习惯上最大值都以绝对值表示。

正弦电流、电压和电动势的大小往往不是用它们的幅值，而是常用

有效值来计量的。某一个周期电流i通过电阻R在一个周期T内产生的热

量，和另一个直流电流通过同样大小的电阻在相等的时间内产生的热量

相等，那么这个周期性变化的电流i的有效值在数值上就等于这个直流I

。规定，有效值都用大写字母表示，和表示直流的字母一样。

周期电流的有效值

当周期电流为正弦量时，可得

正弦电压和正弦电动势可得

一般所讲的正弦电压或电流的大小，例如交流电压380V或者220V，

都是指它的有效值。一般交流电流表和电压表的刻度也是根据有效值来

定的。

例1 已知某交流电压为

V，这个交流电压的最大值和有效值分别为多少？

解：最大值

有效值

2．频率与周期

正弦量变化一次所需的时间（秒）称为周期T。每秒内变化的次数称

为频率f，它的单位是赫兹（Hz）。

正弦电流波形图

频率是周期的倒数，即

在我国和大多数国家都采用50Hz作为电力标准频率，有些国家（如

美国、日本等）采用60Hz。这种频率在工业上应用广泛，习惯上称为工频。通常的交流电动机和照明负载都用这种频率。

正弦量变化的快慢除用周期和频率表示外，还可用角频率ω来表

示，它的单位是弧度/秒（rad/s）。角频率是指交流电在1秒钟内变化的

电角度。如果交流电在1秒钟内变化了1次，则电角度正好变化了2π弧

度，也就是说该交流电的角频率ω=2π弧度/秒。若交流电1秒钟内变化了

f次，则可得角频率与频率的关系式为

上式表示T，f，ω三个物理量之间的关系，只要知道其中之一，则其

余均可求出。

例2 已知某正弦交流电压为

，求该电压的最大值、频率、角频率和周期各为多少？解：由题可知：

3．初相

称为正弦量的相位角或相位，它反映出正弦量变化的进程。当相位

角随时间连续变化时，正弦量的瞬时值随之作连续变化。

t=0时的相位角称为初相位角或初相位。

就是这个电流的初相。规定初相的绝对值不能超过π。

在一个正弦交流电路中，电压u和电流i的频率是相同的，但初相不

一定相同，如图所示。图中u和i的波形可用下式表示它们的初相位分别为

和。

u和i的相位不相等两个同频率正弦量的相位角之差或初相位角之差，称为相位差，用

表示。图中电压u和电流i的相位差为

当两个同频率同正弦量的计时起点改变时，它们的相位和初相位即

跟着改变，但是两者之间的相位差仍保持不变。

由图正弦波形可见，因为u和i的初相位不同，所以它们的变化步调是不一致的，即不是同时到达正的幅值或零值。图中，＞

，所以u较i先到达正的幅值。这时我们说，在相位上u比i超前

角，或者说i比u滞后

角。

初相相等的两个正弦量，它们的相位差为零，这样的两个正弦量叫

做同相。同相的两个正弦量同时到达零值，同时到达最大值，步调一致。如图中的i1和i2。相位差为

的两个正弦量叫做反相。如图中的i1和i3。

由波形图可以看出，正弦量的最大值（有效值）反映正弦量的大

小，角频率（频率、周期）反映正弦量变化的快慢，初相角反映分析正

弦量的初始位置。因此，当正弦交流电的最大值（有效值）、角频率

（频率、周期）和初相角确定时，正弦交流电才能被确定。也就是说这

三个量是正弦交流电必不可少的要素，所以我们称其为正弦交流电的三

要素。只有这三个要素确定之后，才能确定正弦量。

例3 已知某正弦电压在

时为110

V，初相角为

，求其有效值。解：此正弦电压表达式为当时，

所以 其有效值为

第二节 正弦量的相量表示法在上一节中我们已经看到，正弦量可以用解析式来表示，如、

，还可以用波形图表示。

此外，正弦量还可以用相量来表示。相量表示法的基础是复数，就

是用复数来表示正弦量。

一、复数

1．复数的实部、虚部和模

叫虚单位，数学上用i来代表它，因为在电工中i代表电流，所以改用

j代表虚单位，即j

有向线段的复数表示

令一直角坐标系的横轴表示复数的实部，称为实轴，以+1为单位；

纵轴表示虚部，称为虚轴，以+j为单位。实轴与虚轴构成的平面称为复平面。复平面中有一有向线段A，其实部为a，其虚部为b，如图所示，于是有向线段A可用下面的复数表示为

A=a+jb 由图可见，

表示复数的大小，称为复数的模。有向线段与实轴正方向间的夹角，称为复数的幅角，用表示，规定幅角的绝对值小于

。

2．复数的表达方式

因为 和

所以该式称为复数的直角坐标式。

此式还可以写为

该式称复数的指数形式。在工程上常常写为

该式称为复数的极坐标形式。

因此，一个复数可用上述几种复数式来表示，可以相互转换。复数

的加减运算可用直角坐标式，复数的乘除运算可用指数式或极坐标式。实数和虚数可以看成复数的特例：实数是虚部为零、幅角为零或

的复数，虚数是实部为零、幅角为或

的复数。

实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数。用A*表

示A的共轭复数，则有 A=a+jb

A*=a-jb

例4 写出下列复数的直角坐标形式

（1）

（2）

（3）

（4）22

解：（1）=5cos+j5sin

=3.35+j3.72

（2）=cos+jsin

=j

（3）=5.5cos(-)+ j5.5sin(-

)=-j5.5

（4）22=22cos+22sin

=-22

例5 写出下列复数的极坐标形式

（1）3+j4 （2）j5 （3）-4+j3 （4）10

解：（1） =

所以 3+j4=

（2）

所以 j5=

（3） =所以 -4+j3=

（4）

所以 10=10

二、复数的运算

　1．复数的加减

若两个复数相加减，可用直角坐标式进行。

如： A1=a1+jb1 A2=a2+jb2则 A1±A2=（a1+jb1）±（a2+jb2）=（a1±a2）+j（b1±b2）

即几个复数相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加减。

复数与复平面上的有向线段（矢量）对应，复数的加减与表示复数

的有向线段（矢量）的加减相对应，并且复平面上矢量的加减可用对应

的复数相加减来计算。见图，矢量A1、A2各与复

数A1=a1+jb1、A2=a2+jb2相对应，把两个矢量按平行四边形法则相加，

所得的矢量A1+A2与两个复数之和A1+A2=（a1+a2）+j（b1+b2）相对应。

按A1-A2= A1+（-A2），把矢量A1和（-A2）用平行四边形法则相加，所

得的矢量A1-A2与两个复数之差A1-A2=（a1-a2）+j（b1-b2）相对应。

矢量和与矢量差

2．复数的乘除

两个复数进行乘除运算时，可将其化为指数式或极坐标式来进行。

如 A1=a1+jb1=

A2=a2+jb2 =

则 A1·A2=·

=r1·r2

(4.17)如将复数

乘以另一个复数

，则得

A2=r

=r即复数A2的大小仍为r，但幅角变为

，可见一个复数乘上模为1、幅角为的复数，就相当于将原复数所对应的矢量逆时针旋转了

角，就是矢量A2比矢量A1超前了

角。同理，如以除复数

，则得 A3=r即使原矢量顺时针旋转了

角。就是矢量A3比矢量A1滞后了

角。当=±

时，则

因此任意一个相量乘上+j后，即逆时针（向前）旋转了

；乘上-j后，即顺时针（向后）旋转了

。所以j称为旋转

的旋转因子。