2010年全国大学生数学建模一等奖论文(A题)

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

参赛队员 (打印并签名) ：1.

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

日期： 2010 年 9 月 13 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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地下储油罐的变位分析与罐容表标定

摘要

加油站地下储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因会发生纵向倾斜及横向偏转，导致与之配套的“油位计量管理系统”受到影响，必须重新标定罐容表。本文即针对储油罐的变位时罐容表标定的问题建立了相应的数学模型。首先从简单的小椭圆型储油罐入手，研究变位对罐容表的影响。在无变位、纵向变位的情况下分别建立空间直角坐标系，在忽略罐壁厚度等细微影响下，运用积分的方法求出储油量和测量油位高度的关系。将计算结果与实际测量数据在同一个坐标系中作图，经计算得误差均保持在3.5%以内。纵向变位中，要分三种情况来进行求解，然后将三段的结果综合在一起与变位前作比较，可以得到变位对罐容表的影响。通过计算，具体列表给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

进一步考虑实际储油罐，两端为球冠体顶。把储油罐分成中间的圆柱体和两边的球冠体分别求解。中间的圆柱体求解类似于第一问，要分为三种情况。在计算球冠内储油量时为简化计算，将其内油面看做垂直于圆柱底面。根据几何关系，可以得到如下几个变量之间的关系：

测量的油位高度0h 实际的油位高度h 计算体积所需的高度H

于是得到罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度 ）之间的一般关系。再利用附表2中的数据列方程组寻找与最准确的取值。

一、问题重述

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。题目给出了一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。并给出了罐体纵向倾斜变位的示意图和罐体横向偏转变位的截面示意图。

请用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用给出的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体）示意图，分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度 ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

二、问题分析 α β

本题是一个在罐体变位后重新标定罐容表的问题，就是需要得出变位后油位高度与油料体积的关系，然后在油料高度间隔为1cm或10cm的情况下，算出所有高度所对应的体积值，即可得到新的罐容表标定值。

第一问中共做了两次实验，分别为罐体无变位与纵向变位。对于无变位的情况，可以选择合适的体积微元，在油位高度方向积分即可算出油体积与油位高度的关系；对于倾斜角为=4.1º的纵向变位，我们采用二重积分的方法，分三种情况进行计算。先在油位高度方向积分得到任意处油截面的面积，再积分得到体积公式。最后利用附件1中的实际数据对公式的准确度进行检验，并对比变位前后储油量与油位高度关系的差别。

第二问中，将储油罐分成三部分进行计算：中间的圆柱体和两端的球冠体。对于与的处理问题，对、已经确定的静态储油罐建立空间直角坐标系，根据几何关系得出测得的油位高度0h与实际油位高度h的关系（含有参数），实际油位高度h与计算体积所需的高度1H、2H的关系（含有参数），并计算得到储油量关于1H、2H的表达式，于是便得到了储油量与测量油位高度0h及变位参数、的关系式，代入若干组附表2中的实际数据，即可确定与，之后用实际检测数据检验所建模型的正确性与方法的可行性。

三、模型假设

（1）忽略油罐厚度对油罐容积的影响，认为由图中数据得到的容积即为油罐的标准容积；

（2）忽略油罐内各种管道如进出油管道，油位探针所占的体积；

（3）不计油浮子的厚度、大小等，认为实验中测得的高度即为油罐底部沿探针到油面的距离；

（4）假设油浮子到达最高处时便不再加油。

四、符号说明

h：储油罐任一位置平行于罐底方向实际油位高度；

x：问题一中建立空间直角坐标系后X轴方向上油料宽度的一半；

y：建立空间直角坐标系后Y轴方向上的油料长度；

z：建立空间直角坐标系后Z轴方向上的变量；

iV：问题一纵向变位第i种情况下相应某一高度时的油的体积；

0h：问题一中变位后测得的油料高度；

H：问题一变位时油料平行于罐底方向的最大高度；

S：问题一变位情况下用任意平行于罐底平面截得的油料面积；

gV：实际储油罐球冠内储油量；

0V：实际储油罐中间圆柱部储油量；

im：附表2中编号为i的流水号所对应的出油量。

五、模型的建立与求解

5.1小椭圆型储油罐

5.1.1无变位情况

首先以一侧罐底中心为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，其中下部阴影部分为油料：

从侧面观察得到如下示意图：

根据题目中的已知数据，得到椭圆截面的方程式为：

222210.890.6xz

于是有

22220.890.890.6zx

取从上到下叠加的矩形薄片为体积微元，得到体积微元公式：

x Y Z

图1 无变位情况下建立空间直角坐标系 y

X h

图2 截面椭圆示意图 x X Z

h

22220.89d22.450.89d0.6zvz

体积微元在z轴方向进行积分，得到体积公式：

220.6220.620.8922.450.89d0.6 2.180250.61.3083arcsin10.30.360.62hzVzhhhh

将该结果与实际测量数据在同一以高度为横坐标，体积为纵坐标的坐标系中作图，得到如下曲线：

00.20.40.60.811.21.4050010001500200025003000350040004500油位高度 / m储油量 / L储油量与油位高度关系图计算得到数据实际测量数据

图3 计算曲线与实际数据对比图

从图像上可以看出，计算得到的数据与实际测量数据吻合较好，相对误差始终很小，实际数据稍小可能是由于探针，进出油罐管道等占一定体积及罐壁厚度造成的，为简化模型，本文忽略这部分影响。

5.1.24.1º纵向变位

以椭圆罐底中心为原点，X轴，Z轴平行于罐底，Y轴平行于油罐侧壁方向建立空间直角坐标系：

Z

Y 油位探针

由图4可知：

0400tanHh

接下来分三种情况进行讨论，通过二重积分即可求得油料体积。

第一种情况：

当400tan2450tanH（单位：mm ）时，只有一端罐底接触油面，如图5：

先在Z轴方向上定积分，得到任意位置油料截面面积：

22600226002528902890d600 8906005.3410arcsin13006006002hzSzhhhh

再将h视为变量，在Y轴方向上定积分：

tan10dHVShy

其中tanhHy，代入后解得：

344238916393628.622101.2421020.691.17107.02110 7.4510arcsin1.667101 4.4710arcsin1.6671017.45101200VHHHHHHHHH

第二种情况：

当2450tan1200H （单位：mm）时，两端罐底都接触油面，如图6：

图5 第一种情况 Z

X Y

H 油位探针

h0