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数学建模常见评价与衡量模型简介

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常见评价模型简介

评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。

层次分析模型

层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。

运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤：

步骤1 建立层次分析结构模型

深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层各因素基本上相对独立。

步骤2构造成对比较阵

对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵；

步骤3计算权向量并作一致性检验

由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。

步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验)

组合权向量可作为决策的定量依据

通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。

例(选择旅游地决策问题)如何在、、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。

步骤1 建立系统的递阶层次结构

将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干

元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。

C5 旅途 选择旅游地

P2 黄山 P1 桂林 P3 北戴河 C3 居住 C1 景色 C2 费用 C4 饮食 目标层

准则层

方案层

图1 选择旅游地的层次结构

步骤2构造比较矩阵

元素之间两两对比，对比采用美国运筹学家A.L.Saaty教授提出的1~9比率标度法(表1)对不同指标进行两两比较，构造判断矩阵。

标度值 含义

1 两因素相比，具有同等重要性

3 两因素相比，前者比后者稍重要

5 两因素相比，前者比后者明显重要

7 两因素相比，前者比后者强烈重要

9 两因素相比，前者比后者极端重要

2、4、6、8 表示上述相邻判断的中间值

以上各数值的倒数 若指标i与指标j比较相对重要性用上述之一数值标度，则指标j与指标i的相对重要性用上述数值的倒数标度

表1 1~9标度的含义

设要比较各准则nCCC,,,21对目标O的重要性，记判断矩阵为A

1135131112513131211714155712334211A

显然，A是正互反阵。

步骤3计算被比较元素对于该准则的相对权重

(1)一致阵的定义与性质

一致阵的定义

要由A确定nCCC,,,21对目标O的权向量，我们首先考察一致矩阵的性质。称满足nkjiaaaikjkij,,2,1,,,的正互反阵为一致阵。例如

nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA212221212111

一致矩阵的性质

矩阵A的秩为1，A的唯一非零特征根为n。

矩阵A的任一列向量是对应于n的特征向量。

矩阵A的归一化特征向量可作为权向量。

然而，我们构造的成对比较矩阵1135131112513131211714155712334211A中，由212112CCa，43113CCa可以得到83223CCa，而事实上723a。因此矩阵A并不是一致阵，事实上在大多情况下我们构造的成对比较矩阵都不是一致阵。对于这样的矩阵我们如何来确定权向量呢？我们通常的作法是：对于不一致

(但在允许围)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根l的特征向量作为权向量。

(2)一致性检验（确定成对比较阵不一致的允许围），计算权向量。

已知n阶一致阵的唯一非零特征根为n，可证：n阶正互反阵最大特征根n, 且n时为一致阵。

一致性指标：1nnCI，CI 越大，不一致性越严重。

随机一致性指标：随机产生多个矩阵，将每个矩阵的一致性指标相加然后取平均值得到RI。

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51

表2 Saaty的随机一致性指标

注：标2中的n表示成对比较阵的维数。

一致性比率 如果1.0RICICR，构造的成对比较矩阵A通过一致性检验。

步骤4计算组合权向量

记第2层(准则层)对第1层(目标层)的权向量为

Tnwww)2()2(1)2(,,

同样求第3层(方案层)对第2层每一元素(准则层)的权向量

nkwwwTkmkk,,2,1,,,)3()3(1)3(

构造矩阵

)3()3(1)3(,,nwwW

则第3层(方案层)对第1层(目标层)的组合权向量

)2()3()3(wWw

以此类推，第s层对第1层的组合权向量

)2()3()1()()(wWWWwsss

其中pW是由第p层对第p-1层权向量按列组成的矩阵。

层次分析法的应用

1、应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。

2、处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。

3、建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。

4、构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。

层次分析法的若干问题

2. 当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？

不完全层次结构

上层每一元素与下层所有元素相关联，这种层次结构称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构，不完全层次结构又分为两种，一种为不完全层次出现在准则层与子准则层之间，这种不完全结构容易处理，我们将不支配的那些因素的权向量分别简单的置0，就可以用完全层次结构的办法处理，但如果不完全结构出现在准则层与方案层之间，则处理起来就有些麻烦，我们看下面的例子。

例 评价教师贡献的层次结构(图3)，该图中21,CC支配元素的数目不等，此层次结构称为不完全层次结构。

设第2层对第1层权向量Twww22212,已定，第3层对第2层权向量

Twwww0,,,31331231131，Twww32432332,,0,0已得，讨论由323132,,wwWw计算第3层对第1层权向量3w的方法。

图3评价教师贡献的层次结构

我们首先考察一个特例：若21,CC重要性相同, 则Tw21,212，4321,,,PPPP能力相同, TTww21,21,0,0,0,31,31,313231，则公正的评价应为：1:2:1:1:::4321PPPP。

若不考虑支配元素数目不等的影响，仍用)2()3()3(wWw计算，则

Tw41,125,61,613

意味着支配元素越多权重越大，显然是不合理的。

用支配元素数21,nn对2w加权修正，修正为2w，再计算3w。

令)2(22)2(11)2(22)2(11)2((,~wnwnwnwnwT，再用)2()3()3(~wWw计算。本例中贡献O

教学C1 科研C2

P2 P1 P3 P4

Twnn52,53~,2,3)2(21，计算得Tw51,52,51,513，表明支配元素越多权重越小与公正的评价相吻合。

成对比较阵残缺时的处理

专家或有关人士由于某种原因会无法或不愿对某两个因素给出相互对比的结果ija，于是成对比较阵出现残缺。如何对此作修正，以便继续进行权向量的计算呢？

例 设一成对比较阵为121212121A，q为残缺元素，试对此残缺阵进行处理。

解 构造辅助矩阵1212121211331wwwwC，因此由

wCwwAw (1)

但是，C中包含未知量31,ww，(1)式无法求解，进而将A修正为22102121022A，不难验证wwA，进而求得

Tw1429.0,2857.0,5714.0,3。

注：一般地，由残缺阵ijaA构造修正阵ijaA的方法是令

的个数行为第imjimajiajiaaiiijijijij,,1,,0,,

模糊综合评价模

模糊数学是从量的角度研究和处理模糊现象的科学。这里模糊性是指客观事物的差异在中介过渡时所呈现的“亦此亦比”性。比如用某种方法治疗某病的疗效“显效”与“好转”、某医院管理工作“达标”与“基本达标”、某篇学术论文水平“很高”与“较高”等等。从一个等级到另一个等级间没有一个明

确的分界，中间经历了一个从量变到质变的连续过渡过程，这个现象叫中介过渡。由这种中介过渡引起的划分上的“亦此亦比”性就是模糊性。

模糊综合评价是以模糊数学为基础。应用模糊关系合成的原理，将一些边界不清，不易定量的因素定量化，进行综合评价的一种方法。

一、单因素模糊综合评价的步骤

（1）根据评价目的确定评价指标（Evaluation Indicator）集合

muuuU,,,21

例如：评价某项科研成果，评价指标集合为={学术水平，社会效益，经济效益}。

（2）给出评价等级（Evaluation Grade）集合

nvvvV,,,21

例如：评价某项科研成果，评价等级集合为={很好，好，一般，差}。

（3）确定各评价指标的权重（Weight）

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数学建模评价指标体系

数学建模评价指标体系

数学建模评价指标体系

数学建模是一种重要的解决实际问题的方法和技术，它涉及到数学、计算机科学、运筹学和实际应用等多个领域。为了评价数学建模的质量和效果，我们需要建立一套合理的指标体系。下面将介绍一种可以评价数学建模质量的指标体系。

首先，数学建模的指标体系可以分为三个层次：问题建模层次、计算层次和应用层次。在问题建模层次，我们主要关注问题的表述准确性、问题的分析深度和问题的抽象程度。一个好的数学建模问题应该能够很好地反映实际问题，包含充分的背景信息和条件约束，并具有一定的可行性。同时，问题的分析深度也很重要，需要对问题进行全面的分析和思考，找出问题的核心和关键点。此外，问题的抽象程度也是一个重要的指标，一个好的数学建模问题应该能够将实际问题抽象为数学模型，从而加以求解。

在计算层次，我们主要关注模型的建立和求解。一个好的数学模型应该具有充分的数学基础，能够精确地描述实际问题，并能够通过数学方法进行求解。此外，模型的求解方法也是一个重要的指标，一个好的数学模型应该具有简单、高效、可靠的求解方法，能够得到准确的结果。此外，模型的评估和验证也是一个重要的指标，一个好的数学模型应该能够对结果进行评估和验证，以确定模型的有效性和可行性。

在应用层次，我们主要关注模型的应用效果和实际价值。一个好的数学模型应该能够解决实际问题，具有实际的应用价值。此外，模型的稳定性和鲁棒性也是一个重要的指标，一个好的数学模型应该能够在不同的情况下保持较好的效果，并具有一定的鲁棒性。此外，模型的实施和应用成本也是一个重要的指标，一个好的数学模型应该能够在实践中得到有效的实施和应用，成本应该是合理的。 综上所述，数学建模的评价指标体系应该包括问题建模层次、计算层次和应用层次。在问题建模层次，我们主要关注问题的表述准确性、问题的分析深度和问题的抽象程度。在计算层次，我们主要关注模型的建立和求解，包括模型的数学基础、求解方法、评估和验证等。在应用层次，我们主要关注模型的应用效果和实际价值，包括解决实际问题的能力、稳定性和鲁棒性以及实施和应用成本等。

数学建模模型和技巧

数学建模模型和技巧

数学建模模型和技巧

数学建模是指将实际问题转化为数学问题，并利用数学方法进行分析和求解的过程。数学建模模型是对问题进行抽象和形式化的表示，而数学建模技巧则是在建立数学模型和解决问题时的常用方法和技术。以下是一些常用的数学建模模型和技巧。

一、常用数学建模模型

1.优化模型：优化模型利用数学方法求解最优解，包括线性规划、整数规划、非线性规划等。这种模型通常用于求解资源分配、生产调度、物流优化等问题。

2.统计模型：统计模型通过概率统计方法对问题进行分析和预测，包括回归分析、时间序列分析、假设检验等。这种模型通常用于市场调研、风险评估、金融预测等问题。

3.动力学模型：动力学模型描述系统随时间变化的规律，包括微分方程模型、差分方程模型等。这种模型通常用于研究物理过程、生态系统、经济波动等问题。

4.图论模型：图论模型利用图的概念和算法解决问题，包括最短路径、流网络、最小生成树等。这种模型通常用于网络优化、交通规划、电路设计等问题。

5.随机模型：随机模型描述随机变量的分布和统计性质，包括随机过程、蒙特卡洛模拟等。这种模型通常用于风险评估、信号处理、金融衍生品定价等问题。

二、常用数学建模技巧 1.合理假设：在建立数学模型时，需要根据实际情况进行适当的简化和假设。通过合理的假设，可以使模型更易求解，同时保持对原问题的关键特征进行准确描述。

2.变量选择：选择合适的变量是建立数学模型的重要一步。需要根据问题的特点和求解的目标选择与问题相关的变量，并对它们进行合理的定义和界定。

3.数据处理：在数学建模中，经常需要处理大量的数据。这包括数据的清洗、转换、归一化等操作，以便更好地与模型对接和求解。

4.模型求解：根据模型的数学特征，选择适当的方法和算法进行求解。这包括常见的数值求解方法、优化算法、统计推断等技术。

5.模型评价：在得到数学模型的解后，需要对解的可行性和有效性进行评价。通常可以利用灵敏度分析、稳定性分析等方法对模型进行评价和优化。

高校数学建模竞赛数学模型评价指标解读

高校数学建模竞赛数学模型评价指标解读

高校数学建模竞赛数学模型评价指标解读

高校数学建模竞赛是一项广受欢迎的学科竞赛，旨在培养学生的数学建模能力和创新思维。在这项竞赛中，数学模型的评价指标是一个关键因素，它用于评估模型的质量和有效性。本文将对高校数学建模竞赛数学模型评价指标进行解读，并探讨其意义和应用。

一、可行性

可行性是数学模型评价的首要指标，它衡量了模型解决实际问题的能力。一个可行的模型应该能够针对特定问题提供有效的解决方案，并且在实施过程中不会遇到过多的限制或困难。评估模型的可行性时，需要考虑问题的实际背景、数据的可获取性以及模型的实施成本等因素。

二、准确性

准确性是评估数学模型的重要指标之一。一个准确的模型应该能够对实际问题进行准确的描述，并给出符合实际的结果。评估模型的准确性时，需要对模型的参数、假设和求解方法进行合理的选择，并进行充分的验证和检验。

三、灵敏度

灵敏度是评价数学模型的另一个关键指标，它表征了模型对参数变化的敏感程度。一个灵敏度较高的模型能够对参数的微小变化做出较大的反应，从而提供更准确的结果。评估模型的灵敏度时，需要进行参数敏感性分析和误差传播分析，并考虑参数的合理范围和变化情况。 四、稳定性

稳定性是评价数学模型的稳定性和可靠性的重要指标之一。一个稳定的模型应该在不同的条件和数据集下具有相似的表现，并且对噪声和异常值具有一定的鲁棒性。评估模型的稳定性时，需要进行多次模拟和验证，检验模型在不同数据下的表现是否一致。

五、可解释性

可解释性是评估数学模型的另一个重要指标，它表征了模型结果的可解释程度。一个可解释性较高的模型能够给出清晰的解释和推理过程，使人们能够理解模型的基本原理和思路。评估模型的可解释性时，需要对模型的公式、参数和变量进行充分的说明和解释。

六、创新性

创新性是评价数学模型的独特性和创新程度的指标。一个具有较高创新性的模型能够提供新颖的思路和方法，为问题的解决带来全新的视角。评估模型的创新性时，需要对已有的方法和理论进行综合分析，并提出新的改进或扩展。

评价模型数学建模

评价模型数学建模

- 1 - 评价模型数学建模

【摘要】模型数学建模是一种实用性极强的技能，可以应用于各种领域，如物理、金融、医学等。为了评价模型数学建模的优劣，需要建立相应的评价模型。本文就模型数学建模的评价模型进行了探讨。

【关键词】模型数学建模；评价模型；优劣

一、引言

模型数学建模是一种应用性极强的技能，可以应用于各种领域，如物理、金融、医学等。在实际应用中，评价模型的优劣显得尤为重要。因此，建立一个科学合理的评价模型，可以有效地评估模型数学建模的优劣。本文就模型数学建模的评价模型进行了探讨。

二、评价模型的构建

模型数学建模的评价模型应该包括以下几个方面：

1.实现难度。模型数学建模的实现难度越大，其价值也就越高。因此，评价模型时应该考虑模型的实现难度。

2.适用性。模型数学建模的适用性指的是模型在实际应用中的适用范围，或者说模型的普适性。只有普适性较高的模型才能被广泛应用。

3.计算速度。模型数学建模的计算速度也是一个重要的评价指标。计算速度越快，模型应用的效率也就越高。

4.预测准确度。模型数学建模的预测准确度是最终评价模型的重要指标。只有准确预测的模型才能被广泛应用。

5.可解释性。模型数学建模的可解释性指的是模型的结果是否易 - 2 - 于解释和理解。只有可解释性较强的模型才能被广泛应用。

三、评价模型的应用

评价模型可以应用于以下几个方面：

1.选择模型。在实际应用中，可以使用评价模型来评估不同模型的优劣，从而选择更优秀的模型。

2.优化模型。评价模型也可以应用于优化模型，根据评价结果进行相应的调整和改进。

3.拓展应用。评价模型可以帮助研究人员更好地理解不同模型的特点和应用范围，从而拓展模型的应用领域。

四、结论

评价模型是模型数学建模中的一个重要环节，可以有效地评估模型的优劣。建立科学合理的评价模型，可以提高模型数学建模的应用效率和准确度，为模型的实际应用提供有力的支持。