专题初中平面几何：线段垂直相等问题
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【专题】平面几何：线段垂直相等问题
一、 简介
在一些几何证明题中，条件出现正方形、等腰直角三角形，或者一些其他线段的位置和数量关系，然后求证两条线段垂直且相等。这类题目有一定的技巧性，现总结出通用方法如下。
二、 基本方法
若两个全等三角形两边对应垂直，则它们的第三边也垂直。
如图，
OA⊥OC且OA=OC，
OB⊥OD且OB=OD，
=>AB⊥CD且AB=CD。
在具体的题目中，要求找到或者构造这样的适合条件的全等三角形，证明这两个辅助三角形另外两边分别垂直相等，即可推出第三边（即需证边）垂直且相等。具体方法为：
（一） 要证的两条线段共端点
如图，要证OA⊥OB且OA=OB，可以考虑分别过A、B作过O的一条直线的垂线，证明△AOC≌△BOD。或者直接找到OC⊥OD且OC=OD，再证AC⊥BD且AC=BD即可。
选择要根据题目灵活处理。
（二） 要证的两条线段不共端点
如图，要证AB⊥CD且AB=CD，看起来两条线段毫无沟通关系，比较难下手。实际上，根据上述基本方法的定义，方法不言而喻：连接异线段端点BD，以BD为斜边作等腰RT△BDO，证明OA⊥OC且OA=OC即可。
另外，如果直接证明有困难，可以考虑利用中位线的知识，把要证的线段位似放大为原来的两倍，放大后保持原线段位置关系。证明放大后的线段垂直相等就可以了。
三、 例题及解析
1、如图，任意三角形ABC，以AB和AC为边向外作两个正方形ABGF和ACDE，M是GD中点。
求证：MB⊥MC且MB=MC。
解析：要证的线段MB、MC共端点，结合过M有一条与已知条件关联非常大的直线DG，经尝试可知应过B、C作DG垂线。
这时需证MP=CQ和BP=QM。显然条件还是无法利用，于是再过E、F作EK、FJ⊥DG。
以证MP=CQ为例，首先不难得CQ=DK，故只需证MP=DK，即证明PK=MD=12 DG。为了看图方便，去掉多余部分，重新作图如下：
在GD上取N使PG=PN，则可推BN=BG，进而得B是△ANG外心，得∠ANG=45°，
又由EA=ED，∠AND=135°可得E是△AND的外心，故EN=ED，即NK=DK，
于是就得PK=12 GD。
2、如图，分别以任意三角形ABC三边为边向外作三个正方形ABGF、CBHI和ACDE，O1、O2、O3分别是三个正方形的中心。求证：AO2=O1O3且AO2⊥O1O3。
解析：根据基本方法，要证的线段不共端点，于是连接AO1，并以AO1为边作等腰RT△AO1M，发现M恰好在AB中点上！
之后要证MO2⊥MO3且MO2=MO3。不难联想到利用中位线把它们同时放大为原来的2倍，且不改变位置关系。
而CI⊥CB且CI=CB，CA⊥CD且CA=CD，
于是AI⊥BD且AI=BD，于是MO2⊥MO3且MO2=MO3。
3、如图，以任意四边形ABCD的四条边为边，向外作四个正方形AEFB，BGHC，CIJD，DKLA。设它们的中心分别为O1，O2，O3，O4。求证：O1O3=O2O4且O1O3⊥O2O4。
解析：类比例题2，连接O1O2并以其为斜边作等腰RT△O1O2M，看起来M还是难以确定。实际上若作图精确，就会发现M是AC中点。
类似题2，利用中位线把另外两组边（MO1和MO2，MO3和MO4）放大为原来的2倍且不改变位置关系，即可得证。
4、如图，四边形ABCD、四边形AFGE都是正方形，M是CG的中点。求证：MD⊥MF且MD=MF。
解析：MD和MF共端点，而且发现DE⊥BF且DE=BF（由AD和AB垂直且相等，AE和AF垂直且相等得到），可以考虑连接ME和MB，证明ME和MB垂直且相等即可。
如图，倍长GE至P，倍长CB至Q，再一次利用中位线放大ME和MB，需证CP和QG垂直且相等。
这可以由AP⊥AG且AP=AG，AC⊥AQ且AC=AQ得到。
5、如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是正方形，M、N、P、Q分别是AE，BF，CG，DH中点。
求证：四边形MNPQ也是正方形。
解析：即证明QP⊥QM且QP=QM（另外一组同理）。
直接证明有困难，就考虑利用中位线位似放大，于是如图倍长GQ至K，倍长HM至J，证明DJ⊥CK且DJ=CK即可。
这一点是明显的。首先，DC⊥DA且DC=DA，
然后因为DK∥GH且DK=GH，AJ∥HE且AJ=HE，而GH⊥HE且GH=GE，
于是DK⊥AJ且DK=AJ。这样命题就得证了。
