3推荐教材与符号全称

第三讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【考点梳理】 1．简单的逻辑联结词（1）命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词． (2)命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断2.全称量词与存在量词(1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． （2）全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立"简记为∀x ∈M ，p (x ）．（3）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M 中的一个元素x 0，使p (x 0)成立”，简记为∃x 0∈M ，p （x 0)．3．含有一个量词的命题的否定【教材改编】1．（选修2－1 P 22例1改编)下列命题是真命题的是( ) A ．所有素数都是奇数 B ．∀x ∈R,x 2＋1≥0C ．对于每一个无理数x ,x 2是有理数 D ．∀x ∈Z，1x∉Z2．（选修2－1 P16例3(1)改编)有下列两命题：①2≥2；②2≥1，则下列正确的为（)A．①真②真B．①真②假C．①假②真D．①假②假【答案】 A【解析】∵命题“2≥2”由命题p：2＝2，q：2＞2用“或”联结后构成的新命题，且p真q假，∴p∨q为真，即①真，同理②也真，故选A。

3．(选修2－1 P27 A组T3(3）改编)命题p：∃x0∈R，x2，0－x0＋1≤0的否定是（）A．∃x0∈R，x错误!－x0＋1＞0B．∀x∈R，x2－x＋1＞0C．∃x0∈R,x20－x0＋1≥0D．∀x∈R,x2－x＋1≤0【答案】 B【解析】∵命题∃x0∈M，p(x0）的否定是∀x∈M，﹁p(x)，故选B.4．(选修2－1 P27 A组T3（1）改编）命题p：∀x∈N，x2＞x3的否定是( ）A．∃x0∈N，x错误!＞x错误!B．∀x∈N,x2≤x3C．∃x0∈N，x2，0≤x30D．∀x∈N，x2＜x3【答案】 C【解析】∵命题∀x∈M,p（x)的否定是∃x0∈M，﹁p（x0)，故选C.5．(选修2－1 P18 B组T(3)（4）改编)命题p：2＞3，q:8＋7≠15，则“p∧q”的否定是( ）A．2≤3且8＋7＝15 B．2≤3或8＋7＝15C．2＞3或8＋7≠15 D．2≤3且8＋7≠15【答案】 B【解析】因为“p∧q”的否定是“(﹁p）∨(﹁q）”,故选B.【考点突破】考点一、含有逻辑联结词的命题的真假判断(1) 设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0,则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( ）A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧（綈q) D．p∧(綈q)【答案】 A【类题通法】1。

例1 判断下列语句是全称命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于360°； 解 可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题. (2)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1； 解 含有全称量词“任意”，故是全称命题. (3)矩形的对角线不相等； 解 可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题. (4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直.
类型四 存在量词命题的否定
例4 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)p：∃x0>1，使 x20－2x0－3＝0； 解 ￢p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(假) (2)p：有些素数是奇数； 解 ￢p：所有的素数都不是奇数.(假) (3)p：有些平行四边形不是矩形. 解 ￢p：所有的平行四边形都是矩形.(假)
必修第一册
2．3 全称量词命题与存在量词命题
问题导学
思考 观察下列命题： (1)所有的质数都是奇数； (2)每一个四边形都有外接圆； (3)任意实数x，x2≥0. 以上三个命题有什么共同特征？ 答案 都使用了表示“全部”的量词，如“所有”、“每一个”、“任意”.
梳理
全称量词
所有的、任意一个、一切、每一个、任给
跟踪训练 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)有些实数的绝对值是正数； 解 命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实 数的绝对值都不是正数”.它为假命题. (2)某些平行四边形是菱形； 解 命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边 形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题. (3)∃x0，y0∈Z，使得 2x0＋y0＝3. 解 命题的否定是“∀x，y∈Z， 2x＋y≠3”. 当 x＝0，y＝3 时， 2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.

第3讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词1．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“□01∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“□02∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：□03∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：□04∃x0∈M，p(x0)．2．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)□05∃x0∈M，¬p(x0)∃x0∈M，p(x0)□06∀x∈M，¬p(x)1．命题p∧q，p∨q，¬p的真假判定p q p∧q p∨q ¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2．确定p∧q，p∨q，¬p真假的记忆口诀如下：p∧q→见假即假，p∨q→见真即真，p 与¬p→真假相反．3．“p∨q”的否定是“(¬p)∧(¬q)”；“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”．4．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．5．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．6．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”，否命题是“若¬p，则¬q”．1．命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>12B ．∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>12C ．∃x 0∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12D ．∃x 0∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12答案 D解析 全称命题的否定为特称命题，方法是改量词，否结论，故选D.2．(2022·山西大同摸底)已知命题p ，q ，则“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 若¬p 为假命题，则p 为真命题，由于不知道q 的真假性，所以推不出p ∧q 是真命题，所以充分性不成立．p ∧q 是真命题，则p ，q 均为真命题，则¬p 为假命题，所以必要性成立．所以“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的必要不充分条件．3．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，3] B ．(－1，3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D解析 因为命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”等价于“x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.4．(2021·云南丽江模拟)命题p ：甲的数学成绩不低于100分，命题q ：乙的数学成绩低于100分，则p ∨(¬q )表示( )A ．甲、乙两人数学成绩都低于100分B ．甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C ．甲、乙两人数学成绩都不低于100分D ．甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分 答案 D解析 因为命题q ：乙的数学成绩低于100分，所以命题¬q 表示乙的数学成绩不低于100分，所以命题p ∨(¬q )表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分．故选D.5．设有下面四个命题：p 1：∃n 0∈N ，n 20>2n 0；p 2：x ∈R ，“x >1”是“x >2”的充分不必要条件；p 3：命题“若x －312是有理数，则x 是无理数”的逆否命题；p 4：若“p ∨q ”是真命题，则p 一定是真命题．其中为真命题的是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 2，p 4 D ．p 1，p 3 答案 D解析 ∵n 0＝3时，32>23，∴∃n 0∈N ，n 20>2n 0，∴p 1为真命题；∵(2，＋∞)(1，＋∞)，∴x >2能推出x >1，x >1不能推出x >2，“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，∴p 2是假命题；根据逆否命题的定义可知p 3为真命题．根据复合命题的真假判断法则可知p 4为假命题．故选D.6．已知命题p ：不等式ax 2＋ax ＋1>0的解集为R ，则实数a ∈(0，4)，命题q ：“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(¬q )C ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∧q答案 D解析 命题p ：a ＝0时，可得1>0恒成立；a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4.综上，可得实数a ∈[0，4)，因此p 是假命题，则¬p 是真命题；命题q ：由x 2－2x －8>0解得x >4或x <－2.因此“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，是真命题，故(¬p )∧q 是真命题．故选D.考向一 含有逻辑联结词命题真假的判断 例1 (2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①p 1∧p 4，②p 1∧p 2，③¬p 2∨p 3，④¬p 3∨¬p 4. 答案 ①③④解析 对于命题p 1，可设l 1与l 2相交，这两条直线确定的平面为α，设l 3与l 1，l 2的交点分别为A ，B (如图)，则A ∈α，B ∈α，所以AB ⊂α，即l 3⊂α，命题p 1为真命题；对于命题p 2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p 2为假命题； 对于命题p 3，空间中两条直线的位置关系有相交、平行或异面，命题p 3为假命题； 对于命题p 4，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，因为l ⊂平面α，所以m ⊥l ，命题p 4为真命题.综上可知，p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，¬p 2∨p 3为真命题，¬p 3∨¬p 4为真命题．判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤(1)定结构：先判断复合命题的结构形式．(2)辨真假：判断构成这个命题的每一个简单命题的真假性．(3)下结论：依据“有真或为真，有假且为假，p 和¬p 真假相反”，作出判断．1.设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是 ．①p 为真；②¬q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真；⑤(¬p )∧(¬q )为真；⑥¬(p ∨q )为真． 答案 ③⑤⑥解析 p ，q 均为假，故p ∧q 为假，p ∨q 为假，(¬p )∧(¬q )为真，¬(p ∨q )为真．精准设计考向，多角度探究突破 考向二 全称命题、特称命题 角度全称命题、特称命题的否定例2 (1)(2021·安徽合肥质检)设命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则¬p 为( )A.∃x0∈R，x2－x0＋1>0B．∀x∈R，x2－x＋1≤0C．∃x0∈R，x2－x0＋1≤0D．∀x∈R，x2－x＋1<0答案 C解析全称命题的否定是特称命题，同时否定结论．故选C.(2)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析根据特称命题的否定为全称命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．一般地，写含有一个量词的命题的否定，先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论．如果所给命题中省去了量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定．2.(2022·西安模拟)命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则¬p为( )A．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解B．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解C．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解D．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解答案 C解析根据全称命题的否定可知，¬p为∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解．故选C.3．命题“奇数的立方是奇数”的否定是．答案存在一个奇数，它的立方不是奇数解析此命题隐含了全称量词“所有”，故否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”．角度全称命题、特称命题真假的判断例3 以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x 0，使x 20≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x 0，使1x 0>2答案 B解析 选项A 中，锐角三角形的所有内角都是锐角，所以A 是假命题；选项B 中，当x 0＝0时，x 20＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；选项C 中，因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；选项D 中，对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．故选B.全称命题与特称命题真假性的两种判断方法不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题真 存在一个对象使命题真 否定为假 假所有对象使命题假否定为真4.(2021·江西师大附中模拟)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0) 答案 C解析 设命题p ：∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )，∵f (x )不是偶函数，∴p 是假命题，则¬p 是真命题，又¬p ：∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)，故选C.考向三 利用复合命题的真假求参数范围例4 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．[1，4]B ．[1，e]C ．[e ，4]D ．[4，＋∞) 答案 C解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0，1]，a ≥e x，得a ≥e ；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e ，4].故选C.(2)命题p ：实数a 满足a 2＋a －6≥0；命题q ：函数y ＝ax 2－ax ＋1的定义域为R .若命题p ∧q 为假，p ∨q 为真，则实数a 的取值范围为 ．答案 (－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞)解析 当命题p 为真时，即a 2＋a －6≥0，解得a ≥2或a ≤－3；当命题q 为真时，可得ax2－ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，若a ＝0，则满足题意；若a ≠0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4，∴0≤a ≤4.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴“p 真q 假”或“p 假q 真”，①当p 真q假时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－3，a >4或a <0，∴a >4或a ≤－3；②当p 假q真时，则⎩⎪⎨⎪⎧－3<a <2，0≤a ≤4，∴0≤a <2.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞).根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况，本例(2)中有两种情况).(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围． (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.5.设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R .如果命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，－2]∪[2，3)C ．(2，3]D ．[3，＋∞)答案 B解析 由函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减，得f ′(x )＝3x 2－a ≤0在[－1，1]上恒成立，故a ≥(3x 2)max ＝3，即a ≥3；由函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R ，得x2＋ax ＋1能取到全体正数，故Δ＝a 2－4≥0，解得a ≤－2或a ≥2.因为命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假．当p 真q 假时，可得{a |a ≥3}∩{a |－2<a <2}＝∅；当p 假q 真时，可得{a |a <3}∩{a |a ≤－2或a ≥2}＝{a |a ≤－2或2≤a <3}．因此实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，3).故选B.1．(2021·山西阳泉高三阶段考试)设A 是奇数集，B 是偶数集，则命题“∀x ∈A ，2x ∉B ”的否定是( )A．∃x0∈A，2x0∈B B．∃x0∉A，2x0∈BC．∀x∉A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B答案 A解析“∀x∈A，2x∉B”即“所有x∈A，都有2x∉B”，它的否定应该是“存在x0∈A，使2x0∈B”，所以正确选项为A.2．下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R，e x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈R，ln x0<1D．∃x0∈R，tan x0＝2答案 B解析因为当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题，故选B.3．命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是( )A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C．∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0D．∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0答案 D解析根据全称命题与特称命题互为否定的关系可得，命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”．故选D.4．(2022·江西南昌摸底)下列命题的否定是真命题的是( )A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案 B解析若命题的否定是真命题，则原命题是假命题，显然A，C，D是真命题，B是假命题．故选B.5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )A．∀x∈Q，有x∈PB．∀x∉Q，有x∉PC．∃x0∉Q，使得x0∈PD．∃x0∈P，使得x0∉Q答案 B解析因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以∀x∉Q，有x∉P，故选B.6．(2021·全国乙卷)已知命题p：∃x∈R，sin x<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是( )A．p∧q B．¬p∧qC．p∧¬q D．¬(p∨q)答案 A解析因为命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧q为真命题．故选A.7．关于命题“当m∈[1，2]时，方程x2－2x＋m＝0没有实数解”，下列说法正确的是( ) A．是全称命题，假命题B．是全称命题，真命题C．是特称命题，假命题D．是特称命题，真命题答案 A解析原命题的含义是“对于任意m∈[1，2]，方程x2－2x＋m＝0都没有实数解”，但当m＝1时，方程有实数解x＝1，故命题是全称命题，假命题，所以A正确．8．(2022·四川南充月考)下列命题中，是真命题的全称命题的是( )A．对于实数a，b∈R，有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．梯形两条对角线相等C．有小于1的自然数D．函数y＝kx＋1的图象过定点(0，1)答案 D解析选项A是全称命题，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是特称命题；D项，对于所有k∈R，函数y＝kx ＋1的图象过定点(0，1)，所以正确选项为D.9．(2021·河南济源、平顶山、许昌第二次质检)已知直线m，n和平面α，β.命题p：若m⊂α，n⊂β，α∥β，则直线m与直线n平行或异面；命题q：若m∥α，α∥β，则m∥β；命题s：若α⊥β，α∩β＝m，在平面α内作直线m的垂线n，则n⊥β.则下列为真命题的是( )A．p∨(¬q) B．(¬p)∧sC．q∧(¬s) D．(¬p)∧(¬q)答案 A解析若α∥β，m⊂α，n⊂β，由于平面α与平面β没有交点，所以直线m与直线n 平行或异面，即命题p 是真命题；若m ∥α，α∥β，则m ∥β或m ⊂β，即命题q 是假命题；若α⊥β，α∩β＝m ，在平面α内作直线m 的垂线n ，由面面垂直的性质定理，得n ⊥β，命题s 是真命题．对于A ，p ∨(¬q )是真命题；对于B ，p 是真命题，则¬p 是假命题，s 是真命题，则(¬p )∧s 是假命题；对于C ，s 是真命题，则¬s 是假命题，q 是假命题，则q ∧(¬s )是假命题；对于D ，p 是真命题，则¬p 是假命题，q 是假命题，则¬q 是真命题，则(¬p )∧(¬q )是假命题．故选A.10．命题p ：若向量a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角；命题q ：若cos αcos β＝1，则sin (α＋β)＝0.下列命题为真命题的是( )A ．pB ．¬qC ．p ∧qD ．p ∨q答案 D解析 若a ，b 共线且方向相反时，a ·b <0，但a 与b 夹角为π，故p 是假命题．若cosα·cos β＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝1，cos β＝1或⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－1，cos β＝－1，∴sin α＝sin β＝0，∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝0，故q 是真命题，∴p ，¬q ，p ∧q 均为假命题，p ∨q 为真命题，故选D.11．短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一～六名)，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，(¬q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( )A ．甲第一、乙第二、丙第三B ．甲第二、乙第一、丙第三C ．甲第一、乙第三、丙第二D ．甲第一、乙没得第二名、丙第三 答案 D解析 (¬q )∧r 是真命题意味着¬q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名．故选D.12．(2022·甘肃兰州模拟)已知f (x )＝ln (x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 答案 A解析 当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.故选A.13．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＝2－x 0，则下述命题中所有真命题的序号是 ．①p ∧q ；②(¬p )∧q ；③p ∨(¬q )；④(¬p )∨(¬q ). 答案 ②④解析 当x <0时，2x>3x，所以命题p 为假命题．解x 2＝2－x ，得x ＝－2或1，所以命题q 为真命题．所以p ∧q ，p ∨(¬q )为假命题，(¬p )∧q ，(¬p )∨(¬q )为真命题．14．若命题：“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是 ．答案 [－3，3]解析 命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，即“∀x ∈R ，3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.即实数a 的取值范围为[－3，3].15．(2022·四川绵阳中学模拟)已知命题p ：∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，cos 2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是 ．答案 [－1，2]解析 cos 2x ＋cos x －m ＝0可变形为cos 2x ＋cos x ＝m .令f (x )＝cos 2x ＋cos x ，则f (x )＝2cos 2x ＋cos x －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98.由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0，1].于是f (x )∈[－1，2].故实数m 的取值范围是[－1，2].16．(2021·南昌一中模拟)已知命题p ：关于x 的方程x 2－mx －2＝0在[0，1]上有解；命题q ：f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2mx ＋12在[1，＋∞)上单调递增．若“¬p ”为真命题，“p ∨q ”为真命题，则实数m 的取值范围为 ．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34解析 对于命题p ：令g (x )＝x 2－mx －2，则g (0)＝－2，∴g (1)＝－m －1≥0，解得m ≤－1，故命题p 为真命题时，m ≤－1.∴¬p 为真命题时，m >－1.对于命题q ：⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，1－2m ＋12＞0， 解得m <34.又由题意可得p 假q 真，∴－1<m <34，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，34.17．(2022·江西上饶高三摸底)已知m ∈R ，设p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0成立；q ：∃x 0∈[1，2]，log 12(x 20－mx 0＋1)<－1成立．如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．解 若p 为真，则∀x ∈[－1，1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立． 设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3，∴f (x )在[－1，1]上的最小值为－3， ∴4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，∴p 为真时，12≤m ≤32.若q 为真，则∃x 0∈[1，2]，x 20－mx 0＋1>2成立，即m <x 20－1x 0成立．设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x ，则g (x )在[1，2]上是增函数，∴g (x )的最大值为g (2)＝32，∴m <32，∴q 为真时，m <32.∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假. 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧12≤m ≤32，m ≥32，∴m ＝32；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <12或m >32，m <32，∴m <12.综上所述，实数m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <12或m ＝32.18．已知函数f (x )＝－(x －2m )(x ＋m ＋3)(其中m <－1)，g (x )＝2x－2.设命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，f (x )<0或g (x )<0；命题q ：∃x 0∈(－1，0)，f (x 0)·g (x 0)<0.若p ∧q 是真命题，求m 的取值范围．解 ∵p ∧q 是真命题，∴p 与q 都是真命题． 当x >1时，g (x )＝2x－2>0， 又p 是真命题，则f (x )<0. ∵m <－1，∴2m <－m －3，∴f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}，∴－m－3≤1，解得m≥－4；当－1<x<0时，g(x)＝2x－2<0.∵q是真命题，则∃x0∈(－1，0)，使得f(x0)>0，由f(x0)>0得2m<x0<－m－3，则(2m，－m－3)∩(－1，0)≠∅，又m<－1，∴2m<－2，∴－m－3>－1，解得m<－2. ∴若p∧q是真命题，m的取值范围是－4≤m<－2.。

单元教学设计：1.5全称量词与存在量词天津市第二十五中学 李智钢一、内容和内容解析1.内容全称量词与存在量词、全称量词命题与存在量词命题否定．本单元内容可分2课时完成：第1课时，全称量词和存在量词；第2课时，全称量词命题与存在量词命题的否定. 也可以先把“两种量词及含有其中一种量词的命题的否定”一气呵成地学完，再进行练习等深化理解．2.内容解析命题是可以判断真假的陈述句．在数学中，一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此他们不是命题．但是如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语成为量词．大量而丰富的数学实例中可以发现有两类短语可以起到限定变量范围的作用：“所有的”“对任意一个”这类短语叫做全称量词，用符号“∀”表示．“存在一个”“至少有一个” 这类短语叫做存在量词，用符号“∃”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对M 任意一个x ，()p x 成立”，可用符号简记为“ ()x M p x ∀∈，”．含有存在量的命题，叫做存在量词命题．存在量词命题“存在M 任意一个x ，()p x 成立”可用符号简记为“ ()x M p x ∃∈，”．这样就得到了含有一个量词的两种命题的符号表示．在学习了命题之后，对命题的否定的研究同样重要，一个命题和它的否定只能是一真一假．判断含有一个量词的两种命题真假的一般方法为：如果对集合M 中每一个x ，()p x 都成立，那么“ ()x M p x ∀∈，”为真命题；如果在集合M 中存在一个x ，使得()p x 不成立，那么“ ()x M p x ∀∈，”为假命题；如果在集合M 中存在一个x ，使得()p x 成立，那么“ ()x M p x ∃∈，”为真命题；如果对集合M 中每一个x ，()p x 都不成立，那么“ ()x M p x ∃∈，”为假命题．全称量词命题和存在量词命题的否定是本单元要继续研究的，它们的否定更能体现两种命题之间的关联性．全称量词命题“ ()x M p x ∀∈，”是假命题，那么就说明存在反例，也就是说,()x M p x ∃∈“”不成立，也就是说，“ ()x M p x ∀∈，”与“ ()x M p x ∃∈⌝，”是一真一假的关系，从而验证了,()x M p x ∀∈“”的否定是“ ()x M p x ∃∈⌝，”，即全称量词命题的否定是存在量词命题．同样地，如果判断一个存在量词命题“()∃∈，”是假命题，也就是说，x M p x不存在,()∃∈⌝，”成立，进x M p xx M p xx M p x∈不成立，即“()∈成立，说明对所有的,()而说明了“()，”，即存在量词命题的否定是全称量∃∈⌝x M p x∃∈⌝，”的否定是“()x M p x词命题．熟悉了全称量词命题和存在量词命题的形式，并能够判断其真假，这样就使命题形式更加丰富，能够更精准和更高效地表达数学问题和结论，使数学表达和交流更具严谨性和准确性．对全称量词命题和存在量词命题的否定，体现了它们之间的相互既对立又统一的关系，一方面“所有”的否定是“不是所有”，就是存在反例，另一方面“存在”的否定是不存在，就是“都不”，这两者之间的逻辑关系非常有助于处理很多数学问题，会对今后的学习起到重要的作用．另外引入了新的数学符号“∀”“∃”“⌝”，以及特定命题的数学符号表示：，；()x M p x∃∈⌝，.鼓励学生多使用符号∀∈⌝()x M p x∀∈，；()x M p xx M p x∃∈，；()语言，对数学内容进行表达，体会其简洁、准确的特点.从而培养学生能够准确地运用符号语言表达数学内容的良好习惯．基于以上分析，确定本单元的教学重点：全称量词和存在量词的意义、使用存在量词对全称量词命题进行否定，使用全称量词对存在量词命题进行否定．二、目标和目标解析1.目标（1）通过学过的数学实例，理解全称量词的意义，学会判断全称量词命题的真假；（2）通过学过的数学实例，理解存在量词的意义，学会判断存在量词命题的真假；（3）通过学过的数学实例，理解全称量词命题的否定是存在量词命题和存在量词命题的否定是全称量词命题的规律；（4）初步使用量词、否定等符号进行数学表达、论证和交流，提升逻辑推理素养．2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）通过对一些含有变量的陈述句的梳理，能够认识全称量词和全称量词命题，能够掌握对全称量词命题的真假性的判断方法，即判断全称量词命题为真命题，需要对每一个变量，语句都成立；判断为假命题，只需要找到个使语句不成立的变量．（2）通过对一些含有变量的陈述句的梳理，能够认识存在量词和存在量词命题，能够掌握对存在量词命题的真假性判断的方法，即判断存在量词命题为真命题，只需要找到一个或证明存在使语句成立的变量；判断为假命题，需要证明对每一个变量，语句都不成立．（3）通过引入对一个数学命题进行否定，可以得到一个新的命题，称为原命题的否定，举例体会一个命题和它的否定只能一真一假的规律.通过对数学中一些简单的含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题进行否定，分析得到新命题的特点，引导学生归纳出全称量词命题和存在量词命题的否定的一般形式，体会如何正确的使用存在量词对全称量词命题进行否定，以及如何正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．加深全称量词命题的否定是存在量词命题和存在量词命题的否定是全称量词命题的规律理解．（4）通过一些熟知的数学事实，改写成含有一个量词的命题，并对其进行否定或者加以证明，体会符号语言表达数学内容的准确性、简洁性，引导学生在今后的数学学习中，自觉地运用符号语言表达数学内容，交流数学对象．三、教学问题诊断分析学生初中学习过一些含有全称量词和存在量词的命题，例如“平面内垂直于同一条直线的两条直线平行”，20∀∈R“，≥”等，通过本节课可以将其归纳并用确定的符号表示出x x来．学生学习的难点在于判断一个命题是否为含有量词的命题，所以在教学过程中需要注意帮助学生提炼语句中的量词，并更多地把自然语句转化成标准的全称量词命题和存在量词命题形式的语句．由于在之前的学习过程中学习过的数学定理、规律、公式基本上都对所有变量都成立的命题，所以学生理解全称量词命题并判断真假并不困难，相对而言，存在量词命题是对部分变量甚至是唯一变量成立的，不常以结论形式出现，在学生之前的学习过程中出现得相对较少，学生掌握起来稍有难度，学生对命题中不同的存在量词的识别上以及对存在量词命题的真假性判断中都有可能出现理解的障碍，所以在存在量词命题的教学中可以更多的举例分析，帮助学生找到量词，并锻炼学生将自然语言语句向逻辑语言语句转化的能力．存在性问题是一类重要的数学问题，通过本节中对存在量词命题的学习和研究，学生能够更好的理解和掌握存在性问题的处理方法．对两种命题的否定，应多从逻辑上进行引导，可以借助真假性加以引导判断，这样更容易接受，否定全称量词命题，将否定放到语句的哪个位置，学生是需要思考和判断的．学生很容易出现的错误就是把,()“”作为全称量词命题的否定形式．例如，命题“所∀∈⌝x M p x有的矩形都是平行四边形”容易错误的否定为“所有的矩形都不是平行四边形”，那么在教学过程中就需要借助举例子并判断真假来说明，如果全称量词命题是假命题，那么说明存在一个反例，强调“并非都是”是否定全称量词命题的关键点．最终通过逻辑推理，确定它的否定形式应是将全称量词转化为存在量词，并将后面的语句进行否定，即“()，”，x M p x∃∈⌝也就是说，“都是”的反面不是“都不是”，而是“存在不是的”．同样，对于存在量词命题的否定也需要深刻理解，学生经常会忽视量词的转換而仅仅去否定语句，如果不能充分引导，那么就无法培养好学生的逻辑思维和转化思想．通过举例子帮助学生思考辨析“存在量词”在语句中的作用，要否定“存在成立的”，就需要说明是“不存在成立的”，也就是“都不成立”，需要让学生充分理解这个逻辑上的转换．这样在学生对于这两种命题的否定充分理解之后，让学生能够通过归纳总结出含有一个量词的命题的否定需要“改量词，否结论”，逻辑推理和等价转化上也同时能得到提高．本节课的教学难点是判断全称量词命题和存在量词命题的真假，正确地写出含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题的否定．四、教学过程设计1.5.1 全称量词与存在量词（一）概念的引入问题1：阅读教科书第26页“思考”，关于思考中的4个语句哪些是命题？说明理由？师生活动：学生判断（1）~（4）是否为命题，教师根据学生情况，可以选择以下问题进行追问．追问：含有变量的语句一定是命题吗?（1）（2）不是命题的原因？（3）（4）是命题的原因？师生活动：学生独立思考追问中的问题、讨论交流．设计意图：通过师生对话交流，复习初中所学命题的概念．使学生初步认识到在数学中，含有变量的陈述句不一定都能够判断真假，从而不一定都是命题．命题中的变量是否具备明确的限定范围是决定其是否能成为命题的关键．（二）概念的形成问题2：在教科书第26页“思考”中的4个语句，比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？师生活动：学生判断（1）~（4）是否为命题，教师根据学生情况，可以选择以下问题进行追问．追问：（1）比较（1）和（3），它们之间有什么关系？又有什么区别？（2）比较（2）和（4），它们之间有什么关系？又有什么区别？师生活动：学生独立思考追问中的问题、讨论交流．教师引导学生梳理讨论交流的结果，语句（1）（2）中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题．语句（3）在（1）的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句（4）在（2）的基础上，用短语“任意一个”对变量x 进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的语句，因此语句（3）（4）是命题．设计意图：通过对比两组含有变量的语句能否判断真假，突出了两个短语“所有的”“任意一个”的作用，激发学生对这类短语的兴趣，由此引出全称量词的概念、符号以及全称量词命题的概念．短语“所有的”“任意一个”在逻辑上通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等，含有全称量词的命题叫做全称量词命题．（三）概念的深化问题3：你能再举出几个全称量词命题的例子吗？通过这些例子能否写出全称量词命题的一般形式？师生活动：学生独立思考，举例，讨论交流．教师选取学生的举例板书，引导学生梳理、完善讨论交流的结果，并运用符号语言简洁、准确地表达出全称量词命题的一般形式．设计意图：教师引导学生通过多举一些数学例子加深对全称量词命题的认识，通过引入符号表述全称量词命题，使学生体会到用符号语言表达数学内容的准确性、简洁性．（四）概念的巩固应用例1 判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）||1R，≥1；∀∈+x x（3）对任意一个无理数x，x2也是无理数．师生活动：学生判断，教师给出解答示范，然后根据学生情况逐次提出以下问题进行追问．追问：（1）如何判断一个全称量词命题为真命题？（2）如何说明一个全称量词命题为假命题？师生活动：学生独立思考，讨论交流．教师引导学生梳理讨论交流的结果，自主归纳总结出要判断全称量词命题“()∀∈，”x M p x是真命题，需要对集合M中每一个元素x，证明()p x成立；如果在集合M中找到一个元素p x不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．x，使()设计意图：通过三个数学实例介绍全称量词命题真假的判断法方法，使学生理解全称量词的意义，会判断全称量词命题的真假．（五）概念的形成问题5：阅读教科书第27页“思考”，关于思考中的4个语句，哪些是命题？为什么？师生活动：学生判断（1）~（4）是否为命题，教师根据学生情况，可以选择以下问题进行追问．追问：（1）比较（1）和（3），它们之间有什么关系？又有什么区别？（2）比较（2）和（4），它们之间有什么关系？又有什么区别？师生活动：学生独立思考追问中的问题、讨论交流．教师引导学生梳理讨论交流的结果，语句（1）（2）中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题．语句（3）在（1）的基础上，用短语“存在一个”对变量x进行限定；语句（4）在（2）的基础上，用短语“至少有一个”对变量x进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的语句，因此语句（3）（4）是命题．设计意图：通过对比两组含有变量的语句能否判断真假，突出了两个短语“存在一个”“至少有一个”的作用，激发学生对这类短语的兴趣，由此引出存在量词的概念、符号以及存在量词命题的概念．短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑上通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，常见的全称量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等，含有存在量词的命题叫做存在量词命题．（六）概念的深化问题6：你能再举出几个存在量词命题的例子吗？通过这些例子能否写出存在量词命题的一般形式？师生活动：学生独立思考，举例，讨论交流．教师选取学生的举例板书，引导学生梳理、完善讨论交流的结果，并运用符号语言简洁、准确地表达出存在量词命题的一般形式．设计意图：教师引导学生通过多举一些数学例子加深对存在量词命题的认识，通过引入符号表述全称量词命题，使学生体会到用符号语言表达数学内容的准确性、简洁性．（七）概念的巩固应用问题7：请同学们思考：对给定的存在量词命题，如何判断它的真假呢？例2 判断下列存在量词命题的真假：（1）有一个实数x，使2230x x++=；（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；（3）有些平行四边形是菱形．师生活动：学生判断，教师给出解答示范，然后根据学生情况逐次提出以下问题进行追问．追问：（1）如何判断一个存在量词命题为真命题？（2）如何说明一个存在量词命题为假命题？师生活动：学生独立思考，讨论交流．教师引导学生梳理讨论交流的结果，自主归纳总结出要判断存在量词命题p x成立即可；如果在∃∈“”是真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使()x M p x,()集合M中，使()p x成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题就是假命题．设计意图：通过三个数学实例介绍存在量词命题真假的判断法方法，使学生理解存在量词的意义，会判断存在量词命题的真假．1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定（一）概念的引入问题1：一般地，对一个命题进行否定就会得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定．你能快速准确地对生活中或数学中的一些词语进行否定吗？生活中数学中（文字表述）对（错）有（无）集合属于（不．属于）包含（不．包含）是（否或非）真（假）等式相等（不．相等）曲（直）善（恶）不等式大于（不．大于或小于等于）成（败）美（丑）方程有解（无．解）几何点在原点（点不．在原点）数学中（符号表示）集合∈（∉）⊆( ）不等式＞（≤）等式＝（≠）几何(0,0)（(x,0),(0,y),( x, y))师生活动：学生独立思考，口头回答，教师纠正．追问：（1）生后中词语的否定是什么意思？（2）大于的否定是小于吗？（3）全都如何进行否定？师生活动：学生独立思考，交流讨论，通过对生活中及数学中若干词语的否定，体会否定的含义．设计意图：教师与学生共同归纳总结：由生活中词语的否定有“取反”的意思，过渡到数学中词语的否定往往可以添加“不”或者“无”等常用否定词．体会否定与“取反”的联系．感受数学来源于生活高于生活，感受数学符号作为数学语言在表达上的简洁。