高考数学理科专题 立体几何

高考数学理科专题 立体几何

必考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积

[高考预测]——运筹帷幄

1．以三视图为背景的几何体的识别问题．

2．空间几何体与三视图相结合，计算几何体的表面积和体积．

3．球及有关组合体的表面积与体积．

[速解必备]——决胜千里

1．一个物体的三视图的排列规则

俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，即“长对正、高平齐、宽相等”．

2．(1)设长方体的相邻的三条棱长为a、b、c则体对角线长为 a2＋b2＋c2

(2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a＝2R.

(3)若球面上四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，则4R2＝a2＋b2＋c2，把有关元素“补形”成为一个球内接长方体(或其他图)

[速解方略]——不拘一格

类型一 有关几何体的三视图的计算

[例1] (1)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )

A.18 B.17

C.16 D.15

解析：基本法：由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为

V1＝13×12×1×1×1＝16，

剩余部分的体积V2＝13－16＝56.

所以V1V2＝1656＝15，故选D.

速解法：如图所示，

VA­A1B1D1＝13VABD­A1B1D1＝16V正方体

VA­A1B1D1＝15VABCD­B1C1D1

答案：D

方略点评：基本法是具体计算几何体的体积，速解法是根据几何体间的体积关系求得答案.

(2)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )

A．1 B．2

C．4 D．8

解析：基本法：由已知可知，该几何体的直观图如图所示，其表面积为2πr2＋πr2＋4r2＋2πr2＝5πr2＋4r2.由5πr2＋4r2＝16＋20π，得r＝2.故选B.

速解法：由几何体特征可知，球的表面积，圆的面积，圆柱侧面积都含有“π”，只有圆柱的轴截面面积不含“π”，∴即2r·2r＝16，∴r＝2，故选B.

答案：B

方略点评：1基本法是具体计算出几何体的表面积的表达式.速解法是根据几何体特征想出表面积表达式特征由部分几何体求r.

2此类题关键是将三视图恢复为直观图，并找清几何体的标量，代入公式计算.

1．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )

A.1727 B.59

C.1027 D.13

解析：基本法：该零件是两个圆柱体构成的组合体，其体积为π×22×4＋π×32×2＝34π cm3，

圆柱体毛坯的体积为π×32×6＝54π cm3，

所以切削掉部分的体积为54π－34π＝20π cm3，

所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为20π54π＝1027，故选C.

答案：C

2．(高考原题·高考全国丙卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )

A．18＋365 B．54＋185

C．90 D．81

解析：先根据三视图确定几何体的形状，再求其表面积．

由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋185.故选B.

答案：B

类型二 球及其组合体 [例2] (1)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O­ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )

A．36π B．64π

C．144π D．256π

解析：基本法：画出球的直观图，利用锥体的体积公式求解．

如图，设球的半径为R，∵∠AOB＝90°，

∴S△AOB＝12R2.

∵VO­ABC＝VC­AOB，而△AOB面积为定值，

∴当点C到平面AOB的距离最大时，VO­ABC最大，

∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VO­ABC最大为13×12R2×R＝36，

∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.故选C.

速解法：设球的半径为r, 则VO­ABC＝13×12×r2h≤16r3＝36，故r＝6.故S球＝4πr2＝144π.

答案：C

方略点评：基本法是根据直观图，找到C点位置.,速解法是利用VO­ABC的表达式的代数关系≤16r3直接求得r.

(2)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )

A.81π4 B．16π

C．9π D.27π4

解析：基本法：如图所示，R2＝(4－R)2＋2，

∴R2＝16－8R＋R2＋2，∴R＝94，

∴S表＝4πR2＝4π×8116＝81π4，选A.

速解法：由几何体的直观图可看出R＞h2＝2(∵h＜2R)

∴S表＝4πR2＞16π，只能选A.

答案：A

方略点评：1基本法是根据球的内接四棱锥的性质建立R的方程求R.速解法是估算球的半径的取值范围从而想到S表的范围而选答案，巧而快.

2有关球的组合体转化为球的轴截面中圆的性质.

1．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器

口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )

A.500π3cm3 B.866π3cm3

C.1 372π3cm3 D.2 048π3cm3

解析：基本法：设球半径为R，如图所示，B为弦的中点，OA＝OC＝R，由垂径定理，知△OBA为直角三角形．

BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，

由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，

所以球的体积为43π×53＝5003π(cm3)，故选A.

答案：A

2．(高考原题·高考全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )

A．12π B.323π

C．8π D．4π

解析：由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a＝2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R＝3a(R为正方体外接球的半径)，所以R＝3，故所求球的表面积S＝4πR2＝12π.

答案：A

[终极提升]——登高博见

选择题、填空题的解法——范围分析法

方法诠释 对于某些计算问题，若从已知条件入手，计算量大而复杂，可以根据题设条件，分析出变量的取值范围，从而得出所求问题的大致范围，结合选项看其是否在这个范围内．

注意事项 从条件分析变量范围时要尽量“精准”

限时速解训练十三 空间几何体的三视图、表面积与体积

(建议用时40分钟)

一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)

1．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O­xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )

解析：选A.设O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,1)，将以O、A、B、C为顶点的四面体补成一正方体后，由于OA⊥BC，所以该几何体以zOx平面为投影面的正视图为A.

2．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )

A．三棱锥

B．三棱柱

C．四棱锥

D．四棱柱

解析：选B.原几何体为如图所示的三棱柱，故选B.

3．一个几何体的三视图中，正(主)视图和侧(左)视图如图所示，则俯视图不可能为( )

解析：选C.若几何体的俯视图为C选项，则其正视图中矩形的中间应为实线，与题意不符，即俯视图不可能为C选项，故选C.

4．某四棱锥的三视图如图所示，记A为此棱锥所有棱的长度的集合，则( )

A．2∈A，且4∈A B.2∈A，且4∈A

C．2∈A，且25∈A D.2∈A，且17∈A

解析：选D.由俯视图可知，该四棱锥的底面边长为2，由主视图可知四棱锥的高为4，所以其侧棱长为16＋1＝17，故选D.

5．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为( )

A．2 B．3

C．4 D．5

解析：选C.作出三棱锥的直观图如图所示，由三视图可知AB＝BD＝2，BC＝CD＝2，AD＝22，AC＝6，故△ABC，△ACD，△ABD，△BCD均为直角三角形，故选C.

6．半径为R的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是( )

A．πR2 B．2πR2

C．3πR2 D．4πR2

解析：选B.设球的内接圆柱的底面圆半径为r，母线长为l，则l22＋r2＝R2，该圆柱的侧面积为2πrl＝π4r2l2＝π4R2－l2l2≤π×4R2－l2＋l22＝2πR2，当且仅当l＝2R时取等号，所以该圆柱的侧面积的最大值是2πR2，又球的表面积为4πR2，所以球的表面积与该圆柱的侧面积之差是4πR2－2πR2＝2πR2，故选B.

7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积为( )

A．17 B．22

C．14＋213 D．22＋213

解析：选D.作出四棱锥P­ABCD的直观图如图所示，AB＝4，BC＝2，PC＝3，S矩形ABCD＝2×4＝8，S△BCP＝12×2×3＝3，S△ABP＝12×22＋32×4＝213，S△CDP＝12×3×4＝6，S△ADP＝12×2×32＋42＝5，故四棱锥的表面积S＝8＋3＋213＋6＋5＝22＋213，故选D.