2018一模导数（文理）朝阳理18．已知函数ln 1()x f x ax x-=-． （Ⅰ）当2a =时，（ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ⅱ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若12a <<，求证：)(x f 1<-．18． (本小题满分13分)（Ⅰ）当2a =时，ln 1()2x f x x x -=-.2222ln 22ln ()2x x x f x x x ---'=-=. （ⅰ）可得(1)0f '=，又(1)3f =-，所以()f x 在点（1,3-）处的切线方程为3y =-. （ⅱ）在区间（0,1）上2220x ->，且ln 0x ->，则()0f x '>. 在区间（1,+∞）上2220x -<，且ln 0x -<，则()0f x '<. 所以()f x 的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为（1,+∞）. （Ⅱ）由0x >，()1f x <-，等价于ln 11x ax x--<-，等价于21ln 0ax x x -+->. 设2()1ln h x ax x x =-+-，只须证()0h x >成立.因为2121()21ax x h x ax x x--'=--=，12a <<，由()0h x '=，得2210ax x --=有异号两根. 令其正根为0x ，则200210ax x --=. 在0(0,)x 上()0h x '<，在0(,)x +∞上()0h x '>.则()h x 的最小值为20000()1ln h x ax x x =-+-00011ln 2x x x +=-+-003ln 2x x -=-.又(1)220h a '=->，13()2()30222a h a '=-=-<，所以0112x <<.则0030,ln 02x x ->->.因此003ln 02x x -->，即0()0h x >.所以()0h x >，所以()1f x <-.朝阳文20.（本小题满分13分）已知函数ln 1()()x f x ax a x-=-∈R . （Ⅰ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若1a <-，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅲ）若12a <<，求证：)(x f 1<-.20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0a =，则(1)1f =-，22ln ()xf x x-'=，(1)2f '=， 所以)(x f 在点()11-，处的切线方程为230x y --=．（Ⅱ）(0,)x ∈+∞，222ln ()ax xf x x --'=.令2()2ln g x ax x =--，则221()ax g x x--'=．令()0g x '=，得x =．（依题意102a->）由()0g x '>，得x >；由()0g x '<，得0x <<所以，()g x 在区间上单调递减，在区间)+∞上单调递增所以，min5()2g x g ==-因为1a <-，所以11022a <-<，0<． 所以()0g x >，即()0f x '>． 所以函数)(x f 的单调递增区间为(0,)+∞．（Ⅲ）由0x >，()1f x <-，等价于ln 11x ax x--<-，等价于21ln 0ax x x -+->. 设2()1ln h x ax x x =-+-，只须证()0h x >成立.因为2121()21ax x h x ax x x--'=--=，12a <<，由()0h x '=，得2210ax x --=有异号两根. 令其正根为0x ，则200210ax x --=. 在0(0,)x 上()0h x '<，在0(,)x +∞上()0h x '>.则()h x 的最小值为20000()1ln h x ax x x =-+-0011ln 2x x x +=-+- 003ln 2x x -=-.又(1)220h a '=->，13()2()30222a h a '=-=-<，所以0112x <<.则0030,ln 02x x ->->.因此003ln 02x x -->，即0()0h x >.所以()0h x >所以()1f x <-.19．已知2()x f x e ax =-，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y bx =+. （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）求()f x 在[0,1]上的最大值；（Ⅲ）当x ∈R 时，判断()y f x =与1y bx =+交点的个数.（只需写出结论，不要求证明） 19．解：（Ⅰ）()2x f x e ax '=-,由已知可得(1)2f e a b '=-=，(1)1f e a b =-=+解之得1,2a b e ==-．（Ⅱ）令()'()2x g x f x e x ==-． 则'()2x g x e =-,故当0ln2x ≤<时，'()0g x <，()g x 在[0,ln2)单调递减；当ln21x <≤时，'()0g x >，()g x 在(ln 2,1]单调递增； 所以min ()(ln 2)22ln 20g x g ==->，故()f x 在[0,1]单调递增，所以max ()(1)1f x f e ==-．（Ⅲ）当x R ∈时，()y f x =与1y bx =+有两个交点.20．（本小题共14分）设函数()ln mf x x x=+，m ∈R ． （Ⅰ）当m e =时，求函数)(x f 的极小值；（Ⅱ）讨论函数()()3xg x f x '=-零点的个数； （Ⅲ）若对任意的0b a >>，()()1f b f a b a-<-恒成立，求实数m 的取值范围．20.（本小题14分）解：（Ⅰ）因为2'()(0)x ef x x x -=>， 所以当),0(e x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 在),0(e 上单调递减；当),(+∞∈e x 时，0)(>'x f ，)(x f 在),(+∞e 上单调递增；所以当e x =时，)(x f 取得极小值2ln )(=+=eee ef ． （Ⅱ）=-'=3)()(x x f x g 312x x m x --)0(>x ，令0)(=x g ，得31(0)3m x x x =-+>．设31()(0)3x x x x ϕ=-+>，则=+-='1)(2x x ϕ)1)(1(+--x x ．所以当)1,0(∈x 时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ在(0,1)上单调递增；当),1(+∞∈x 时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ在),1(+∞上单调递减；所以)(x ϕ的最大值为32131)1(=+-=ϕ，又0)0(=ϕ，可知： ①当32>m 时，函数)(x g 没有零点；②当32=m 或0≤m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点；③当320<<m 时，函数)(x g 有2个零． （Ⅲ）原命题等价于a a f b b f -<-)()(恒成立．)(*. 设=-=x x f x h )()()0(ln >-+x x xmx ，则)(*等价于)(x h 在),0(+∞上单调递减． 即011)(2≤--='x m x x h 在),0(+∞上恒成立,所以=+-≥x x m 241)21(2+--x )0(>x 恒成立，所以41≥m ．即m 的取值范围是),41[+∞．东城理（19）已知函数()e (1)xf x a x =-+.（I ）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线斜率为0，求a 的值； （II ）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（III ）证明：当0a =时，曲线()(0)y f x x =>总在曲线2ln y x =+的上方. （19）解：（I ）函数()e (1)xf x a x =-+的定义域为R .因为()e (1)xf x a x =-+，所以'()e xf x a =-. 由'(0)10f a =-=得1a =. （II ）'()e (R)x f x a x =-∈. ①当0a >时，令'()0f x =得ln x a =.ln x a <时，'()0f x <；ln x a >时，'()0f x >.()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,+)a ∞上单调递增.所以当ln x a =时，()f x 有最小值(ln )(1ln )ln f a a a a a a =-+=-. “()0f x ≥恒成立”等价于“()f x 最小值大于等于0”，即ln 0a a -≥. 因为0a >，所以01a <≤.②当0a =时，()e 0xf x =>符合题意；③当0a <时，取011x a=-+，则111101()e(11)e 10aa f x a a -+-+=--++=-<，不符合题意.综上，若()0f x ≥对x R ∈恒成立，则a 的取值范围为[0,1].（III ）当0a =时，令()()(2ln )e ln 2(0)xh x f x x x x =-+=-->，可求1'()e xh x x=-. 因为121'()e 1002h =-<，'(1)e 10h =->，且1'()e xh x x=-在(0,)+∞上单调递增，所以在（0，+?）上存在唯一的0x ，使得0001'()e 0xh x x =-=，即001e x x =，且0112x <<. 当x 变化时，()h x 与'()h x 在（0，+?）上的情况如下：则当0x x =时，()h x 存在最小值0()h x ,且000001()e ln 22xh x x x x =--=+-. 因为01(,1)2x ∈，所以0001()220h x x x =+->=.u 所以当0a =时，()2ln (0)f x x x >+>所以当0a =时，曲线()(0)y f x x =>总在曲线2ln y x =+的上方. .. …………14分（20）已知函数()sin cos f x x x a x x =++，a ∈R .（Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当2a=时，求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值；（Ⅲ）当2a >时，若方程()30f x -=在区间[0,]2π上有唯一解，求a 的取值范围. （20）解：（Ⅰ）当1a =-时，()sin cos f x x x x x =-+，所以'()2sin cos 1f x x x x =++，'(0)1f =.又因为(0)1f =-， 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =-.（Ⅱ）当2a =时，()sin 2cos f x x x x x =++，所以'()sin cos 1f x x x x =-++．当(0,)2x π∈时，1sin 0x ->，cos 0x x >，所以'()0f x >.所以()f x 在区间[0,]2π上单调递增．因此()f x 在区间[0,]2π上的最大值为()2f π=π，最小值为(0)2f =.（Ⅲ）当2a >时，'()(1)sin cos 1f x a x x x =-++.设()(1)sin cos 1h x a x x x =-++，'()(2)cos sin h x a x x x =--，因为2a >，[0,]2x π∈,所以'()0h x <.所以()h x 在区间[0,]2π上单调递减．因为(0)10h =>，()11202h a a π=-+=-<，所以存在唯一的0[0,]2x π∈，使0()0h x =，即0'()0f x =.所以()f x 在区间0[0,]x 上单调递增，在区间0[]2x π，上单调递减．因为(0)f =a ，()2f π=π，又因为方程()30f x -=在区间[0,]2π上有唯一解，所以23a <≤.18. 已知函数ax xx f +=ln )(. （Ⅰ）当0=a 时，求函数)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）当0>a 时，若函数)(x f 的最大值为2e1，求a 的值. 18.（Ⅰ）当0a =时，ln ()xf x x=, 221ln 1ln '()x xx x f x x x ⋅--==令'()0f x >，得0x <<e , 故()f x 的单调递增区间为(0,)e（Ⅱ）方法1：22ln 1ln '()()()x a ax xx x f x x a x a +-+-==++ 令()1ln a g x x x =+-, 则221'()0a x ag x x x x+=--=-< 由()0a g =>e e ，1111()1(1)(1)0a a a a g a a e e+++=+-+=⋅-<e 故存在10(,)a x +∈e e ，0()0g x =故当0(0,)x x ∈时，()0g x >；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x <故02()f x =e 故000201ln 0ln 1ax x x x a ⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩e，解得202x a ⎧=⎪⎨=⎪⎩e e 故a 的值为2e .（Ⅱ）方法2：()f x 的最大值为21e 的充要条件为对任意的(0,)x ∈+∞，2ln 1x x a ≤+e 且存在0(0,)x ∈+∞，使得020ln 1x x a =+e，等价于对任意的(0,)x ∈+∞，2ln a x x ≥-e 且存在 0(0,)x ∈+∞，使得200ln a x x ≥-e ，等价于2()ln g x x x =-e 的最大值为a .Q 2'()1g x x=-e ， 令'()0g x =，得2x =e .故的最大值为()ln g =-=e e e e e ，即a =e . ········ 13分海淀文20．已知函数ax x x f x-=sin e )(.（Ⅰ）当0=a 时，求曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线方程； （Ⅱ）当0≤a 时，判断()f x 在]4π3,0[上的单调性，并说明理由； （Ⅲ）当1<a 时，求证：]4π3,0[∈∀x ，都有0)(≥x f . 20．解：（Ⅰ）当0a =时，()e sin x f x x =,'()e (sin cos )x f x x x x =+∈R n . 得'(0) 1.f = 又0(0)e sin 0=0f =,所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为.y x =（Ⅱ）方法1：因为()e sin x f x x ax =-，所以'()e (sin cos )xf x x x a =+-sin(+)4x x a π=-因为3[0,]4x π∈，所以[,]44x πππ+∈. sin()04x x π+≥. 所以 当0a ≤时，'()0f x ≥， 所以()f x 在区间3[0,]4π单调递增. ………….…8分方法2：因为()e sin x f x x ax =-，所以'()e (sin cos )x f x x x a =+-. 令()'()g x f x =，则 '()e (sin cos )e (cos sin )2e cos x x x g x x x x x x =++-=，(),'()g x g x 随x 的变化情况如下表：当0a ≤时，3(0)10,()04g a g a =->π=-≥.所以3[0,]4x π∈时，()0g x ≥，即'()0f x ≥，所以()f x 在区间3[0,]4π单调递增.（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）可知，当0a ≤时，()f x 在区间3[0,]4π单调递增， 所以3[0,]4x π∈时，()(0)0f x f ≥=. 当01a <<时，设()'()g x f x =， 则 '()e (sin cos )e (cos sin )2e cos x x x g x x x x x x =++-=，(),'()g x g x 随x 的变化情况如下表：所以'()f x 在[0,]2π上单调递增，在3(,]24ππ上单调递减因为'(0)10f a =->，3'()04f a π=-<， 所以存在唯一的实数03(,)24x ππ∈，使得0'()0f x =，且当0(0,)x x ∈时，'()0f x >，当03(,]4x x π∈时，'()0f x <， 所以()f x 在0[0,]x 上单调递增，()f x 在03[,]4x π上单调递减.又 (0)0f =，3324433()304242f e a e ππππ=⨯->⨯->>, 所以当01a <<时，对于任意的3[0,]4x π∈，()0f x ≥. 综上所述，当1a <时，对任意的3[0,]4x π∈，均有()0f x ≥. ……….…13分方法2：由（Ⅱ）可知，当0a ≤时，()f x 在区间3[0,]4π单调递增， 所以3[0,]4x π∈时，()(0)0f x f ≥=. 当01a <<时， 由（Ⅱ）知，'()f x 在[0,]2π上单调递增，在3(,]24ππ上单调递减，因为'(0)10f a =->，3'()04f a π=-<， 所以存在唯一的实数03(,)24x ππ∈，使得0'()0f x =，且当0(0,)x x ∈时，'()0f x >，当03(,]4x x π∈时，'()0f x <， 所以()f x 在0[0,]x 上单调递增，()f x 在03[,]4x π上单调递减.又 (0)0f =，3324433()304242f e a e ππππ=⨯->⨯->>, 所以当01a <<时，对于任意的3[0,]4x π∈，()0f x ≥. 综上所述，当1a <时，对任意的3[0,]4x π∈，均有()0f x ≥. .…………………….…13分西城理18．已知函数1()e (ln )xf x a x x=⋅++，其中a ∈R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值；（Ⅱ）当(0,ln 2)a ∈时，证明：()f x 存在极小值． 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为2111()e (ln )e ()x x f x a x x x x '=⋅+++⋅-221e (ln )x a x x x =⋅+-+．依题意，有 (1)e (1)e f a '=⋅+=，解得 0a =． （Ⅱ）由221()e (ln )x f x a x x x '=⋅+-+及e 0x >知，()f x '与221ln a x x x+-+同号． 令 221()ln g x a x x x =+-+， 则223322(1)1()x x x g x x x -+-+'==． 所以 对任意(0,)x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增． 因为 (0,ln 2)a ∈，所以 (1)10g a =+>，11()ln 022g a =+<，故 存在01(,1)2x ∈，使得 0()0g x =．()f x 与()f x '在区间1(,1)上的情况如下：所以 ()f x 在区间01(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增．所以 ()f x 存在极小值0()f x ．西城文20．已知函数()e (ln )x f x a x =⋅+，其中a ∈R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值； （Ⅱ）记()f x 的导函数为()g x ．当(0,ln 2)a ∈时，证明： ()g x 存在极小值点0x ，且0()0f x <． 20．解：（Ⅰ）11()e (ln )e e (ln )x xx f x a x a x x x'=⋅++⋅=⋅++． 依题意，有 (1)e (1)e f a '=⋅+=，解得 0a =． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 1()e (ln )xg x a x x=⋅++， 所以 2211121()e (ln )e ()e (ln )xx x g x a x a x x x x x x'=⋅+++⋅-=⋅+-+． 因为 e 0x>，所以()g x '与221ln a x x x +-+同号． 设 221()ln h x a x x x =+-+，则 223322(1)1()x x x h x x x -+-+'==． 所以 对任意(0,)x ∈+∞，有()0h x '>，故()h x 在(0,)+∞单调递增． 因为 (0,ln 2)a ∈，所以 (1)10h a =+>，11()ln 022h a =+<，故存在01(,1)x ∈，使得 0()0h x =． ()g x 与()g x '在区间1(,1)2上的情况如下：所以 ()g x 在区间01(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增．所以 若(0,ln 2)a ∈，存在01(,1)2x ∈，使得0x 是()g x 的极小值点．令 0()0h x =，得 002012ln x a x x -+=，所以 00000212()e (ln )e 0x x x f x a x x -=⋅+=⋅<．丰台理（18）已知函数()e (ln 1)()x f x a x a =-+∈R ． （Ⅰ）求函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()y f x =在1(,1)2上有极值，求a 的取值范围． （18）（本小题共13分）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()e x af x x'=-． （Ⅰ）因为(1)e f a =-，(1)e f a '=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(e )(e )(1)y a a x --=--， 即(e )y a x =-． （Ⅱ）()e x a f x x'=-． （ⅰ）当0a ≤时，对于任意1(,1)2x ∈，都有()0f x '>，所以函数()f x 在1(,1)2上为增函数，没有极值，不合题意． （ⅱ）当0a >时，令()e x a g x x =-，则2()e 0x ag x x'=+>． 所以()g x 在1(,1)2上单调递增，即()f x '在1(,1)2上单调递增，所以函数()f x 在1(,1)2上有极值，等价于(1)0,1()0.2f f '>⎧⎪⎨'<⎪⎩所以e 0,20.a a ->⎧⎪<所以e 2a <<． 所以a的取值范围是．丰台文（20）已知函数1()ln ()e xf x a x a =+∈R ． （Ⅰ）当1ea =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在定义域内不单调，求a 的取值范围． （20）（本小题共13分）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，导函数1e ()e e x x x a a xf x x x -'=-+=．（Ⅰ）当1e a =时，因为11(1)0e e f '=-+=，1(1)ef =， 所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1ey =．（Ⅱ）e ()(0)e x xa xf x x x -'=>， 设函数()f x 在定义域内不单调时．．．．，a 的取值范围是集合A ； 函数()f x 在定义域内单调时．．．，a 的取值范围是集合B ，则R A B =ð． 所以函数()f x 在定义域内单调．．，等价于()0f x '≤恒成立，或()0f x '≥恒成立， 即e 0x a x -≤恒成立，或e 0x a x -≥恒成立，等价于e x x a ≤恒成立或e x xa ≥恒成立． 令()(0)e x x g x x =≥，则1()ex xg x -'=，由()0g x '>得 01x <<，所以()g x 在(0,1)上单调递增； 由()0g x '<得 1x >，所以()g x 在(1,)+∞上单调递减． 因为(0)0g =，1(1)eg =，且0x >时，()0g x >，所以1()(0]eg x∈，．所以1{|0,}eB a a a=≤≥或，所以1{|0}eA a a=<<．。
