2013年高考数学总复习 1-2 命题、量词、逻辑联结词 新人教B版

否定
某两 一个也 至少有
至少有
某个
某些
且
词语
个 没有 两个
n＋1个
(2)当命题 p 真假不易判断时，可以转化为去判断命题 綈 p 的真假，当命题綈 p 为真时，命题 p 为假，当命题綈 p
为假时，命题 p 为真．
1．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p：y＝sin x 是周期函数； (2)p：3＜2； (3)p：空集是集合 A 的子集． (4)一元二次方程至多有两个解．
2．写出下列命题的否定： (1)p：二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(b2－4ac＝0)的图象与 x 轴有 唯一交点； (2)q：若 x＝3 或 x＝4，则 x2－7x＋12＝0. 解：(1)二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(b2－4ac＝0)的图象与 x 轴 没有交点或至少有两个交点． (2)若 x＝3 或 x＝4，则 x2－7x＋12≠0.
[一点通] (1)否定全称命题时，首先把全称量词改为存在量词，再对 性质 q(x)进行否定． (2)有的全称命题省略了全称量词，否定时要先理解其含义， 再进行否定．如本例(1)应理解为“每个三角形的内角和都为 180°”．
3．(重庆高考)命题“对任意 x∈R，都有 x2≥0”的否定为( ) A．对任意 x∈R，都有 x2<0 B．不存在 x∈R，使得 x2<0 C．存在 x0∈R，使得 x02≥0 D．存在 x0∈R，使得 x02<0
解：(1)綈 p：y＝sin x 不是周期函数．命题 p 是真命题，綈 p 是假命题； (2)綈 p：3≥2.命题 p 是假命题，綈 p 是真命题；
(3)綈 p：空集不是集合 A 的子集，命题 p 是真命题，綈 p 是 假命题． (4)綈 p：一元二次方程至少有三个解，命题 p 是真命题，綈 p 是假命题．

课时作业(四十五) 命题及其关系、充分条件与必要条件A 级1．(2012·湖南卷)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π42．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a ＞b ”与“a ＋c ＞b ＋c ”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0” D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真 3．有下列命题：①两组对应边相等的三角形是全等三角形； ②“若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0”的逆命题； ③“若a ＞b ，则2x·a ＞2x·b ”的否命题； ④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题． 其中真命题共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个4．(2012·四川卷)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |5．(2012·山东潍坊一模)命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤56．e 1、e 2是不共线的两个向量，a ＝e 1＋k e 2，b ＝k e 1＋e 2，则a ∥b 的充要条件是实数k ＝________.7．在命题“若m >－n ，则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．8．有三个命题：(1)“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； (2)“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；(3)“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题． 其中真命题的个数为________．9．a <0是方程ax 2＋1＝0有一个负数根的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”)10．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”． (1)写出命题p 的否命题．(2)判断命题p 的否命题的真假，并证明你的结论．11．指出下列命题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A ＝∠B ，q ：sin A ＝sin B ； (2)非空集合A 、B 中，p ：x ∈A ∪B ，q ：x ∈B ；(3)已知x 、y ∈R ，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0.B 级1．下列命题：①“若a 2<b 2，则a <b ”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a >1，则ax 2－2ax ＋a ＋3>0的解集为R ”的逆否命题；④“若3x (x ≠0)为有理数，则x 为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是( )A ．③④B ．①③C ．①②D ．②④2．(2012·济南调研)若命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．3．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝x 2－32x＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．详解答案课时作业(四十五)A 级1．C 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．2．D 否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性． 3．B ①是假命题，②是真命题，③是真命题，④是假命题．4．C 因为a |a |＝b |b |，则向量a |a |与b|b |是方向相同的单位向量，所以a 与b 共线同向，即使a |a |＝b|b |成立的充分条件为选项C.5．C 原命题等价于“a ≥x 2对于任意x ∈[1,2]恒成立”，其充要条件是a ≥4，所以C 正确．6．解析： a ＝λb ，⎩⎪⎨⎪⎧1＝kλk ＝λ⇒k 2＝1⇒k ＝±1.答案： ±17．解析： 原命题为假命题，逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，否命题也是假命题．故假命题个数为3.答案： 38．解析： 命题(1)为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；因为命题“若a >b ，则a 2>b 2”是假命题，故命题(2)是假命题；命题(3)为“若x >－3，则x 2＋x －6≤0”，因为x 2＋x －6≤0⇔－3≤x ≤2，故命题(3)是假命题，综上知真命题只有1个．答案： 19．解析： 当a <0时，由ax 2＋1＝0得x 2＝－1a>0，故方程ax 2＋1＝0有一个负数根；若方程ax 2＋1＝0有一个负数根，则x 2＝－1a>0，∴a <0，从而a <0是方程ax 2＋1＝0有一个负数根的充要条件．答案： 充分必要10．解析： (1)否命题：“若ac <0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”．(2)命题p 的否命题为真命题，证明如下：∵ac <0，∴－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根．11．解析： (1)在△ABC 中，∠A ＝∠B ⇒sin A ＝sin B ，反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A ＝B .故p 是q 的充要条件．(2)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B ，但x ∈B 一定有x ∈A ∪B ，所以p 是q 的必要不充分条件．(3)条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2， 所以p ⇒q 但q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件．B 级1．A 对于①，否命题为“若a 2≥b 2，则a ≥b ”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a >1时，Δ＝－12a <0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故选A.2．解析： ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a ＜0，故－3≤a ≤0.答案： [－3,0]3．解析： y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪716≤y ≤2，由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}， ∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ， ∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。

1.2.1“且”与“或”
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解含有“且”“或”联结词的复合命题的概念及其构成形式，理解“且”“或”的含义．
2．会用真值表判断由“且”与“或”构成的新命题的真假.
1．且
思考1“且”与自然语言中的哪些词语相当？
提示：“且”与自然语言中的“并且”“及”“和”相当．
思考2如何用“且”来定义集合A和集合B的交集？
提示：A∩B＝{x|(x∈A)∧(x∈B)}．
2．或思考3逻辑联结Fra bibliotek“或”和日常语言中的“或者”相同吗？
提示：不相同，日常语言中的“或”是“不可兼有”的，而数学中的“或”是“可兼有但不必须兼有”．
思考4如何用“或”定义集合A与集合B的并集？
提示：A∪B＝{x|(x∈A)∨(x∈B)}．

1.2.2“非”（否定）课堂探究探究一“⌝p”形式的命题及其真假判断“非”是由日常用语中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来的，可以用“非”定义集合A在全集U中的补集．U A＝{x∈U|⌝(x∈A)}＝{x∈U|x A}．“p”与“⌝p”真假不同，一个为真，另一个必定为假，它们互为否定，且有⌝(⌝p)＝p.【典型例题1】写出下列命题p的否定，并判断其真假：(1)p：周期函数都是三角函数；(2)p：偶函数的图象关于y轴对称；(3)p：若x2－x≠0，则x≠0，且x≠1.思路分析：要写出命题的非(否定)，需要对其正面叙述的词语进行否定，然后根据真值表进行真假判断．解：(1)⌝p：周期函数不都是三角函数．命题p是假命题，⌝p是真命题．(2)⌝p：偶函数的图象不关于y轴对称，命题p是真命题，⌝p是假命题．(3)⌝p：若x2－x≠0，则x＝0或x＝1.命题p是真命题，⌝p是假命题．规律小结下表是一些常用词语和它们的否定词语，理解它们对于今后解决问题大有帮助.解答存在性命题与全称命题的否定问题：(1)改变量词，把存在量词改为恰当的全称量词或把全称量词改为恰当的存在量词；(2)否定性质，把原命题中的“p(x)成立”改为“⌝p(x)成立”．【典型例题2】写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：∃x∈R，x2＋1＜0；(2)q ：每一个对角互补的四边形有外接圆； (3)r ：有些菱形的对角线互相垂直； (4)s ：所有能被3整除的整数是奇数．思路分析：命题p ，r 是存在性命题，按存在性命题的否定形式进行否定即可． 命题q ，s 是全称命题，按全称命题的否定形式进行否定即可． 解：(1) ⌝p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥0.(真)(2)⌝q ：有些对角互补的四边形没有外接圆．(假) (3)⌝r ：所有菱形的对角线不互相垂直．(假) (4)⌝s ：有些能被3整除的整数不是奇数．(真) 探究三易错辨析 易错点 否定不全面【典型例题3】 若“∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋3cos x ＜m ”为假命题，则实数m 的取值范围是__________．错解：由于“∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋3cos x ＜m ”为假命题，则其否定“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋3cos x ＞m ”为真命题．令f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数，在⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2上是减函数，且f (0)＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，所以f (x )min＝1.故有m ＜1，即实数m 的取值范围是(－∞，1)．答案：(－∞，1)错因分析：原命题的否定应为“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋3cos x ≥m ”，漏掉了等号成立的情况，导致m 的范围被缩小．正解：令f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2上为减函数．由于f (0)＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1， 所以1≤f (x )≤2.由于“∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋3cos x ＜m ”为假命题， 则其否定“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋3cos x ≥m ”为真命题，所以m≤f(x)min＝1. 答案：(－∞，1]。