第一讲 有理数
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第一讲 有理数、数轴、相反数
【学习目标】
1．掌握正负数,用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；
2．理解有理数的概念，有理数的分类方法；
3. 掌握数轴、相反数、多重符号的化简．
【知识梳理】
一、正数和负数
1. 正数和负数的意义
① 像2，1.5，227等大于0的数叫做正数.（正数前面有一个符号“+”，通常省略）
② 像3，2.5，23等在正数前面添上“”的数，叫做负数.（负数都比0小）
③ ___既不是正数，也不是负数.
④ _____ > ___ > ______
2. 正数和负数的应用
正负数用来表示具有相反意义的量.例如：收入支出、上升下降、允许误差、按一定标准进行计数等.
【典型例题】
【例1】若把向北走7km记为－7km，则＋10km表示的含义是（ ）．
A．向北走10km B．向西走10km C．向东走10km D．向南走10km
【巩固】（1）一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列质量不合格的是（ ）
A．50.0千克 B．50.3千克 C．49.7千克 D．49.1千克
（2）如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（ ）．
A．－20m B．－40m C．20m D．40m
（3）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用_______ 表示，0元表示_________ .
【例2】体育课上，学校对九年级男生进了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0.
（1） 这8名男生有百分之几达到标准？
（2） 他们共做了多少引体向上？
二、有理数
1.有理数的定义
①___和____统称为有理数
②分数：可以表示成整数之比nm的形式
2.有理数的分类
I按定义进行分类 II按性质进行分类
※ 自然数包括0
3.有理数中的“四非”
①非负数为_______和_______； ②非正数为_____和____；
③非负整数为______和____； ④非正整数为____和___；
【例3】下面说法中正确的是( )．
A． 非负数一定是正数．
B． 有最小的正整数，有最小的正有理数．
C．a一定是负数．
D ．正整数和正分数统称正有理数．
【巩固】（1）判断题：
① 0是自然数，也是偶数．（ ） ② 0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ）
③ 整数又叫自然数.（ ） ④ 非负数就是正数，非正数就是负数.（ ）
（2）下列四种说法，正确的是( )
A.所有的正数都是整数 B.不是正数的数一定是负数
C.正有理数包括整数和分数 D. 0不是最小的有理数
【例4】请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.
1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265,
723， .
正整数集合:{ }， 负整数集合:{ }，
整数集合:{ }，
正分数集合:{ }，
负分数集合:{ }，
分数集合:{ }，
非负数集合：{ …}，
非正数集合：{ …}.
【巩固】请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.
8，200%，0.3，334，2017，126，8.8，0，227，，0.16
正数
正分数
负数
负分数
非正整数
非负整数
非正数
非负数
三、数轴
1. 数轴的定义
定义：规定了_______，_________和____________的_________叫数轴. 2. 数轴的三要素
三要素：原点，正方向，单位长度
3. 数轴的画法
画法：一画、二取、三定、四标
4. 数轴的作用
①用数轴上的点表示数 （表示数）
②在数轴上表示的两个数，_________比__________大 （比较大小）
5. 数轴上的点与有理数之间的关系
①任何一个有理数，都可以用数轴上的点来表示
②有理数的变化可以用数轴上点的移动来表示
※ 数轴上的点与实数一一对应
【例5】（1）如图，表示数轴的是
（2）画一条数轴，然后在数轴上标出各数. 14 ,122 ,133 ,1.5 ,2.75 ,115 ,200%
【巩固】（1）如图为北京地铁的部分线路．假设各站之间的距离相等且都表示为一个单位长．现以万寿路站为原点，向右的方向为正，那么木樨地站表示的数为________，古城站表示的数为_______；如果改以古城站为原点，那么木樨地站表示的数变为_______．
①45231②-10231③-1-2021④0⑤-101⑥-1-20-321⑦-1-20210 1 2 3 41 -1 -2 -3 -4
0 1 2 3 41 -1 -2 -3 -4 （2）小明的家与他上学的学校、书店依次坐落在一条东西走向的大街上，小明家位于学校西边30米处，书店位于学校东边100米处，小明从学校沿这条大街向东走了40米，接着又向西走了100米到达超市，试用数轴表示出小明的家、学校、书店、超市的位置．
四、相反数
1. 相反数的意义
①代数意义：如果两个数只有________不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别的，0的相反数是_____.
②几何意义：在数轴上，位于 ，并且 两个点所表示的数互为相反数.
2. 相反数的表示方法
数a的相反数是___________（a为任意数）
3. 多重符号的化简：
①一个数的前面不管有多少个“”号，都可以把它们全部去掉；（正号全都省）
②一个数的前面有_________个“”号，则化简符号后只剩下一个“”号；（奇负还得负）
③一个数的前面有_________个“”号，也可以把“”号一起去掉.（偶负才得正）
4. 相反数的性质
①_________的相反数是________，__________的相反数是_________，0的相反数是0.
②若_____________，则a与b互为相反数；反之，若__________________，则0ab.
【例6】（1）下列说法正确的有______________
①2是相反数；②3和3都相反数；③3是3的相反数；④6是6的相反数
⑤表示相反意义的两个数是相反数；⑥一个数的相反数不可能是它本身；
（2）分别写出下列各数的相反数
①3的相反数是______； ②15的相反数是
；
③0的相反数是_____； ④a的相反数是________；
⑤5a的相反数是_____； ⑥2a的相反数是______；
⑦abc的相反数是______； ⑧32abc的相反数是________.
（3） 化简下列符号 （4） ① 145 ②2016213个 __ _；
③1.5 _________； ④a____________；
⑤2a _______； ⑥xy ___________；
【课堂精练】
1、与数轴有关的问题
（1） 已知A，B是数轴上的点，若点A表示1，从A出发，沿数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是_________.
（2）已知点A是数轴上的点，若将点A向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，这时点A表示的数是1，那么点A原来表示的数是__________.
（3）在数轴上与原点的距离等于3的数是________.
（4） 数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，则A、B两点的距离___.
（5）数轴上表示整数的点P称为整点，某数轴的单位长度1cm，若在数轴上随意画出一条长为200cm的线段AB，则线段AB盖住的整点有_______个.
2、与比较大小有关的问题
（1）若0ab，0b，则a、a、b、b的大小关系是（ ）.
A. abba B. baab
C. abab D. baba
（2）一个数与它的倒数、相反数比较总是这个数最大，而这个数的相反数最小，那么（ A ）.
A. 这个数是大于1的正数 B. 这个数是正的真分数
C. 这个数是负的假分数 D. 以上说法都对
3、与相反数有关的问题
（1）已知,mn互为相反数，则2223mnmn ．
（2）已知21m与93m 互为相反数，求m的值.
（3）若a与b互为相反数，c与d互为倒数，m是最大的负整数．求代数式2222mcdba的值．
学力检测
1. ①如果零上2C记作2C，那么零下4C记作_____________；
②如果下降10米记作10米，那么上升20米记作___________.
2. 在时钟上，若把时钟从钟面数字3开始，按顺时针方向拨到9，记作12周，那么把时针从钟面数字3开始拨了13周，现在时针指向数字___________.
3. 某粮店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为(500.1)kg、(500.2)kg、(500.3)kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ）.
A. 0.8kg B. 0.6kg C. 0.4kg D. 0.2kg
4. 把下列各数填在相应的大括号里
1,0,0.8,37,2.4,8848,43,227 ,124,80,105,200%,
正整数 … 正分数 …
负整数 … 负分数 …
非正整数 … 非负整数 …
非正数 …
