第一讲有理数1

(A)8 063.6×104元 (C)8.063 6×107元
【解析】选C.∵8 063.6万元=80 636 000元， ∴80 636 000元=8.063 6〓107元.
10.(2012·达州中考)今年我市参加中考的学生人数约为 6.01×104人.对于这个近似数，下列说法正确的是( (A)精确到百分位，有3个有效数字 (B)精确到百位，有3个有效数字 )
1 . 整数为分母的形式即可，即2 012的倒数为 2 012
3.(2012·宜昌中考)如图，数轴上表示数-2的相反数的点
是(
)
(A)点P
(B)点Q
(C)点M
(D)点N
【解析】选A.根据相反数的意义，可得-2的相反数是2，在数 轴上表示2的点为点P.
4.(2012·娄底中考)写出一个x的值，使|x-1|=x-1成立，你写
1 2 012
)
(B)2 012 (D)
1 2 012
【解析】选B.-2 012的相反数是-(-2 012)=2 012，故选B.
2.(2012·娄底中考)2 012的倒数是(
)
(A)
1 2 012
(B)
1 2 012
(C)2 012
(D)-2 012
【解析】选A.求一个整数的倒数时，只需写成分子为1，这个
做科学记数法. 不为0 (2)有效数字：一个近似数，从左边第一个______的数字起， 所有 到精确到的数位止，_____的数字都是这个数的有效数字；对 a×10n 于用科学记数法表示的数______，规定它的有效数字就是a中 的有效数字.
【即时应用】
1 8 8 1.-8的相反数是__，绝对值是__，倒数是____. 8

《有理数》与《整式的加减》【知识框架】第一章有理数第二章整式的加减【知识概念】第一章有理数1．正数与负数①表示大小②在实际中表示意义相反的量③带“-”号的数并不都是负数2．数轴（规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴)①三要素：原点、正方向、单位长度②如何画数轴③数轴上的点与有理数④在数轴上可以根据正方向比较大小3．相反数①只有符号不同的两个数，叫做互为相反数．数轴上表示相反数的两点关于原点对称．⎧⎨⎩⎧⎪②a 的相反数—a ；0的相反数是0． ③a 与b 互为相反数：a +b =0④多重符号化简：结果是由“-”决定的．“-”个数是奇数个,则结果为“-"， “-”个数是偶数个，则结果为“+”．4．绝对值①一般地，数轴上表示数a 的点与原点距离，表示成|a |． ②离原点越远，绝对值越大，离原点越近，绝对值越小．③一个正数的绝对值是它的本身;一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

a （a ≥0）｜a |=-a （a ≤0）④正数大于0，0大于负数，正数大于负数． 两个负数,绝对值大的反而小． 5．倒数①乘积是1的两个数叫作互为倒数．(求一个数的倒数时，正负不变） ②a 的倒数是1a(a ≠0） ③a 与b 互为倒数:ab =1 6⑤相反数是它本身的数是0 ⑥绝对值最小的数是0. 7．乘方①求几个相同因数的积的运算叫做乘方．（表示乘方时,底数是负数或分数时，需要加上括号)a ·a ·…·a =a n②8．科学记数法①把一个绝对值大于10的数表示成a ×n 10（其中1≤|a ｜＜10，n 为正整数）． a 的整数位必须只有一位数．负数表示成科学记数法,不能忘了“-”． ②指数n 与原数的整数位数之间的关系：n—1 9．近似数与有效数字①准确数、近似数、精确度(3种求近似值的形式）精确到万位⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩精确度 精确到0.001保留三个有效数字②近似数的最后一位是什么位，这个数就精确到哪位． 求一个科学记数法的精确值必须将数还原回来；③有效数字(求一个科学记数法的有效数字跟它的乘方部分无关） ④如何求较大数的近似数，不要忘记用科学记数法10⑤任何除0以外的数的0次幂是1 ⑥1的任何次幂都是1 二、有理数的分类1．按整数与分数分 2、按正负有理数分正整数 正整数整数 0 正有理数 负整数 正分数 有理数 有理数 0 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 （π不是有理数,但是3.14是有理数．） 三、有理数的运算1．运算种类：加、减、乘、除、乘方 2．运算法则：(1）有理数的加法法则: ； （2）有理数的减法法则: ； （3)有理数的乘法法则: ； （4）有理数的除法法则: ． 3．运算定律（用字母表示）（1）加法交换律： ;(2）加法结合律: ； (3）乘法交换律: ；（4）乘法结合律： ； （5）乘法分配律： ． 4．混合运算顺序①三级（先乘方）二级(再乘除）一级（最后加减)； ②同级运算应从左到右进行;③有括号的先做括号内的运算；（小括号 中括号 大括号）④能简便运算的应尽量简便．第二章 整式的加减1．代数式：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式．单独的一个数或字母也是代数式．2．单项式:像a 2-，2πr ，y x 231-，abc -,732yzx ，…，这些代数式中，都是____________，这样的代数式称为单项式．3．单项式的次数：是指单项式中______________．4．单项式的系数：单项式中的_____因数叫做单项数的系数．5．同类项:所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项． 6．多项式:几个单项式的_____叫做多项式．7．多项式的项：其中每个_______都是该多项式的一个项．8．多项式的次数：多项式里，次数最高__________就是这个多项式的次数． 9．整式：________和________统称为整式10．合并同类项：把多项式中同类项合并成一项，叫做合并同类项． 11．去括号和添括号:（1）去括号法则如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． （2）添括号法则所添括号前面是“＋"号，括到括号里的各项都不变符号； 所添括号前面是“－"号,括到括号里的各项都改变符号。

第一讲有理数的相关概念【知识要点及巩固】一、有理数基本概念1、正数：像3、1、+0.33等的数，叫做正数。

在小学学过的数，除0外都是正数。

正数都大于0。

2、负数：像-1、-3.12、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做负数。

负数都小于0。

0既不是正数，也不是负数。

如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。

注意：正数和负数是表示相反意义的量。

如：南为正方向，向南km3表示为km-。

31表示为km1+，那么向北km3、有理数：整数与分数统称为有理数。

4、无理数：无限不循环小数，如π。

5.有理数的分类：6.几个重要概念：注意：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数。

例1：判断下列说法正确与否⑴一个有理数不是整数就是分数（）⑵一个有理数不是正数就是负数（）⑶一个整数不是正的，就是负的（）⑷一个分数不是正的，就是负的（）例2：1、（2016山东德州）把下列各数填入表示相应集合的大括号中：-7.2，43，-9, 1.4，0, 3.14，π，5412，-2.5， 121121112.0，36整数集合{ } 正数集合{ } 分数集合{ } 有理数集合{ } 非正数集合{ } 负分数集合{ } 想一想：a +一定是正数吗？a -一定是负数吗？例3：（2014七中嘉祥）将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： （1）在A 处的数是正数还是负数？ （2）负数排在A 、B 、C 、D 中的什么位置？（3）第2014个数是正数还是负数？排在对应于A 、B 、C 、D 中的什么位置？ 例4：（2014七中嘉祥）观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请根据你探索的规律接着写出后面的3个数，并尝试写出第100个数、第301个数。

1、6151-4131-211、、、、、-，_____,_______,_________，...；第100个数是_________，第301个数是________。

有理数的概念（数轴、相反数）要点一、正数与负数大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、12-、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数． 要点二、有理数的分类1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类：（1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类⎧⎧⎫⎪⎪⎬⎨⎪⎭⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数负整数正分数分数负分数⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零（既不是正数，也不是负数）负整数负有理数负分数 【注】注意以下几个概念的区分：非负数：正数和零；非正数：负数和零；非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零；非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零．要点三、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点四、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.类型一、正数和负数（1）仔细思考以下各对量： ①胜二局与负三局； ②气温为3C -︒与气温升高30C ︒； ③盈利5万元与亏损5万元； ④增加10%与减少20%． 其中具有相反意义的量有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对（2）①我国现采用国际通用的公历纪年法，如果我们把公元2017年记作+2017年，那么，处于公元前500年的春秋战国时期可表示为___________．②如果80m 表示向东走80m ，那么60m -表示________________．③A ，B 两地海拔高度分别是120米，10-米，则B 地比A 地低________米．（3）某饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030(ml)±”字样，请问“60030(ml)±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603ml ，611ml ，589ml ，573ml ，627ml ，问抽查产品的容量是否合格？知识导航典题精练例题1举一反三：【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ） A ．50.0千克 B ．50.3千克 C ．49.7千克 D ．49.1千克【变式2】（1）如果节约16吨水记作+16吨，则浪费6吨水记作__________．（2）在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做+0.22，那么小东跳出了3.85米，记作___________．类型二、有理数的概念及分类（1）下列说法错误的是（ ） A ．0既不是正数也不是负数B ．正整数和负整数统称整数C ．整数和分数统称有理数D ．正有理数包括正整数和正分数（2）把下列各数分别填在所属分类里：5-，0， 3.14-，32， 2.4-，227，327，π， 5.5-，2.4，311-，3.14159，34-，2003①正数：{ }； ②负数：{ }； ③非负整数：{ }； ④分数：{ }； ⑤非正有理数：{ }；举一反三：【变式1】判断题：（1）0是自然数，也是偶数．（ ） （2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ） （3）整数又叫自然数.（ ） （4）非负数就是正数，非正数就是负数.（ ）例题2【变式2】下列四种说法，正确的是( ).(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数【变式3】下列说法正确的是（）A．在有理数中，零的意义仅仅表示没有B．正有理数和负有理数组成全体有理数C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数D．零既不是正数，也不是负数【变式4】把下列各数填入表示它所在的大括号：.-24，3，2.008，10-3，114，0，()--2，3.14，||--4．正有理数：{ } 非负整数：{ } 负分数：{ }类型三、数轴（1）下面图形是数轴的是（）A．B．C．D．（2）如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_______．（3）已知：点A在数轴上的位置如图所示，点B也在数轴上，且A、B两点之间的距离是2，则点B表示的数是______．（4）在数轴上标出下列各数：0， 4.2，132，2，+7，113，并用“<”连接．举一反三：【变式】（1）如图，表示数轴正确的是（）A．B．C．D．（2）已知点A，点B在数轴上，点A表示数为-2，A、B两点的距离为5，则点B表示的数是________．（3）在数轴上标出下列各数，并用“<”比较它们的大小：-3，+1，122，.-15，5．例题3（4）已知，a b 为有理数，在数轴上的位置如图所示，则a 1，b1，0，1的大小关系为_______________．（1）一个点沿着数轴的正方向从原点起移动2个单位长度后，又向反方向移动6个单位长度，则这个点表示的数是__________．（2）一个小虫在数轴上先向右爬2个单位，再向左爬6个单位，所在位置正好距离数轴原点2个单位，则小虫的起始位置所表示的数是________．（3）数轴上的点A 对应的数是1-，一只蚂蚁从A 点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B 点后，用2秒的时间吃光了B 点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回A 点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？B 点与A 点的距离是多少个单位长度？B 点对应的数是多少？举一反三：【变式】（1）点A 在数轴上距原点为3个单位，且位于原点左侧，若将A 向右移动4个单位，再向左移动2个单位，这时A 点表示的数是________．（2）一只小虫在数轴上先向右爬3个单位，再向左爬7个单位，正好停在-2的位置，则小虫的起始位置所表示的数是（ ） A ．-4 B ．4 C ．2 D ．0类型、相反数（1）2017-的相反数是________，2017与________互为相反数．（2）已知有理数a 、b 在数轴上表示如图，则a 、b 、a -、b -的大小，正确的是（ ） A ．a b a b -<-<< B ．a b b a <-<<-C ．b a a b -<<-< D ．a b b a <<-<-（3）下列说法正确的是（ ） A ．一个数的相反数一定是负数 B ．π和.-314互为相反数 C ．所有的有理数都有相反数 D ．13和31互为相反数例题4例题5举一反三：【变式1】我们可以用字母表示数，比如a 、b 都能代表一个数，在一个数的前面添上“-”号，就得到这个数的相反数．（1）5的相反数是_______；13的相反数是_______，0的相反数是_______，数a 的相反数是________；（2）5-的相反数是_______，12-的相反数是________，4-的相反数是________；数a -的相反数是________；（3）(2)--的相反数是________；(5)+-的相反数是________，数()a -+的相反数是________，数()a --的相反数是_______；()a b ---与________互为相反数．【变式2】下列说法中正确的有( )①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④π的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个或更多化简下列各数中的符号．（1）123⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （2）-(+5) （3）-(-0.25) （4）12⎛⎫+- ⎪⎝⎭（5）-[-(+1)] （6）-(-a)举一反三：【变式1】如果a <0，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数 ①()a -+； ②()a --； ③[()]a -+-； ④[()]a ---； ⑤{[()]}a -+--； ⑥{{{{{[()]}}}}}a -----+--【变式2】（1）37与________互为相反数；a 1-2是________的相反数．（2）()--2的相反数是________；b +4是________的相反数．（3）{[()]}--+-4=________；{[()]}----5与________互为相反数．例题6一、选择题1.如图所示，在数轴上点A 表示的数可能是（ ）A ．1.5 B.-1.5 C.-2.6 D.2.62．从原点开始向右移动3个单位，再向左移动1个单位后到达A 点，则A 点表示的数是( )． A.3 B.4 C.2 D.-23．关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( ) A ．0是整数 B ．0是偶数C ．0是正整数D ．0既不是正数也不是负数 4.下列说法中：（1）0是最小的自然数；（2）0是最小的正数；（3）0是最大的负整数；（4）0属于整数集合；（5）0既非正数也非负数．正确的是（ ） A ．（1）（2）（4） B ．（4）（5） C ．（1）（4）（5） D ．（1）（2）（5） 5.一个数的相反数是非负数，则这个数一定是（ ） A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 6.在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中，互为相反数的是（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④ 7.-（-2）=（ ） A.-2B. 2C.±2D.4二、填空题1.不大于4的正整数的个数为 ．2.已知数轴上有A ，B 两点，A ，B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是 ．3. 既不是正数，也不是负数的有理数是 ．4.如图所示，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上，CD ＝6，点A 对应的数为-1，则点B 所对应的数为 ．5.数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为m , 距离原点等于3.5的点的个数为n , 则3____m n -=.6.已知x 与y 互为相反数，y 与z 互为相反数，又2z =，则z x y -+= .7. 已知－1＜a ＜0＜1＜b ，请按从小到大的顺序排列－1，－a ，0，1，－b 为 ．8.一种零件的长度在图纸上是（03.002.010+-）毫米，表示这种零件的标准尺寸是 毫米，加工要求最大不超过 毫米，最小不小于 毫米.课堂巩固三、解答题9．小敏的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A 、B 、C 、D ，学校位于小敏家西150米，邮局位于小敏家东100米，图书馆位于小敏家西400米． (1)用数轴表示A 、B 、C 、D 的位置(建议以小敏家为原点)．(2)一天小敏从家里先去邮局寄信后．以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟．试问这时小敏约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米?10．把下列各数填在相应的大括号内： 1.2-，３，１，41，0，－14.3，101-，6.20，25-，1056，－７．正分数集合：{ …}； 非负数集合：{ …}；正整数集合：{ …}； 负整数集合：{ …}．11．化简下列各数，再用“<”连接.(1)-(-54) (2)-(+3.6) (3)53⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ (4)245⎛⎫-- ⎪⎝⎭12.若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 是最大的负整数．求代数式的值．13.在数轴上有三个点A ，B ，C 如图所示，请回答：(1)将B 点向左移动3个单位长度后，三个点表示的数谁最小？ (2)与A 点相距3个单位长度的点所表示的数是什么？(3)将C 点左移6个单位长度后，这时B 点表示的数比C 点表示的数大多少？。