判别分析-四种方法

1 第六章 判别分析 §6.1 什么是判别分析 判别分析是判别样品所属类型的一种统计方法，其应用之广可与回归分析媲美。 在生产、科研和日常生活中经常需要根据观测到的数据资料，对所研究的对象进行分类。例如在经济学中，根据人均国民收入、人均工农业产值、人均消费水平等多种指标来判定一个国家的经济发展程度所属类型；在市场预测中，根据以往调查所得的种种指标，判别下季度产品是畅销、平常或滞销；在地质勘探中，根据岩石标本的多种特性来判别地层的地质年代，由采样分析出的多种成份来判别此地是有矿或无矿，是铜矿或铁矿等；在油田开发中，根据钻井的电测或化验数据，判别是否遇到油层、水层、干层或油水混合层；在农林害虫预报中，根据以往的虫情、多种气象因子来判别一个月后的虫情是大发生、中发生或正常； 在体育运动中，判别某游泳运动员的“苗子”是适合练蛙泳、仰泳、还是自由泳等；在医疗诊断中，根据某人多种体验指标（如体温、血压、白血球等）来判别此人是有病还是无病。总之，在实际问题中需要判别的问题几乎到处可见。 判别分析与聚类分析不同。判别分析是在已知研究对象分成若干类型（或组别）并已取得各种类型的一批已知样品的观测数据，在此基础上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样品进行判别分类。对于聚类分析来说，一批给定样品要划分的类型事先并不知道，正需要通过聚类分析来给以确定类型的。 正因为如此，判别分析和聚类分析往往联合起来使用，例如判别分析是要求先知道各类总体情况才能判断新样品的归类，当总体分类不清楚时，可先用聚类分析对原来的一批样品进行分类，然后再用判别分析建立判别式以对新样品进行判别。 判别分析内容很丰富，方法很多。判别分析按判别的组数来区分，有两组判别分析和多组判别分析；按区分不同总体的所用的数学模型来分，有线性判别和非线性判别；按判别时所处理的变量方法不同，有逐步判别和序贯判别等。判别分析可以从不同角度提出的问题，因此有不同的判别准则，如马氏距离最小准则、Fisher准则、平均损失最小准则、最小平方准则、最大似然准则、最大概率准则等等，按判别准则的不同又提出多种判别方法。本章仅介绍四种常用的判别方法即距离判别法、Fisher判别法、Bayes判别法和逐步判别法。

§6.2 距离判别法 基本思想：首先根据已知分类的数据，分别计算各类的重心即分组（类）的均值，判别准则是对任给的一次观测，若它与第i类的重心距离最近，就认为它来自第i类。 距离判别法，对各类（或总体）的分布，并无特定的要求。 1 两个总体的距离判别法 设有两个总体（或称两类）G1、G2，从第一个总体中抽取n1个样品，从第二个总体中抽取n2个样品，每个样品测量p个指标如下页表。 今任取一个样品，实测指标值为),,(1pxxX，问X应判归为哪一类？

首先计算X到G1、G2总体的距离，分别记为),(1GXD和),(2GXD，按距离最近准则 2

判别归类，则可写成： 





),(),( ,),(),(,),(),(,21212211GXDGXDGXDGXDGXGXDGXDGX当待判当当

G1总体： G2总体： 变量 样品 1x 2x … px 变量 样品 1x 2x …

p

x

)1(1x )1(11x )1(12x … )1(1px )2(1x )2(11x )2(12x …

)2(

1px

)1(2x )1(21x )1(22x )1(2px )2(2x )2(21x )2(22x

)2(

2px

        )2(1nx 1(1)1nx )1(21nx … )1(1Pnx )2(2nx

)2(12nx )2(22nx … )2(

2Pnx

均值 )1(1x )1(2x … )1(px 均值 )2(1x )2(2x … )2(px

记2,1,),,()()(1)(ixxXipii

如果距离定义采用欧氏距离，则可计算出 2

(1)(1)(1)

11(,)()()paaaDXGXXXXxx





2

(2)(2)(2)

21(,)()()paaaDXGXXXXxx





然后比较),(1GXD和),(2GXD大小，按距离最近准则判别归类。 由于马氏距离在多元统计分析中经常用到，这里针对马氏距离对上述准则做较详细的讨论。 设)1(、)2(，)1(、)2(分别为G1、G2的均值向量和协方差矩阵。如果距离定义采用马氏距离即 2,1)()()(),()(1)()(2iXXGXDiiii

这时判别准则可分以下两种情况给出： （1）当)2()1(时 考察),(22GXD及),(12GXD的差，就有： )2(1)2()2(1112222),(),(XXXXGXDGXD

]2[)1(1)1()1(11XXX )()()(2)2()1(1)2()1()2()1(1X

)()(212)2()1(1)2()1(X 令)(21)2()1( )()()()2()1(1XXW 则判别准则可写成： 3







),(),(D 0)( ,),(),(D 0)(,),(),(D 0)(,12221222212221GXDGXXWGXDGXXWGXGXDGXXWGX即当待判即当即当

当)2()1(,,已知时，令),,()(1)2()1(1paaa则



pppxx

aaXaaXXW ),,()()()(11

1

)()(111pppxaxa 显然，W(X)是pxx,,1的线性函数，称W(X)为线性判别函数，a为判别系数。

当)2()1(,,未知时，可通过样本来估计。设)()(2)(1,,,iniiiXXX来自Gi的样本，i=1,2。

11)1()1(1)1(1ˆniiXX

n

21)2()2(2)2(1ˆniiXX

n

)(21ˆ2121SSnn 其中 intiitiitiXXXXS1)()()()())(( )(21)2()1(XXX 线性判别函数为： )(ˆ)()()2()1(1XXXXXW 当p=1时，若两个总体的分布分别为),(21N和),(22N，判别函数)(1)2()(21221XXW，不妨设21，这时W(X)的符号取决于X或

X。当X时，判1GX；当X

时，判2GX。我们看到用距离判别所得

到的准则是颇为合理的。但从下图又可以看出，用这个判别法有时也会得出错判。如X来自G1，但却落入D2，被判为属G2，错判的概率为图中阴影的面积，记为)1/2(P，类似有

)2/1(P，显然)1/2(P=)2/1(P=2121。

当两总体靠得很近（即|21|小），则无论用何种办法，错判概率都很大，这时作判别分 4

析是没有意义的。因此只有当两个总体的均值有显著差异时，作判别分析才有意义。 （2）当)2()1(时 按距离最近准则，类似地有：







),(),( ,),(),(,),(),(,21212211GXDGXDGXDGXDGXGXDGXDGX当待判当当

仍然用),(),()(1222GXDGXDXW )()()()2(1)2()2(XX )()()()1(1)1()1(XX 作为判别函数，它是X的二次函数。 2 多个总体的距离判别法 类似两个总体的讨论推广到多个总体。

设有k个总体G1, …, Gk，它们的均值和协方差阵分别为kiii,,1,,)()(

，从每个总

体Gi中抽取ni个样品，i =1,…,k，每个样品测p个指标。今任取一个样品，实测指标值为),,(1pxxX，问X应判归为哪一类？

G1总体： … Gk总体： 变量 样品 1x 2x … px 变量 样品 1x 2x …

p

x

)1(1x

)1(11x )1(

12x

… )1(1px )(1kx )(11kx )(12kx …

)(1k

px

)1(2x

)1(21x )1(

22x

)1(

2px )(2kx )(21kx )(22k

x

)(2k

px

        )2(1nx )1(11nx )1(21nx … )1(1pnx )(2knx

)(12knx )(22k

nx

…

)(2k

npx

均值 )1(1x )1(2x … )1(px 均值 )(1kx )(2kx … )(kpx

记向量kixxxXipiii,,1 ),,,()()(2)(1)(

（1）当)()1(k时

此时k,1,i )()(),()(1)(2iiiXXGXD判别函数为：

)],(),([21)(22ijijGXDGXDXW k,1,ji, )(21)()(1)()(jijiX

相应的判别准则为：







0)(W ,,0)(W ,ijijXijXGXi若有某一个待判对一切当

当)1()1(,,，未知时可用其估计量代替，设从Gi中抽取的样本为kiXXinii,,1,,,)()(1，则

)(ˆi，ˆ的估计分别为

inaiaiiikiXnX1)()()(,,1

1ˆ