19莆田二检A卷

2023年莆田市初中毕业班质量检查试卷数学参考答案与评分标准说明：(一)考生的解法与“参考答案”不同时，可参考“答案的评分标准”的精神进行评分．(二)如果解答的某一步计算出现错误，这一错误没有改变后续部分的考察目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的二分之一；如果属严重的概念性错误，就不给分．(三)以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步骤应得的累计分数．(四)评分的最小单位1分，得分和扣分都不能出现小数点．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 2．B 3．C 4．A 5．B 6．D 7．A 8．C 9．B 10．D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．x >112．1213．80°14．2(答案不唯一)15．②④①③16．0三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：原式－3＋3，……………………………………………………………………6分．………………………………………………………………………………8分18．证明：∵在△ACD 和△ABE 中，ADC AEB A A AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，………………………………………3分∴△ACD ≌△ABE ．……………………………………………………………………4分∴AD =AE ，……………………………………………………………………………6分∴AB －AD =AC －AE ，∴BD =CE ．……………………………………………………………………………8分19．解：原式=2(1)(1)1+1(1)a a a a a a +-+-÷+，…………………………………………………………4分=2(1)1+1(1)(1)a a a a +⋅+-，………………………………………………………………5分=11a -，……………………………………………………………………………6分当a1+时，原式．…………………………………………8分20．(1)参与本次抽样调查的男生人数为：45÷30%=150(人)，…………………………………2分选择“莆田地方特色美食烹饪”选修课的男生人数为：150×10%=15(人)．……………4分(2)估计全校女生选择“莆田民俗体育项目传承”选修课的人数为：800×(1－35%－27%－25%)=104(人)．…………………………………………………8分21．(1)答：是．理由如下：如图，过点O 作OH ⊥AC 于点H ，∵∠ABC =90°，∴AB ⊥OB ．∵AO 平分∠BAC ，∴OB =OH ．………………………………………2分∴直线AC 为⊙O 的切线．……………………4分(2)…………………………………………………………………………7分如图所示，⊙O 即为所求．………………………………………………………………………8分22．(1)证明：∵四边形ADFC 内接于⊙O ，∴∠DAC +∠DFC =180°．…………………………………………………………1分∵DF ∥BC ，CF ∥AD ，∴四边形DFCE 为平行四边形．∴∠DEC =∠DFC ．∴∠AEC +∠DFC =180°．……………………………………………………………3分∴∠DAC =∠AEC ．…………………………………………………………………4分∴AC =EC ．…………………………………………………………………………5分(2)证明：过点O 作OG ⊥AB ，交AB 于点G ，连接BD ．∴∠AGO =90°．∵AD 是直径，∴∠ABD =90°．∴OG ∥BD ．∴△AGO ∽△ABD ．∴12AO OG AD BD ==．∴OG =12BD ．……………………………………………………………………………7分∵DF ∥BC ，∴∠BCD =∠CDF ．∴ BD， CF 所对的圆心角相等．∴BD=CF ．……………………………………………………………………………9分∴OG =12CF ，即点O 到AB 的距离等于12CF 的长．………………………………10分23．解：任务1：∵PA d =5，∴|－1－3|+|n －0|=5，…………………………………………………………1分∴|n |=1，解得n =±1，∴消防站点P 的位置为(－1，1)或(－1，－1)．……………………………3分任务2：ABE ．(答案不全得2分，答错一个不得分)……………………………………………6分任务3：设直线EF 的解析式为y =kx +b (k ≠0)，把E (0，)，F ，，代入得：b b ⎧=⎪+=，解得2k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故直线EF 的解析式为y =－2x +，……………………………………………………………8分可设点H (m ，－2m +)，∵点D 的坐标为(0，0)，∴DH d =|m －0|+|－2m +0|=|m |+|－2m +|，当0≤m ≤DH d =m －2m +－m +，当m ＞时，DH d =m +2m －=3m －＞，综上所述，DH d 的最小值为．………………………………………………………………10分24．(1)选①DF ∥EH ，证明：∵点E 为CD 的中点，∴CE =DE ，由折叠可知CE =EF ，∠CEB =∠BEF ，∴EF =DE ，∴∠EFD =∠EDF ．………………………………………………………………………2分∵∠CEB +∠BEF =∠EFD +∠EDF ，∴2∠BEF =2∠EFD ，即∠BEF =∠EFD ，∴DF ∥EH ．………………………………………………………………………………4分选②HF =PF +HQ ，证明：∵∠PQB =∠BCD =90°，∴PQ ∥CD ．∴∠FHE =∠HEC ．由折叠可知CE =EF ，∠CEH =∠FEH ，∴∠FEH =∠FHE ．∴FH =EF =CE ．……………………………………………2分∴PF +FH +QH =DE +CE ．∴PF +QH =FH ．………………………………………4分(2)①如图，点F 的运动轨迹是以BC 为半径的⊙B 上的一段弧，故当B ，F ，D 三点共线时，DF 取得最小值，…………6分设DE =x ，CE =4－x ，由折叠可知DE =CE =4－x ，BF =BC =3，∵在Rt △BCD 中，BC =3，AB =CD =4，∴DB =5．……………………………………………………7分∵sin ∠BDC =EF BC DE DB =，可得435x x -=，解得x =52．∴DE =52．……………………………………………………8分②解：(解法一)如图，过点E作EH∥BC，交BF于点G，交AB于点H．∵∠ABC=∠BCD=∠BHE=90°，∴四边形BCEH是矩形．∴BH=CE=x．∵EH∥BC，∴∠GEB=∠EBC，由折叠可得：∠EBC=∠FBE，∴∠FBE=∠GEB，∴GE=BG．在Rt△BHG中，tan∠ABF=HGBH=y，∴HG=xy．当0＜x≤3时，GE=BG=3－xy，在Rt△BHG中，x²+(xy)²=(3－xy)²，∴296xy x-=．……………………………………10分当3＜x≤4时，如图，过点E作EH∥BC，交BF延长线于点G，交AB于点H．GE=BG=3+xy．在Rt△BHG中，x²+(xy)²=(3+xy)²，∴296xy x-=．综上所述，y关于x的函数关系式为229,0369,346x xxyx xx⎧-<≤⎪=⎨-⎪<≤⎩．…………………………12分(解法二)如图，过点F作GH∥BC，交CD于点H，交AB于点G．∵∠BGH=∠ABC=∠C=90°，∴四边形BCHG是矩形，∴GH=BC=3，∵∠GBF+∠GFB=90°，∠GFB＋∠HFE=90°，∴∠GBF=∠HFE，∠BGH=∠EHF=90°，∴△BGF∽△FHE，∴BF BG GF EF FH EH==，由折叠可知，BC=BF=3，CE=EF=x，在Rt△BFG中，tan∠ABF=FGBG=y，设BG=a，则FG=ay．当0<x≤3时，故FH=3－ay，HE=a－x，∵BF BG GFEF FH EH==，即33ayax ay a x==--，解得296xy x-=；…………………10分当3<x≤4时，故FH=3+ay，HE=x－a，∵BF BG GFEF FH EH==，即33ayax ay x a==+-，解得296xy x-=．综上所述，y关于x的函数关系式为229,0369,346x xxyx xx⎧-<≤⎪=⎨-⎪<≤⎩． (12)分25．(1)解：∵2()2y x t t =+++，∴顶点坐标(－t ，t +2)，……………………………………………………………2分∴顶点坐标在直线2y x =-+上运动，∴(2，0)满足条件，∴2(2)y x =-．………………………………………………………………………4分补充：把(2，0)，(1，0)，(2，－1)分别代入也可以．(2)解法一：如图，过P 作PE ⊥AP 交AQ 于E ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，∵点A 在抛物线上且其横坐标为4，∴A (4，4)，P (2，0)，∴AB =4，PB =2，AP=，∵∠EPA =∠ABC =90°，∴∠PAB =∠EAP ，∴tan ∠EPH =tan ∠PAE =tan ∠PAB =12，∴在Rt △APE 中，PE，∴EH =1，HP =2，∴E (0，1)．∴直线AQ 的解析式314y x =+．…………………6分∴联立方程组2314(2)y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得：44x y =⎧⎨=⎩，342516x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴Q ()325,416．………………………………………8分解法二：如图，过P 作PH ⊥AC 于H ，设C (a ，0)．∵∠PAB =∠PAC ，∴∠HPC =∠CAB ，BP =PH =2，∴△PCH ∽△ACB ，∴PH AB PC AC =．∴22a =-43a =-．∴C (4,03-，∴直线AQ 的解析式314y x =+，…………………6分以下步骤同解法一．解法三：如图，过C 作CM ∥AB 交AP 的延长线于点M ．则∠PAB =∠CMP ，∵∠PAB =∠PAC ，∴∠PAC =∠CMP ，∴AC =CM ．∵CM ∥AB ，∴2AB CM BP CP==，∴设CP =a ，则AC =CM =2a ．∵在Rt △ABC 中，222AC AB BC =+，∴222(2)4(2)a a =++．∴102(3a a ==-或舍去)．∴OC =PC －OP =43，∴C ()4,03-，∴直线AQ 的解析式314y x =+，……………6分以下步骤同解法一．(3)答：是．解法一：如图，设Q 2(,(2))m m -，其中0<m <2，∵A (4，4)，P (2，0)，则直线AQ 的解析式44y mx m =+-，直线PQ 的解析式(2)42y m x m =-+-，∴C ()44,0m-，D (4,24)m -，…………………11分∴PC =2－4+4m =4m－2，∵()14222PAC S AB PC m =⨯=- ，()()114444222BCD S BD BC m m =⨯⨯=⨯-+⨯- =()422m -，∴121S S =．……………………………………………14分解法二：如图，设Q 2(,(2))m m -，其中0<m <2，过Q 作QM ⊥BC 于M ，则QM =2(2)m -，OM =m ，∵QM ∥AB ，∴QM CM AB BC=．∴2(2)44m CM m CM-=-+，∴2(2)m CM m-=．∴2(2)44m m OC CM OM m m m --=-=-=，∴C 4(4,0)m-，同理可求得D (4,24)m -，…………………11分以下步骤同解法一．。

2019 年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷文科综合能力测试沙虫栖息于泥沙质的沿海滩涂，以泥沙和藻类为食。

沙虫对生长环境十分敏感，一旦水质被污染就会大批死亡或迁移。

挖沙虫是一项专业技能，潮水的涨落也影响沙虫的采挖。

海南儋州市光村镇有 2 万多亩可采挖沙虫的海滩，赶海挖沙虫的传统由来已久。

据此完成1～2 题。

1. 渔民每次赶海采挖沙虫数量有限的原因是①市场需求少②采挖时间短③采挖效率低④沙虫数量少A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④2. 为稳定沙虫产量，可采取的合理措施是①延长采挖时间，增加采挖数量②增加滩涂面积，扩大采挖规模③治理海域污染，改善滩涂环境④加强技术投入，尝试人工养殖A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④“智能出行”指依托互联网手段，在线呼叫、预约出租车、专车、快车、巴士、代驾等出行方式。

图1 为我国智能出行分布图（数据不包括港、澳、台地区），据此完成3～4 题。

3. 与图中智能出行 500 万人次／年分界线最接近的是我国A. 二、三级阶梯分界线B. 农、牧区分界线C. 干旱、半干旱区分界线D. 南、北方分界线4. R 省区人口数量与重庆市相近，但智能出行次数远低于重庆市的主要原因是A. 气候湿热B. 信息闭塞C. 地表崎岖D. 经济落后地表反照率是指地表反射的太阳辐射与入射太阳辐射之比。

图 2 示意青藏高原地表反照率、积雪覆盖率和植被指数（反映植被生长状况）的年变化。

据此完成5～6 题。

5. 青藏高原地表反照率的时间分布特点是A. 春季，地表反照率逐渐增大B. 秋季，地表反照率逐渐下降C. 年内表现为“单峰双谷”型D. 冬末春初、秋季中期出现峰值6. 近几十年青藏高原年均地表反照率呈递减趋势的主要原因是①高原气温日较差大②气候变暖,积雪减少③经济发展,人类活动加剧④生态环境改善，植被覆盖率增加A. ②④B. ②③C. ①③D. ①④图 3 为北半球某大陆西岸某山地西坡各月降水量（单位：mm）随海拔高度分布图。

……………………绝密★启用前2019届福建省莆田市高中毕业班第二次质量检测（A 卷)文科数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{|07}U x N x =∈<<，{2,5}A =，{}1,3,5B =，则()U A B =I ð（ ） A ．{5}B ．{}1,5C ．{2,5}D ．{}1,32．已知复数z 满足()11z i +=-，则复数z 的共轭复数为（ ） A ．1i -+B ．1i --C ．1i +D ．1i -3．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合．若点(,3)(0)a a a ≠是角α终边上一点，则tan()4πα-=（ ）A ．-2B ．12-C ．12D ．24．如图是计算()11111223341n n ++++⨯⨯⨯+L 的程序框图，若输出的S 的值为99100，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．98?n >B ．99?n >C ．100?n >D ．101?n >5．已知两条平行直线1l 、2l 之间的距离为1，1l 与圆22:4C x y +=相切，2l 与C 相交于A 、B 两点，则AB =（ ）AB C ．D ．○…………○…………订……○…………线…………○※※请※※不※※※订※※线※※内※※答※※○…………○…………订……○…………线…………○6．函数()·ln xf x e x=的大致图象为（）A．B．C．D．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．233π-B．133π-C．81633π-D．8833π-8．剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．2π-B．4π-C．πD．π9．已知0a>且1a≠，函数32232,0()1,0xx x xf xa x⎧++≤=⎨+>⎩在[2,2]-上的最大值为3，则实数a的取值范围是（）A．(0,1)U B．C．(0,1))+∞U D．(0,1)U10．函数()cos(2)||f x xπϕϕ⎛⎫=+<⎪图象向右平移π个单位长度，所得图象关于原………○…………___________班级：__________………○…………点对称，则()f x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为( ) A ．,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n -=>>有共同的焦点1F ，2F ，且在第一象限内相交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ．若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值是（ ）A ．12B ．2C D ．3212．如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，AB =2AD =，120ASB ∠=︒，SA AD ⊥，则四棱锥外接球的表面积为（ ）A ．16πB ．20πC ．80πD ．100π第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．已知向量()()()12113a b x c ===r r，，，，，，若()a b c +⊥r r r ，则x =______．14．若实数x ，y 满足约束条件02100y x y x y m ≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩且目标函数z x y =-的最大值为2，则…装…………○不※※要※※在※※装※※…装…………○15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c S 为ABC ∆的面积，()sin A C +=222Sb c-，且,,A B C 成等差数列，则C 的大小为______． 16．已知函数()(1)(0)xf x x a e x =-+>．若()0f x a +>，则a 的最大整数值为______．三、解答题17．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21517a a +=，1055S =．数列{}n b 满足2log n n a b =.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n n a b +的前n 项和n T 满足3218n T S =+，求n 的值． 18．如图，在多面体111ABCC B A 中，四边形11BB C C 为矩形，AB BC ==1CC ⊥面ABC ，11//AA CC ，1122AA CC AC ===，E ，F 分别是11A C ，AC 的中点，G 是线段1BB 上的任一点．（1）求证：AC EG ⊥； （2）求三棱锥1F EAG -的体积． 19．随着新课程改革和高考综合改革的实施，高中教学以发展学生学科核心素养为导向，学习评价更关注学科核心素养的形成和发展．为此，我市于2018年举行第一届高中文科素养竞赛，竞赛结束后，为了评估我市高中学生的文科素养，从所有参赛学生中随机抽取1000名学生的成绩（单位：分）作为样本进行估计，将抽取的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图．…线…………○………线…………○……（1）请补全频率分布直方图并估计这1000名学生成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）采用分层抽样的方法从这1000名学生的成绩中抽取容量为40的样本，再从该样本成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查，求至少有一名学生成绩不低于90分的概率；（3）我市决定对本次竞赛成绩排在前180名的学生给予表彰，授予“文科素养优秀标兵”称号．一名学生本次竞赛成绩为79分，请你判断该学生能否被授予“文科素养优秀标兵”称号．20．已知(0,1)A -，B 是曲线2118y x =+上任意一点，动点P 满足0AP BP +=u u u v u u u v v . （1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）过点(0,1)D 的直线交E 于M ，N 两点，过原点O 与点M 的直线交直线1y =-于点H ，求证：DN HN =. 21．已知函数1()ln a f x x x+=+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当01a ≤≤时，证明：()(sin 1)xf x a x >+．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ-=(1)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标. 23．已知函数f (x )=|2x −a |+a .(2)设函数g(x)=|2x−1|.若f(x)−g(x)≤3，求a的取值范围.参考答案1．D 【解析】 【分析】根据集合补集交集的定义进行求解即可． 【详解】解：{|07}{1,2,3,4,5,6}U x N x =∈<<=， 则{1,3,4,6}U C A =， 则(){1,3}U C A B =I ， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合补集交集的定义是解决本题的关键．比较基础． 2．C 【解析】 【分析】根据复数模的计算公式先求出模长，再利用复数的除法可得. 【详解】由(1)|1|2z i +=-==，得z=2(1)1(1)(1)21i i i i i ==+-+--，∴1z i =+． 故选C ． 【点睛】本题主要考查复数的相关概念，模长求解，共轭复数以及复数运算等，题目虽小，知识点很是丰富. 3．B 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得tan α的值，再利用两角差的正切公式，求得tan()4πα-的值．【详解】解：∵点(,3)(0)a a a ≠是角α终边上一点，∴3tan 3aaα==， 则1tan 1tan()41tan 2πααα--==-+，故选B ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式，属于基础题． 4．B 【解析】由于()1111111nk n k k n n ==-=+++∑，故99n =时要判断否，再循环一次，100n =时判断是，退出循环结构，故选B . 5．D 【解析】 【分析】根据题意，由直线与圆相切的性质可得圆心C 到直线1l 的距离为2，进而可得圆心C 到直线2l 的距离211d =-=，再利用勾股定理可求得AB ．【详解】根据题意，1l 与圆22:4C x y +=相切，则圆心C 到直线1l 的距离为2，又由两条平行直线1l 、2l 之间的距离为1，则圆心C 到直线2l 的距离211d =-=，因此，AB ===故选：D. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，考查计算能力，属于基础题． 6．A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可【详解】解：函数()·ln xf x e x =，()--?ln -xf x e x =，()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，则函数()f x 为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D ，当(),x f x →+∞→+∞，排除B ， 故选：A 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键 7．D 【解析】 【分析】根据三视图可知该几何体是14球挖去一个三棱锥，利用三视图中数据，分别求出14球与三棱锥的体积，从而可得结果． 【详解】根据三视图可知，该几何体是半径为2的14球体挖去一个三棱锥，三棱锥的底面是斜边长为4的等腰直角三角形，高为2，如图所示： 则该几何体的体积为31411882422433233V ππ=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-,故选D ． 【点睛】本题考查了利用三视图求棱锥和球体积计算问题，根据三视图的特征找出几何体结构特征是关键．解三视图相关问题的关键在于根据三视图还原几何体，要掌握常见几何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法，将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体. 8．B【解析】 【分析】利用扇形知识先求出阴影部分的面积，结合几何概型求解方法可得概率. 【详解】设圆的半径为r ，如图所示，12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB 的面积为2222111sin 6236S r r r π=π-⋅⋅=π-弓形． ∴所求的概率为P=24S S 弓形圆222124644r r r πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭==- ． 故选B ． 【点睛】本题主要考查几何概型的求解，侧重考查数学建模的核心素养. 9．A 【解析】 【分析】根据分段函数的表达式，分别求出函数递增[2,0]-和(0,2]上的最大值，建立不等式关系进行求解即可． 【详解】解：当0x ≤时，32()232f x x x =++，2'()666(1)f x x x x x =+=+，由'()0f x >得0x >（舍）或21x -≤<-，此时()f x 为增函数， 由'()0f x <得10x -<≤，此时()f x 为减函数，则当1x =-时，()f x 取得极大值，极大值为(1)3f -=， 当2x =-时，()f x 取得最小值，最小值为(2)2f -=-， ∵()f x 在[2,2]-上的最大值为3，∴当02x <≤时，函数()1xf x a =+的最大值不能超过3即可，当1a >时，()f x 为增函数，则当02x <≤时，函数()1xf x a =+的最大值为2(2)13f a =+≤，即22a ≤，得1a <≤当01a <<时，()f x 为减函数，则0()1112f x a <+=+=，此时满足条件．综上实数a 的取值范围是01a <<或1a <≤故选A ． 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，结合分段函数的表达式，利用函数的导数，以及指数函数的单调性分别求出对应函数的最值是解决本题的关键． 10．A 【解析】 【分析】根据三角函数的图象平移关系结合函数关于原点对称的性质求出ϕ的值，结合函数的单调性进行求解即可． 【详解】函数()cos(2)||2f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭图象向右平移6π个单位长度， 得到cos 2cos 263y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所得图象关于原点对称， 则32k ππϕπ-=+，得56k πϕπ=+，k Z ∈， ∵||2πφ<，∴当1k =-时，6πϕ=-，则()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由2226k x k ππππ-≤-≤，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 即函数的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， ∵,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴当0k =时，51212x ππ-≤≤， 即312x ππ-≤≤，即()f x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式结合三角函数的单调性是解决本题的关键． 11．C 【解析】 【分析】设共同的焦点为(,0)c -，(,0)c ，设1PF s =，2PF t =，运用椭圆和双曲线的定义，以及三角形的余弦定理和基本不等式，即可得到所求最小值． 【详解】解：设共同的焦点为(,0)c -，(,0)c ， 设1PF s =，2PF t =，由椭圆和双曲线的定义可得2s t a +=，2s t m -=， 解得s a m =+，t a m =-，在12PF F ∆中，123F PF π∠=，可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，即为222224()()()()3c a m a m a m a m a m =++--+-=+，即有222234a m c c+=，即为2212134e e +=，由221213e e +≥，可得12e e ⋅≥，当且仅当21e =故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 12．B 【解析】 【分析】由已知证明平面SAB ⊥平面ABCD ，由正弦定理求出三角形SAB 外接球的半径，设出四棱锥外接球的球心，由勾股定理求得四棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】解：由四边形ABCD 为矩形，得AB AD ⊥，又SA AD ⊥，且SA AB A ⋂=，∴AD ⊥平面SAB ， 则平面SAB ⊥平面ABCD ，设三角形SAB 的外心为G，则22sin AB GA ASB ====∠. 过G 作GO ⊥底面SAB ，且1GO =，则OS =∴四棱锥外接球的表面积为2420S ππ=⨯=. 故选B ．【点睛】本题考查多面体外接球的表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 13．-10 【解析】 【分析】先求出(1,3)a b x +=+rr ，然后利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.【详解】因为()()()12113a b x c ===r r r ，，，，，所以(1,3)a b x +=+rr ； 又()a b c +⊥r r r Q ；()190a b c x ∴+⋅=++=r r r；10x ∴=-，故答案为10-．【点睛】本题主要考查向量的运算以及向量垂直的性质，属于基础题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答. 14．2 【解析】 【分析】作出可行域，寻求目标函数取到最大值的点，求出m. 【详解】先作出实数x ，y 满足约束条件02100y x y x y m ≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩的可行域如图，∵目标函数z=x-y 的最大值为2，由图象知z=2x-y 经过平面区域的A 时目标函数取得最大值2． 由20x y y -=⎧⎨=⎩，解得A （2，0），同时A （2，0）也在直线x+y-m=0上，∴2-m=0，则m=2， 故答案为2．【点睛】本题主要考查线性规划，利用最值求解参数，作出可行域是求解的关键. 15．6π 【解析】 【分析】由等差中项的性质和三角形的内角和定理可求得B，由余弦定理和三角形面积公式，可得2,a c b ==，再由余弦定理求得cos C ，可求得角C 的大小．【详解】在ABC ∆中， ,,A B C 成等差数列，可得2B A C B π=+=-，即3B π=，222sin(A C)S b c +=-，即为22sin sin ac BB b c =-，即有22b c ac =+，由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，即有2,ac b ==，222222cos22a b c C ab +-===， 由C 为三角形的内角，可得6C π=，故答案为6π． 【点睛】本题主要考查等差中项的性质和三角形的内角和定理、余弦定理和三角形面积公式，属于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 16．3 【解析】 【分析】令()(1)xg x x a e a =-++，0x >．'()(2)xg x x a e =-+，0x >．利用导数研究函数的单调性极值即可得出． 【详解】解：令()(1)xg x x a e a =-++，0x >．'()(2)x g x x a e =-+，0x >.令'()(2)0xg x x a e =-+=，2=-x a .当20a -≤ ，即2a ≤ 时，()g x 在()0,∞+ 单调递增，()0110g a a =-+=> 恒成立； 当20a ->，即2a > 时，可得函数()g x 在(0,2)a -单调递减，在(2,)a -+∞单调递增．∴2=-x a 时，函数()g x 取得极小值即最小值． ∴2(2)0a g a ea --=-+>.令2()a h a e a -=-+，2'()1a h a e -=-+，2a =时，'(2)0h =.可得(2,)a ∈+∞时，函数()h a 单调递减．∴2a =时，(0)120g =-+>．3a =时，(1)30g e =-+>，4a =时，2(2)40g e =-+<. ∴满足2(2)0a g a ea --=-+>的a 的最大整数值为3；综上，a 的最大整数值为3， 故答案为3． 【点睛】本题考查利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．（1）2nn b =；（2）8n =. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式以及对数运算性质转化求解求数列{}n b 的通项公式；（2）求解数列的和，通过数列{}n n a b +的前n 项和n T 满足3218n T S =+，即可求n 的值． 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则有1121517104555a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，则n a n =.又2log n n a b =，即2n an b =，所以2nn b =.（2）依题意得：1212(...)(...)n n n T a a a b b b =+++++++23(123...)(222...2)n n =+++++++++()212(1)212nn n -+=+- 1(1)222n n n ++=+-. 又3232(132)18185462S ++=+=，则1(1)25482n n n +++=， 因为1(1)()22n n n f n ++=+在*n N ∈上为单调递增函数， 所以8n =． 【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列及前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养． 18．（1）详见解析；（2）12. 【解析】 【分析】（1）连接BF ．证明EF AC ⊥．AC BF ⊥．推出AC ⊥平面1BB EF ．即可证明AC EG ⊥．（2）利用三棱锥1F EAG -的体积为111113F EAG G A EF B A EF A EF V V S BF V ---∆===⨯⨯求解即可．【详解】（1）证明：连接BF ．因为E ，F 分别是11A C ，AC 的中点，且11//AA CC ， 所以1//EF CC ，又11//CC BB ，所以1//EF BB ， 所以E ，F ，B ，1B 四点共面． 因为1CC ⊥平面ABC ，所以EF ⊥平面ABC ，所以EF AC ⊥. 因为AB BC =，F 是AC 的中点， 所以AC BF ⊥. 又EF BF F =I ，所以AC ⊥平面1BB EF .又因为1G BB ∈，所以EG ⊂面1EFBB ， 所以AC EG ⊥．（2）解：在Rt BCF ∆中，由BC =，1CF =，得2BF =．因为1CC ⊥平面ABC ，所以1CC BF ⊥. 又AC BF ⊥，1CC AC C =I ， 所以BF ⊥平面11ACC A ，因为11//AA CC ，1122AA CC ==，E ，F 分别是11A C ，AC 的中点， 所以32EF =. 又1AF =，所以1A EF ∆的面积1113312224A EF S EF AF ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 因为1//BB EF ，1BB ⊄面1A EF ，EF ⊂面1A EF ，所以1//BB 面1A EF ． 三棱锥1F EAG -的体积为111113F EA G G A EF B A EF A EF V V S BF V ---∆===⨯⨯1312342=⨯⨯=.【点睛】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面平行及垂直的判定和性质，空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养． 19．（1）67；（2）35；（3）能. 【解析】 【分析】（1）根据各小长方形的面积和为1，可以得到(60,70)的频率，除以组距10，即可得到小长方形的高度，画到图中即可；（2）计算出再(80,90)的人数，及再(90,100]的人数，列举出所有可能，根据古典概型的计算方法，即可得到至少有一名学生成绩不低于90分的概率；（3）根据本次考试的总人数，以及表扬学生的比例，借助频率分布直方图估算出获得“文科素养优秀标兵”称号的分数，判断即可． 【详解】解：（1）成绩落在[60,70)的频率为1(0.300.150.100.05)0.40-+++=， 补全的频率分布直方图如图：样本的平均数550.30650.40750.15x =⨯+⨯+⨯850.10950.0567+⨯+⨯=. （2）由分层抽样知，成绩在[80,90)内的学生中抽取4人，记为1a ，2a ，3a ，4a ， 成绩在[90,100]内的学生中抽取2人，记为1b ，2b ，则满足条件的所有基本事件为：12()a a ,，13()a a ,，14()a a ,，11()a b ,，12()a b ,，23()a a ,，24()a a ,，21()a b ,，22()a b ,，34()a a ,，31()a b ,，32()a b ,，41()a b ,，42()a b ,，12()b b ,共15个，记“至少有一名学生成绩不低于9”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有：11()a b ,，12()a b ,，21()a b ,，22()a b ,，31()a b ,，32()a b ,，41()a b ,，42()a b ,，12()b b ,共9个．故所求概率为93()155P A ==. （3）因为1800.181000=，所以由频率分布直方图可以估计获得“文科素养优秀标兵”称号学生的成绩为(0.180.050.10)80780.015---=. 因为7978>，所以该同学能被授予“文科素养优秀标兵”称号． 【点睛】本题考查了频率分布直方图、古典概型的概率求法、利用频率分布直方图估计某个频率段的下限，属于中档题．20．（1）24x y =；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）设(,)P x y ，00(,)B x y ，由0AP BP +=u u u r u u u r r 推出00221x x y y =⎧⎨=+⎩代入方程即可求解点P 的轨迹E 的方程；（2）直线MN 的斜率存在，其方程可设为1y kx =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩，利用韦达定理，转化求解斜率，推出结果即可． 【详解】解：（1）设(,)P x y ，00(,)B x y ，由0AP BP +=u u u r u u u r r得：00(,1)(,)(0,0)x y x x y y ++--=， 则0020210x x y y -=⎧⎨-+=⎩， 即00221x x y y =⎧⎨=+⎩， 因为点B B 为曲线2118y x =+上任意一点，故200118y x =+，代入得24x y =. 所以点P 的轨迹E 的方程是24x y =．（2）依题意得，直线MN 的斜率存在，其方程可设为1y kx =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx --=， 所以216160k ∆=+>，124x x =-.因为直线OM 的方程为11y y x x =，且H 是直线OM 与直线1y =-的交点，所以M 的坐标为11(,1)x y --. 根据抛物线的定义DN 等于点N 到准线1y =-的距离，由于H 在准线1y =-上， 所以要证明DN HN =，只需证明HN 垂直准线1y =-，即证//HN y 轴．因为H 的纵坐标111222111144x x x x x x y x x --=-===. 所以//HN y 轴成立，所以DN HN =成立．【点睛】本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的求解等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养． 21．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数，通过当1a ≤-时，1a >-时，判断导函数的符号，图象函数的单调性；（2）要证()(sin 1)xf x a x >+．只需证明ln sin 1x x a x >-，证明ln 1x x ax ≥-．设()ln 1g x x x ax =-+．利用导函数转化证明，再证：1sin 1ax a x -≥-，设()sin h x x x =-，则'()1cos 0h x x =-≥．利用函数的单调性转化证明即可．【详解】解：（1）由1()ln a f x x x +=+得2211(1)'()(0)a x a f x x x x x+-+=-=>. 当10a +≤即1a ≤-时，'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．当10a +>即1a >-时，由'()0f x >得1x a >+；由'()0f x <得1x a <+，所以()f x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增．（2）要证()(sin 1)xf x a x >+成立，只需证ln 1sin x x a a x a ++>+成立，即证ln sin 1x x a x >-.现证：ln 1x x ax ≥-.设()ln 1g x x x ax =-+．则'()1ln ln 1g x x a x a =+-=+-，所以()f x 在1(0,e )a -上单调递减，在1(e ,)a -+∞上单调递增．所以1111()()(1)11a a a a g x g e a e ae e ----≥=--+=-.因为01a ≤≤，所以110a e --≥，则()0g x ≥，即ln 1x x ax ≥-，当且仅当1x =，1a =时取等号．再证：1sin 1ax a x -≥-.设()sin h x x x =-，则'()1cos 0h x x =-≥.所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，则()(0)0h x h >=，即sin x x >.因为01a ≤≤，所以1sin 1ax a x -≥-．当且仅当0a =时取等号，又ln 1x x ax ≥-与1sin 1ax a x -≥-两个不等式的等号不能同时取到，即ln sin 1x x a x >-，所以()(sin 1)xf x a x >+．【点睛】本题主要考查函数的单调性与最值、导数的应用等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想、数形结合思想．考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养．22．（1）1C 的普通方程为：2213y x +=；2C 的直角坐标方程为直线40x y -+=；（2）PQ13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）消参数α可得1C 的普通方程；将2C 的极坐标方程展开，根据cos x ρθ=，sin y ρθ=即可求得2C 的直角坐标方程。

福建省莆田市高三第二次质量检测（A 卷）（5月）数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1.设全集{}8U x x *=∈N ≤，集合{}1,3,7A =,{}2,3,8B =, 则()UA B =（ ）A. {}2,3,4,5,6,8B. {}2,8C. {}1,7D. {}32.已知i z a =+(0)a >，且2z =，则z =（ ） A. 1i -B. 1i +C. iD.i3.执行如图所示的程序框图，最后输出结果为（ ）A. 16B. 31C. 32D. 624. 函数()sin e 1xf x =-在[],-ππ上的图像大致为（ ）A B C D5.从4位女生，3位男生中选3人参加科技比赛，则至多有2位女生入选的方法种数为（ ）A. 30B. 31C. 185D. 1866.如图1是某省2019年1~4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收 入统计图，其中同比增长率指和去年同期相比较的增长率.下列对统计图理解错误．．的是（ ）A ．月业务量中，3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件B ．月收入同比增长率中，3月份最高C ．同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．月业务收入同比增长率逐月增长7．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p .某检验员从该生产线上随机抽 检50个零件，设其中优等品零件的个数为X .若()8D X =，(20)P X =(30)P X <=，则p = （ ） A . 0.16B. 0.2C. 0.8D. 0.848.将函数()cos(2)f x x ϕ=+的图像向右平移6π个单位长度后，所得图像关于原点对称，则ϕ 的最小值为 （ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 9.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”（又称“物 不知数题”），后来我国南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解 决.“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问 题.后传入西方，被称为“中国剩余定理”.现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3 除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为 （ ） A.116B. 131C.146D. 16110.已知F 为椭圆22:14x C y +=的右焦点，过点F 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，P 为AB 的中点，O 为原点.若OPF △是以OF 为底边的等腰三角形，则l 的斜率为（ ） A. 12±B. C. 2±D. ±11.在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11,BB DD 的中点，G 为侧面11ABB A 内一点. 若1D G ∥平面1AEC F ，则1D G 与平面11ABB A 所成角正弦值的最大值为（ ）A.B.C.D.12.已知双曲线22221(0,0:)x y a b a bC -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为P ，且122PF PF b -=.设C 的离心率为e ，则2e =（ ）A.B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若向量()()2,3,4,AB BC m ==-，且,,A B C 三点共线，则AB BC =________. 14.若,x y 满足约束条件1,1,20,y y x x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则22z x y =+的最小值是________.15.已知,a b ∈R ,且0.a <函数()()22,,2+1,.x x x x a f x a x a x a ⎧-⎪=⎨-+<⎪⎩≥若方程()f x b =至多有两个不等 实数根，则a 的取值范围为________. 16.对于*,m n ∀∈N ,数列{}n a 都有m na a t m n->-（t 为常数）成立，则称数列{}n a 具有性质()R t . 若数列{}n a 的通项公式为2n a n an =+，且具有性质(10)R ，则实数a 的取值范围是________. 三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题60分.ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .已知cos sin b a C c A =+.（1）求A ；（2）若AC 边上的中线BD 的长为2，求ABC △面积的最大值．18.（12分）如图，以111,,,,,A B C A B C 为顶点的五面体中，111AA BB CC ∥∥,1CC ⊥平面ABC ,AB BC =，11122AA BB CC AC ====，F 是AC 的中点.（1）求证：1AC ⊥平面1BA F ； （2）求二面角11B A F B --的余弦值.某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x （单位：亿元）对年销售额y （单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①2y x αβ=+，②e x t y λ+=，其中,,,t αβλ均为常数，e 为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金投入量i x 和年销售额i y 的数据，1,2,,12i =，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值． 令2,i i u x =ln i i v y =(1,2,,12)i =，经计算得如下数据：（1）设{}i u 和{}i y 的相关系数为1r ，{}i x 和{}i v 的相关系数为2r ，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；（2）（i ）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）； （ii ）若下一年销售额y 需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x 是多少亿元？附：①相关系数()()nii xx y y r --=∑，回归直线ˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()niii nii x x yy b x x ==--=-∑∑，a y bx =-；② 参考数据：308477=⨯9.4868≈， 4.4998e 90≈．20. （12分）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，若点P 在C 上，点E 在l 上，且PEF △是周长为12的正三角形． （1）求C 的方程；（2）过点F 的直线与抛物线相交于,A B 两点，抛物线在点A 处的切线与l 交于点N ，求ABN △面积的最小值.21．（12分）已知函数()12e ln xf x a x x bx -=++的导函数为()f x '，且()()121f f '=.（1）求a 的值；（2）若()f x 有唯一极值点，且极值为0，求b 的值.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为cos ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()4ρθπ-=(1)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 已知函数()2f x x a a =-+.(1)若不等式()6f x ≤的解集为{}|13x x -≤≤，求a 的值； (2)设函数()21g x x =-.若()()3f x g x -≤，求a 的取值范围.【参考答案】一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分60分. 1．B 2.D 3.B 4.A 5.B 6.D 7．C 8.A 9.C 10.A 11.D 12.B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分20分. 13．26- 14.1215.()1,0- 16.()7,+∞.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：(1)因为cos sin b a C c A =+,所以由正弦定理得，sin sin cos sin sin B A C C A =+, .................................................... 1分 因为B A C =π--,代入得sin()sin cos sin sin A C A C A C π--=+,所以sin()sin cos sin sin A C A C A C +=+, ......................................................................... 2分 即sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C A C A C +=+,........................................................... 3分 所以cos sin sin sin A C A C =. ................................................................................................ 4分 因为sin 0C ≠,所以cos sin A A =, ........................................................................................................... 5分 又因为A 为三角形内角， 所以4A π=........................................................................................................................... 6分 （2）因为BD 为边AC 上的中线,所以2ABCABD SS =△△,......................................................................................................... 7分 设ABD α∠=,则34ADB α∠=π-.由正弦定理得， sin sin 4BDAD α=⋅π=α，3sin()4AB α=π-,..................................................... 8分 则1sin 24ABDS AD AB ∆π=⋅⋅⋅............................................................................................ 9分3sin sin()4αα=⋅π- 22sin +2sin cos ααα=()1+sin 2cos2αα=-)4απ=-, .......................................................................................................... 10分因为30,4α⎛⎫∈π ⎪⎝⎭,所以当38α=π时，ABD △面积的最大值为1+.................................................... 11分 所以ABC △面积的最大值为2+12分 18.解：（1）因为1CC ⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，所以1CC BF ⊥.因为AB BC ==，F 是AC 的中点，所以BF AC ⊥. ...................................................................................................................... 1分 又1CCAC C =，所以11BF AAC C ⊥平面，从而1BF AC ⊥. .......................................................................... 2分因为1CC ⊥平面ABC ，且1111,AA CC AA CC ≠∥，所以四边形11AA C C 为直角梯形.又F 是AC 的中点，1122AA CC AC ===，所以1A AF △与1ACC △均为等腰直角三角形，所以1145A FA C AC ∠=∠=︒. ................................................................................................ 3分设11A FAC D =，则90ADF ∠=︒，所以11A F AC ⊥. .................................................................................................................... 4分又1BFA F F =，1,BF A F ⊂平面1BA F ，所以1AC ⊥平面1BA F . ......................................................................................................... 5分（2）由（1）知11BF ACC A ⊥平面.设11A C 的中点为E ，连接EF ，则EF ∥1CC ，从而EF AC ⊥.以F 为原点，,,FA FE FB 分别为x 轴，y 轴，z 轴 正方向建立如图所示空间直角坐标系. 由题意得，()()()()()1110,0,0,1,1,0,0,2,2,1,0,0,1,2,0,F A B A C - 6分则111(0,2,2),(1,1,0),(2,2,0),FB FA AC ===- .................................................................... 7分设平面11A B F 的法向量为m (,,)x y z =， 由110,0,FB FA ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m 得220,0,y z x y +=⎧⎨+=⎩ ............................................................................................ 8分令1y =-，得1,1x z ==，所以m (1,1,1)=-为平面11A B F 的一个法向量. .................................................................. 9分因为1AC ⊥平面1BA F ，所以1(2,2,0)AC =-为平面1BA F 的一个法向量. ............................................................. 10分因为1111cos ,AC AC AC ⨯===m m m ............................................. 11分且由图可知二面角111B AC C --为锐角，所以二面角111B AC C -- ....................................................................... 12分 19.解：（1）121()()ii uu y y r --=∑21500430.862500050===， ... 2分122()()ii xx v v r --=∑14100.91770.211===≈⨯， .............................. 4分 则12r r <，因此从相关系数的角度，模型e x t y λ+=的拟合程度更好． ........................ 5分（2）（i ）先建立v 关于x 的线性回归方程.由e x t y λ+=，得ln y t x λ=+，即=v t x λ+． ..................................................................... 6分 由于1211221()()140.018770()iii ii x x v v x x λ==--==≈-∑∑， ........................................................................ 8分4.200.01820 3.84,t v x λ=-=-⨯= .................................................................................... 9分 所以v 关于x 的线性回归方程为0.02 3.84v x =+，所以ˆln 0.02 3.84y x =+，则0.02 3.84ˆe .x y += ......................................................................... 10分 （ii ）下一年销售额y 需达到90亿元，即90y =， 代入0.02 3.84ˆe x y +=得，0.02 3.8490e x +=，又 4.4998e 90≈，所以4.49980.02 3.84x ≈+， ................................................................... 11分 所以4.4998 3.8432.990.02x -≈=， 所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元........................................................ 12分 20.解：（1）由PEF △是周长为12的等边三角形，得=4PE PF EF ==，又由抛物线的定义可得PE l ⊥. .......................................................................................... 1分 设准线l 与y 轴交于D ，则PE DF ∥，从而60PEF EFD ︒∠=∠=． ............................ 2分 在EDF Rt △中，1cos 422DF EF EFD =⋅∠=⨯=，即2p =. ...................................... 3分 所以抛物线C 的方程为24x y =. ......................................................................................... 4分 （2）依题意可知，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为：1y kx =+， 联立24,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y 可得，2440x kx --=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4x x k x x +==-. .............................................................. 5分所以12AB x -==()241k =+. ........................................................................................................................ 6分由24x y =，得2x y '=， 所以过A 点的切线方程为()1112x y y x x -=-， .............................................................. 7分又2114x y =， 所以切线方程可化为21124x x y x =⋅-. .................................................................................. 8分令1y =-，可得21111114222x y x kx x --==⋅=,所以点(2,1)N k -, ................................................................................................................. 9分. 所以点N 到直线l的距离d ==，..................................................... 10分所以142ABNS AB d =⋅=△，当0k =时，等号成立. .................................. 11分 所以ABN △面积的最小值为4. ...................................................................................... 12分 21.解：（1）因为()12e ln x f x a x x bx -=++，所以()1e ln 12x f x a x bx -'=+++， ................................................................................. 1分所以()1f a b =+，()112f a b '=++. ................................................................................. 2分又因为()()121f f '=， 所以1222a b a b ++=+，.................................................................................................... 3分 解得1a =.所以a 的值为1. .................................................................................................................. 4分 （2）由（1）可得，()12e ln x f x x x bx -=++，()1e ln 12x f x x bx -'=+++.设()f x 唯一极值点为0x ，则()()001200001000e ln 0e ln 120x x f x x x bx f x x bx --⎧=++=⎪⎨'=+++=⎪⎩，①，② .......................... 5分 由②0x ⨯-①2⨯得，()0100002e ln 0x x x x x ---+=. ()* ................................................ 6分令()()12e ln x F x x x x x -=--+，则()()11e ln x F x x x -'=--，所以()11ex F x x x-''=-.又()F x ''在()0,+∞上单调递增，且()10F ''=， ............................................................... 7分所以当()0,1x ∈时，()0F x ''<，从而()F x '单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0F x ''>，从而()F x '单调递增， 故()()10F x F ''=≥，从而()F x 在()0,+∞上单调递增， ................................................ 8分 又因为()10F =，所以01x =. ........................................................................................................................ 9分代入①可得，1b =-. ....................................................................................................... 10分 当1b =-时，()12e ln x f x x x x -=+-，()1e ln 12x f x x x -'=++-，因为1x =是()*的唯一零点，且()10f =，()10f '=， ................................................ 11分 又()1111e 1111e2ee2e e e 2e e 20f ------⎛⎫⎛⎫'=-=-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()34e ln 4180f '=++->，所以1x =是()f x 唯一极值点，且极值为0，满足题意.所以1b =-. ..................................................................................................................... 12分22.解：（1）由曲线1C的参数方程cos ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）消去参数得，2222cos sin 13y x αα+=+=，即1C 的普通方程为：2213y x +=. ..................................................................................... 2分 曲线2C的极坐标方程为sin()4ρθπ-=可化为：)ρθθ= ...................................................................................... .3分 由cos ,sin x y ρθρθ==,可得2C 的直角坐标方程为直线40x y -+=. .......................... .5分 （2）设()cos P αα, .............................................................................................. 6分则点P 到直线2C的距离为d ............................................... 7分= ..................................................................................................... 8分 当cos()13απ+=-时,PQ..................................................................... 9分此时可取23απ=,故13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭． ................................................................................ 10分 23.解：（1）因为()2f x x a a =-+,()6f x ≤,所以|2|6x a a -+≤, ........................................................................................................ 1分 即|2|6x a a --≤,所以()626a x a a ----≤≤,............................................................................................... 2分 解得33a x -≤≤, ............................................................................................................. 3分 因为不等式()6f x ≤的解集为{}|13x x -≤≤,所以31a -=-,即2a =. ....................................................................................... 5分（2）因为()21g x x =-,所以()()|2||21||1|f x g x x a x a a a -=---+-+≤,. ......................................................... 6分 当且仅当(2)(21)0x a x --≥时等号成立. .................................................................... 7分 因为()()3f x g x -≤恒成立,所以13a a -+≤,即13a a --≤ ① .............................................................................................. 8分 当1a ≤时,①等价于13a a --≤，成立. 当1a >时,①等价于13a a --≤，解得12a <≤. .......................................................... 9分 综上所述a 的取值范围是](,2-∞． ........................................................................ 10分。