福建省莆田二中、泉州一中、南安一中2021届高三年级上学期三校联考数学试题

2021年高三数学上学期第一次三校联考试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其它题为必考题。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。

2．做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，，则A． B． C． D．2．命题“”的否定是A． B．C． D．3．函数的定义域为A．B． C． D．4．定积分A． B． C． D．5．函数的零点所在的区间为A． B． C． D．6．已知，则的大小关系为A． B． C． D．7．已知命题不等式的解集为，则实数；命题“”是“”的必要不充分条件，则下列命题正确的是A． B． C． D．8．已知，，则下列结论正确的是A．是奇函数 B．是偶函数C．是偶函数 D．是奇函数9．函数的一段大致图象是A B C D10．已知函数对任意都有，的图像关于点对称，且，则A． B． C． D．11．若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数为A． B． C． D．12．定义区间的长度为（），函数（，）的定义域与值域都是，则区间取最大长度时实数的值为A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13．= ．14．设函数，则．15．设函数的最大值为，最小值为，则．16．在平面直角坐标系中，直线是曲线的切线，则当＞0时，实数的最小值是．二、解答题（解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．（本小题满分12分）设：实数满足，：实数满足．（Ⅰ）若，且为真，求实数的取值范围；（Ⅱ）若其中且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数，为常数，且函数的图象过点．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求满足条件的的值．19．（本小题满分12分）已知三次函数过点，且函数在点处的切线恰好是直线．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设函数，若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围．20．（本小题满分12分）已知函数满足（其中,）．（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）对于函数，当时，,求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，的值为负数，求的取值范围.21．（本小题满分12分），曲线在点处的切线与直线垂直.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对于任意的，恒成立，求的范围；（Ⅲ）求证：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．选修4－1：几何证明选讲（本题满分10分）如图，是圆的直径，是弦，的平分线交圆于点，，交的延长线于点，交于点.（Ⅰ）求证：是圆的切线；（Ⅱ）若的半径为，，求的值.23．选修4—4：坐标系与参数方程（本题满分10分）在平面直角坐标系中，直线过点且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点；（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若，求直线的倾斜角的值．24．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）设函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．高三理数第一次联考测试题（参考答案）13． -4 14. 3 15. 2 16.17．（1）由得当时，，即为真时实数的取值范围是. …………2分由，得，即为真时实数的取值范围是.…………4分因为为真，所以真且真，所以实数的取值范围是. …………6分(2)由得，所以，为真时实数的取值范围是. …………8分因为是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件所以且…………10分所以实数的取值范围为：. …………12分18．解：（1）由已知得，解得．…………3分（2）由（1）知，又，则，即，即，…………6分令，则，即，…………8分又，故，…………10分即，解得．…………12分19．解：（1）因为函数在点处的切线恰好是直线，所以有即…………3分∴∴…………4分（2）依题意得：原命题等价于方程在区间[-2,1]上有两个不同的解。

福建省泉州市2021届新高考第三次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则||EB =（ ）A B ．C D 【答案】A【解析】【分析】 根据向量的线性运算可得3144EB AB AC =-,利用22||B EB E =及||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒计算即可.【详解】 因为11131()22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-, 所以22229311216441||6EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+ 229311112()2168216=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916=， 所以19||EB =， 故选：A【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.2．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ∆周长最小时，PF 所在直线的斜率为（ ）A ．43-B ．34-C ．34D ．43【答案】A【解析】【分析】本道题绘图发现三角形周长最小时A,P 位于同一水平线上，计算点P 的坐标，计算斜率，即可．结合题意，绘制图像要计算三角形PAF 周长最小值，即计算PA+PF 最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN ，所以PF PA PA PN AN AG +=+≥≥，故当点P 运动到M 点处，三角形周长最小，故此时M 的坐标为1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以斜率为1041314k -==--，故选A ． 【点睛】本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等．3．函数sin (3sin 4cos )y x x x =+()x R ∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为（ ） A ．(5,)πB ．(4,)πC ．(1,2)π-D ．(4,2)π 【答案】B【解析】 函数23353sin (3sin 4cos )3sin 4sin cos 2sin 2cos 2sin(2)2222y x x x x x x x x x θ=+=+=-+=-+（θ为辅助角）∴函数的最大值为4M =，最小正周期为22T ππ== 故选B4．已知集合M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，N ＝{x|x （x+3）≤0}，则M∩N ＝（ ）A ．[﹣3，2）B ．（﹣3，2）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，0） 【答案】C【解析】【分析】先化简N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集.因为N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，又因为M＝{x|﹣1＜x＜2}，所以M∩N＝{x|﹣1＜x≤0}.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）.A．6500元B．7000元C．7500元D．8000元【答案】D【解析】【分析】设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．【详解】设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2．故选D．【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．6．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（）A．17种B．27种C．37种D．47种【答案】C【解析】【分析】由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解.所有可能的情况有3464=种,其中最大值不是4的情况有3327=种,所以取得小球标号最大值是4的取法有642737-=种,故选:C【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.7．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（π0,0,2A >><ωϕ）的部分图象如图所示，且()()0f a x f a x ++-=，则a 的最小值为（ ）A ．π12 B ．π6 C ．π3 D ．5π12 【答案】A【解析】【分析】 a 是函数()f x 的零点，根据五点法求出图中零点及y 轴左边第一个零点可得．【详解】 由题意3114126T ππ=-，T π=，∴函数()f x 在y 轴右边的第一个零点为56412πππ+=，在y 轴左边第一个零点是6412πππ-=-， ∴a 的最小值是12π． 故选：A.【点睛】本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性．函数()sin()f x A x ωϕ=+的零点就是其图象对称中心的横坐标．8．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A 1B ．2C ．D ．1【答案】D【解析】【分析】 利用抛物线的定义，求得p 的值，由利用两点间距离公式求得PM ，根据二次函数的性质，求得min PM ，由PQ 取得最小值为min 1PM-，求得结果. 【详解】由抛物线2:2(0)C y px p =>焦点在x 轴上，准线方程2p x =-， 则点(5,)t 到焦点的距离为562p d =+=，则2p =， 所以抛物线方程：24y x =， 设(,)P x y ，圆22:(6)1M x y -+=，圆心为(6,1)，半径为1，则PM ===，当4x =时，PQ 11=，故选D.【点睛】该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目.9．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（ ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种【答案】B【解析】【分析】分成甲单独到A 县和甲与另一人一同到A 县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到A 县的分法数.【详解】如果甲单独到A 县，则方法数有22326C A ⨯=种. 如果甲与另一人一同到A 县，则方法数有12326C A ⨯=种.故总的方法数有6612+=种.故选：B本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.10．已知函数2()ln(1)f x x x -=+-,则函数(1)=-y f x 的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像.【详解】设2()(1)ln 1g x f x x x -=-=-+，由于120112ln 22g -⎛⎫=> ⎪⎝⎭+，排除B 选项；由于()2222(e),e 2e 3e g g --==--，所以()g e >()2e g ，排除C 选项；由于当x →+∞时，()0>g x ，排除D 选项.故A 选项正确.故选：A【点睛】本题考查了函数图像的性质，属于中档题.11．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且2AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于C ，ACF ∆的面积为2AB =（ ）A ．6B ．9C ．2D ．2【答案】B【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为2p x my =+，由2AF FB =得122y y =-，将直线AB的方程代入韦达定理，求得1y ，结合ACF ∆的面积求得p 的值，结合焦点弦长公式可求得AB .【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为x my p =+，将直线AB 的方程与抛物线方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y pmy p --=，由韦达定理得122y y pm +=，212y y p =-，11,2p AF x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，22,2p FB x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2AF FB =，122y y ∴-=，122y y ∴=-， 221222y y y p ∴=-=-，可得222y p =，1222y y p ==， 抛物线的准线l 与x 轴交于,02p C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ACF ∆的面积为2122822p p p ⨯⨯==，解得4p =，则抛物线的方程为28y x =， 所以，2221212524988p y y AB x x p p +=++=+=+=. 故选：B.【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 12．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83C ．4D ．43【答案】D【解析】根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积．【详解】根据三视图知，该几何体是侧棱PA ⊥底面ABCD 的四棱锥，如图所示：结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形，高为PA=2， ∴四棱锥的体积为21242323V =⋅⋅=. 故选：D.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省泉州市南安第一中学2021届高三数学上学期第二次月考试题理（含解析）一、选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分） 1.设集合{}| 0M x x =<，1|282x N x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，R 是实数集，则()R C M N =（ ）A. {|3}x x ≥B. {}|10x x -<<C. {}|10x x x ≤-≥或 D.{}|3x x <【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合N ，再求解并集和补集. 【详解】因为1282x <<，所以13222x -<<，即13x ，{3}M N x x ⋃=<，所以(){3}RM N x x ⋃=≥，故选A.【点睛】本题主要考查集合的补集并集运算，化简集合为最简是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.2.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点(1,3)P -，则cos2θ=（ ） A.35B.45C.35D. 45-【答案】D 【解析】 【分析】先求出cos θ，再求出cos2θ得解.【详解】由题得cos 10θ==， 所以214cos2=2cos 121105θθ-=⨯-=-. 故答案为：D【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义和二倍角的公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.已知,m n 表示两条不同直线，,αβ表示两个不同平面，下列说法正确的是（ ） A. 若,m n n α⊥⊂，则m α⊥ B. 若,m m αβ∕∕∕∕，则αβ∕∕ C. 若αβ∕∕，m β∕∕，则m α∕∕ D. 若,m n αα⊥∕∕，则m n ⊥【答案】D 【解析】 【分析】由线线，线面，面面的位置关系对选项逐个进行判断即可得到答案. 【详解】若m ⊥n ，n ⊂α，则m ⊥α不一定成立，A 错；m ∥α，m ∥β，则α∥β或α，β相交，B 错；α∥β，m ∥β，则m ∥α或m ⊂α，C 错；m ∥α，由线面平行的性质定理可得过m 的平面与α的交线l 平行， n ⊥α，可得n ⊥l ，则m ⊥n ，D 对．故选D ．【点睛】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．4.朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则21f f ＝A.【答案】D 【解析】 【分析】：先设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，得出通项公式， 根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值．【详解】：设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，那么1q n n a a -=，根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，11212132q q 2a a a ==⇒=，所以47213q a f f a === D 【点睛】：本题考查了等比数列的基本应用，从题目中后一项与前一项之比为一个常数，抽象出等比数列．5.在平行四边形ABCD 中，22AB AD ==，60BAD ∠=，点E 在CD 上，2CE ED =，则AE BE ⋅=（ ） A. 49-B. 29-C.29D.49【答案】B 【解析】 【分析】以向量,AB AD 为基底，根据向量加减法的运算可将,AE BE 表示出来，利用数量积法则运算即可.【详解】因为22AB AD ==，60BAD ∠=，设1AD =， 则1AB AD ⋅=，因为13AE AD DE AD AB =+=+，23BE AE AB AD AB =-=-， 所以222193AE BE AD AB AB AD ⋅=--⋅8121939=--=-.故选B【点睛】本题主要考查了向量的加减法运算，数量积的运算，属于中档题. 6.数列{}n a 满足()122n na n N a *+=∈-，13a =，则2019a =（ ） A. 3 B. 2-C.12D.43【答案】C 【解析】【分析】先求出数列的周期，再根据数列的周期求出2019a 的值得解. 【详解】当1n =时，2122=2223a a ==---， 当2n =时，321=2(2)2a =--，当3n =时，424=132()2a =-， 当4n =时，52=342()3a =-， 所以数列的周期为4， 所以2019(4504+3)312a a a ⨯===. 故选：C【点睛】本题主要考查数列的周期的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若4225S S -=，则64S S -的最小值为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设该等比数列的首项为1a ，公比为q ，结合题意可得242122(1)()5S S q a a -=-+=，变形可得1225()1a a q +=-， 进而可得4426456122251()()5[(1)2]11S S a a q a a q q q q -=+=⨯+=⨯=-++--，结合基本不等式的性质分析可得答案．【详解】根据题意，设该等比数列的首项为1a ，公比为q ，若4223S S -=，24212341234121222()()()(1)()5S S a a a a a a a a a a q a a -=+++-+=+-+=-+=，又由数列{}n a 为正项的等比数列，则0q >，则1225()0,11a a q q +=>∴>-，4426456122251()()5[(1)2]10522011S S a a q a a q q q q -=+=⨯+=⨯=-+++⨯--当且仅当22q =时等号成立；即64S S -的最小值为20；故选：D ．【点睛】本题主要考查等比数列和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8.某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：若用同一行业中应聘人数和招聘人数的比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ） A. 计算机行业好于化工行业 B. 建筑行业好于物流行业 C. 机械行业最紧张 D. 营销行业比贸易行业紧张【答案】B 【解析】试题分析：就业形势的好坏，主要看招聘人数与应聘人数的比值，比值越大，就业形势越好，故选B ．考点：本题主要考查不等式的概念、不等式的性质．点评：解答此类题目，首先要审清题意，明确就业形势的好坏，主要看招聘人数与应聘人数的比值．9.下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A. 20 3B.163C. 4D.83【答案】C【解析】【分析】根据三视图得出原图，由此计算出几何体的体积.【详解】画出三视图对应的几何体如下图所示三棱锥11F B D E-，根据三棱锥体积计算公式得所求体积为11243432V=⨯⨯⨯⨯=，故选C.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查锥体的体积计算，属于基础题.10.已知数列{}n a满足1212a a++…2*1()na n n n Nn+=+∈，数列{}nb满足：121nn nnba a++=,数列{}n b的前n项和为n T，若(2)1nnTnλ+>+*()n N∈恒成立，则λ的取值范围为（）A. 1(,)8-∞ B. 1(,] 8-∞C. 3(,) 8-∞D. 3(,]8-∞【答案】A 【解析】 【分析】先求出2221112,()4(1)n n a n b n n ==-+，再利用裂项相消法求出n T ，即得λ的取值范围.【详解】由题得1212a a ++…2*1()n a n n n N n+=+∈，（1）， 1212a a ++…211(1)1(2)1n a n n n n -+=-+-≥-，（2） 所以（1）-（2）得212,2n n a n a n n=∴=，适合12a =.所以22n a n =，所以222221111()4(1)4(1)n n b n n n n +==-++，所以2222221111111=)41223(1)n T n n -+-++-+（， 所以2221111(2)=)=41(1)41)n n n T n n +-⋅++（（， 因为(2)1n n T n λ+>+，所以21(2)(2)1=41)141n n n n nT n n n λλ++⋅>∴<⋅+++，（ 因为1111n y n n==++是增函数，所以112n n ≥+，所以18λ<.故选：A【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消法求和和数列的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.已知球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，底边3BC =，侧棱AB =点E 在线段BD 上，且3BD DE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A. 5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []2,4ππC. 9,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.11,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】设BCD ∆的中心为1O ，球O 的半径为R ，连接11,,,O D OD O E OE ，可得223(3)R R =+-，可得R 的值，过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．【详解】解：如图，设BCD ∆的中心为1O ，球O 的半径为R ，连接11,,,O D OD O E OE ，则02211123sin 603,33O D AO AD DO =⨯==-=， 在1Rt D OO ∆中，223(3)R R =+-，解得2R =，3,2BD BE DE =∴=，在1DEO ∆中，0134232cos301O E +-⨯⨯⨯=，22112OE O E OO ∴=+=过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小， 222(2)2-=2π． 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π． 故选B【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题．12.如图，已知四面体ABCD 为正四面体，1AB ＝，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）A.14B.2 C.3 D. 1【答案】A 【解析】 【分析】将正四面体补成正方体易得截面为平行四边形MNKL ，可求得1NK KL +=；根据平行关系及AD BC ⊥可得KN KL ⊥，则MNKL S NK KL =⋅四边形，利用基本不等式可求得最大值. 【详解】将正四面体补成正方体，如下图所示：EF α⊥ ∴截面为平行四边形MNKL ，可得1NK KL +=又//KL BC ，//KN AD ，且AD BC ⊥ KN KL ∴⊥ 可得2124MNKLNK KL S NK KL +⎛⎫=⋅≤=⎪⎝⎭四边形（当且仅当NK KL =时取等号） 本题正确选项：A【点睛】本题考查截面面积最值的求解，难点是能够将正四面体补全为正方体，从而可准确判断出截面图形的形状；求解最值的关键是能够得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值.二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分）13.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且55n n S n T n =+，则1011813a ab b +=+___.【答案】4； 【解析】 【分析】 化简10112081320a a Sb b T +=+，即得解.【详解】由题得1101112081232020212001020(5202=420205(2))a a a a a a S b b b b T b b +++⨯====++++. 故答案为：4【点睛】本题主要考查等差数列的性质和前n 项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.若向量a 、b 满足()7a b b +⋅=，且||3a =，||2b =，则向量a 在b 上的投影为_______. 【答案】32【解析】 【分析】根据数量积的运算及向量在向量上的投影的定义即可求解. 【详解】因为()7a b b +⋅=， 所以27a b b⋅+=，又||3a =，||2b =，所以227a b ⋅+=，即3a b ⋅=，所以向量a 在b 上的投影为32||a b b ⋅=， 故答案为32【点睛】本题主要考查了数量积的运算，向量在向量上的投影，属于中档题.15.如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是棱AB 的中点，Q 为侧面11CDD C 上的动点，且1B Q ∥面1A EF ，则Q 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是________.【答案】54a ； 【解析】 【分析】如图所示，先求出点Q 的轨迹是线段GH,再求GH 的长度得解.【详解】如图，点G,M,N 分别是1C C ,CD,11C D 的中点，H 是1C N 的中点， 由题得11||B G A E ,1B G 不在平面1A EF 内，1A E ⊆平面1A EF ，所以1||B G 平面1A EF .因为11||||||GH CN D M A F ,GH 不在平面1A EF 内, GH ⊆平面1A EF ， 所以||GH 平面1A EF ,因为1,B G GH ⊆平面1A EF ，1B G GH G =,所以平面1||B GH 平面1A EF ,因为1B G ||平面1A EF ,1B H ||平面1A EF . 所以Q 在侧面11CDD C 上的轨迹为线段GH,因为GH ==.【点睛】本题主要考查空间线面关系的证明和轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.已知函数()22,0ln ,0x x x f x x x ⎧--≤=⎨>⎩，函数()()g x f x m =-有3个不同的零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则1232x x x -的取值范围是_____________. 【答案】[1,2ln 22]-- 【解析】 分析】作出()f x 的图象，根据()()g x f x m =-有三个不同的零点，转化为()0f x m -=有三个根，求出1x ，2x ，3x ，关系，构造函数求出函数的导数，利用导数研究取值范围即可． 【详解】作出函数()f x 的图象如图：则当20x -时，抛物线的对称轴为1x =-，若函数()()g x f x m =-有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，不妨设123x x x <<， 即()()0g x f x m =-=，()f x m =有三个不同的根， 则0m ≤＜1，当0x 时，220x x m ---=，即220x x m ++=， 则12x x m =，当0x >时，由30lnx m -=，得3lnx m =，即3m x e =， 则1232=2mx x x m e --，设h （m ）2m m e =-，0m ≤＜1， 则导数h '（m ）2m e =-，所以函数h(m)在[0,ln 2]上单调递增，在[ln 2,1)上单调递减， 所以max ()2ln 22h m =-， 因为(0)1,(1)21h h e =-=->-， 所以min ()1h m =-.所以1232x x x -的取值范围是[1,2ln 22]--. 故答案为：[1,2ln 22]--【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为关于m 的函数，构造函数，求出函数的导数，利用导数研究函数的取值范围是解决本题的关键．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.如图所示，四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的菱形，其中60DAB ∠=︒，SD 垂直于底面ABCD ，3SB =M 为棱SA 的中点．（1）求三棱锥B AMC -的体积；（2）求异面直线DM 与SB 所成角的余弦值． 【答案】(1) 624(2) 12【解析】 【分析】（1）连结BD ，利用12B AMC M ABC S ABC V V V ---==求三棱锥B AMC -的体积；（2）取AB 中点E ，连结ME 、DE ，先证明EMD ∠为异面直线DM 与SB 所成的角，再求它的大小即得解.【详解】（1）连结BD ，SD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴ SD BD ⊥，ABCD 为边长为1的菱形，且60DAB ∠=︒，∴ 1BD AB ==，3SB = ∴ 2SD =∵12B AMC M ABC S ABC V V V ---== ； ∵13sin1202ABC S AB BC ∆=⨯⨯⨯︒=； ∴ 111622423324B AMC S ABC V V --==⨯⨯=. （2）取AB 中点E ，连结ME 、DE ，∴ //ME SB 且12ME SB ==， ∴ EMD ∠为异面直线DM 与SB 所成的角；又∵ 在Rt SDA 中，SA =122DM SA ==，同时，2DE =， ∴ DME ∆为等边三角形，∴ 3DME π∠=，即异面直线DM 与SB 所成角的余弦值为12. 【点睛】本题主要考查空间几何体的体积的计算，考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18.设2()sin cos cos ,4f x x x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在锐角ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0,12A f a ==，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）,,44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2【解析】 【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为()y Asin x ωϕ=+的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间； （2）根据0,12A f a ⎛⎫==⎪⎝⎭，求出sin A ，可得cos A ，利用余弦定理，利用基本不等式的性质求出bc 的最大值，可得ABC ∆面积的最大值． 【详解】解：（1）2()sin cos cos ,4f x x x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭． 化简可得：111()sin 2cos 22222f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭111sin 2sin 2222x x =+- 1sin 22x =-，由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈．可得：()44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，∴函数()f x 的单调递增区间是：,,44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）由02A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，即1sin 02A -=， 可得1sin 2A =， 02A π<<cos 2A ∴=． 由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，可得221b c =+．222b c bc +，当且仅当b c =时等号成立．12bc ∴，2bc ≤．ABC ∆∴面积的最大值12sin 24S bc A +=≤．故得三角形ABC 面积最大值为24+． 【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了余弦定理和不等式的性质的运用，属于中档题．19.给定数列{}n a ，若满足1a a =(0a >且1)a ≠，且对于任意的*,m n N ∈，都有m n m n a a a +=⋅，则称数列{}n a 为“指数型数列”．(1)已知数列{}n a 的通项公式4n n a =，证明：{}n a 为“指数型数列”；(2)若数列{}n a 满足：112a =，()1123*n n n n a a a a n N ++=+∈； ①判断数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；②若数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：34n S <. 【答案】(1) 证明见解析；(2) ①数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数型数列”， 证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】(1)利用“指数型数列”的定义即可证明{}n a 是指数型数列；（2）①数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数型数列”，证明111113331n m m nn m n m a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=⋅==+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即得证；②先由题得131n n a =-11123n -≤⋅，再利用等比数列的求和公式即得解证. 【详解】(1)解：对于数列{}n a ，任意*,m n N ∈，444n m n m n m n m a a a ++==⋅=⋅， 所以{}n a 是指数型数列. (2)①数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数型数列”， 证明如下： n 1123n n n a a a a ++=+，1113112131n n n n a a a a ++⎛⎫⇒=+⇒+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，11111133n n n a a -⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭，111113331n m m nn m n m a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=⋅==+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭“指数型数列”． ②由①可得，11113123n nn a -=≤⋅-；故211111(1)2333n n T -≤++++313(1)434n =-<.【点睛】本题主要考查新定义的理解掌握和应用，考查等比数列的求和放缩法证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20.在五面体ABCDEF 中，AB ∥CD ∥EF ,222CD EF CF AB AD =====,60DCF ∠=，AD CD ⊥，平面CDEF ⊥平面ABCD（1）证明: CE ⊥平面ADF ；（2）棱BC 上是否存在一点P ，使得二面角P DF A --的大小为60？若存在，求出CPCB的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，23CP CB = 【解析】 【分析】（1）先证明AD ⊥平面ACDEF ，再证明CE ⊥平面ADF ；（2）以D 为原点，,,DA DC DG 的方向为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系，设()(),,001CP aCB a a a ==-≤≤，利用二面角的大小求出a 的值即得解. 【详解】（1）∵CDEF , ∴2CD EF CF ===∴四边形CDEF 为菱形,∴CE DF ⊥优质资料\word 可编辑∵面CDEF ⊥面ABCD ，面CDEF 面ABCD CD =,∵AD CD ⊥∴AD ⊥平面ACDEF ∴CE AD ⊥,又∵AD DF D ⋂= ∴直线CE ⊥平面ADF ； （2）∵60DCF ∠=,∴DEF 为正三角形，取EF 的中点G ,连接GD ,则GD EF ⊥ ∴GD CD ⊥,∵平面CDEF ⊥平面ABCD ,GD ⊂平面CDEF ，平面CDEF 平面ABCD CD =,∴GD ⊥平面ABCD ；∵AD CD ⊥∴,,DA DC DG 两两垂直，以D 为原点，,,DA DC DG 的方向为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系； ∵2CD EF CF ===, 1AB AD ==,∴((0,3,3E F -， 由（1）知(0,3CE =-是平面ADF 的法向量 ∵(3DF =,()1,1,0CB =-设()(),,001CP aCB a a a ==-≤≤， 则(),2,0DP DC CP a a =+=-． 设平面PDF 的法向量为(),,n x y z =∵0,0n DF n DP ⋅=⋅=, ∴()3020y z ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，令3y a =，则)32,x a z a =-=-优质资料\word 可编辑∴()()32,n a a =--∵二面角P DF A --为60, ∴cos ,n CE n CE n CE⋅==12=，解得23a =，即23CP CB =. 【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间向量的应用和立体几何的探究性问题，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21.已知函数221()2ln (0)2f x ax x a x a =-+≠. (1)讨论()f x 的单调性； (2)当13a =时，设()f x 的两个极值点为1x ，2x ，证明:121212()()11f x f x x x x x -+-＜. 【答案】（1）详见解析（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）利用导函数分子的判别式分情况讨论，即可，注意参数0a <时，函数图像开口也会发生相应的变化．（2）利用对数平均不等式，证明即可．【详解】解：（1）22222()1(0)a ax x a f'x ax a x x-+=-+=≠，(0,)x ∈+∞，对于一元二次方程2202ax x a -=+，318a ∆=- ， ①当0∆≤时，即12a ≥时，2202ax x a -=+无解或一个解， 有(0,)x ∈+∞时，'()0f x ≥，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增， ②当>0∆时，即12a <时，2202ax x a -=+有两个解， 其解为x =， 当102a <<时，0x =>，故在0x << 及12xa +>时，'()0f x >；且1122x a a+<时，'()0f x <，即()f x 在及)+∞上单调递增，在上单调递减，当0a <时，一个实根小于0，一个实根大于0，所以在0x <<'()0f x >，在12x a >，'()0f x <，即()f x 在(0,)1 2a -上单调递增，在(12)a+∞上单调递减．综上所述：即12a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当102a <<时，即()f x 在(0,)1 2a-及(1,2)a +∞上单调递增，在112(2a a +上单调递减；当0a <时，()f x 在(0,)1 2a-上单调递增，在)+∞上单调递减．（2）当13a =时，22()ln 691f x x x x =-+，2392()9x x f'x x-+=，又因为()f x 的两个极值点为1x ，2x ，则1x ，2x 是方程23920x x -+=的两实数根，121223,,3x x x x +==设12x x >． 121212*********()()()ln ln )2(()()69=x x x x x x f x x x f x x x x x -++------12212(12n ln 9l )x x x x ---= 又因为1212121192x x x x x x ++==，故要证121212()()11f x f x x x x x -+-＜， 只需证2121ln ln )22(1992x x x x -<--，只需证21212l n 5l 4n x x x x <--，只需证121212ln ln 0)x x x x x x -<>>-，下面证明不等式1212ln ln x x x x -<-120x x >>，要证1212ln ln x x x x -<-，即证12ln ln x x -<12ln xx <，令1)t t =>，设()12ln (1)f t t t t t =-+>，则()()22212110t f t t t t-+'=--=<，所以，函数()f t 在()1,+∞上递减，而()10f =，因此当1t > 时，()12ln 0f t t t t=-+<恒成立，即12lnx x <成立，即121212ln ln 0)x x x x x x -<>>-成立，所以12122l n ln 45x x x x <=<--，得证． 【点睛】本题考查利用导函数讨论、求解带参函数的单调性，以及证明不等式，属于难题． 选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是1 x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin cos 0m θρθ-+=．（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点(,0)P m ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且||||2PA PB ⋅=，求实数m 的值．【答案】（Ⅰ）)y x m =-；（Ⅱ）1m =或1m =-或3m = 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据参数方程与普通方程互化原则、极坐标与直角坐标互化原则可直接求得结果；（Ⅱ）P 为直线l 上一点，以P 为定点可写出直线l 参数方程标准形式，将直线l 参数方程代入曲线C的普通方程进行整理，从而利用参数t 的几何意义可构造方程122PA PB t t ，从而得到关于m 的方程，解方程求得结果.【详解】（Ⅰ）由1x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩得：()2212x y -+=即曲线C 的普通方程为：()2212x y -+= 由cos x ρθ=，sin y ρθ=得：直线l 0x m-+=，即)y x m =- （Ⅱ）直线l 的参数方程可以写为：2 12x m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数） 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程可得：2211222m t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即：)()221120t m t m -+--=()212122PA PB t t m ∴⋅==--=，解得：1m =或1m =-或3m =【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程、直线参数方程的应用，关键是能够利用直线参数方程中参数t 的几何意义，将距离之和转变为韦达定理的形式，从而可构造出关于所求变量的方程，属于常考题型. 23.已知*R a b c ∈，，，2221a b c ++=． （1）求证：1ab bc ac ++≤；（2）求证：4442221a b c c a b++≥．【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【分析】(1)由2222ab bc acab bc ac ++++=结合均值不等式进行整理变形即可证得题中的结论；(2)由题意利用均值不等式首先证得4442222222a b c a b c c a b+++++≥，然后结合题意即可证得题中的结论，注意等号成立的条件.【详解】（1）()()()22222222222a b c b a c ab bc ac ab bc ac +++++++++=≤2221a b c =++=，3a b c ===取等号． （2）444444222222222222a b c a b c a b c c a b c a b c a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222a b c ≥=++=，所以4442221a b c c a b ++≥，a b c ===【点睛】本题主要考查利用均值不等式证明不等式的方法，不等式的灵活变形等知识，属于中等题.。

2020-2021学年福建省泉州市南安一中高三（上）期初数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）设集合M={﹣1，1}，N=，则下列结论正确的是（）A．N⊆M B．M⊆N C．M∩N=∅D．M∪N=R2．（5分）i为虚数单位，若（+i）z=（1﹣i），则|z|=（）A．1 B．C．D．23．（5分）已知命题p：∀x∈（0，+∞），3x＞2x，命题q：∃x∈（﹣∞，0），3x＞2x，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）4．（5分）设a=log36，b=log510，c=log714，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c5．（5分）已知函数y=log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），则其反函数的解析式为（）A．y=4x B．y=log4x C．y=2x D．y=（）x6．（5分）定义min{a，b}=，设f（x）=min{x2，}，则由函数f（x）的图象与x轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．7．（5分）若正数a，b满足2+log2a=3+log3b=log6（a+b），则+的值为（）A．36 B．72 C．108 D．8．（5分）设函数f（x）=ln（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件 B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件 D．既非充分也非必要条件9．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为（）A．{1，3} B．{﹣3，﹣1，1，3} C．{2﹣，1，3} D．{﹣2﹣，1，3}10．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．11．（5分）若函数f（x）是（0，+∞）上的单调函数，且对任意实数x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x ﹣1]=2，则f（8）=（）A．2 B．3 C．4 D．512．（5分）∀x∈R，e x≥ax+b，则实数a，b的乘积a•b的最大值为（）A．B．2 C．1 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）函数f（x）=e x lnx在点（1，f（1））处的切线方程是．14．（5分）若函数，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是．15．（5分）若f（x）=ln（e2x+1）+ax是偶函数，则a= ．16．（5分）设函数f（x）=x2﹣2ax+3﹣2a的两个零点x1，x2，且在区间（x1，x2）上恰有两个正整数，则实数a的取值范围为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）≥|x|+1；（Ⅱ）若f（x）≤1在[0，1]上恒成立，求a的取值范围．18．（12分）设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜7，求a的取值范围．19．（12分）在直角坐标系中，曲线C1：（θ为参数，a＞0）过点P（），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cosθ+2sinθ=．（Ⅰ）求曲线C1与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）在C1上求一点M，使点M到直线l的距离最小，求出最小距离及点M的坐标．20．（12分）设函数f（x）=（2x2﹣4ax）lnx+x2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．21．（12分）已知函数，对任意的x∈（0，+∞），满足，其中a，b为常数．（1）若f（x）的图象在x=1处切线过点（0，﹣5），求a的值；（2）已知0＜a＜1，求证：；（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ+cosθ，曲线C3的极坐标方程为θ=．（1）把曲线C1的参数方程化为极坐标方程；（2）曲线C3与曲线C1交于O、A，曲线C3与曲线C2交于O、B，求|AB|2020-2021学年福建省泉州市南安一中高三（上）期初数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）设集合M={﹣1，1}，N=，则下列结论正确的是（）A．N⊆M B．M⊆N C．M∩N=∅D．M∪N=R【分析】由集合M={﹣1，1}，N=={x|x＜0或x}，逐一判断即可得答案．【解答】解：集合M={﹣1，1}，N=={x|x＜0或x}，则M⊆N，故A错误；M⊆N，故B正确；M∩N={﹣1，1}，故C错误；M∪N=N，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，考查了分式不等式的解法，属于基础题．2．（5分）i为虚数单位，若（+i）z=（1﹣i），则|z|=（）A．1 B．C．D．2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式得答案．【解答】解：由（+i）z=（1﹣i），得，∴|z|=1．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．（5分）已知命题p：∀x∈（0，+∞），3x＞2x，命题q：∃x∈（﹣∞，0），3x＞2x，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）【分析】由题意可知p真，q假，由复合命题的真假可得答案．【解答】解：由题意可知命题p：∀x∈（0，+∞），3x＞2x，为真命题；而命题q：∃x∈（﹣∞，0），3x＞2x，为假命题，即￢q为真命题，由复合命题的真假可知p∧（￢q）为真命题，故选B【点评】本题考查复合命题的真假，涉及全称命题和特称命题真假的判断，属基础题．4．（5分）设a=log36，b=log510，c=log714，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c【分析】利用log a（xy）=log a x+log a y（x、y＞0），化简a，b，c然后比较log32，log52，log72大小即可．【解答】解：因为a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，因为y=log2x是增函数，所以log27＞log25＞log23，∵，，所以log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c，故选D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，对数函数的单调性的应用，不等式的基本性质的应用，属于基础题．5．（5分）已知函数y=log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），则其反函数的解析式为（）A．y=4x B．y=log4x C．y=2x D．y=（）x【分析】由对数函数的图象过定点求出a的值，然后化指数式为对数式，再把x，y互换求得原函数的反函数．【解答】解：∵y=log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），∴，解得a=4．∴y=log4x，则x=4y，把x，y互换得到函数y=log4x的反函数为y=4x．故选：A．【点评】本题考查了对数函数的运算性质，考查了函数的反函数的求法，是基础题．6．（5分）定义min{a，b}=，设f（x）=min{x2，}，则由函数f（x）的图象与x轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据题目给出的函数定义，写出分段函数f（x）=min{x2，}，由图象直观看出所求面积的区域，然后直接运用定积分求解阴影部分的面积．【解答】解：由=x2，得：x=1，又当x＜0时，＜x2，所以，根据新定义有f（x）=min{x2，}=，图象如图，所以，由函数f（x）的图象与x轴、x=2直线所围成的封闭图形为图中阴影部分，其面积为S=x2dx+dx=|+lnx|=+ln2，故选：C．【点评】本题考查了定积分在求面积中的应用，考查了新定义，训练了学生的作图能力，解答要用数形结合画出所求面积的区域，此题是中档题．7．（5分）若正数a，b满足2+log2a=3+log3b=log6（a+b），则+的值为（）A．36 B．72 C．108 D．【分析】设2+log2a=3+log3b=log6（a+b）=x，则a=2x﹣2，b=3x﹣3，a+b=6x，由此能求出+的值．【解答】解：∵正数a，b满足2+log2a=3+log3b=log6（a+b），∴设2+log2a=3+log3b=log6（a+b）=x，则a=2x﹣2，b=3x﹣3，a+b=6x，∴+===108．故选C．【点评】本题考查代数和的值的求法，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用．8．（5分）设函数f（x）=ln（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件 B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件 D．既非充分也非必要条件【分析】由题设条件知对于任意的实数a和b，a+b≥0⇒f（a）+f（b）≥0；f（a）+f（b）≥0⇒a+b≥0，从而判断出结论即可．【解答】解：显然，函数f（x）在R上是递增函数，而且是奇函数，于是，由a+b≥0，得a≥﹣b，有f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b），即f（a）+f（b）≥0．反过来，也成立．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，解题时要注意函数单调性的合理运用．9．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为（）A．{1，3} B．{﹣3，﹣1，1，3} C．{2﹣，1，3} D．{﹣2﹣，1，3}【分析】首先根据f（x）是定义在R上的奇函数，求出函数在R上的解析式，再求出g（x）的解析式，根据函数零点就是方程的解，问题得以解决．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，令x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=x2+3x=﹣f（x）∴f（x）=﹣x2﹣3x，∴∵g（x）=f（x）﹣x+3∴g（x）=令g（x）=0，当x≥0时，x2﹣4x+3=0，解得x=1，或x=3，当x＜0时，﹣x2﹣4x+3=0，解得x=﹣2﹣，∴函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为{﹣2﹣，1，3}故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的零点，函数方程思想．10．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【分析】由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；从而得到答案．【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选A．【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题．11．（5分）若函数f（x）是（0，+∞）上的单调函数，且对任意实数x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x ﹣1]=2，则f（8）=（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据题意，由单调函数的性质，可得f（x）﹣log2x﹣1为定值，可以设t=f（x）﹣log2x﹣1，则f（x）=log2x+t+1，又由f（t）=2，即log2t+t+1=2，解可得t的值，可得f（x）的解析式，求出f（8）即可．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x﹣1]=2，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x﹣1为定值，设t=f（x）﹣log2x﹣1，则f（x）=log2x+t+1，又由f（t）=2，即log2t+t+1=2，解可得，t=1；则f（x）=log2x+2，故f（8）=5，故选：D．【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查指数函数的性质，求出f（x）的解析式是解题的关键，是一道中档题．12．（5分）∀x∈R，e x≥ax+b，则实数a，b的乘积a•b的最大值为（）A．B．2 C．1 D．【分析】由题意：令f（x）=e x，设f（x）上一点坐标为P（x0，e），则f'（x）=e x，所以k=e，所以切线方程为：y﹣e=e（x﹣x0），整理得：y=e x+（1﹣x0）e，求出a、b，f（x）=ab，令f'（x）=0，求出a•b的最大值即可【解答】解：由题意：令f（x）=e x，设f（x）上一点坐标为P（x0，e），则f'（x）=e x，所以k=e，∴切线方程为：y﹣e=e（x﹣x0），整理得：y=e x+（1﹣x0）e，∴a=e，b=（1﹣x0）e，令f（x）=ab=（1﹣x）e2x，那么：f'（x）=﹣e2x+2（1﹣x）e2x=（1﹣2x）e2x，令f'（x）=0，解得：极大值点：x=，∴f（x）max=．故选A．【点评】本题主要考查了函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值的应用，渗透了分类讨论思想，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）函数f（x）=e x lnx在点（1，f（1））处的切线方程是y=ex﹣e ．【分析】求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：函数f（x）=e x lnx的导数为f′（x）=e x（lnx+），可得f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为e（ln1+1）=e，切点为（1，0），即有f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=e（x﹣1），即为y=ex﹣e．故答案为：y=ex﹣e．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．14．（5分）若函数，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．【分析】根据f（a）＞f（﹣a）求a得范围须知道f（a），f（﹣a）的解析式因此根据需对a进行讨论显然a=0不合题意故分a＞0，a＜0进行讨论再解不等式即可得解．【解答】解：①当a＞0时﹣a＜0则由f（a）＞f（﹣a）可得∴log2a＞0∴a＞1②当a＜0时﹣a＞0则由f（a）＞f（﹣a）可得∴log2（﹣a）＜0∴0＜﹣a＜1∴﹣1＜a＜0综上a的取值范围为（﹣1，0）∪（1，+∞）故答案为（﹣1，0）∪（1，+∞）【点评】本体组要考查了利用分段函数的解析式解不等式．解题的关键是要分清楚自变量的取值范围所在的取值区间，而本题中的a的范围不定则需分类讨论同时本题还考查了利用对数函数的单调性解有关的对数不等式！15．（5分）若f（x）=ln（e2x+1）+ax是偶函数，则a= ﹣1 ．【分析】根据f（x）为偶函数，便可得到f（﹣1）=f（1），从而得到，这样便可求出a的值．【解答】解：f（x）为偶函数；∴f（﹣1）=f（1）；即；解得a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】考查偶函数的定义，以及对数的运算性质．16．（5分）设函数f（x）=x2﹣2ax+3﹣2a的两个零点x1，x2，且在区间（x1，x2）上恰有两个正整数，则实数a的取值范围为{a|a＜﹣，或a＞} ．【分析】由条件根据△=4（a2+2a﹣3）＞0，再根据 x2 ﹣x1 =2∈（2，3），求得a的范围．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2ax+3﹣2a的两个零点x1，x2，且在区间（x1，x2）上恰有两个正整数，∴△=4（a2+2a﹣3）＞0，即a＜﹣3 或a＞1．再根据 x2 ﹣x1 =2∈（2，3），求得a＜﹣，或a＞，综上可得，a的范围是：{a|a＜﹣，或a＞}．【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，函数零点的定义，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）≥|x|+1；（Ⅱ）若f（x）≤1在[0，1]上恒成立，求a的取值范围．【分析】（I）当a=2时，分类讨论，去掉绝对值，求得x的范围，综合可得结论．（II）先求得f（x）≤1的解集，根据f（x）≤1在[0，1]上恒成立，根据解集端点与0、1的关系，求得a的范围．【解答】解：（I）当a=2时，不等式为|x﹣2|≥|x|+1，当x≤0时，不等式即2﹣x≥﹣x+1，即2≥1，所以解为x∈（﹣∞，0]；当0＜x≤2时，不等式即2﹣x≥x+1，即，所以解为；当x＞2时，不等式即x﹣2≥x+1，解集为∅；综上可得，该不等式的解为（﹣∞，]．（II）因为f（x）≤1，即|x﹣a|≤1，解得a﹣1≤x≤a+1，而f（x）≤1在[0，1]上恒成立，所以，解得a∈[0，1]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．18．（12分）设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜7，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由由a＞0，有f（x）=|x+|+|x﹣a|≥丨（x+）﹣（x﹣a）丨=+a≥2，即可证明：f （x）≥2；（Ⅱ）f（3）＜7，当a＞3时，f（3）=a+，由f（3）＜7，求得3＜a＜6，0＜a≤3时，f（3）=6﹣a+，求得2＜a≤3，即可求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：由a＞0，有f（x）=|x+|+|x﹣a|≥丨（x+）﹣（x﹣a）丨=+a≥2，当且仅当=a，即a=时，取等号，∴f（x）≥2；…（5分）（Ⅱ）f（3）=3++|3﹣a|．当a＞3时，f（3）=a+，由f（3）＜7，得1＜a＜6，∴3＜a＜6．…（8分）当0＜a≤3时，f（3）=6﹣a+，由f（3）＜7，得a＞2或a＜﹣3，∴2＜a≤3，…（11分）综上，a的取值范围是（2，6）．…（12分）【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查基本不等式的应用，一元二次不等式不等式的解法，考查分类讨论思想，属于中档题．19．（12分）在直角坐标系中，曲线C1：（θ为参数，a＞0）过点P（），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cosθ+2sinθ=．（Ⅰ）求曲线C1与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）在C1上求一点M，使点M到直线l的距离最小，求出最小距离及点M的坐标．【分析】（I）由曲线（θ为参数），cos2θ+sin2θ=1，可得，把代入方程即可得出．直线l的极坐标方程为，将极坐标方程两边同乘ρ可得：ρcosθ+2ρsinθ=10，利用即可得出直角坐标方程．（II）由椭圆的参数方程为（θ为参数），可设点M（3cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，点M到直线的距离为．利用三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：（I）∵曲线（θ为参数），cos2θ+sin2θ=1，∴，∵在曲线C1上，则代入方程有a2=4，∴．∵直线l的极坐标方程为，将极坐标方程两边同乘ρ可得：ρcosθ+2ρsinθ=10，∴直线l的直角坐标方程x+2y﹣10=0．（II）∵椭圆的参数方程为（θ为参数），∴可设点M（3cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，点M到直线的距离为．其中，，由三角函数性质知，当θ﹣θ0=0时，d取最小值为．此时，，即点．【点评】本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程的方法、椭圆的参数方程及其应用、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）设函数f（x）=（2x2﹣4ax）lnx+x2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≤1时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，当a＞1时，f（x）在[1，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，所以，由此即可求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（4x﹣4a）lnx+（2x﹣4a）+2x…（1分）=4（x﹣a）（lnx+1）（x＞0）…（2分）①当a≤0时，f（x）在上单调递减，上单调递增…（3分）②当时，f（x）在（0，a）、上单调递增，在上单调递减…（4分）③当时，f（x）在（0，+∞）单调递增…（5分）④当时，f（x）在，（a，+∞）上单调递增，在上单调递减…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≤1时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以，对任意x≥1，有f（x）≥f（1）=1＞0符合题意…（9分）当a＞1时，f（x）在[1，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，所以…（10分）由条件知，a2（1﹣2lna）＞0，解得…（11分）综上可知，…（12分）【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，属于中档题．21．（12分）已知函数，对任意的x∈（0，+∞），满足，其中a，b为常数．（1）若f（x）的图象在x=1处切线过点（0，﹣5），求a的值；（2）已知0＜a＜1，求证：；（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．【分析】（1）由求得a=b，代入原函数求得则f′（1），再求出f（1）由直线方程点斜式求得切线方程，代入（0，﹣5）求得a=﹣2；（2）求出=，令g（x）=（0＜x＜1），利用导数求得g （x）在（0，1）上为减函数，则由g（x）＞g（1）＞0得答案；（3）求出函数f（x）=lnx﹣ax+的导函数，分析可知当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；当a＞0时，由△＞0求得a的范围．进一步求得导函数的两个零点，分别为，则x1＜1，x2＞1，由f（x）在（x1，1）上递增，得f（x1）＜f （1）=0，再由，可得存在，使得f（x0）=0，结合，f （1）=0，可得使f（x）存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是（0，）．【解答】（1）解：由，且，得，即，∴a=b．则f（x）=lnx﹣ax+，∴，则f′（1）=1﹣2a，又f（1）=0，∴f（x）的图象在x=1处的切线方程为y﹣0=（1﹣2a）（x﹣1），即y=（1﹣2a）x﹣1+2a．∵（0，﹣5）在切线上，∴﹣5=﹣1+2a，即a=﹣2；（2）证明：∵f（x）=lnx﹣ax+，∴=，令g（x）=（0＜x＜1），则=＜0．∴g（x）在（0，1）上为减函数，∵x∈（0，1）时，g（x）＞g（1）=2ln1﹣+2﹣ln2=．∴0＜a＜1时，；（3）由f（x）=lnx﹣ax+，得=．当a=0时，，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；当a＜0时，，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；当a＞0时，由△=1﹣4a2＞0，得0．则当x∈（0，），（）时，f′（x）＜0；当x∈（）时，f′（x）＞0．设，则x1＜1，x2＞1，∵f（x）在（x1，1）上递增，∴f（x1）＜f（1）=0，又，∴存在，使得f（x0）=0，又，f（1）=0，∴f（x）恰有三个不同的零点．综上，使f（x）存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是（0，）．【点评】本题考查了函数性质的应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了函数最值的求法，考查了利用导数判断函数零点的方法，着重考查了数学转化思想的应用，是难度较大的题目．22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ+cosθ，曲线C3的极坐标方程为θ=．（1）把曲线C1的参数方程化为极坐标方程；（2）曲线C3与曲线C1交于O、A，曲线C3与曲线C2交于O、B，求|AB|【分析】（1）先把参数方程转化为普通方程，利用由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得极坐标方程，（2）利用|AB|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（1）曲线C1的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρcosθ=0所以曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ（2）设点A的极坐标为，点B的极坐标为，则，所以【点评】本题考查了圆的极坐标方程、参数方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2021年高三三校第一次联考（数学文）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A={x | y=ln （1－x ）}，集合B={y | y=x 2}，则A ∩B = （ ）A ．[0，1]B ．C ．D ．2．复平面内，复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．若平面向量的夹角是180°，且等于 （ ） A ．（－3，6） B ．（3，－6） C ．（6，－3）D ．（－6，3） 4．设2)(,2),1(log ,2,2)(231>⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-x f x x x e x f x 则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．（1，2）5．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的 直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ） A ．1 B ．C ．D ．6．已知x 、y 满足约束条件的取值范围为（ ） A ．[－2，－1] B ．[－2，1] C ．[－1，2] D ．[1，2]7．已知是周期为2的奇函数，当),25(),52(,lg )(,10f b f a x x f x ===<<设时 （ ） A ． B ． C ． D ．8．动点在圆上移动时，它与定点B （3，0）连线的中点的轨迹方程是 （ ）A ．B ．C ．D ．正视图 侧视图 俯视图 第4题图9．函数的图象如图所示， 则y 的表达式为 （ ） A ． B ． C ． D ．10．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向可 以构成一个“锯齿形”的数列{a n }：1，3，3，4，6，5，10， …，则a 21的值为 （ ） A ．66 B ．220 C ．78 D ．286 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

泉州市2021届高中毕业班质量监测（三）高三数学2021.03本试卷共22题，满分150分，共6页.考试用时120分钟.注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3. 选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4. 保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i 是虚数单位，则“a i =”是“21a =-”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 已知集合(){}*,8,,A x y x y x y N =+=∈，(){},1B x y y x =>+，则AB 中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 53. 函数cos 2sin 2y x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小值为（ ） A. -2B. 98-C. 58-D. 04. “立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据ξ（单位：cm ）服从正态分布()2200,N σ，且()2200.1P ξ≥=，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记ξ不．在()180,220的人数为X ，则（ ） A. ()1802200.9P ξ<<= B. () 2.4E X = C. ()0.16D X =D. ()10.488P X ≥=5. 已知单位向量a ，b 满足14a b ⋅=，且2c a b =+，则sin ,a c =（ ）A.8B.8C.8D.386. 在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =，则异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为（ ）A.6B.112C. 6-D. 112-7. 已知32a =，b =ln 3ln 2c =，则（ ） A. a b c >>B. c b a >>C. c a b >>D. a c b >>8. 已知曲线E ：()()22480y xyx -+=，直线1x my =+与E 有且只有4个公共点，这些公共点从左到右依次为A ，B ，C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，则下列结论中错误的是（ ）A. 2m >或2m <- B. 121x x <-<C. 6CD >D. AB <二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若210a =，52S S =，则（ ） A. 34S S =B. 610a =C. n S 的最大值为30D. n a 的最大值为1510. 已知函数()3()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A.2ω=B. 267ω=C. 76πϕ=D. 6πϕ=-11. 已知函数,1()1ln ,1xx f x x x x ⎧<⎪=-⎨⎪≥⎩，()g x kx k =-，则（ ）A. ()f x 在R 上为增函数B. 当14k =时，方程()()f x g x =有且只有3个不同实根 C. ()f x 的值域为()1,-+∞D. 若()()1()()0x f x g x --≤，则[)1,x ∈+∞12. 如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，侧棱长为2，点P ，Q 分别在半圆弧1C C ，1A A （均不含端点）上，且1C ，P ，Q ，C 在球O 上，则（ ）A. 当点P 在1C C 中点处，三棱锥1C PQC -的体积为定值B. 当点P 在1C C 中点处，过1C ，P ，Q 三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形C. 球O 的表面积的取值范围为()4,8ππD. 当点Q 在1A A 的三等分点处，球O的表面积为(11π- 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. ()62x +展开式中，二项式系数最大的项的系数为___________.（用数字填写答案）14. 甲问乙：“您有几个孩子”，乙说：“四个”.此时，一男孩过来.乙对甲说：“这是我小孩”，接着乙对该男孩说：“去把哥哥姐姐都叫过来，你们四人一起跟甲去趟学校”.根据上述信息，结合正确的推理，最多需要猜测___________次，才可以推断乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次才猜对的概率为____________.15. 圆锥曲线光学性质（如图1所示）在建筑、通讯、精密仪器制造等领域有着广泛的应用.如图2，一个光学装置由有公共焦点1F ，2F 的椭圆C 与双曲线'C 构成，一光线从左焦点1F 发出，依次经过'C 与C 的反射，又回到点1F 历时m 秒；若将装置中的'C 去掉，则该光线从点1F 发出，经过C 两次反射后又回到点1F 历时n 秒.若C 与'C 的离心率之比为13，则mn=__________.16. 若正数x ，y 满足()216xy x y +=，则x y +的最小值为__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知数列{}n a ，{}n b 满足19a =，1109n n a a +=+，1n n b a =+. （1）证明：{}n b 是等比数列； （2）求数列(){}1lg nnb -的前n 项和nS .18. 脱贫攻坚取得的全面胜利是中国共产党领导全国人民创造的又一个彪炳史册的人间奇迹.某地区有一贫困村坐落于半山平台，村民通过悬崖峭壁间的藤条结成的“藤梯”往返村子，因而被称为“悬崖村”.当地政府把“藤梯”改成钢梯，使之成为村民的“脱贫天梯”，实现了“村民搬下来，旅游搬上去”，做到了长效脱贫.如图，为得到峭壁上的A ，B 两点的距离，钢梯的设计团队在崖底的P ，Q 两点处分别测得1APQ α∠=，1BPQ β∠=，APB θ∠=，2AQP α∠=，2BQP β∠=，且PQ s =.（1）用1α，2α，s 表示AP ；（2）已知117β=︒，2150β=︒，90.0s =米，51.3θ=︒，又经计算得250.0AP =米，求AB . 参考数据：sin130.225︒≈，cos130.974︒≈，sin51.30.780︒≈，cos51.30.625︒≈.19. 永春老醋以其色泽鲜艳，浓香醇厚的独特风味，与山西陈醋、镇江香醋、保宁药醋并称中国四大名醋.为提高效率、改进品质，某永春老醋生产公司于2018年组织技术团队进行发酵工艺改良的项目研究.2020年底，技术团队进行阶段试验成果检验，为下阶段的试验提供数据参考.现从改良前、后两种发酵工艺生产的成品醋中，各随机抽取100件进行指标值M 的检测，检测分两个步骤，先检测是否合格，若合格，再进一步检测是否为一等品.因检测设备问题，改良后的成品醋有20件只进行第一步检测且均为合格，已完成检测的180件成品醋的最终结果如下表所示.附：成品醋的品质采用指标值M 进行评价，评价标准如下表所示.（1）现从样本的不合格品中随机抽取2件，记来自改良后的不合格品件数为X ，求X 的分布列；（2）根据以往的数据，每销售一件成品醋的利润少（单位：元）与指标值M 的关系为[)[)[)5,0,13,1,32,0,3M y M M ⎧∈⎪=∈⎨⎪-∉⎩，若欲实现“改良后成品醋利润比改良前至少增长20%”，则20件还未进一步检测的样本中，至少需要几件一等品？20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，二面角P AD C --是直二面角，AD 为等腰直角三角形PAD 的斜边，2AD CD ==，1AB BC ==，BD =M 为线段PC 上的动点.（1）当PM MC =时，证明：//PA 平面MBD ；（2）若平面MBD ⊥平面ABCD ，求二面角B MD C --的余弦值.21. 已知椭圆C ：22143x y +=的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，折线()10x my m -=≠与C 交于M ，N 两点.（1）当2m =时，求MF NF +的值；（2）直线AM 与BN 交于点P ，证明：点P 在定直线上. 22. 已知函数()sin xf x aex x -=+-.（1）若()f x 在()0,2π单调递减，求实数a 的取值范围； （2）证明：对任意整数a ，()f x 至多1个零点.泉州市2021届高中毕业班质量监测（三）参考答案与评析高三数学三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【命题意图】本小题主要考查二项式定理等基础知识，考查运算求解能力，体现基础性，导向对发展数学运算等核心素养的关注.【试题简析】依题意，二项式系数最大项为3333462160T C x x ==，其系数为160.故答案为160.14.【命题意图】本小题主要考查古典概型等基础知识；考查阅读理解并提取信息进行推理论证的能力；体现基础性、创新性、应用性，导向对发展理性思维与数学应用等核心素养的关注.【试题简析】记1A 为乙的第i 个孩子是男性，依题意，四个孩子从长到幼的性别情况有()1234,,,A A A A ，()1234,,,A A A A ，()1234,,,A A A A ，()1234,,,A A A A ，()1234,,,A A A A ，()1234,,,A A A A ，共6种，最多需要猜测5次，便可以知道乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次就猜对的概率为16. 故答案为5；16. 15.【命题意图】本题考查椭圆定义、双曲线定义、离心率等基础知识；考查推理论证、运算求解等能力；考查数形结合、化归与转化等思想；体现综合性、创新性，导向对发展数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注.【试题简析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ， 在图2左图中，由椭圆定义可得1212BF BF a += ① 由双曲线定义可得2122AF AF a -= ② ①-②得111222AF AB BF a a ++=-， 所以1ABF △的周长为1222a a -.在图2右图中，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点， 即直线ED 过点2F ，所以1EDF △的周长为14a ， 又因为椭圆与双曲线焦点相同，离心率之比为13， 所以123a a =，又两次所用时间分别为m ，n ， 而光线速度相同，所以122212226214123a a a a m n a a --===. 16.【命题意图】本小题主要考查不等式、函数与导数等基础知识；考查逻辑推理、运算求解等能力；考查函数与方程、化归与转化等思想；导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注. 【试题简析】令t x y =+，则()()()2216t y y t y y t y -+=-=， 所以2216t y y =+，令216 ()f y y y=+，由216'()20f y y y =-+=，解得2y =. ()0,2y ∈时，()'0f y <，()f y 单调递减，()2,y ∈+∞时，()'0f y >，()f y 单调递增；所以()f y 的最小值为()212f =，又对正数x ，y 有0t x y =+>，所以min t = 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【命题意图】本小题主要考查等比数列的定义与前n 项和等基础知识；考查运算求解能力；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等.体现基础性和综合性，导向对发展数学运算等核心素养的关注. 【试题解析】 解法一：（1）依题意，1111n n n n b a b a +++=+ 109110101011n n n n a a a a +++===++（非零常数）.又11110b a =+=.故{}n b 为首项110b =，公比10q =的等比数列.（2）（1）由可知1110n nn b b q -==.所以(1)lg (1)lg10(1)n n n nn n c b n =-=-=-⋅.①当n 为偶数时，[](12)(34)(1)2n n S n n =-++-+++--+=； ②当n 为奇数时，[]1(12)(34)(2)(1)2n n S n n n +=-++-+++--+--=-. 故,21,2n nn S n n ⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩为偶数为奇数.解法二：（1）同解法一；（2）由（1）可知1110n nn b b q -==.所以(1)lg (1)lg10(1)n n n nn n c b n =-=-=-⋅.211(1)2(1)(1)(1)(1)n n n S n n -=⋅-+⋅-+-⋅-+⋅- ①231(1)1(1)2(1)(1)(1)(1)n n n S n n +-=⋅-+⋅-++-⋅-+⋅- ② ①-②得212(1)(1)(1)(1)n n n S n +=-+-+--⋅-1(1)1(1)(1)1(1)n n n +⎡⎤---⎣⎦=-⋅---111(1)(1)11(1)(1)222n n n n n +++---⎛⎫=-⋅-=--+⋅- ⎪⎝⎭，故111(1)442n n n S +⎛⎫=--+⋅- ⎪⎝⎭. 18.【命题意图】本小题以“悬崖村”的脱贫事件为背景，以修建钢梯的测量为问题情境，考查正弦定理、余弦定理，解三角形等基础知识；考查抽象概括能力，空间想象能力，运算求解能力与应用意识和创新意识；考查转化与化归思想，函数与方程思想；考查基本活动经验；导向对数学抽象，数学建模，数学运算核心素养的关注.【试题解析】（1）如图，在APQ △中，根据正弦定理得()212sin sin AP PQαπαα=--，化简得()212sin sin s AP ααα⋅=+；（2）在BPQ △中，根据正弦定理得()212sin sin BP PQβπββ=--，可得()212sin 900.5200sin 1800.225s BP βββ⋅⨯===︒--，又在ABP △中，根据余弦定理得2222cos AB AP BP AP BP θ=+-⋅， 代入得2400006250022002500.62540000AB =+-⨯⨯⨯=， 所以200AB =米.19.【命题意图】本小题主要考查条件概率、独立性检验、数学期望等基础知识；考查数据处理能力、应用意识和创新意识等；考查统计与概率思想；导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养的关注.【试题解析】（1）依题意，已检测的不合格品样本共有20个， 其中改良前的有15个，改良后的有5个.0,1,2X =.2015522021(0)38C C P X C ⋅===； 1115522015(1)38C C P X C ⋅===； 021552201(2)19C C P X C ⋅===. 故X 的分布列为：（2）由样本估计总体的思想， 改良前成品醋利润的数学期望30551553(2) 2.85100100100⨯+⨯+-⨯=； 若要使“改良后成品醋利润比改良前至少增长20%”， 则改良后的利润至少应为()2.85120% 3.42⨯+=.假设改良后20个还未进行进一步检测的样本中，一等品有x 个， 则改良后的一等品有26x +个，二等品有69x -个.改良后成品醋利润的数学期望2669553(2)100100100x x +-⨯+⨯+-⨯. 依题意，2669553(2) 3.42100100100x x +-⨯+⨯+-⨯≥.求得7.5x ≥，又x N ∈，故20个还未进行进一步检测的样本中，一等品至少需要8个.20.【命题意图】本题考查空间几何点线面位置关系、线面垂直的性质和判定、面面垂直的判定、点面距离的求法等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化的思想；考查直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养.【试题解析】（1）连结AC 交BD 于N ，连结MN ， 因为2AD CD ==，1AB BC ==，所以BD 为AC 的垂直平分线，则AN CN =，又因为PM MC =，所以MN 为PAC △的中位线，则//PA MN ， 又因为PA ⊄平面MBD ，MN ⊂平面MBD ， 所以//PA 平面MBD .（2）解法一：取AD 的中点O ，因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以OP ⊥平面ABCD，过O 作AD 的垂线作为x 轴，分别以OD ，OP 所在的直线为y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系，则()0,0,1P ，()0,1,0A -，()0,1,0D ，由已知22214AB AD BD +=+=，得AB AD ⊥，故()1,1,0B -，假设(),,0C x y ，因为(),1,0AC x y =+，()1,2,0BD =-，()1,1,0BC x y =-+，(),1,0DC x y =-，由00AC BD BC DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2222010x y x x y -++=⎧⎨-+-=⎩，解得81,,055C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 81,,155PC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，86,,055DC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，假设平面MCD 的一个法向量是()1111,,n x y z =，则1100PC n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111850430x y z x y --=⎧⎨-=⎩，令13x =，14y =，14z =，取()13,4,4n =，因为平面MBD ⊥平面ABCD ，且AC BD ⊥，所以平面MBD 的一个法向量是84,,055AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，取()22,1,0n =， 假设二面角B MD C --的平面角为θ， 因为二面角B MD C --的平面角为锐角， 则二面角B MD C --的余弦值1212cos 4141n n n n θ⋅===⋅.解法二：（1）同解法一；（2）因为22214AB AD BD +=+=，得AB AD ⊥， 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，故以点A 为原点，AB ，AD 所在的直线为x 轴，y 轴，在平面PAD 内过点A 作AD 的垂线为z 轴建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,2,0D ，()0,1,1P ，84,,055C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 于是84,,055AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(0,1,1)PD =-，86,,055DC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，假设平面MCD 的一个法向量是()1111,,n x y z =，则110PD n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111430y z x y -=⎧⎨-=⎩，令13x =，14y =，14z =，取()13,4,4n =，因为平面MBD ⊥平面ABCD ，且AC BD ⊥，所以平面MBD 的一个法向量是84,,055AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，取()22,1,0n =， 假设二面角B MD C --的平面角为θ，则1212cos 41n n n n θ⋅===⋅ 因为二面角B MD C --.解法三：（1）同解法一；（2）以PA 所在直线为x 轴，PD所在的直线为y 轴，过P 作AB 平行线为z 轴， 则)A，()D ，()0,0,0P ，)B，8555C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 于是8,,555AC ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，(0,PD =，38,555PC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，假设平面MCD 的一个法向量是()1111,,n x y z =，则110PD n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11110330y x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =10y =，13z =-，取()142,0,3n =-， 因为平面MBD ⊥平面ABCD ，且AC BD ⊥， 所以平面MBD的一个法向量是85AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，取(2n =-， 假设二面角B MD C --的平面角为θ，则12124cos 41n nn n θ-⋅===⋅ 因为二面角B MD C --的平面角为锐角，所以其大小的余弦值41.解法四：（1）同解法一；（2）取AD 的中点O ，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD ，过O 作AD 的垂线作为x 轴，分别以OD ，OP 所在的直线为y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系， 由已知22214AB AD BD +=+=，得AB AD ⊥，故()1,1,0B -，又()0,0,1P ，()0,1,0A -，()0,1,0D ，()1,2,0BD =-，假设()00,,0C x y ，因为()00,1,0AC x y =+，()001,1,0BC x y =-+，()00,1,0DC x y =-，由00AC BD BC DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得002200022010x y x x y -++=⎧⎨-+-=⎩，解得81,,055C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 81,,155PC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，86,,055DC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，假设(),,M x y z ，(),,1PM x y z=-，设81,,55PM PC λλλλ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，解得81,,155M λλλ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，81,1,155DM λλλ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭， 因为平面MBD ⊥平面ABCD ，且AC BD ⊥，则AC DM ⊥，又因为84,,055AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以8481604,,0,1,105555255AC DM λλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得13λ=，于是812,,15153M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则8162,,15153DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 假设平面MCD 的一个法向量是()1111,,n x y z =，则110DC n DM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111114304850x y x y z -=⎧⎨-+=⎩，令13x =，14y =，14z =，取()13,4,4n =，依题意可取平面MBD 的一个法向量为84,,055AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，取()22,1,0n =， 假设二面角B MD C --的平面角为θ，则则121210cos 41n n n n θ⋅===⋅. 因为二面角B MD C --. 21.【命题意图】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、弦长计算、两直线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、应用意识和创新意识等；考查数形结合、化归与转化等思想；体现综合性、创新性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象、数学抽象等核心素养的关注. 【试题解析】解法一：（1）由已知可得()1,0F ，设点M 关于x 轴的对称点为1M ， 则1MF M F =，如图，不妨设直线21x y =+与椭圆相交于1M ，N 两点， 设()111,M x y ，()22,N x y ，联立2221143x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得223(21)4120y y ++-=，即2161290y y +-=，所以1234y y +=-，12916y y =-， 故11M F NF M N MF NF =+==+154===.（2）由已知可得()2,0A -，()2,0B ，()111,M x y ，()11,M x y -，()22,N x y ， 不妨设直线1x my =+与椭圆相交于点1M ，N ，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得223(1)4120my y ++-=，即()2234690m y my ++-=，所以122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， 且()121232my y y y =+. 直线AM ：11(2)2y y x x -=++， 直线BN ：22(2)2y y x x =--， 联立两直线方程，消去y 可得()()()()21211212232221y x y my x x y x y my +++=-=----， 即()()12212221112133322332332y y y my y y x x my y y y y y ++++=-=-=---+-，所以()232x x +=--，1x =，即点P 在定直线1x =上.解法二：（1）同上.（2）由已知可得()2,0A -，()2,0B ，()111,M x y ，()11,M x y -，()22,N x y ， 不妨设直线1x my =+与椭圆相交于点1M ，N ，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得223(1)4120my y ++-=，即()2234690m y my ++-=，所以122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， 直线AM ：11(2)2y y x x -=++， 直线BN ：22(2)2y y x x =--， 由点M 在椭圆上，可知()2211344y x =--， 所以11112324y x x y --=⋅+， 所以直线AM ：1123(2)4x y x y -=+，联立两直线方程，消去y 可得121223(2)(2)42x y x x y x -⋅+=--， 即()()1212324222y y x x x x +⋅=---， 即()()()()1212121232422211y y y y x x x x my my +⋅==-----()12212121y y m y y m y y =-++，所以22232994296344x x m m m +-⋅==---+++， 所以()232x x +=--，1x =， 即点P 在定直线1x =上.解法三：（1）同上.（2）由已知可得()2,0A -，()2,0B ，()111,M x y ，()11,M x y -，()22,N x y ， 不妨设直线1x my =+与椭圆相交于点1M ，N ，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得223(1)4120my y ++-=，即()2234690m y my ++-=，所以122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， 设直线1AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，则()()12121212122222y y y y k k x x x x ⋅=⋅=++++()()()121221212123339y y y y my my m y y m y y ==+++++ 2229191827364m m m -==---++， 所以直线AM ，AN 的斜率满足1214k k -⋅=， 又设直线BN 的斜率为3k ，则222223222232244y y y k k x x x ⋅=⋅==-+--，所以直线AM ，BN 的斜率满足1313k k -=-， 故直线AM ：31(2)3y k x =-+，BN ：()32y k x =-，联立解得1x =， 即点P 在定直线1x =上.22.【命题意图】本小题主要考查函数与方程，不等式，导数的应用等基础知识，考查逻辑推理，运算求解能力，体现综合性，导向对发展数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注. 【试题解析】解法一： （1）'()cos 1xf x aex -=-+-.【当0a ≥时，'()0f x ≤显然成立.（无持续求解，只写这一结论，可补这1分.）2分】()f x 在()0,2π单调递减⇔对()0,2x π∈，恒有'()0f x ≤()0,2x π⇔∈，恒有()cos 1x a e x ≥-，令()[]()()cos 10,2x g x e x x π=-∈，则'()(cos 1sin )14x x g x e x x e x π⎫⎛⎫=--=--+ ⎪⎪⎝⎭⎭， 令'()0g x =，解得32x π=（或0x =，或2x π=）. 则当30,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0g x <，()g x 单调递减；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0g x >，()g x 单调递增.又()()020g g π==，所以当[]0,2x π∈时，max ()0g x =. 所以0a ≥.（2）令()sin x x x ϕ=-，则'()cos 10x x ϕ=-≤，所以()x ϕ单调递减， 又因为()00ϕ=，所以0x ≥时，sin 0x x -≤；0x <时，sin 0x x ->.令()()sin xF x a ex x =+-，则()F x 与()f x 零点一致.当0x ≥时，()()()'()sin cos 10xF x ex x x =-+-≤，所以()F x 递减，()()0F x F a ≤=.当0x <时，有(sin )(1)xxa a e x x a e x <+-≤+-， 令()(1)(0)xG x a e x x =+-<，因为'()0x G x xe =->，()G x 在(),0-∞递增，所以0()(0)(10)1G x G a e a <=+-=+. 故()1a F x a <<+.综上，当0a ≥时，()F x 在0x ≥有唯一零点，在0x <恒正不存在零点； 当1a ≤-时，()10F x a <+≤，不存在零点.即对任意整数a ，()F x 至多1个零点，所以()f x 至多1个零点. 解法二：（1）同解法一. （2）当0a ≥时，()'()cos 10xf x ae x -=-+-≤恒成立，()f x 为递减函数，所以()f x 至多1个零点.令()sin x x x ϕ=-，则'()cos 10x x ϕ=-≤，所以()x ϕ单调递减， 又因为()00ϕ=，则0x ≥时，sin 0x x -≤；0x <时，sin 0x x ->. 当1a ≤-时，()sin sin xx f x ae x x e x x --=+-≤-+-.令()sin xx ex x φ-=-+-.当0x ≥时，()sin sin 0xx e x x x x φ-=-+-<-≤.当0x <时，'()cos 1xx ex φ-=+-；''()sin 1sin 0x x e x x φ-=--≤--≤，所以'()x φ在0x <时单调递减，此时()'()'01x φφ>=， 所以()x φ在0x <时单调递增，所以()()01x φφ≤=-.综上所述，当1a ≤-时，()0x φ<. 所以当1a ≤-时，()sin 0xf x ex x -≤-+-<.所以，对任意整数a ，函数()f x 至多1个零点.。

2020-2021学年莆田一中高三数学期中考试卷命题人: 审核人:高三备课组(满分:150分,时间:120分钟)一、选择题(8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题意)1.设集合A={y| y=4-x2},B={x| y=4-x2},则( ) A．A=B B. A⋂B=∅ C. A⊆B D. B⊆A2.复数z满足i⋅z=1-2i, z̅是z的共轭复数则z⋅z̅=( )A. 3B. 5C. 3D. 53.已知向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1)且(a-λb)⊥c,则λ=( )A.3B.2C.-2D.-34.已知f(x)=e-x+k e x(k为常数),那么函数f(x)的图象不可能是( )A B C D5. 在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=2 3,则cos(α-β)=( )A.19B.459C.-19D.-4596. 把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度为θ1︒C,空气温度为θ0︒C,那么t 分钟后物体的温度θ(单位︒C)可由公式：θ=θ0+(θ1-θ0)e -kt 求得,其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100︒C 的物体,放在20︒C 的空气中冷却,4分钟后物体的温度是60︒C ，则再经过m 分钟后物体的温度变为40︒C(假设空气温度保持不变),则m = ( ) A.2 B.4 C.6 D.87.已知P 是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的点,F 1,F 2分别是C 的左,右焦点，O 是坐标原点, 若|OP →+OF 2→|=2|OF 1→|且∠F 1PF 2=60︒，则椭圆的离心率为 ( )A. 12B.32C. 3-12D. 338.集合论中著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物,具有典型的分形特征,其具体操作过程如下:将闭区间[0,1]均分为三段,去掉中间的区间段(13,23),记为第一次操作;再将剩余的两个区间[0,13],[23,1]分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第二次操作；⋅⋅⋅；如此这样,每次在上一次操作的基础上将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作的过程不断进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”。

福建省南安一中2021届高三数学（文）上学期期中试题本试卷考试内容为：函数与导数、三角函数、数列、立体几何、直线与圆。

分第I 卷（选择题）和第II 卷，共4页，总分值150分，考试时刻120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。

2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。

依照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3．答案利用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =,{}3,4,5B =，以下图中阴影部份所表示的集合为 A ．{}3 B ．{}1,2 C ．{}4,5 D ．{}1,2,3,4,5 2.在复平面上，复数i1i3++=z 对应点所在的象限是 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.函数()4log 2-+=x x x f 的零点所在的区间是 A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．()2,1C ．()3,2D ．()4,3 4.假设某几何体的三视图(单位：cm)如下图，那么此几何体的表．面积．．等于 A ．12πcm 2B ．15πcm 2C ．24πcm 2D ．30πcm 25.“1m =”是“直线20mx y ++=与直线10x my +-=彼此平行”的 A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.设l 是直线，α，β是两个不同的平面，那么以下命题正确的选项是 A ．假设l ∥α，l ∥β，那么α∥β B ．假设α⊥β，l ∥α，那么l ⊥β C ．假设α⊥β，l ⊥α，那么l ∥β D ．假设l ∥α，l ⊥β，那么α⊥β7.设0,0a b >>，假设3是3a 与3b的等比中项，那么11a b+的最小值为 BAA ．14B ．1C ．4D ．8 8.已知函数()log ()a f x x b =+的大致图象如右图，其中b a ,为常数，那么函数b a x g x +=)(的大致图象是9.已知向量a , b 均为单位向量，假设它们的夹角是60°，那么b a 3-等于A ．3B ．2C ．13D ．710.已知π4cos sin 365αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，那么5πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是 A ．235-B ．235C ．45D ．45-11.设曲线1*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，那么123n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅的值为 A ．11n + B ．1n n + C ．1nD ．1 12.概念运算：12122112a a a b a b b b =-，将函数sin 21()cos 23x f x x-=的图象向左平移t （0t >）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，那么t 的最小值为 A ．6π B ．512π C ．3πD ．56π第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题4分，总分值16分．13.假设等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，那么a 6＝ ．14.已知实数x y ，知足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-3102x y x y x ，那么y x z 32+=的最小值是 ．15.已知△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边别离为,,a b c ，假设△ABC 的面积为33,4A B CD3,a =3B π=,那么b = ．16.在一次研究性学习中小李同窗发觉，以下几个式子的值都等于同一个常数M ： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°=M ； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°=M ； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°=M ； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°=M ； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°=M ； 请计算出M 值，并将该同窗的发觉推行为一个三角恒等式..三、解答题：本大题6小题，总分值74分．解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤． 17.（本小题总分值12分）已知三棱柱ADF BCE -中，DF ⊥平面ABCD ，AD DC =，G 是DF 的中点 （Ⅰ）求证：//BF 平面ACG （Ⅱ）求证：平面ACG ⊥平面BDF 18.（本小题总分值12分）已知直线l 与直线20x y +-=垂直，且过点(2,1) （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）假设圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l 被该圆所截得的弦长为22，求圆C 的标准方程.19.（本小题总分值12分）已知(cos ,23cos ),(2cos ,sin )a x x b x x ==，且()f x a b =⋅ （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，,,a b c 别离是,,A B C 的对边，假设2)cos cos a c B b A +=-（成立，求()f A 的取值范围.20.（本小题总分值12分）等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列，11b =，且2264,b S =33960b S =． (Ⅰ)求n a 与n b ； (Ⅱ)证明：1211134n S S S +++<． 21．（本小题总分值12分）如图，四棱锥P ABCD -中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2BC PD ==，E 为PC 的中点，3CB CG =（Ⅰ）求证：;BC PC ⊥（Ⅱ）求三棱锥C DEG -的体积；（Ⅲ）AD 边上是不是存在一点M ，使得//PA 平面MEG .假设存在，求AM 的长；假设不存在，说明理由. 22.（本小题总分值14分）已知函数()21)ln f x ax a x b =--+（.（Ⅰ）假设()f x 在点(1,(1)f )处的切线方程为y x =，求实数a b 、的值; （Ⅱ）当0a >时，讨论()f x 的单调性;（Ⅲ）当1a =时，()f x 在区间1(,)e e上恰有一个零点，求实数b 的取值范围.南安一中2021～2021学年度高三（上）期中考 文科数学试卷答案及评分标准 说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，若是考生的解法与本解答不同，可依照试题的要紧考查内容对照评分标准制订相应的评分细那么．二、对计算题当考生的解答在某一步显现错误时，若是后续部份的解答未改变该题的内容和难度，可视阻碍的程度决定给分，但不得超过该部份正确解许诺得分数的一半；若是后续部份的解答有较严峻的错误，就再也不给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每题5分，总分值60分． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BDCCADCBDDAB二、填空题：本大题每题4分，总分值16分． 13.11 14.9 15.7 16. sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34三、解答题：本大题总分值74分． 17.证明：（Ⅰ）设AC 、BD 相交于点O ，连结OG∵AD DC = ∴ABCD 为菱形 ∴O 为BD 的中点 ∵G 是FD 的中点 ∴//OG BF又∵OG ⊂平面AGC BF ⊄平面AGC∴//BF 平面ACG ……………………………6分 （Ⅱ）∵ABCD 为菱形∴AC BD ⊥又∵DF ⊥平面ABCD AC ⊂平面ABCD ∴DF ⊥AC 又∵BDDF D = BD DF ⊂、平面BDF∴AC ⊥平面BDF 又∵AC ⊂平面ACG∴平面ACG ⊥平面BDF ……………………………12分O18.解：（Ⅰ）∵l 与20x y +-=垂直 ∴1l k =∵l 过点(2,1) ∴l 的方程1(2)y x -=- 即1y x =- ……………………………4分 （Ⅱ）设圆的标准方程为222()x a y r -+=2222(1)2a r r ⎧-=⎪+=⎪⎩ 解得：3,2a r == …………………………8分 ∴圆的标准方程为22(3)4x y -+= …………………………12分 19.解：（Ⅰ）(cos ),(2cos ,sin )a x x b x x ==1)62sin(2++=πx ……………………………3分T π∴= (4)分 单调递增区间为：)222(Z 262k x k k πππππ-+≤+≤+∈解得：()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∴单调递增区间为：()36x k k k Z ππππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈-++∈，……………………………6分（Ⅱ）由正弦定理得：(sinA+2sinC)cosB=－sinBcosA∴ sin(A+B)= －2sinCcosB ∴ cosB=12-∵B 为三角形的内角 ∴B =23π……………………………8分 ∴()2sin(2A )16f A π=+-+1又5023666A A ππππ<<∴<+<1sin(2A )126π∴<+≤ ……………………………10分 故(()0,1f A ⎤⎦∈2，3] ……………………………12分 20.解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，那么0d >，3(1)n a n d =+-，1n n b q -=．依题意有23322(93)960(6)64S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩．解得2,8d q =⎧⎨=⎩或65403d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去)． ……………4分∴132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+= ……………………………6分 (Ⅱ)∵35(21)(2)n S n n n =++++=+，∴121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯⨯+31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭． ……………………………10分 ∵n N *∈ ∴1110212n n ⎛⎫+> ⎪++⎝⎭∴12111n S S S +++34< ……………………………12分 21.(Ⅰ)证明：⊥PD 平面ABCD ，BC PD ⊥∴ 又∵ABCD 是正方形 ∴BC CD ⊥ ∵PD CD D =∴BC ⊥平面PCD ……………………………3分 又∵PC ⊂面PBC ∴PC BC ⊥……………………………4分(Ⅱ)解：∵BC ⊥平面PCD ，∴GC 是三棱锥G DEC -的高 ……………………………5分 ∵E 是PC 的中点1)2221(212121=⋅⋅⋅===∴∆∆∆PDC EDC EDC S S S ……………………………6分 921323131=⋅⋅=⋅==∴∆--DEC DEC G DEGC S GC V V……………………………8分 (Ⅲ)连结AC ，取AC 中点O ，连结EO GO ,，延长GO 交AD 于点M ，则PA //平面MEG……………………………9分下面证明之∵E 为PC 的中点，O 是AC 的中点， ∴EO //PA ，……………………………10分又MEG PA MEG EO 平面平面⊄⊂, ∴PA //平面MEG……………………………11分在正方形ABCD 中， ∵O 是AC 的中点，OCG ∆∴≌OAM ∆,32==∴CG AM ∴所求AM 的长为.32 ……………………………12分22.解：（Ⅰ）21(21)'()a ax a f x a x x---=-=……………………………1分 依题意，'(1)11(1)1f a f a b =-=⎧⎨=+=⎩ ……………………………2分解得： 01a b =⎧⎨=⎩ ……………………………4分 （Ⅱ）()f x 的概念域为0,+∞（） ①当102a <≤时，恒有'()0f x > 故()f x 的单调递增区间为0,+∞（） ……………………5分 ②当12a >时, (21)[]'()a a x a f x x--=, 令'()0f x =得，210a x a-=>, ………………………………6分 ()f x 及'()f x 的值转变情形如下表：………………………………8分故()f x 的单调递减区间为21(0,)a a-，单调递增区间为21(,)a a-+∞ ………………………9分 （Ⅲ）当1a =时，()ln f x x x b =-+，由（Ⅱ）知，()f x 在(0,1)为减函数，在(1,)+∞为增函数，∴()f x 的最小值为(1)1f b =+. ………………………………10分11()1f b e e=++，()1f e e b =-+ 即：1()()f f e e < ………………………………11分()f x 在区间1(,)e e上恰有一个零点()0(1)01()0f e f f e >⎧⎪∴=⎨≤⎪⎩或 即：1010110e b b b e-+>⎧⎪+=⎨++≤⎪⎩或 ………………………………13分 解得：1b =-或11--1-e b e<≤ ………………………………14分。

2021 2021学年福建省泉州市南安三中高三上学期期中数学试卷（理科）word答案----056f9987-6ea1-11ec-b8e5-7cb59b590d7d2021-2021学年福建省泉州市南安三中高三上学期期中数学试卷（理科）word答案2022-2022学年，福建泉州南安第三中学高三第一学期期中数学试卷（理科）一、多项选择题：这道主题有12个子题，每个子题5分，总共60分。

每个子问题中给出的四个选项中只有一个符合问题的要求1．（5分）若集合a={x|0≤x＜1}，b={x|x2＜2x}，则a∩b=（）a．{x|0＜x＜1}b．{x|0≤x＜1}c．{x|0＜x≤1}d．{x|0≤x≤1}2.（5点）复Z满足Z？I=3I，那么在复平面中，复Z对应的点位于（）a的第一象限 b．第二象限c、第三象限d．第四象限3.（5分）以下命题中正确结论的数量为（）① “P和Q为真”的充要条件是“P或Q为真”②命题“若ab=0，则a=0或b=0”的否命题是“若ab≠0，则a≠0且b≠0”③?x0∈r，使a．0b、一,c．2d.34．（5分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（+λ）∥，则λ=（）a．b．c．1d．25.（5点）在算术序列{an}中，A9=A12+6，然后是序列{an}的前11项和S11=（）a.24b。

48c。

66d。

1326.（5分）是已知的b．c、 d。

等于（）7.（5点）假设a是实数，函数f（x）=1+asinax的图像不能是（）a．b．第1页，共21页c．d．8.（5点）在下列函数中，区间[2,2]中奇数单调递增的函数是（）a.f（x）=sinxb。

F（x）=ax+ax（a>0，a≠ 1） C.F（x）=LNd．f（x）=axax，（a＞0，a≠1），然后序列{BN}9．（5分）已知数列{an}通项an=10n（n∈n*），前n项和为（）a．c．b。

福建省南安一中2021届高三数学（理）上学期期中试题本试卷考试内容为：总温习第一至五章节及第七章节，总分值１５０分，考试时刻１２０分钟. 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。

依照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.3．答案利用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4．维持答题纸纸面清洁，不破损。

考试终止后，将本试卷自行保留，答题纸交回.一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.. 1. 已知复数z 知足25)43(=+z i ，那么z 为（ ）A ．i 43+B ．i 43-C ． i 43--D ．i 43+- 2. 已知向量(1,1)a =-,(3,)b m =,//()a a b +,那么m =（ ） A ．2B ．2-C ．3-D ．33. 某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积是3，那么正视图中的x 的值是（ ） A.2 B.92 C.32D.3 4. 设123log 2,ln 2,5a b c ===，那么（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c b a <<D ．b c a <<5. 设函数)(x f 是概念在R 上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(， 则)5.7(f 等于（ ） A ．0.5- B ．0.5C ． 1.5-D ．1.56. 列关于命题的说法错误的选项是 ( )A ．命题“若0232=+-x x ，那么1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，那么0232≠+-x x ”；B ．“2a =”是“函数()log a f x x =在区间(0,)+∞上为增函数”的充分没必要要条件；C ．假设命题p ：,21000nn N ∃∈>，那么p ⌝：,21000nn N ∀∈≤；D ．命题“(,0),23xxx ∃∈-∞< ”是真命题7. 函数y ＝x 33x －1的图象大致是 ( ) （第3题图）211正视图 侧视图俯视图x8. 函数()()002f x A sin x A ,,πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象如下图，为了取得()cos3g x x =的图象，那么只要将()f x 的图象 （ ） 度A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度9. 设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,以下命题中为真命题的个数（ ）①若m α⊥,//m n ,//n β,那么αβ⊥②若αβ⊥,m α⊄,m β⊥,那么//m α③若m β⊥,m α⊂,那么αβ⊥ ④若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,那么m n ⊥ A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10. 已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-知足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），那么以下不等式成立的是( ) A ．(0)2()4f f π>B ．(0)2()3f f π<C ．2()()34f f ππ->- D ．2()()34f f ππ<二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 11. 设数列}{n a 是等差数列,24321-=++a a a ,2619=a , 那么此数列}{n a 前20项和等于 .12. 如图，已知幂函数ay x =的图象过点(2,4)P ，那么图中阴影部份的面积等于 ．13. 若ΔABC 的面积为23，2BC =，60C =︒，那么角A 的大小为 .14. 已知函数2()f x x =，1()()2xg x m =-，假设对任意1[0,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得12()()f x g x ≥，那么实数m 的取值范围是 .15. 已知P 是函数()y f x =([,])x m n ∈图象上的任意一点，,M N 该图象的两个端点， 点Q 知足MQ MN λ=，0PQ i •=（其中01λ<<，i 为x 轴上的单位向量），假设PQ T ≤ (T 为常数)在区间[,]m n 上恒成立，那么称()y f x =在区间[,]m n 上具有 “T 级线性逼近”. 现有函数：①1y x =+;②1y x=；③2y x =;④3y x =.那么在区间[1,2]上具有“14级线性逼近”的函数的是 （填写符合题意的所有序号）. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤.16．（本小题总分值13分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且知足21,n n S a =-*()n N ∈（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记(n n b a n n =-∈*)N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．（本小题总分值13分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，1,24AB AC AB AC AA ⊥===，， 点D 是BC 的中点.（Ⅰ）求证：A 1B//平面ADC 1；（Ⅱ）求平面ADC 1与ABA 1所成二面角的平面角的正弦值.18．（本小题总分值13分）已知函数2()sin 22cos f x x x m =-+的图像通过点(0)8π，.(Ⅰ)求函数()f x 的递增区间； (Ⅱ)假设32()(0)252f ααπ=∈，，，求sin α的值. 19．（本小题总分值13分）已知(3sin ,2cos ),(2cos ,cos ),m x x n x x ==-函数()1f x m n =•-． (Ⅰ) 求函数)(x f 的最小正周期和对称轴的方程；(Ⅱ)设锐角ABC ∆的角C B A ,,的对边别离为c b a ,,，且1,()0a f A ==，求c b +的取值范围．20．（本小题总分值14分）已知函数()ln f x x a x =+在1x =处的切线l 与直线20x y +=垂直，函数21()()2g x f x x bx =+-． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）假设函数()g x 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围； （Ⅲ）设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个极值点，假设72b ≥，求12()()g x g x -的最小值． 21．（本小题总分值14分）此题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2个小题作答，总分值14分．若是多做，那么按所做的前两题记分． （1）（本小题总分值7分）选修4－2：矩阵与变换（第17题图）已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b a A 23的两个特点值为6和1， （Ⅰ）求b a ,的值 （Ⅱ）求矩阵1-A .（2）（本小题总分值7分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=θθsin 22cos 22r y r x （θ为参数，0>r ），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴成立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1)4sin(=+πθρ，（Ⅰ）写出圆C 的一般方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）假设圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求半径r 的值. （3）（本小题总分值7分）选修4－5：不等式选讲 若c b a ,,为正实数且知足632=++c b a ，（Ⅰ）求abc 的最大值；的最大值． 南安一中2021～2021学年度高三上学期期中考 数学科试卷参考答案（理科） 一、选择题：（5×10=50）二、填空题：（4×5=20） 11． 180 12．83 13． 6π14．14m ≥ 15. ①②③ 三、解答题：本大题共6小题，共80分。

2021年福建省莆田二中、泉州一中、南安一中三校高考化学联考试卷1.用下列实验装置和方法进行相应实验，能达到实验目的的是()A. 用装置甲制备SO2B. 用装置乙从碘水溶液中萃取碘C. 装置丙用于制备少量含NaClO的消毒液D. 用装置丁蒸干溶液获得(NH4)2CO3晶体2.安全气囊碰撞时发生反应：10NaN3+2KNO3=K2O+5Na2O+16N2↑，下列判断正确的是()A. 每生成16mol N2转移30mol电子B. NaN3中N元素被还原C. N2既是氧化剂又是还原剂D. 还原产物与氧化产物质量之比为1：153.下列有关说法正确的是()①生产熔喷布口罩的原料聚丙烯是纯净物，在“新冠战疫”中发挥了重要作用②明矾溶于水可水解生成Al(OH)3胶体，因此可用明矾对自来水进行杀菌消毒③分解、电解、潮解、裂解都是化学变化④胶体与其他分散系的本质区别是分散质粒子直径的大小⑤淀粉、蛋白质、纤维素、油脂都是高分子化合物，氨水、王水、双氧水都是混合物⑥元素处在最高价态时只有强氧化性，最低价态时只有强还原性⑦CO2、NH3的水溶液能导电，所以CO2、NH3均是电解质A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.根据下列实验操作和现象所得出的结论正确的是()选项 实验操作和现象 结论A 向某黄色溶液中加入淀粉KI 溶液，溶液呈蓝色溶液中含Br 2 B 烧杯中看见白色沉淀 证明酸性强弱：H 2CO 3>H 2SiO 3C 向Fe(NO 3)2溶液中滴入硫酸酸化的H 2O 2溶液，溶液变黄 氧化性：H 2O 2>Fe 3+D 取5mL0.1mol ⋅L −1KI 溶液，加入1mL0.1mol ⋅L −1FeCl 3溶液，萃取分液后，向水层滴入KSCN 溶液，溶液变成血红色 Fe 3+与I −所发生的反应为可逆反应A. AB. BC. CD. D5. 设N A 为阿伏加德罗常数的值。

下列说法正确的是( )A. 120.0gNaHSO 4与MgSO 4的固体混合物中含有离子总数为2N AB. 1.0L1.0mol ⋅L −1的NaHCO 3水溶液中含有的氧原子数为3N AC. 0.1molFe 恰好溶解在100mL 某浓度的硝酸溶液中，该反应转移的电子数为0.3N A D. 60.0g 的SiO 2含有2N A 个极性键6. 25℃时，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是( )A. 中性溶液中：NH 4+、Fe 3+、SO 42−、Cl −B. 0.1mol/L 的NH 4HCO 3溶液中：K +、SiO 32−、[Al(OH)4]−、Cl −C. Kw c(H +)=1×10−12 mol/L 的溶液中：K +、NO 3−、S 2−、ClO − D. 透明的溶液中：K +、NH 4+、MnO 4−、CO 32−7. 利用可再生而廉价的CO 2合成乙酸具有重要的意义。