福建莆田市第二中学2020-2021高二上学期期中质量检测数学(含答案)

莆田二中2020级高一上期中质量检测生物试卷命题人：审核人：2020.11.16一、选择题（1-20每题1分，21-35每题2分，共50分）1.H7N9病毒是一种新型的禽流感病毒，患者通常会伴随感冒症状。

下列有关说法正确的是( )A．该病毒可在人工培养基上大量增殖B．该病毒利用自身的核糖体合成病毒蛋白C．组成该病毒的生物大分子都是以碳链作为骨架D．该病毒和大豆叶肉细胞最大的区别是无成形的细胞核2.下列关于生命系统结构层次的叙述，错误的是（）A.并非所有生物都具有基本的生命系统B.生物基本生命系统是具有生物活性的生物大分子C.一只绿眼虫就是一个细胞，也是一个生物个体D.玉米植株和人体共有的生命系统层次是细胞、组织、器官、个体3.下列与实验相关的叙述，错误的是( )A.在高倍镜下观察叶绿体，需要先染色才能观察B.观察细胞质流动实验中为了使效果更明显，可以适当提高黑藻的环境温度C.制备细胞膜时不能用鸟类红细胞代替哺乳动物成熟红细胞D.分离细胞器实验中利用了差速离心法4.下列叙述正确的是（）A.蓝细菌和细菌在结构上有统一性，具体体现在它们都有细胞壁、细胞膜、核糖体及相同类型的遗传物质等B.蓝细菌和变形虫结构上的根本区别是前者有细胞壁，营养方式为自养型，后者无细胞壁，营养方式为异养型C.颤蓝细菌与发菜的共同点是都能进行光合作用，但颤蓝细菌含光合色素，而发菜细胞含叶绿体D.细胞学说揭示了细胞统一性和生物体结构多样性5.DNA指纹法在案件侦破工作中有着重要作用，从案发现场提取DNA样品，可为案件侦破提供证据，其中的生物学原理是（）A．不同人体内的DNA所含的脱氧核苷酸种类不同B．不同人体内的DNA所含的脱氧核苷酸排列顺序不同C．不同人体内的DNA的空间结构不同D．不同人体内的DNA所含的碱基种类不同6.人们经常食用的牛、羊、猪等肉类和白菜、土豆等蔬菜，经消化吸收后，其中的成分可被转化为人体的组成成分。

对以上事实解释合理的是（）A．组成生物体细胞的化学元素在无机自然界都能找到B．不同生物的细胞内，组成它们的化学元素含量大体相同C．组成生物体细胞的生物大分子都是以碳链作为骨架D．不同生物的细胞内，组成它们的化学元素种类大体相同7.下列不属于细胞间信息交流实例的是（）A．胰岛B细胞产生的胰岛素通过血液运输到肝脏，与肝细胞膜表面的受体结合B．细胞内通过蛋白质纤维组成的网架结构进行物质运输、能量交换和信息传递C．高等植物细胞之间通过胞间连丝进行物质运输和信息交流D．精子和卵子相遇后，进行相互识别并融合8.关于生物组织中还原糖、脂肪、蛋白质的鉴定实验，下列叙述错误的是（）A.鉴定梨匀浆中还原糖时，可用斐林试剂经水浴加热无色变成砖红色B.将煮沸的豆浆冷却后倒入试管中，滴加双缩脲试剂后，可观察到紫色C.玉米种子中含有大量的淀粉，可用碘液试剂检测呈蓝色D.利用花生子叶鉴定脂肪过程中需用体积分数50%的酒精洗去浮色9.下列关于细胞中无机化合物的叙述，正确的是（）A．自由水是生化反应的介质，不直接参与生化反应B．结合水是细胞结构的重要组成成分，主要存在于液泡中C．无机盐参与维持细胞的酸碱平衡，不参与有机物的合成D．无机盐多以离子形式存在，对维持生命活动有重要作用10. 变形虫能吞噬并消化草履虫，人的白细胞能吞噬并消化病菌。

2020-2021学年福建省莆田二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）设，B＝{x|x2+2x﹣8＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣4，3）B．（﹣3，2）C．（﹣2，2）D．（﹣2，3）2．（5分）设a，b∈R，则“a+b≤4”是“a≤2，且b≤2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）在同一坐标系中，函数y＝x a（a≠0）和的图象不可能是（）A．B．C．D．4．（5分）设函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝（）x+2x+b （其中b为实数），则f（1）的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．35．（5分）若对任意的x都有意义，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜2B．0≤a≤2C．0＜a≤2D．0≤a＜26．（5分）已知函数f（x）＝，若对R上的任意实数x1，x2（x1≠x2），恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0成立，那么a的取值范围是（）A．（0，3）B．（0，3]C．[2，3）D．（0，2]7．（5分）定义＝ad﹣bc，如＝1×4﹣2×3＝﹣2，且当x∈[0，2]时，≥k有解，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣5]B．（﹣∞，﹣9]C．（﹣∞，﹣8]D．（﹣∞，﹣2] 8．（5分）定义在R内的函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈[2，4）时，f（x）＝g（x）＝ax+1，对∀x1∈[﹣2，0），∃x2∈[﹣2，1]，使得g（x2）＝f（x1），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）B．[﹣，0）∪（0，]C．（0，8]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）二、多项选择题（共4小题）.9．（5分）下列说法正确是（）A．命题“∃x＞1，x+e x≥2”的否定形式是“∀x＞1，x+e x＜2”B．若函数y＝f（x）的定义域是，则函数y＝f（2x）的定义城为[﹣1，1]C．若x∈R，则函数的最小值为2D．若﹣1≤x＜y≤5，则﹣6≤x﹣y＜010．（5分）若a＜b＜﹣1，c＞0，则下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）满足，则关于函数f（x）正确的说法是（）A．f（x）的定义域为{x|x≠﹣1}B．f（x）值域为{y|y≠1，且y≠2}C．f（x）在（0，+∞）单调递减D．不等式f（x）＞2的解集为（﹣1，0）12．（5分）定义：若函数F（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，则称区间[a，b]是函数F（x）的“完美区间”，另外，定义区间[a，b]的“复区间长度”为2（b﹣a），已知函数f（x）＝|x2﹣1|，则（）A．[0，1]是f（x）的一个“完美区间”B．[，]是f（x）的一个“完美区间”C．f（x）的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+D．f（x）的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+2三、填空题（共4小题）.13．（5分）函数f（x）＝的单调递减区间为．14．（5分）若幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）x m在R上为增函数，则＝．15．（5分）已知函数f（x）＝a x+2﹣3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y＝mx﹣n的图象上，其中实数m，n满足mn＞0，则的最小值为．16．（5分）设y＝f（x）是定义在R上的函数，对任意的x∈R，恒有f（x）+f（﹣x）＝x2成立，函数g（x）满足g（x）＝f（x）﹣，则g（x）是（填：“奇函数”、“偶函数”、“非奇非偶函数”、“既奇又偶函数”），若y＝f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，且f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝x2﹣2|x|．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）作出f（x）的图象，并写出f（x）的单调区间（只需写出结果）；（3）若方程f（x）＝a有四个不等实根，求实数a的取值范围．18．已知命题p：﹣x2+6x+16≥0，q：x2﹣4x+4﹣m2≤0．（1）若m＝3且p，q都为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19．已知幂函数f（x）＝x﹣3x+5（m∈N）为偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递增．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）＝f（x）+2λx﹣1，若g（x）＜0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数λ的取值范围．20．某个体户计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万元时，经销A、B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元．其中f（x）＝x+1；g（x）＝．如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．21．已知函数f（x）＝k•2x﹣2﹣x是定义域为R上的奇函数．（1）求k的值；（2）求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；（3）若g（x）＝22x+2﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．22．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）＝|x+|，（1）判定函数g（x）＝x+在[2，+∞）的单调性，并用定义证明；（2）设方程f（x）＝m有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4．①证明：x1x2x3x4＝16；②在[1，4]是否存在实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]单调，且f（x）的取值范围为[ma，mb]，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．（5分）设，B＝{x|x2+2x﹣8＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣4，3）B．（﹣3，2）C．（﹣2，2）D．（﹣2，3）解：∵A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣4＜x＜2}，∴A∩B＝（﹣2，2）．故选：C．2．（5分）设a，b∈R，则“a+b≤4”是“a≤2，且b≤2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当“a≤2，且b≤2”时，则“a+b≤4”成立，但是，当“a+b≤4”成立，则“a≤2，且b≤2”不一定成立，故“a+b≤4”是“a≤2，且b≤2”的必要不充分条件，故选：B．3．（5分）在同一坐标系中，函数y＝x a（a≠0）和的图象不可能是（）A．B．C．D．解：当a＞0时，y＝x a（a≠0）和均为增函数，且与y轴的负半轴相交，当a＜0时，y＝x a（a≠0）在（0，+∞）上为减函数，为减函数，且与y轴的正半轴相交，故ABD不符合，故选：ABD．4．（5分）设函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝（）x+2x+b （其中b为实数），则f（1）的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3解：f（x）为定义在R上的奇函数，且x≤0时，，则：f（0）＝1+b＝0，得到b＝﹣1，则f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣（2﹣2﹣1）＝1．故选：C．5．（5分）若对任意的x都有意义，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜2B．0≤a≤2C．0＜a≤2D．0≤a＜2解：若对任意的x都有意义，可得ax2﹣2ax+2＞0恒成立．当a＝0时，2＞0恒成立；当a＞0时，△＝4a2﹣8a＜0，解得0＜a＜2，即0＜a＜2时，不等式恒成立；当a＜0时，由于抛物线y＝ax2﹣2ax+2的开口向下，不等式不恒成立．综上可得，a的范围是0≤a＜2．故选：D．6．（5分）已知函数f（x）＝，若对R上的任意实数x1，x2（x1≠x2），恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0成立，那么a的取值范围是（）A．（0，3）B．（0，3]C．[2，3）D．（0，2]解：由已知可得函数f（x）是R上单调递减函数，则函数f（x）满足：，解得0＜a≤2，所以实数a的取值范围为：（0，2]，故选：D．7．（5分）定义＝ad﹣bc，如＝1×4﹣2×3＝﹣2，且当x∈[0，2]时，≥k有解，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣5]B．（﹣∞，﹣9]C．（﹣∞，﹣8]D．（﹣∞，﹣2]解：由题可知，当x∈[0，2]时，4x﹣3×2x+1≥k有解，令f（x）＝4x﹣3×2x+1，x∈[0，2]，则将不等式问题转化为k≤f（x）max，令t＝2x，t∈[1，4]∴f（x）＝g（t）＝t2﹣6t＝（t﹣3）2﹣9，∴当t＝1或t＝4时取得最大值﹣5，∴k≤﹣5，故选：A．8．（5分）定义在R内的函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈[2，4）时，f（x）＝g（x）＝ax+1，对∀x1∈[﹣2，0），∃x2∈[﹣2，1]，使得g（x2）＝f（x1），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）B．[﹣，0）∪（0，]C．（0，8]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）解：当x∈[2，4）时，f（x）＝，可得f（x）在[2，3]上单调递减，在（3，4）上单调递增，∴f（x）在[2，3]上的值域为[3，4]，在（3，4）上的值域为（，），∴f（x）在[2，4）上的值域为[3，），∵f（x+2）＝2f（x），∴f（x）＝f（x+2）＝f（x+4），∴f（x）在[﹣2，0）上的值域为[，），当a＞0时，g（x）为增函数，g（x）＝ax+1在[﹣2，1]上的值域为[﹣2a+1，a+1]，∴，解得a≥；当a＜0时，g（x）为减函数，g（x）在[﹣2，1]上的值域为[﹣a+1，2a+1]，∴，解得a≤﹣；当a＝0时，g（x）为常数函数，值域为{1}，不符合题意；综上，a的范围是a≥或a≤﹣．故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个是符合题目要求，全部选出得5分，漏选得3分，选错或多选得0分．9．（5分）下列说法正确是（）A．命题“∃x＞1，x+e x≥2”的否定形式是“∀x＞1，x+e x＜2”B．若函数y＝f（x）的定义域是，则函数y＝f（2x）的定义城为[﹣1，1] C．若x∈R，则函数的最小值为2D．若﹣1≤x＜y≤5，则﹣6≤x﹣y＜0解：由于命题“∃x＞1，x+e x≥2”的否定形式是“∀x＞1，x+e x＜2”，故A正确；若函数y＝f（x）的定义域是，则对于函数y＝f（2x），有≤2x≤2，求得﹣1≤x≤1，故函数y＝f（2x）的定义城为[﹣1，1]，故B正确；∵x∈R，则令t＝≥2，则函数＝t+在[2，+∞）上是单调递增函数，故当t＝2时，函数y取得最小值为，故C错误；若﹣1≤x＜y≤5，则当x＝﹣1，y＝5时，x﹣y取得最小值为﹣6，且x﹣y＜0，故有﹣6≤x﹣y＜0，故D正确，故选：ABD．10．（5分）若a＜b＜﹣1，c＞0，则下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．解：由函数y＝x﹣在（﹣∞，﹣1）上为增函数可知，当a＜b＜﹣1时，a﹣＜b﹣，故A错误；由函数y＝x+在（﹣∞，﹣1）上为增函数可知，当a＜b＜﹣1时，a+＜b+，即a ﹣＜b﹣，故B正确；由a＜b＜﹣1，c＞0，可得a﹣b＜0，a﹣c＜0，所以﹣＝＜0，即＜，故C错误；由a＜b＜﹣1，可知＞1，0＜＜1，而c＞0，则＞1＞＞0，故D正确．故选：BD．11．（5分）已知函数f（x）满足，则关于函数f（x）正确的说法是（）A．f（x）的定义域为{x|x≠﹣1}B．f（x）值域为{y|y≠1，且y≠2}C．f（x）在（0，+∞）单调递减D．不等式f（x）＞2的解集为（﹣1，0）解：令t＝，则x＝，所以f（t）＝＝，所以f（x）的解析式为f（x）＝＝1+．对于A选项，定义域为{x|x≠0且x≠﹣1}，即A错误；对于B选项，当x≠0时，y≠2，当x≠﹣1时，y≠1，所以值域为{y|y≠1且y≠2}，即B正确；对于C选项，f（x）＝1+在（0，+∞）上单调递减，即C正确；对于D选项，f（x）＝＞2，即＞0，等价于x（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜0，即D正确．故选：BCD．12．（5分）定义：若函数F（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，则称区间[a，b]是函数F（x）的“完美区间”，另外，定义区间[a，b]的“复区间长度”为2（b﹣a），已知函数f（x）＝|x2﹣1|，则（）A．[0，1]是f（x）的一个“完美区间”B．[，]是f（x）的一个“完美区间”C．f（x）的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+D．f（x）的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+2解：因为f（x）＝|x2﹣1|≥0恒成立，所以函数f（x）的值域为：[0，+∞）；设区间[a，b]是函数f（x）的“完美区间“，则当x∈[a，b]时，f（x）∈[a，b]，所以a ≥0；则0≤a＜b；∵函数f（x）＝|x2﹣1|在区间[0，1]上时，f（x）＝1﹣x2，故f（x）在[0，1]上单调递减，f（0）＝1，f（1）＝0，故值域为[0，1]；故[0，1]是f（x）的一个“完美区间”，故A 正确；∵＜0，故B错误①当b≤1时，[a，b]⫋[0，1]，此时f（x）＝|x2﹣1|＝1﹣x2，则函数f（x）在[0，1]上单调递减；所以函数f（x）在区间[a，b]上单调递减；因为函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，所以，所以a2+b＝b2+a＝1，则a2﹣a＝b2﹣b，所以a2﹣a+＝b2﹣b+，即（a﹣）2＝（b﹣）2，所以a﹣＝b﹣，整理得a＝b（舍去）；或a﹣＝﹣b，整理得a+b＝1，因为a+b2＝1，所以b＝b2解得b＝0（舍去）或b＝1；则a＝1﹣b＝0，此时a2+b＝0+1＝1，满足原方程组，所以a＝0，b＝1是方程组的唯一解；故此情况下存在a＝0，b＝1使得区间[a，b]是函数f（x）的“完美区间”，此区间[a，b]的“复区间长度”为2（1﹣0）＝2；②当b＞1时，（1）若0≤a＜1，则1∈[a，b]，此时f（x）min＝f（1）＝0，若函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，则a＝0，f（b）＝b；因为b＞1，所以f（b）＝|1﹣b2|＝b2﹣1＝b，即b2﹣b﹣1＝0，解得b＝（舍去）或b＝；故此情况下存在a＝0，b＝，使得区间[a，b]是函数f（x）的“完美区间”，此区间[a，b]的“复区间长度”为2（﹣0）＝1+；（2）当a≥1时，f（x）＝x2﹣1，x∈[a，b]；此函数f（x）在[a，b]上单调递增，若函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，则，所以此时a与b是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不等实根，解x2﹣x﹣i＝0得x1＝，x2＝，所以，因为a＝＜1，所以此情况不满足题意．综上所述，函数f（x）＝|x2﹣1|的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为2+（1+）＝3+；故C正确；D错误；故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中第16题为双空题，第一空2分，第二空3分．13．（5分）函数f（x）＝的单调递减区间为[2，+∞）．解：令t＝﹣x2+4x+5，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为x＝2，该函数在[2，+∞）上单调递减，而外层函数y＝2t是定义域内的增函数，∴函数f（x）＝的单调递减区间为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．14．（5分）若幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）x m在R上为增函数，则＝log2216或3．解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）x m在R上为增函数，∴m2﹣5m+7＝1，且m＞0，求得m＝2，或m＝3．当m＝2时，＝+2（lg5+lg2）﹣＝log227+2﹣＝＝＝log2216，当m＝3时，＝+2（lg5+lg2）﹣＝+2﹣＝3，故答案为：log2216 或3．15．（5分）已知函数f（x）＝a x+2﹣3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y＝mx﹣n的图象上，其中实数m，n满足mn＞0，则的最小值为4．解：函数f（x）＝a x+2﹣3，令x+2＝0，得：x＝﹣2，此时y＝1﹣3＝﹣2，所以点A（﹣2，﹣2），又∵点A在一次函数y＝mx﹣n的图象上，∴﹣2＝﹣2m﹣n，即2m+n＝2，又∵实数m，n满足mn＞0，∴m＞0，n＞0，∴＝（）•（2m+n）＝（4++）＝4，当且仅当即n＝2m时，等号成立，即m＝，n＝1时，取得最小值4，故答案为：4．16．（5分）设y＝f（x）是定义在R上的函数，对任意的x∈R，恒有f（x）+f（﹣x）＝x2成立，函数g（x）满足g（x）＝f（x）﹣，则g（x）是奇函数（填：“奇函数”、“偶函数”、“非奇非偶函数”、“既奇又偶函数”），若y＝f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，且f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围是（﹣∞，1]．解：根据题意，g（x）＝f（x）﹣，其定义域为R，则g（﹣x）＝f（﹣x）﹣，则有g（x）+g（﹣x）＝x2﹣2×＝0，则函数g（x）为奇函数，对于g（x）＝f（x）﹣，y＝f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，而y＝﹣在（﹣∞，0]上单调递增，则g（x）在（﹣∞，0]上单调递增，而函数g（x）为奇函数，则g（x）在区间[0，+∞）上也为增函数，综合可得：g（x）在R上为增函数，f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a⇒f（2﹣a）﹣≥f（a）﹣，即g（2﹣a）≥g（a），则有2﹣a≥a，解可得a≤1，即实数a的取值范围是（﹣∞，1]；故答案为：奇函数，（﹣∞，1]．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝x2﹣2|x|．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）作出f（x）的图象，并写出f（x）的单调区间（只需写出结果）；（3）若方程f（x）＝a有四个不等实根，求实数a的取值范围．解：（1）∵f（x）的定义域为R，且f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2|﹣x|＝x2﹣2|x|＝f（x）∴函数f（x）为偶函数；（2）f（x）＝x2﹣2|x|＝，图象如图，由图可知，单调递减区间为：（﹣∞，﹣1]，[0，1]；单调递增区间为：[﹣1，0]，[1，+∞）；（3）由（2）中的图可知，要使方程f（x）＝a有四个不等实根，则实数a的取值范围是（﹣1，0）．18．已知命题p：﹣x2+6x+16≥0，q：x2﹣4x+4﹣m2≤0．（1）若m＝3且p，q都为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．解：（1）由命题p：﹣x2+6x+16≥0得x2﹣6x﹣16≥0，解得﹣2≤x≤8，当m＝3时，q：x2﹣4x﹣5≤0，解得﹣1≤x≤5，p，q都为真，则，解得﹣1≤x≤5，所以实数x的取值范围为[﹣1，5]；（2）记p：x∈A，q：x∈B，∵p是q成立的充分不必要条件，∴A⫋B，当m＞0时，由x2﹣4x+4﹣m2≤0，解得2﹣m≤x≤2+m，∴（两等号不同时成立），解得m≥6当m＝0时，由x2﹣4x+4≤0，解得x＝2，不合题意，舍去，当m＜0时，由x2﹣4x+4﹣m2≤0，解得2+m≤x≤2﹣m，∴，（两等号不同时成立），解得m≤﹣6，综上所述m≤﹣6或m≥6．19．已知幂函数f（x）＝x﹣3x+5（m∈N）为偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递增．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）＝f（x）+2λx﹣1，若g（x）＜0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数λ的取值范围．解：（Ⅰ）∵幂函数f（x）＝x﹣3x+5（m∈N）为偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，∴﹣3m+5＞0，且﹣3m+5为偶数．（3分）又m∈N，解得m＝1，∴f（x）＝x2．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知g（x）＝f（x）+2λx﹣1＝x2+2λx﹣1．当x∈[1，2]时，由g（x）＜0得λ＜﹣．（8分）易知函数y＝﹣在[1，2]上单调递减，（10分）∴λ＜（﹣）min＝﹣＝﹣．∴实数λ的取值范围是（﹣∞，﹣）．（12分）20．某个体户计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万元时，经销A、B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元．其中f（x）＝x+1；g（x）＝．如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．解：设投入B商品的资金为x万元（0≤x≤5），则投入A商品的资金为5﹣x万元，设收入为S（x）万元，①当0≤x≤3时，f（5﹣x）＝6﹣x，g（x）＝，则S（x）＝6﹣x+＝17﹣[（x+1）+]≤17﹣2＝17﹣6＝11，当且仅当x+1＝，解得x＝2时，取等号．②当3＜x≤5时，f（5﹣x）＝6﹣x，g（x）＝﹣x2+9x﹣12，则S（x）＝6﹣x﹣x2+9x﹣12＝﹣（x﹣4）2+10≤10，此时x＝4．∵10＜11，∴最大收益为11万元，答：投入A商品的资金为3万元，投入B商品的资金为2万元，此时收益最大，为11万元．21．已知函数f（x）＝k•2x﹣2﹣x是定义域为R上的奇函数．（1）求k的值；（2）求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；（3）若g（x）＝22x+2﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．解：（1）∵f（x）是定义域为R上的奇函数，∴f（0）＝0，∴k•20﹣2﹣0＝0，k﹣1＝0，∴k＝1，经检验k＝1符合题意；（2）由（1）可知k＝1，∴f（x）＝2x﹣2﹣x，函数的定义域为R，在R上任取x1，x2，且x1﹣x2＜0，f（x2）﹣f（x1）＝﹣＝（）+（）＝（）（1+）＞0，∴函数在R上单调递增，原不等式化为：f（x2+2x）＞f（4﹣x），∴x2+2x＞4﹣x，即x2+3x﹣4＞0，∴x＞1或x＜﹣4，∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣4}；（3）∵f（x）＝2x﹣2﹣x，∴g（x）＝22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）＝（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．令t＝f（x）＝2x﹣2﹣x，∵x≥1，∴t≥f（1）＝，∴g（t）＝t2﹣2mt+2＝（t﹣m）2+2﹣m2，当m≥时，当t＝m时，g（t）min＝2﹣m2＝﹣2，∴m＝2；当m＜时，当t＝时，g（t）min＝﹣3m＝﹣2，解得m＝＞，舍去，综上可知m＝2．22．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）＝|x+|，（1）判定函数g（x）＝x+在[2，+∞）的单调性，并用定义证明；（2）设方程f（x）＝m有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4．①证明：x1x2x3x4＝16；②在[1，4]是否存在实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]单调，且f（x）的取值范围为[ma，mb]，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】（1）g（x）在[2，+∞）上单调递增，证明：任取，x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2．∵＝＝（x1﹣x2）＝，其中x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2﹣4＞0，g（x1）﹣g（x2）＜0，∴g（x1）＜g（x2）∴g（x）在[2，+∞）上单调递增，（2）①⇒或即x2﹣（m+5）x+4＝0或m2+（m﹣5）x+4＝0∵x1，x2，x3，x4为方程f（x）＝m的四个不相等的实根∴由根与系数的关系得x1x2x3x4＝4×4＝16，②如图，可知0＜m＜1，f（x）在区间（1，2）、（2，4）上均为单调函数，（i）当[a，b]⊆[1，2]时，f（x）在[a，b]上单调递增，则，即f（x）＝mx，m＝在x∈[1，2]有两个不等实根，而令，则＝φ（t）＝，作φ（t）在[]的图象可知，，（ii）当[a，b]⊆[2，4]时，f（x）在[a，b]上单调递减，则，两式相除整理得（a﹣b）（a+b﹣5）＝0，∴a+b＝5，∴b＝5﹣a＞a，∴2，由﹣a﹣+5＝mb，得m＝＝＝1+，∴m；综上，m的取值范围为[）．。

PRINT a ，b福建省莆田二十四中2021-2021学年高二数学上学期期中试题 理（答案不全）一.选择题（共10小题，每题5分，共50分．）1．检查汽车排放尾气的合格率，其环保单位在一路口随机抽查，这种抽样是（ ）A ．简单随机抽样B ．随机数表法C ．系统抽样D ．分层抽样2．运算机执行下面的程序段后，输出的结果是（ ）A ．1,3B ．6,0C ．0,0D ． 4,13．在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为 ( )A ．23397C C B ．2332397397C C +C C C ．514100397C -C C D ．5510097C -C4．如右图，在正方形内有一扇形（见阴影部份），扇形对应的圆心是正方形的一极点，半径为正方形的边长。

在那个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为（ ）A ．21 B ． 4πC ． 21π-D ．44π-5．从6名学生中，选出4人别离从事A 、B 、C 、D 四项不同的工作，假设其中，甲、乙两人不能从事工作A ，那么不同的选派方案共有（ ）A ．96种B ．180种C ．240种D ．280种六、某大学自主招生面试环节中，七位评委为考生A 打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为85， 复核员在复核时，发觉有一个数字（茎叶图中的x ）无法 看清，假设统计员计算无误，那么数字x 应该是 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．96．设随机变量ξ服从二项散布ξ～B （6，12），那么P （ξ=3）的值是（ ） A ．516 B ．316C ． 58D ．387、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲竞赛，那么所选3人中至少有1名女生的概率是（ ）A ．51B ．53 C ．54 D ．31 八、 右图给出的是计算201614121++++ 的值的一个流程图，其中判定 框内应填入的条件是A 、 10>iB 、10<iC 、20>iD 、20<i2,那么二项式九、在()na b +展开式中，假设第14项与第15项的二项式系数之比为1：系数最大的项是（ ）A ．第17项B ．第18项C ．第20项或第21项D ．第21项或第22项么10、设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，那01211a a a a ++++的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 二.填空题（本大题共有5小题，每题4分，共20分.）1一、A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，假设A ，B 必需相邻，那么不同的排法共有 种 1二、已知超几何散布知足X ～H （8，5,3），那么P(X=2)=_________ 13、把“五进制”数)5(1234转化为“四进制”数的末尾数是_________14、如图，它知足①第n 行首尾两数均为n ，②表中的递推关系类似杨辉三角，那么第n 行)2(≥n 第2个数是_______.1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 61五、在区间[]10，上随机取两个数，那么这两个数之和小于32的概率为三.解答题：（本大题共6题，共80分，解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤．） 1六、（此题总分值13分） 甲、乙等6人按以下要求占成一排，别离有多少种不同站法？ （1）甲乙不相邻；（2）甲乙之间恰好相隔两人；（3）甲不站在最左侧，乙不站在最右边；17、（此题总分值13分）在生产进程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量） 共有100个数据，将数据分组如右表： （1（21八、如下对应数据：（1）画出散点图；（2）求线性回归方程；（3）预测当广告费支出7（百万元）时的销售额。

考点17 分组求和法一、单选题1．若数列{}n a 的通项公式是()()131nn a n =--，则1210···+a a a ++= A ．15 B ．12 C ．12-D ．15-【试题来源】吉林省蛟河市第一中学校2020-2021学年第一学期11月阶段性检测高二（理） 【答案】A【解析】因为()()131nn a n =--，所以12253a a +=-+=，348113a a +=-+=，5614173a a +=-+=，7820233a a +=-+=，91026293a a +=-+=， 因此1210···+3515a a a ++=⨯=．故选A ． 2．已知数列{}n a 满足11n n a a λ+=+，且11a =，23a =，则数列{}n a 前6项的和为 A ．115 B ．118 C ．120D ．128【试题来源】河南省豫北名校2020-2021学年高二上学期12月质量检测（文） 【答案】C【分析】由题干条件求得2λ=，得到121n n a a +=+，构造等比数列可得数列{}n a 的通项公式，再结合等比数列求和公式即可求得数列{}n a 前6项的和． 【解析】21113a a λλ=+=+=，则2λ=，可得121n n a a +=+，可化为()1121n n a a ++=+，有12nn a +=，得21n n a =-，则数列{}n a 前6项的和为()()6262122226612012⨯-+++-=-=-．故选C ．3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n +a n +1＝2n （n ∈N *），则S 2020＝A ．2020223-B ．202022 3+C ．202122 3-D ．202122 3+【试题来源】河南省濮阳市2019-2020学年高二下学期升级考试（期末）（文） 【答案】C【分析】根据递推公式a n +a n +1 ＝2n （n ∈N *）的特点在求S 2020时可采用分组求和法，然后根据等比数列的求和公式即可得到正确选项． 【解析】由题意，可知2020122020123420192020()()()S a a a a a a a a a =+++=++++++132019222=+++2021223-=．故选C ． 4．定义：在数列{}n a 中，0n a >，且1n a ≠，若1n an a +为定值，则称数列{}n a 为“等幂数列”．已知数列{}n a 为“等幂数列”，且122,4,n a a S ==为数列{}n a 的前n 项和，则2009S 为 A ．6026 B ．6024 C ．2D ．4【试题来源】山西省长治市第二中学2019-2020学年高一下学期期末（文） 【答案】A【分析】根据数列新定义求出数列的前几项，得出规律，然后求和．【解析】因为122,4a a ==，所以334242a a a ==，32a =，4216a =，44a =，所以212n a -=，24n a =，*n N ∈，2009(24)100426026S =+⨯+=．故选A ． 【名师点睛】本题考查数列的新定义，解题关键是根据新定义计算出数列的项，然后寻找出规律，解决问题． 5．数列111111,2,3,4,,248162n n +++++的前n 项和等于 A ．21122n n n +-++B ．2122n n n++C ．2122n n n +-+D ．【试题来源】四川省三台中学实验学校2019-2020学年高一6月月考（期末适应性） 【答案】A 【解析】因，故，故选A ．6．已知一组整数1a ，2a ，3a ，4a ，…满足130m m a a +++=，其中m 为正整数，若12a =，则这组数前50项的和为 A ．-50 B ．-73 C ．-75D ．-77【试题来源】四川省自贡市旭川中学2020-2021学年高一上学期开学考试 【答案】C【分析】先利用已知条件写出整数列的前五项，得到其周期性，再计算这组数前50项的和即可．【解析】因为130m m a a +++=，12a =，所以2130a a ++=，得25a =-；3230a a ++=，得32a =-；4330a a ++=，得41a =-；5430a a ++=，得52a =-，由此可知，该组整数从第3项开始，以-2，-1，-2，-1，…的规律循环， 故这组数的前50项和为()()25212475+-+--⨯=-．故选C ．7．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足11a =，23a =，23n n a a +=，则2020S = A ．1010232⨯-B ．101023⨯C ．2020312-D ．1010312+【试题来源】山西省孝义市第二中学校2019-2020学年高一下学期期末 【答案】A【分析】利用递推关系得出数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，对2020S 进行分组求和． 【解析】因为11a =，23a =，23n n a a +=，所以数列{}n a 的奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列，且仅比均为3，所以101010102020132019242020133(13)()()1313S a a a a a a --=+++++++=+--1010232=⨯-．故选A ．【名师点睛】本题考查等比数列的判定，等比数列的前n 项和公式，考查分组求和法，解题时注意对递推式23n n a a +=的认识，它确定数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，而不是数列{}n a 成等比数列．8．已知数列{(1)(21)}n n -+的前n 项和为n S ，*N n ∈，则11S = A ．13- B ．12- C ．11-D ．10-【试题来源】山东省青岛胶州市2019-2020学年高二下学期期末考试 【答案】A【分析】本题根据数列通项公式的特点可先求出相邻奇偶项的和，然后运用分组求和法可计算出11S 的值，得到正确选项．【解析】由题意，令(1)(21)nn a n =-+，则当n 为奇数时，1n +为偶数， 1(21)[2(1)1]2n n a a n n ++=-++++=，111211S a a a ∴=++⋯+ 123491011()()()a a a a a a a =++++⋯+++222(2111)=++⋯+-⨯+2523=⨯-13=-．故选A ．【名师点睛】本题主要考查正负交错数列的求和问题，考查了转化与化归思想，整体思想，分组求和法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，13nn n a a +=，那么100S 的值为A ．()50231-B ．5031-C ．5032-D ．50342-【试题来源】吉林省四平市公主岭范家屯镇第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试 【答案】A【分析】根据题中条件，得到23n na a +=，推出数列{}n a 的奇数项和偶数项都是成等比数列，由等比数列的求和公式，分别计算奇数项与偶数项的和，即可得出结果．【解析】因为11a =，13nn n a a +=，所以23a =，1123n n n a a +++=，所以1213n n n n a a a a +++=，即23n na a +=，所以135,,,a a a ⋅⋅⋅成以1为首项、3为公比的等比数列，246,,,a a a ⋅⋅⋅也成以3为首项、3为公比的等比数列，所以()()()5050100139924100313131313Sa a a a a a --=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+--505050313532322-+⋅-==⋅-．故选A ．【名师点睛】本题主要考查等比数列求和公式的基本量运算，考查分组求和，熟记公式即可，属于常考题型．10．已知数列{}n a 满足12321111222n n a a a a n -++++=，记数列{2}n a n -的前n 项和为n S ，则n S =A ．2222nn n--B ．22122nn n---C ．212222n n n +--- D ．2222nn n--【试题来源】河北省秦皇岛市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考 【答案】C【分析】利用递推关系求出数列{}n a 的通项公式，然后利用等差数列和等比数列的前n 项和公式进行求解即可．【解析】因为12321111(1)222n n a a a a n -++++=，所以有11a =， 当2,n n N *≥∈时，有1231221111(2)222n n a a a a n --++++=-，(1)(2)-得，111122n n n n a a --=⇒=，显然当1n =时，也适合，所以12()n n a n N -*=∈，令 2n n a n b -=，所以2n n b n =-，因此有：2323(21)(22)(23)(2)(2222)(123)n n n n S n =-+-+-++-=++++-++++22112(12)(1)222 2.1222222n n n n n n n n n ++-+=-=---=----故选C.【名师点睛】本题考查了由递推关系求数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，考查了数学运算能力．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(),n P n a 为函数221x y x =+-图象上的一点，则n S =A ．2122n n ++-B ．212n n ++C ．22n -D ．22n n +【试题来源】四川省仁寿第二中学2020-2021学年高三9月月考（理） 【答案】A【分析】根据已知条件求得n a ，利用分组求和法求得n S【解析】因为(),n P n a 为函数221x y x =+-图象上的一点，所以()212nn a n =-+，则()()121212322121321222nnn S n n =++++⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()()212121212nn n -+-=+-1222n n +=+-．故选A ．12．数列112、134、158、1716、的前n 项和n S 为A ．21112n n -+-B ．2122n n +-C ．2112n n +-D ．21122n n -+-【试题来源】安徽省亳州市涡阳县第四中学2019-2020学年高一下学期线上学习质量检测 【答案】C【分析】归纳出数列的通项公式为1212nn a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后利用分组求和法可求得n S ． 【解析】数列112、134、158、1716、的通项公式为1212nn a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以，2341111113572122222n n S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()231111211111221352112222212n n n n n ⎛⎫- ⎪+-⎛⎫⎝⎭=++++-+++++=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭-2112n n =+-．故选C ．13．若数列{}n a 的通项公式是1(1)(32)n n a n +=-⋅-，则122020a a a ++⋯+=A ．-3027B ．3027C ．-3030D ．3030【试题来源】江苏省扬州市宝应中学2020-2021学年高二上学期阶段考试 【答案】C【分析】分组求和，结合等差数列求和公式即可求出122020a a a ++⋯+． 【解析】12202014710...60556058a a a ++⋯+=-+-++-()()101010091010100917...6055410...60551010610104622⨯⨯⎛⎫=+++-+++=+⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭3030=-．故选C ．14．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=A ．10B ．145C ．300D ．320【试题来源】山西省太原市2021届高三上学期期中 【答案】C【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解．【解析】因为129a =-，()*13n n a a n N +=+∈，所以数列{}n a 是以29-为首项，公差为3的等差数列，所以()11332n a a n d n =+-=-，所以当10n ≤时，0n a <；当11n ≥时，0n a >；所以()()12201210111220a a a a a a a a a +++=-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+1101120292128101010103002222a a a a ++--+=-⨯+⨯=-⨯+⨯=．故选C ． 15．数列{}n a 的通项公式为2π1sin 2n n a n =+，前n 项和为n S ，则100S = A ．50 B ．-2400 C ．4900-D ．9900-【试题来源】河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试（理） 【答案】C【分析】由πsin2n y =的周期为4，可得22222210010013579799S =+-+-+⋅⋅⋅+-，利用并项求和可得解．【解析】2111a =+，21a =，2313a =-，41a =，…，考虑到πsin2n y =的周期为4， 所以()222222100100135797991002135799S =+-+-+⋅⋅⋅+-=-⨯++++⋅⋅⋅+(199)50100249002+⨯=-⨯=-．故选C ．16．已知{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2019S 的值为 A ．1008 B ．1009 C ．1010D ．1011【试题来源】广东省广州市增城区增城中学2020-2021学年高二上学期第一次段考 【答案】C【分析】由2n ≥时，可得1n n n S S a -=-，结合题设条件，推得11n n a a -+=，进而求得2019S 的值，得到答案．【解析】由题意，当2n ≥时，可得1n n n S S a -=-，因为12n n a S n -+=，所以2()n n n S a a n +-=，即2n n S a n =+，当2n ≥时，1121n n S a n --=+-，两式相减，可得121n n n a a a -=-+，即11n n a a -+=， 所以2345671,1,1,a a a a a a +=+=+=，所以()()()12345201820120991201911110102a a a a a a a S -=+++++++=+⨯=．故选C ． 17．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a =，且满足()211+-=+-nn n a a （n *∈N ），则该医院30天入院治疗流感的共有（ ）人 A ．225 B ．255 C ．365D ．465【试题来源】山东省烟台市2020-2021学年高二上学期期末月考 【答案】B【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和【解析】当n 为奇数时，2n n a a +=，当n 为偶数时，22n n a a +-=，所以13291a a a ==⋅⋅⋅==， 2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项，2为公差的等差数列，所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=，故选B 18．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即()()121F F ==，()()()12F n F n F n =-+- （3n ≥，n *∈N ），此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用，若此数列的每一项被2除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项的和为 A ．1348 B ．1358 C ．1347D ．1357【试题来源】江苏省镇江市八校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】C【分析】由题意可知，得数列{}n a 是周期为3的周期数列，前3项和为1102++=，又202067331=⨯+，由此可得答案.【解析】由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，各项除以2的余数，可得数列{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,⋅⋅⋅，所以数列{}n a 是周期为3的周期数列，前3项和为1102++=， 因为202067331=⨯+，所以数列{}n a 的前2020项的和为673211347⨯+=，故选C. 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，，则S 2019的值为 A ．1008 B ．1009 C ．1010D ．1011【试题来源】江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中考前热身 【答案】C【分析】由2n ≥时，12n n a S n -+=，得到121n n a S n ++=+，两式相减，整理得()112n n a a n ++=≥，结合并项求和，即可求解．【解析】当2n ≥时，12n n a S n -+=，①，可得121n n a S n ++=+，②， 由②－①得，112()1n n n n a a S S +--+-=，整理得()112n n a a n ++=≥， 又由11a =，所以20191234520182019()()()1010S a a a a a a a =+++++++=．故选C ．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =． 则正确的个数为 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【试题来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）（文）试卷 【答案】D【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断． 【解析】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+，所以()11132n n n a a n ++=-+-，所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-，联立得()212133k k a a +-+=， 所以()232134k k a a +++=，故2321k k a a +-=，从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=，22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220，故①②③正确．故选D.21．已知正项数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，且当*2,n n N ≥∈时，2n a =，数列()1cos 12n n n a π⎧⎫-⋅+⎨⎬⎩⎭的前64项和为 A ．240 B ．256 C ．300D ．320【试题来源】重庆市第一中学2019-2020学年高一下学期期末【答案】D【分析】由题意结合数列n a 与n S 2-=，由等差数列的性质即可得21n =-，进而可得当2n ≥时，88n a n =-，结合余弦函数的性质、分组求和法可得()()()642664648264T a a a a a a --=+++⋅⋅⋅+-，即可得解．【解析】由题意，当*2,n n N ≥∈时，12n n n S a S -==-，即2=，由0n S >2=，所以数列1=，公差为2的等差数列，()12121n n =+-=-，所以当2n ≥时，()222121188n a n n n ==-+--=-⎡⎤⎣⎦，设数列()1cos12nn n a π⎧⎫-⋅+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为数列n T ，所以该数列前64项的和为 164234234cos 1cos 1cos 1cos 12222T a a a a ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅++⋅++-⋅++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6464cos 12a π⎛⎫+⋅⋅⋅+⋅+ ⎪⎝⎭ ()()()262642664624486464a a a a a a a a a a =-+-⋅⋅⋅-+=+++⋅⋅⋅--+-641616320=+⨯=．故选D ．【名师点睛】本题考查了数列n a 与n S 的关系、等差数列的判断及性质的应用，考查了分组求和法求数列前n 项和的应用，属于中档题． 22．数列{}n a 的前n 项和为n S ，项n a 由下列方式给出1121231234,,,,,,,,,,2334445555⋅⋅⋅⋅⋅⋅．若100k S ≥，则k 的最小值为 A ．200 B ．202 C ．204D ．205【试题来源】福建省莆田市第二中学2020-2021学年高二10月阶段性检测 【答案】C【分析】首先观察数列中项的特征，先分组求和，之后应用等差数列求和公式，结合题中所给的条件，建立不等关系式，之后再找其满足的条件即可求得结果． 【解析】11212312112312334442222n n S n nn --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1)1004n n -=≥．所以(1)400n n -≥，21n ≥．而当20n =时，95S =，只需要125212121m++⋅⋅⋅+≥，解得14m ≥． 所以总需要的项数为1231914204+++⋅⋅⋅++=，故选C ．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列求和公式，分组求和法，属于中档题目．23．已知数列{} n a 中，10a =，21a =，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，23n n a a +=，则此数列的前20项的和为A ．10311102-+B ．1131902-+C ．1031902-+D ．11311102-+【试题来源】福建省莆田市第二中学2020-2021学年高二10月阶段性检测 【答案】C【分析】根据n 为奇数时，22n n a a +-=；n 为偶数时，23n n a a +=，得到数列{}n a 中所有奇数项构成以0为首项，以2为公差的等差数列；所有偶数项构成以1为首项，以3为公比的等比数列；然后分别利用等差数列和等比数列前n 项和求解．【解析】因为10a =，21a =，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，23n n a a +=，则此数列的前20项的和：数列{}n a 中所有奇数项构成以0为首项，以2为公差的等差数列； 数列{}n a 中所有偶数项构成以1为首项，以3为公比的等比数列； 所有()()2013192420......S a a a a a a =+++++++()()10113101012100213⨯-+=⨯++-1031902-=+，故选C ． 24．已知数列{}n a 的通项公式为2(1)n n a n =-，设1n n n c a a +=+，则数列{}n c 的前200项和为 A ．200- B ．0 C ．200D ．10000【试题来源】安徽省六安市第一中学2019-2020学年高一下学期期中（理）【答案】A【分析】利用分组求和法及等差数列求和公式求解． 【解析】记数列{}n c 的前200项和为n T ，122001223199200200201n T c c c a a a a a a a a =++=++++++++123419920012012[()()()]a a a a a a a a =++++++-+()()()2222[41169200199]1201=-+-++-+-22[3711399]1201=⨯+++++-()2100339921201402004040112002+=⨯+-=-+=-．故选A ．25．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠，记n S 为数列(){}1nn a -⋅的前n 项和，且存在*k N ∈，使得10k S +=成立，则 A ．10a d > B ．10a d < C ．1a d >D ．1a d <【试题来源】浙江省浙考交流联盟2020-2021学年高三上学期8月线上考试 【答案】B【分析】由题意按照k 为奇数、k 为偶数讨论，利用并项求和法可得1k S +，转化条件得存在*k N ∈且k 为偶数时，102ka d --=，即可得解．【解析】因为等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠，n S 为数列(){}1nn a -⋅的前n 项和，所以当*k N ∈且k 为奇数时，112341k k k S a a a a a a ++=-+-++⋅⋅⋅-+()()()12341102k k k a a a a a a d ++=-++-++⋅⋅⋅+-+=≠； 当*k N ∈且k 为偶数时，1123411k k k k S a a a a a a a +-+=-+-++⋅⋅⋅-+-()()()()1234111122k k k k ka a a a a a a d a kd a d -+=-++-++⋅⋅⋅+-+-=-+=--； 所以存在*k N ∈且k 为偶数时，102k a d --=即102ka d =-≠，当2k =时，1a d =-，此时1a d =，故排除C 、D ；所以1a 与d 异号即10a d <，故A 错误，B 正确．故选B ． 26．已知函数()2*()sin2n f n n n N π=∈，且()(1)n a f n f n =++，则1232020a a a a ++++的值为A ．4040B ．4040-C ．2020D ．2020-【试题来源】四川省宜宾市叙州区第一中学校2020-2021学年高二上学期开学考试（文） 【答案】A【分析】由题意得2222(1)sin(1)sin sin (1)cos 2222n n n n n a n n n n ππππ+=++=++，从而可求出11a =，222232018201920203,,2019,2021a a a a a ==-⋅⋅⋅==-=，然后通过分组求和可得答案．【解析】因为()2*()sin2n f n n n N π=∈，且()(1)n a f n f n =++， 所以2222(1)sin (1)sin sin (1)cos 2222n n n n n a n n n n ππππ+=++=++， 所以11a =，222223452018201920203,5,,2019,2021a a a a a a a ==-==⋅⋅⋅==-=，所以1232020a a a a ++++13520192462020()()a a a a a a a a =+++++++++22222222222[(13)(57)(20172019)][(35)(79)(20192021)]=-+-+⋅⋅⋅+-+-++-++⋅⋅⋅+-+2(135720172019)2(35720192021)=-++++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++10102020101020242222⨯⨯=-⨯+⨯1010202010102024=-⨯+⨯4040=，故选A.27．已知数列{}n a 中，11a =，23a =，*122(3,)n n n a a a n n N --=+≥∈，设211(2)(2)n n n b a a n n --=-≥，则数列{}n b 的前40项的和为A ．860B ．820C ．820-D ．860-【试题来源】河南省开封市河南大学附属中学2020-2021学年高二9月质检 【答案】A【分析】本题先对数列{}n a 的递推公式进行转化可发现数列{}12n n a a --是以1为首项，1-为公比的等比数列，通过计算出数列{}12n n a a --的通项公式可得1n b -的表达式，进一步可得数列{}n b 的通项公式，最后在求和时进行转化并应用平方差公式和等差数列的求和公式即可得到前40项的和．【解析】由题意，可知当3n ≥时，122n n n a a a --=+，两边同时减去12n a -，可得112112222(2)n n n n n n n a a a a a a a -------=+-=--，2123211a a -=-⨯=，∴数列{}12n n a a --是以1为首项，1-为公比的等比数列， 11121(1)(1)n n n n a a ---∴-=⋅-=-，*(2,)n n ≥∈N ，21211(2)(1)n n n n b a a n n ---∴==-⋅-，故2(1)(1)n n b n ⋅=-+，令数列{}n b 的前n 项和为n T ，则4012343940T b b b b b b =++++⋯++22222223454041=-+-+-⋯-+222222[(23)(45)(4041)]=--+-+⋯+-[(23)(45)(4041)]=--+-+-⋯-+23454041=++++⋯++40(241)2⨯+=860=．故选A ．【名师点睛】本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和问题．考查了转化与化归思想，整体思想，定义法，平方差公式，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．28．在数列{}n a 中，122,2a a ==，且11(1)(*),nn n a a n N +-=+-∈则100S =A ．5100B ．2600C ．2800D ．3100【试题来源】河南省洛阳市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考 【答案】A【分析】转化条件为22n n a a +-=，进而可得21k a -，2k a ，由分组求和法结合等差数列的前n 项和公式即可得解．【解析】因为11(1)(*)n n n a a n N +-=+-∈，所以1211(1)n n n a a +++-=+-，所以()()122121n n n n a a ++-=+--+=，因为122,2a a ==，所以()211212k a a k k -=+-=，()22212k k a k a =+-=，*k N ∈，所以()()100123499100139924100S a a a a a a a a a a a a =++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()2100241002410025051002+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=⨯⨯=．故选A ． 【名师点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的应用，考查了分组求和法的应用及转化化归思想，属于中档题．29．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*2n n n S a a n N =+∈，设()2112nn n na c s +=-，则数列{}n c 的前2020项的和为A ．20192020-B ．20202019-C ．20202021-D ．20212020-【试题来源】2020届广东省华南师范大学附属中学高三年级月考（三）（理） 【答案】C【分析】先根据和项与通项关系得11n n a a --=，再根据等差数列定义与通项公式、求和公式得,n n a S ，代入化简n c ，最后利用分组求和法求结果． 【解析】因为()2*2,0n n n nS a a n Na=+∈>，所以当1n =时，21112a a a =+，解得11a =，当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+，所以 ()()1110n n n n a a a a --+--=， 因为0n a >，所以11n n a a --=，所以数列{}n a 是等差数列，公差为1，首项为1， 所以()()111,2n n n n a n n S +=+-==，所以()()21111121n n n n na c s n n +⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项的和11111111202011223342020202120212021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选C ． 30．若数列{}n a 的通项公式为21nn a =-，在一个n 行n 列的数表中，第i 行第j 列的元素为()1,2,,,1,2,,ij i j i j c a a a a i n j n =⋅++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，则满足11222021nn c c c ++⋅⋅⋅+<的n 的最大值是 A ．4B ．5C ．6D ．7【试题来源】山西省运城市2021届高三（上）期中（理） 【答案】B【分析】求得1122nn c c c ++⋅⋅⋅+关于n 的表达式，利用数列的单调性可求得满足11222021nn c c c ++⋅⋅⋅+<的n 的最大值．【解析】数列{}n a 的通项公式为21nn a =-，在一个n 行n 列的数表中，第i 行第j 列的元素为()1,2,,,1,2,,ij i j i j c a a a a i n j n =⋅++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅， 所以()()2121212121iji j i jij i j i j c a a a a +=⋅++=--+-+-=-．令1122n nn S c c c =+++，则()102,n n nn S S c n n N *--=>≥∈，所以，数列{}n S 为递增数列，当11222021nn c c c +++<时，所有的元素之和为246212121212021n n n S +=-+-+-++-<，当4n =时，24684222243362021S =+++-=<， 当5n =时，246810522222513592021S =++++-=<， 当6n =时，246810126222222654542021S =+++++-=>， 故n 的最大值为5，故选B ．【点评】关键点【名师点睛】本题考查数列不等式的求解，解题的关键在于求出1122nn c c c ++⋅⋅⋅+关于n 的表达式，在求解数列不等式时，要充分结合数列的单调性求解．31．公元1202年列昂那多·斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，即11a =，21a =，()*12,2n n n a a a n n --=+∈>N ，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用．若将此数列{}n a 的各项除以2后的余数构成一个新数列{}n b ，设数列{}n b 的前n 项的和为n T ；若数列{}n a 满足：212n n n n c a a a ++=-，设数列{}n c 的前n 项的和为n S ，则20202020T S +=A ．1348B ．1347C ．674D ．673【试题来源】浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年高三上学期期中 【答案】B【分析】根据题意写出数列{}n a 的前若干项，观察发现此数列是以3为周期的周期数列，可得2020T ，再计算1n nc c +，结合等比数列的通项公式和求和公式，可得2020S ，进而得到所求和． 【解析】“兔子数列”的各项为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，⋯，∴此数列被2除后的余数依次为1，1，0，1，1，0，1，1，0，⋯⋯，即11b =，21b =，30b =，41b =，51b =，60b =，⋯⋯， ∴数列{}n b 是以3为周期的周期数列，20201231673()673211347T b b b b ∴=+++=⨯+=，由题意知22212112221121222121212()()1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c a a a a a a a a a a a c a a a a a a a a a +++++++++++++++++-+---====----， 由于212131c a a a =-=-，所以(1)n n c =-，所以2020(11)(11)(11)0S =-++-++⋯+-+=． 则202020201347T S +=．故选B.【名师点睛】确定数列数列{}n b 是以3为周期的周期数列，利用周期性求出数列的和，摆动数列(1)n n c =-可以利用分组求和，是解决问题的关键，属于中档题． 32．已知函数()()()22,,n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩当为奇数时当为偶数时且()(1)n a f n f n =++，则121100a a a a ++++等于A ．0B ．100C ．-100D ．10200【试题来源】广东省普宁市2020-2021学年高二上学期期中质量测试 【答案】B【分析】先求出通项公式n a ，然后两项一组，即可求解数列的前100项的和【解析】()(1)n a f n f n =++，∴由已知条件知，2222(1),(1),n n n n a n n n ⎧-+=⎨-++⎩为奇数为偶数，即()21,21,n n n a n n ⎧-+=⎨+⎩为奇数为偶数，(1)(21)n n a n ∴=-+，12(n n a a n +∴+=是奇数），123100123499100()()()2222100a a a a a a a a a a ∴+++⋯+=++++⋯++=+++⋯+=故选B ．【名师点睛】解答本题的关键是求出数列{}n a 的通项(1)(21)n n a n =-+，即得到12(n n a a n ++=是奇数）．33．已知数列{}n a 为等差数列，首项为2，公差为3，数列{}n b 为等比数列，首项为2，公比为2，设n n b c a =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，则当2020n T <时，n 的最大值是 A ．8 B ．9 C ．10D ．11【试题来源】山东省菏泽市2021届高三上学期期中考试（A ） 【答案】A【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{}n c 的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{}n c 的前n 项和n T ，验证得答案．【解析】由题意得323(1)1n a n n ⨯-=+-=，2nn b =，2321n n n n b c a a ==⨯-=，123n T c c c ∴=+++…n c +123321321321=⨯-+⨯-+⨯-+…321n +⨯-(1233222=⨯+++…)2nn +-()212312n n ⨯-=⨯-- 1326n n +=⨯--，当8n =时，98326815222020T =⨯--=<；当9n =时，109326930572020T =⨯--=>，n ∴的最大值为8．故选A ．【名师点睛】本题解题的关键是求出数列{}n c 的通项公式，利用分组求和求出数列{}n c 的前n 项和n T ．34．已知数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈，且23n n b π=，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则2020S =A ．1B ．12C ．12-D ．-1【试题来源】山西省孝义市第二中学校2019-2020学年高一下学期期末 【答案】C【分析】由题设条件以及等差数列的性质得出2n a n =，进而得出2cos3n n b n π=，利用诱导公式求出32313,,k k k b b b --，即可求得2020S ． 【解析】1(1)(1)n n na n a n n +=+++，111n na a n n+∴-=+， ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差与首项都为1，21(1)n n a n a n n ∴=+-⇒=，2cos3n n b n π∴=，3241(32)cos 2(32)32k b k k k ππ-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， 3121(31)cos 2(31)32k b k k k ππ-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，33cos 23k b k k k π==， 3231332k k k b b b --+∴=+，20203674212020(36742)101022b b ⨯-=-⨯-=-=-=， ()()()1234562017201820192020202031673101022b b b b b b b b b S b ++++++++++==⨯-=-故选C ．35．设()f n ()*n ∈N 的整数， 如()()()()()11,21,324252f f f f f =====，，，若正整数m 满足()()()()11114034123f f f f m ++++=，则m = A ．20162017⨯ B ．20172018⨯ C ．20182019⨯D ．20192020⨯【试题来源】陕西省西安市高新一中2018-2019学年高二上学期期末（理） 【答案】B【解析】设()f x j =，,*x j N ∈，n 是整数，则221124n n n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭不是整数，因此任意正整数的正的平方根不可能是1()2n n Z +∈形式，所以1122j j -<<+，221144j j x j j -+<<++， 因为,*x j N ∈，所以221j j x j j -+≤≤+，故()f x j =时，2221,2,,x j j j j j j =-+-++共2j 个，设222111(1)(2)()p a f j j f j j f j j =+++-+-++，则22p ja j==，*p N ∈， 由题意()()()()11114034123f f f f m ++++=，403422017=⨯， 所以()()()()1111111111123(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f m f f f f f f ⎡⎤⎡⎤++++=+++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1114034(220171)(220172)()f m f m f m ⎡⎤+++=⎢⎥-⨯+-⨯+⎣⎦， 故()2017f m =，m 为方程2017f =的最大整数解， 所以22017201720172018m =+=⨯．故选B ．【名师点睛】本题主要考查数列与函数的关系、数列的应用，解题关键是设()f x j =，,*x j N ∈，确定x 的范围，得出x 的个数，然后计算出满足()f x j =的所有1()f x 的和为2． 二、多选题1．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：111213212223231323331312n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）．已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S ．下列结论正确的有A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1(31)3j ij a i -=-⨯D ．()1(31)314n S n n =+- 【试题来源】湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高三上学期月考（三） 【答案】ACD【解析】由题意，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，且112a =，13611a a =+，可得2213112a a m m ==，6111525a a d m =+=+，所以22251m m =++，解得3m =或12m =-（舍去），所以选项A 是正确的； 又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111(3[((1)][2(1)3]31)3j j j j ij i a ma i m m i i a ----==+-⨯⨯==-⨯+-⨯⨯，所以选项C 是正确的；又由这2n 个数的和为S ， 则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++11121(13)(13)(13)131313n n n n a a a ---=+++---1(231)(31)22nn n +-=-⋅ 1(31)(31)4n n n =+-，所以选项D 是正确的，故选ACD ． 【名师点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的求解，以及等比数列及其前n 项和公式的应用，其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．2．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）．已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S ．下列结论正确的有A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 【试题来源】江苏省扬州市仪征中学2020-2021学年高二上学期期中模拟（2） 【答案】ACD【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ，再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假． 【解析】因为a 11＝2，a 13＝a 61+1，所以2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去）， 所以a ij ＝a i 1•3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]•3j ﹣1＝（3i ﹣1）•3j ﹣1，所以a 67＝17×36，所以S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )11121131313131313nn n n a a a ---=+++---（）（）（）12=（3n ﹣1）•2312n n +-（） 14=n （3n +1）（3n ﹣1），故选ACD ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题． 三、填空题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足112a =-，且()1222n n a a n N n n *++=∈+，则10S =__________．【试题来源】广西桂林市第十八中学2021届高三上学期第二次月考（理） 【答案】1011【分析】根据题中条件，由裂项的方法得到1112n n a a n n ++=-+，根据裂项相消与并项求和的方法，即可得出结果． 【解析】因为()122211222n n a a n n n n n n ++===-+++，则()()()()()1012345678910S a a a a a a a a a a =+++++++++11111111113355779911⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11011111=-=．2．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，10a =，若11(1)(2)n n n na a +⎡⎤=+-+-⎣⎦（*n N ∈），则100S =__________．【试题来源】江苏省徐州市沛县2020-2021学年高三上学期第一次学情调研【答案】101223- 【分析】分n 为奇数、n 为偶数两种情况讨论，可得数列{}n a 的特点，然后可算出答案． 【解析】当n 为奇数时，()12nn a +=-，则()122a =-，()342a =-，，()991002a =-，当n 为偶数时，()12222nn n n n a a a +=+-=+，则232220a a =+=，454220a a =+=，，989998220a a =+=，又10a =，所以10110024100223S a a a -=+++=． 3．已知数列{}n a 满足：11a =，12n n n a a a +=+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S =__________． 【试题来源】安徽省亳州市涡阳县第四中学2019-2020学年高一下学期第二次质量检测（理） 【答案】122n n +--【分析】根据题中条件，得到11211221n n n a a a +⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，判定数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为公比的等比数列，求出121n na =-，由分组求和的方法，即可求出结果． 【解析】由12n n n a a a +=+得12121n n n n a a a a ++==+，所以11211221n n n a a a +⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭， 因此数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为公比的等比数列，又11a =，所以1112a +=，因此111222n n n a -+=⨯=，所以121n n a =-，因此()()2121222 (22212)n nn n n n S n +-=+++-=-=---．故答案为122n n +--．【名师点睛】求解本题的关键在于，根据12n n n a a a +=+，由构造法，得到111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据等比数列的求和公式，以及分组求和的方法求解即可． 4．数列{}n a 的通项公式22cos4n n a n n π=-，其前n 项和为n S ，则2021S =__________． 【试题来源】甘肃省永昌县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学理试题 【答案】1010．【分析】由于22cos(1cos )cos 422n n n n a n n n n n πππ=-=+-=，可得数列{}n a 的所有奇数项为0，前2021项的所有偶数项共有202010102=项，从而可求得其结果 【解析】因为22cos (1cos )cos 422n n n n a n n n n n πππ=-=+-=，所以数列{}n a 的所有奇数项为0，前2021项的所有偶数项共有202010102=项， 所以2021246820182020S a a a a a a =++++⋅⋅⋅++246820182020=-+-+-⋅⋅⋅-+(24)(68)(20182020)=-++-++⋅⋅⋅+-+1010210102=⨯=．故答案为1010 5．2020年疫情期间，某医院30天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a =，且满足21(1)nn n a a +-=--，则该医院30天内因患新冠肺炎就诊的人数共有__________．【试题来源】山东省聊城市2020-2021学年高三上学期期中 【答案】255【分析】根据题目所给递推关系式，求得数列{}n a 项的规律，由此进行分组求和，求得数列前30项的和．【解析】由于()211nn n a a +-=--，当n 为偶数时，20n na a +-=，因此前30项中的偶数项构成常数列，各项都等于22a =，共有15项，和为15230⨯=；当n 为奇数时，22n n a a +-=；又11a =，所以前30项中的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，共有15项，和为151415122252⨯⨯+⨯=． 故30天的总人数为30225255+=．故答案为255． 6．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*1cos2n n a n n N π=+⋅∈，则2020S =__________．【试题来源】上海市复兴高级中学2021届高三上学期期中 【答案】3030【分析】根据题意，先确定cos2n π的周期，再求出一个周期的和，即可得出结果． 【解析】由()4coscos 2cos 222n n n ππππ+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，知cos 2n π的周期为4，又11cos12a π=+=，212cos 12a π=+=-， 3313cos12a π=+=， 414cos 214a π=+=+，则1234426a a a a +++=+=，所以20202020630304S =⨯=．故答案为3030．7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-．则数列{}n S 的前n 项和n T =__________． 【试题来源】重庆市巴蜀中学2021届高三上学期适应性月考（四） 【答案】122n n +--【分析】通过前n 项和n S 与n a 的关系式以及等比数列的定义得出{}n a 及{}n S 的表达式，进而利用分组求和即可．【解析】由21n n S a =-，得111211a a a =-⇒=，由21n n S a =-，有1121(2)n n S a n --=-≥，两式相减，11222(2)n n n n n a a a a a n --=-⇒=， 故数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n na ，122112nn n S -==--，()12122212n n n T n n +-∴=-=---．8．设函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()sin f x x π=，当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 的极大值点从小到大依次记为1a 、2a 、3a 、、n a 、，并记相应的极大值为1b 、2b 、3b 、、n b 、，则数列{}n n a b +前9项的和为__________．【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高三上学期8月月考 【答案】11032【分析】求出函数()y f x =在区间[)()1,n n n N*-∈上的解析式，利用导数求出函数()y f x =在区间[)()1,n n n N *-∈上的极大值点与极大值，可得出数列{}n n a b +的通项公式，再利用分组求和法可求得数列{}n n a b +的前9项的和． 【解析】函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，则()()21=-f x f x ，且当[)0,1x ∈时，()sin f x x π=，则当[)()1,x n n n N *∈-∈，()[)10,1x n --∈，()()()()()2112122212sin 1n n f x f x f x f x n x n ππ--=-=-==--=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()12cos 1n f x x n πππ-'=--⎡⎤⎣⎦，当[)()1,x n n n N*∈-∈时，()[)10,1x n --∈，则()[)10,x n πππ--∈⎡⎤⎣⎦，令()0f x '=，可得()12x n πππ--=，解得12x n =-， 当112n x n -<<-时，()0f x '>，当12n x n -<<时，()0f x '<． 所以，函数()y f x =在12x n =-处取得极大值，即1122n n b f n -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又12n a n =-，1122n n n a b n -∴+=-+，因此，数列{}n n a b +的前9项的和991199121103222122S ⎛⎫+-⨯ ⎪-⎝⎭=+=-． 【名师点睛】本题考查了数列的分组求和，同时也考查了利用导数求函数的极值点和极值，考查计算能力，属于中等题．9．在数列{}n a 中，若121,(1)2nn n a a a +=+-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则100S =__________．【试题来源】江苏省盐城市响水中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】2550【分析】当n 为奇数时，可得数列{}n a 的奇数项为公差为2的等差数列，当n 为偶数时，可得偶数项的特征，将所求问题转化为奇数项和偶数项求和即可．【解析】因为121,(1)2nn n a a a +=+-=，所以当n 为奇数时，22n n a a +-=，即数列{}n a 的奇数项为公差为2的等差数列，当n 为偶数时，22n n a a ++=，所以135995049501225002a a a a ⨯++++=⨯+⨯=， ()()()()24681012485022550a a a a a a a a ++++++++=⨯=，所以1002500502550S =+=，故答案为2550．【名师点睛】（1）得到数列{}n a 的奇数项为公差是2的等差数列； （2）得到数列{}n a 的偶数项满足22n n a a ++=．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21122n n a a a =＋，=+，则5S 的值为__________． 【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题 （理） 【答案】732【解析】122n n a a +=+，()1222n n a a +∴+=+，故数列{}2n a +是以2为公比，以223a +=为第二项的等比数列， 故2232n n a -+=⋅，故2322n n a -=⋅-，()5531273225122S -∴=-⨯=-，故答案为732. 【名师点睛】1n n a pa q +=+(1,0p q ≠≠的常数)递推关系求通项，构造等比数列是解题关键，属于基础题． 11．设数列{}n a 是以4为首项，12为公比的等比数列，其前n 项和为{}n S ，则{}n S 的前n 项和为__________．【试题来源】江苏省宿迁中学2020-2021学年高三上学期期中巩固测试 【答案】3288n n -+-【分析】先根据题意得382nn S -=-，由于数列{}32n-是以4为首项，12为公比的等比数列，进而利用分组求和法求和即可得答案．【解析】由等比数列的前n 项和公式得()1314112821112n nn na q S q -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦===---， 由于数列{}32n-是以4为首项，12为公比的等比数列，。

福建省莆田四中2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．椭圆2211216x y +=的焦点坐标为 ( )A ．(20)B ．(4,0)±C ．(0,4)±D ．(02),±2．下列函数的最小值为2的是（ ）A ．1y xx=+B ．2y =C ．1tan (0)tan 2y x x x π=+<< D ．1sin (0)sin 2y x x x π=+<< 3．已知正项．．等差数列{}n a 中．若12315a a a ++=，若1232,5,13a a a +++成等比数列，则10a 等于（ ） A ．21B ．23C ．24D ．254．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22a b -=，sin C B =，则角B 等于（ ） A ．030B ．060C ．090D ．01505．下列有关命题的说法正确的是（ ） A ．“21x =”是“x=-1”的充分不必要条件B ．“2x =”是“2560x x -+=”的必要不充分条件．C ．命题“x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈ 均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．6．抛物线22y px =与直线40ax y +-=交于A ，B 两点，其中A 点的坐标是(1,2)．该抛物线的焦点为F ，则FA FB +=（ ）A ．7B ．C ．6D ．57．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1{3(3)x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则a=A ．B ．C ．1D ．28．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点.若60MAN ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） ABCD ．29．已知等差数列的公差不为0，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前项和，则2161n n S a ++的最小值为（ ）A．B ．6C ．173D ．910．如图，在ABC ∆中，2AB AC ==，BC =点D 在BC 边上，045ADC ∠=，则AD 的长度为（ ）A．2BC ．1D11．已知()f x 是定义在R 上不恒为0的函数，且对任意,a b ∈R ，有()()()f a b a f b b f a ⋅=⋅+⋅成立，()22f =，令()2nn a f =，()22n nnf b =则有( )A ．{}n a 为等差数列B ．{}n a 为等比数列C ．{}n b 为等差数列D ．{}n b 为等比数列12．在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形面积。

2021-2022学年福建省莆田第二十五中高二上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.经过点，且倾斜角为的直线方程是.( )A. B.C. D.2.设数列中，且，则( )A.B.C. 2D.3.一束光线从点处射到y 轴上一点后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程是( )A.B.C.D.4.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地”请问第一天走了( ) A. 192里 B. 68里 C. 48里D. 220里5.若直线平分圆的面积，则a 的值为( )A. B.C. 1D. 26.方程表示的曲线是( )A. 一个圆和一条射线B. 一个圆和一条直线C. 一个圆D. 一条直线7.已知数列中，且，则( )A. B.C. D. 58.等差数列和的前n 项和分别为，，对一切自然数n ，都有，则等于( )A.B. C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.集合，，其中，若中有且仅有一个元素，则r的值是.( )A. 3B. 5C. 7D. 910.下列结论错误的是( )A. 过点，的直线的倾斜角为B.若直线与直线垂直，则C.直线与直线之间的距离是D. 已知，，点P在x轴上，则的最小值是511.已知公差不为0的等差数列的前n项和为，若，下列说法正确的是( )A. B. C. D.12.若方程表示以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是( )A. B. 圆关于直线对称C. 圆与y轴相切D. 的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省莆田市莆田第七中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若a b > , 则下列不等式正确的是（ ）A ．22a b >B ．ac bc >C ．a c b c ->-D ．22ac bc > 2．数列1-，3，5-，7，9-，，的一个通项公式为（ ）A ．21n a n =-B ．(1)(12)n n a n =--C ．(1)(21)n n a n =--D ．1(1)(21)n n a n +=--3．命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为（ ）A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠ 4．已知x ∈R ,则“230x x ->”是“40x ->”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若35721a a a ++=，则9S =( )A ．21B ．45C ．63D ．25 7．设变量,x y 满足约束条件3602030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z y x =-的最小值为( )A ．7-B ．4-C ．5-D ．28．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 9．在△ABC 中，若a b <cosC ，则△ABC 为（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形10．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A ．海里B ．海里C ．D ．海里 11．已知2x 3y 3.+=若x ，y 均为正数，则32x y+的最小值是( ) A ．53 B ．83C ．8D ．2412．已知函数2()2cos 2f x x x =-，在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，内角A 满足()1f A =-，若a =ABC 的面积的最大值为（ ）A ．BC ．4D ．二、填空题13．若不等式()23130x m x -+--<的解集为R ，实数m 的取值范围是____. 14．数列{}n a 中，12a =，*132()n n a a n N +=+∈，则{}n a 的通项公式为 ； 15．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且cos sin =+b a C c A ，则sin =b B c_________. 16．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.记此数列为{}n a ，则2018a =___________________ ．三、解答题17．在ABC ∆中，2π3C ∠=，6a =. （1）若14c =，求sin A 的值；（2）若ABC ∆的面积为c 的值.18．已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =+（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12n a n b n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．设命题p ：实数x 满足x 2-2ax-3a 2＜0（a ＞0），命题q ：实数x 满足2x x 4--≥0． （Ⅰ）若a=1，p ，q 都为真命题，求x 的取值范围；（Ⅱ）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．20．北京某附属中学为了改善学生的住宿条件，决定在学校附近修建学生宿舍，学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元，已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为0.8万元．（1）若学生宿舍建筑为x 层楼时，该楼房综合费用为y 万元，综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出()y f x =的表达式；（2）为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少万元？21．已知数列{}n a 是递增的等差数列，其前n 项和为n S ，且55S =，347,,a a a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）令231n n n b a a ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22．如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的平分线，sin 2sin B C =．（1）求ABD ADCS S ∆∆； （2）若1AB =,AD =,求ABC S ∆．参考答案1．C【分析】根据不等式性质，结合特殊值即可比较大小.【详解】对于A ，当1,2a b ==-，满足a b >，但不满足22a b >，所以A 错误；对于B ，当,0a b c >≤时，不满足ac bc >，所以B 错误；对于C ，由不等式性质“不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等式符号不变”，所以由a b >可得a c b c ->-，因而C 正确；对于D ，当,0a b c >=时，不满足22ac bc >，所以D 错误.综上可知，C 为正确选项，故选：C.【点睛】本题考查了不等式大小比较，不等式性质及特殊值的简单应用，属于基础题.2．C【分析】首先注意到数列的奇数项为负，偶数项为正，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式．【详解】∵数列{a n }各项值为1-，3，5-，7，9-，，∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|a n |＝2n ﹣1又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，∴a n ＝（﹣1）n （2n ﹣1）．故选C ．【点睛】本题给出数列的前几项，猜想数列的通项，挖掘其规律是关键．解题时应注意数列的奇数项为负，偶数项为正，否则会错．3．D【分析】根据p 为原命题条件,q 为原命题结论,则否命题:若非p 则非q ,即可求得答案.【详解】设p 为原命题条件,q 为原命题结论,则否命题:若非p 则非q .原命题“若220x y +=，则0x y ==”∴ 故其否命题为: 若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠故选:D.【点睛】本题考查了否命题,解题关键是理解否命题的定义,属于基础题.4．B【分析】先解出不等式x 2﹣3x ＞0，再判断命题的关系．【详解】x 2﹣3x ＞0得，x ＜0，或x ＞3；∵x ＜0，或x ＞3得不出x ﹣4＞0，∴“x 2﹣3x ＞0”不是“x﹣4＞0”充分条件；但x ﹣4＞0能得出x ＞3，∴“x 2﹣3x ＞0”是“x﹣4＞0”必要条件．故“x 2﹣3x ＞0”是“x﹣4＞0”的必要不充分条件．故选B ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．5．C【分析】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，得出::5:11:13a b c =，可得出角C 为最大角，并利用余弦定理计算出cos C ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状.【详解】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，可得出::5:11:13a b c =，设()50a t t =>，则11b t =，13c t =，则角C 为最大角， 由余弦定理得2222222512116923cos 022511110a b c t t t C ab t t +-+-===-<⨯⨯，则角C 为钝角， 因此，ABC ∆为钝角三角形，故选C.【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6．C【分析】由35753a a a a =++，可求出5a ，再结合()1995992a a S a +==可求出答案. 【详解】因为{}n a 是等差数列，所以3575321a a a a ++==，即57a =，则()199599632a a S a +===. 故选C.【点睛】本题考查了等差中项及等差数列的前n 项和，考查了学生的计算能力，属于基础题. 7．A【分析】画出变量,x y 满足的可行域，目标函数2z y x =-可化为2y x z =+，直线2y x z =+在y 轴上的截距最小时，z 最小，当直线2y x z =+过点()5,3A 时满足题意.【详解】画出变量,x y 满足的可行域（见下图阴影部分），目标函数2z y x =-可化为2y x z =+，显然直线2y x z =+在y 轴上的截距最小时，z 最小，平移直线2y x =经过点A 时，z 最小，联立3020y x y -=⎧⎨--=⎩，解得()5,3A ，此时min 3257z =-⨯=-. 故选A.【点睛】本题考查了线性规划，考查了数形结合的数学思想，属于基础题.8．B【详解】设塔顶的a 1盏灯，由题意{a n }是公比为2的等比数列，∴S 7=()711212a --=381，解得a 1=3．故选B ．9．A【分析】利用余弦定理化简已知不等式，求得cos 0B <，由此判断出三角形的形状.【详解】 依题意cos a C b <，由余弦定理得2222a a b c b ab+-<，化简得2220a c b +-<，所以222cos 02a c b B ac+-=<，故B 为钝角，所以三角形为钝角三角形.本小题主要考查利用余弦定理判断三角形的形状，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.10．A【分析】先确定∠CAB 和∠ACB ,然后由正弦定理可直接求解.【详解】如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得sin 30BC ︒＝sin 45AB ︒， 解得BC ＝(海里)．故选：A【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.11．C【分析】 由已知可得，()32132233x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开整理后利用基本不等式即可求解． 【详解】23 3.x y x +=，y 均为正数， 则()321321942312833y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当94y x x y =且233x y +=即34x =，12y =时取等号， 32x y∴+的最小值是8．【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是对应用条件的配凑． 12．B【分析】通过将2()2cos 2f x x x =-利用合一公式变为2cos 213x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，代入A 求得A 角，从而利用余弦定理得到b,c,的关系，从而利用均值不等式即可得到面积最大值.【详解】2()2cos 2f x x x =-=cos 2212cos 213x x x π⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ ()2cos 211cos 2133f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=-⇒+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 为三角形内角，则3A π=a =222222cos 2abc bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=，当且仅当b c =时取等号11sin 622ABC S bc A =≤⨯= 【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，余弦定理，面积公式及均值不等式，综合性较强，意在考查学生的转化能力，对学生的基础知识掌握要求较高.13．()5,7-【分析】由题意，可得∆<0，即()214330m --⨯⨯<，求解即可.【详解】由题意，可得∆<0，即()214330m --⨯⨯<，解得57m -<<.故答案为()5,7-.【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，考查了学生的推理能力，属于基础题.14．31nn a =-【解析】 试题分析：，且，是以3位首项、3为公比的等比数列，则. 考点：等比数列15．2【解析】 【分析】利用正弦公式将b cos sin a C c A =+代换，求出A ，再用a ，b ，c 成等比数列表示出b ac b=，分析sin b Bc特点，再次采用正弦定理即可求得 【详解】由正弦定理可知，()sin sin sin cos sin cos B A C A C C A =+=+，易得ccos sin A c A =，4A π=，又a ，b ，c 成等比数列，所以b ac b =，sin sin sin 2b B a B Ac b ===.则sin 2b Bc =【点睛】本题主要考查正弦定理的具体用法，边化角是正弦定理使用中考察频率最高的一种形式，做题时应优先考虑 16．2 【解析】 【分析】结合数列的性质和等差数列求和公式确定2018a 的值即可. 【详解】将所给的数列分组，第1组为：02，第2组为：012,2，第3组为：0122,2,2，，则数列的前n 组共有()12n n +项， 由于636420162⨯=，故数列的前63组共有2016项， 数列的第2017项为02，数列的第2018项为122=. 【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和公式的应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 17．（1）14；（2）【分析】（1）利用正弦定理即可解出；（2）根据面积公式计算b ，再利用余弦定理解出c ． 【详解】解：（1）在ABC ∆中，因为sin sin a cA C =，即6sin A =所以sin A =（2）因为1sin 2ABC S a b C ∆=⋅⋅⋅.所以162b =⨯，解得2b =. 又因为2222cos c a b a b C =+-⋅⋅.所以21436226()2c =+-⨯⨯⨯-,所以c =【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的应用，属于基础题．18．（1）2n a n =（2）()1111342nn n n T ⎛⎫+⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】试题分析：（1）求数列通项公式主要借助于11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥分情况求解，最后要验证结果是否能够合并；（2）整理数列{}n b 的通项公式得14nn b n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合特点可采用分组求和试题解析：（1）当1n =时，12a =当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=也适合1n =时， ∴2n a n =（2）1124n a nn b n n ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()2111441111121444214nnn n n T n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-考点：数列求通项及分组求和 19．（Ⅰ）[2，3）； （Ⅱ）4a 23＜≤. 【解析】 【分析】（Ⅰ）把a=1代入x 2-2ax-3a 2＜0，化为x 2-2x-3＜0，可得-1＜x ＜3；求解分式不等式可得q 为真命题的x 的范围，取交集得答案；（Ⅱ）求解x 2-2ax-3a 2＜0（a ＞0），得-a ＜x ＜3a ，由2xx 4--≥0，得2≤x ＜4，由q 是p 的充分不必要条件，可得[2，4）⊊（-a ，3a ），由此列关于a 的不等式组求解． 【详解】（Ⅰ）a=1，则x 2-2ax-3a 2＜0化为x 2-2x-3＜0，即-1＜x ＜3； 若q 为真命题，则2xx 4--≥0，解得2≤x＜4． ∴p，q 都为真命题时x 的取值范围是[2，3）； （Ⅱ）由x 2-2ax-3a 2＜0（a ＞0），得a ＜x ＜3a ， 由2xx 4--≥0，得2≤x＜4， ∵q 是p 的充分不必要条件，∴[2，4）⊊（a ，3a ），则{a 23a 4<≥，即4a 23＜≤． 【点睛】本题考查复合命题的真假判断与应用，考查数学转化思想方法，是中档题．20．（1）()()21071010001,y f x x x x x Z ==++≥∈；（2）学校应把楼层建成10层，此时平均综合费用为每平方米0.91万元 【分析】()1由已知求出第1层楼房每平方米建筑费用为0.72万元，得到第1层楼房建筑费用，由楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20(万元)，然后利用等差数列前n 项和求建筑x 层楼时的综合费用()y f x =；()2设楼房每平方米的平均综合费用为()g x ，则()()1000f xg x x=，然后利用基本不等式求最值． 【详解】解：()1由建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为0.8万元， 且楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元， 可得建筑第1层楼房每平方米建筑费用为：0.72万元． 建筑第1层楼房建筑费用为：0.721000720(⨯=万元)．楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：0.02100020(⨯=万元)． 建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为：()()217202010001071010002x x y f x x x x -==+⨯+=++．()()21071010001,y f x x x x x Z ∴==++≥∈；()2设该楼房每平方米的平均综合费用为()g x ，则：()()210710100010.710.710.9110001000100f x x x x g x x x x ++===++≥=，当且仅当1100x x=，即10x =时，上式等号成立． ∴学校应把楼层建成10层，此时平均综合费用为每平方米0.91万元．【点睛】本题考查简单的数学建模思想方法，训练了等差数列前n 项和的求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 21．（1）25n a n =-；（2）21n nT n =+ 【分析】 （1）由()1553552a a S a +==，可求出3a ，由数列{}n a 是递增的等差数列，可知0d >，由347,,a a a 成等比数列，可得到()()33234a a d a d +=+，即可求出d ，进而可求出{}n a 的通项公式；（2）结合（1）可求出221n n a +=-，321n n a +=+，进而可求得()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，然后利用裂项求和法可求得{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）因为数列{}n a 是递增的等差数列，所以0d >，()15535552a a S a +===，故31a =，又347,,a a a 成等比数列，则4327a a a =⋅，即()()23333410a d a a d a d ⎧+=+⎪=⎨⎪>⎩，解得2d =.则132143a a d =-=-=-，故()32125n a n n =-+-=-. （2）25n a n =-，则221n n a +=-，321n n a +=+， 故()()2311111212122121n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，则111212111111111123355721221n nn n n n T ⎛---++⎫⎛⎫=-+-+-++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+.【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式的求法，考查了裂项相消求和法的运用，属于中档题. 22．(1)12(2) 2【分析】（1）令BAD DAC α∠=∠=，正弦定理，得sin 1sin 2AB C AC B ==，代入面积公式计算得到答案.（2）由题意得到11sin 2sin 22AB AC AB AD αα⋅=⋅，化简得到cos 2α=，6πα=，再利用面积公式得到答案. 【详解】(1)因AD 为BAC ∠的平分线，令BAD DAC α∠=∠= 在ABC ∆中，sin 2sin B C =，由正弦定理，得sin 1sin 2AB C AC B == 所以1sin 1212sin 2ABD ADCAB AD S S AC AD αα∆∆⋅==⋅. (2) 因为1AB =，所以2AC =，又AD =由3ABC ABD ADC ABD S S S S ∆∆∆∆=+=,得11sin 2sin 22AB AC AB AD αα⋅=⋅122sin cos 1ααα⨯⨯=，sin 0α≠cos 2α=，因为02πα<<，所以6πα=所以1sin 222ABC S AB AC α∆=⋅=. 【点睛】本题考查了面积的计算，意在考查学生灵活利用正余弦定理和面积公式解决问题的能力.。

2024-2025学年福建省莆田二中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.过点(2,−1)，且一个方向向量为(−1,2)的直线方程为( )A. x +2y =0B. 2x +y−3=0C. x−2y−4=0D. 2x−y−5=02.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2+a 10=24，且a 3=6，则S 8=( )A. 60B. 72C. 120D. 1443.已知直线过点(1,2)，且在纵坐标上的截距为横坐标上的截距的两倍，则直线l 的方程为( )A. 2x−y =0B. 2x +y−4=0C. 2x−y =0或x +2y−2=0D. 2x−y =0或2x +y−4=04.已知两点F 1(−2,0)、F 2(2,0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程为( )A. x 24+y 23=1B. x 28+y 24=1C. x 216+y 24=1D. x 216+y 212=15.已知曲线y =1+ 4−x 2与直线y =k(x−2)+4有两个相异的交点，那么实数k 的取值范围是( )A. (512,43]B. (512,34]C. [14,712)D. [16,712)6.在等比数列{a n }中，a 2=2，a 4a 6−16a 5=0，若b n ={−2,n 为偶数a n,n 为奇数，且{b n }的前n 项和为S n ，则满足S 2n >360的最小正整数n 的值为( )A. 5B. 6C. 7D. 87.德国数学家米勒曾提出最大视角问题：已知点A ，B 是∠MON 的ON 边上的两个定点，C 是OM 边上的一个动点，当C 在何处时，∠ACB 最大？结论是：当且仅当△ABC 的外接圆与边OM 相切于点C 时，∠ACB 最大.人们称这一命题为米勒定理.在平面直角坐标系内，已知M(1,0)，N(3,0)，点P 是直线l ：x−y +1=0上一动点，当∠MPN 最大时，点P 的坐标为( )A. (12,32)B. ( 2, 2+1)C. (1,2)D. ( 3, 3+1)8.设m ∈R ，圆M ：x 2+y 2−2x−6y =0.若动直线l 1：x +my−2−m =0与圆M 交于点A ，C ，动直线l 2：mx−y−2m +1=0与圆M 交于点B ，D ，则|AC|+|BD|的最大值是( )A. 30 3B. 2 30C. 20 3D. 3 30二、多选题：本题共3小题，共18分。

福建省莆田市榜头第二中学2020-2021学年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列有关命题的说法正确的有( )1命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”；2“”是“”的充分不必要条件；③若为假命题，则、均为假命题；④若“”为假命题，则“”为真命题。

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：C2. 若关于x的不等式对任意恒成立，则m的取值范围是（）A. B . C.D.参考答案：B3. 从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的大小关系为（）A． B.C． D.不确定参考答案：B略4. 椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，，，则C的离心率为（）A．B． C. D．参考答案：D因为，，所以,选D.5. 在中，，则此三角形的外接圆的面积为（）A．B．C．D．参考答案：C6. 函数f（x）=Asin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象如图所示，为了得到y=2sin2x的图象，只需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的f （x）的解析式．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律，可得结论．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象可得A=2，T==2[﹣（﹣）]=π，∴ω=2．再由五点法作图可得2×（﹣）+φ=，∴φ=．故函数的f（x）的解析式为 f（x）=2sin（2x+）=2sin2（x+）．故把f（x）=sin2（x+）的图象向做平移个单位长度，可得y=2sin2（x++）=2sin2x的图象，故选：D．7. 等比数列{a n}的各项均为正数，且，则( )．A.60B.50C.40D.20+log25参考答案：D8. 设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的点，⊥，∠=，则的离心率为（）A. B． C． D.参考答案：D略9. 双曲线的离心率为，则它的渐近线方程是A. B. C. D.参考答案：B10. 函数的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：C:试题分析：由题意可知，对利用诱导公式进行化简，最终化成=，当t=1时，取最小值-5，故选C考点：三角函数诱导公式运用，换元法，二次函数求最值问题二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. F1，F2是椭圆+ y2 = 1的两个焦点，P是椭圆上任意一点，则| PF1 | ? | PF2 |的最小值是。

2020-2021学年福建省莆田市第二十二中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的单调增区间是（）A．（0，e）B．（﹣∞，e）C．（e﹣1，+∞）D．（e，+∞）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】解：函数的定义域是（0，+∞），y′=，令y′＞0，解得：0＜x＜e，故函数在（0，e）递增，故选：A．2. 设a∈R，若函数y=e x+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（）A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C．D．参考答案：A【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数等于0有大于0的根，然后转化为两个函数观察交点，确定a的范围．【解答】解：∵y=e x+ax，∴y'=e x+a．由题意知e x+a=0有大于0的实根，令y1=e x，y2=﹣a，则两曲线交点在第一象限，结合图象易得﹣a＞1?a＜﹣1，故选A．3. 函数的极值点为（）A．B．C．或D．参考答案：D4. 已知椭圆上一点P到它的右准线的距离为10, 则点P到它的左焦点的距离是( )A 8B 10C 12D 14参考答案：C略5. 设,集合是奇数集,集合是偶数集．若命题,则（）A．B．C．D．参考答案：A6. 在极坐标系中，以点（，）为圆心，为半径的圆的方程为（）A．acos B．asin C．cos=aD．sin=a参考答案：B略7. 已知i为虚数单位，复数，则复数z在复平面上的对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B略8. 三个数a，b，c既是等差数列，又是等比数列，则a，b，c间的关系为( )A．b-a=c-b B．b2=ac C．a=b=c D．a=b=c≠0参考答案：D9. 已知集合，，则（）A． B． C． D．参考答案：【知识点】两个集合的交集的定义和求法.【答案解析】C解析：解：由题意可发现集合A中的元素在集合B中，所以=，故选：C.【思路点拨】直接找集合集合A集合B中的元素可求得．10. 已知集合，且，则实数的取值范围是A． B． C． D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知椭圆的离心率，则的值为____▲____.参考答案：略12. 在等比数列{a n}中，若a1＋a2＋a3＝8，a4＋a5＋a6＝－4，则＝；参考答案：213. 若，则___________．参考答案：【分析】先化简已知得，再利用平方关系求解.【详解】由题得，因为，所以故答案为：【点睛】本题主要考查诱导公式和同角的平方关系，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14. 不等式的解集是．参考答案：15. 若不等式mx2+4mx-4＜0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为．参考答案：﹛x｜－1＜x≤0﹜略16. 抛物线x2=4y的焦点坐标为．参考答案：（0，1）【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）17. 我们注意到6!=8×9×10，试求能使n!表示成(n－3)个连续自然三数之积的最大正整数n为__________.参考答案：23三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021学年福建省莆田市第二中学高二上学期期中质量检测数学试题一、单选题1．在等差数列中{}n a 中，n S 为其前n 项和，若26727a a a ++=，则9S 的值为（ ） A ．36 B ．45C ．72D ．81【答案】D【分析】根据等差数列的性质可得2745+=+a a a a ，然后代入可得5a ，最后根据等差数列的前n 项和公式可得结果.【详解】∵2674655327a a a a a a a ++=++==， ∴95981S a ==. 故选：D【点睛】本题考查等差数列性质的应用以及等差数列的前n 项和公式，熟练等差、等比数列中下标和所对应项之间的关系，掌握公式，属基础题.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝C ＝30°，则B 等于（ ） A ．30° B ．60°C ．30°或60°D ．60°或120°【答案】D【分析】由正弦定理可解得2si s n in B b C c ==，利用大边对大角可得范围()30,180B ∈︒︒，从而解得A 的值．【详解】由c ＝2，b ＝C ＝30°，∴由正弦定理可得：2si s n in B b C c ==， b c >，由大边对大角可得：()30,180B ∈︒︒，∴解得B =60°或120°． 故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，解题时要注意分析角的范围，属于基础题.3．已知实数x ，y 满足2000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．-4B ．-2C ．0D ．2【答案】A【分析】做出满足条件的可行域，根据图形求出2z x y =-的最小值.【详解】做出满足2000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域，如下图所示，根据图象，当目标函数2z x y =-过(0,2)A 时， 取得最小值为4-. 故答案为:A.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合思想，求线性目标函数的最值，属于基础题.4．已知0a >，0b >，则“ln ln 0a b +> ”是“()ln 0a b +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件与必要条件并结合对数运算讨论即可. 【详解】因为ln ln ln 0a b ab +=>， 所以1ab >，0a >，0b >，显然,a b 中至少有一个大于1，如果都小于等于1，根据不等式的性质可知：乘积也小于等于1，与乘积大于1不符. 所以1a b +>.所以()ln ln10a b +>=，故充分性成立；由()ln 0a b +>，可得1a b +>， 所以,a b 与1的关系不确定， 例如23a b ==，符合1a b +>，但是不符合1ab >，即必要性不成立， 所以综上，由ln ln 0a b +>可以推出()ln 0a b +>，但是由()ln 0a b +>推不出ln ln 0a b +>，因此“ln ln 0a b +> ”是“()ln 0a b +>”的充分不必要条件 故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件，考查对数的运算性质，是中档题.5．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，2223163()c S b a =+-，则tan B =（ ）A ．23B ．32C ．43D ．34【答案】D【分析】利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解. 【详解】由2223163()c S b a =+-， 则22233316c a b S +-=， 即132cos 16sin 2ac B ac B ⨯=⨯， 所以3cos 4sin B B =，且cos 0B ≠， 所以3tan 4B =. 故选：D【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积公式、弦化切，属于基础题. 6．下列命题中正确的是（ ）A ．设命题:05p x <<；命题:|3|3q x -<，那么p 是q 的必要不充分条件B ．函数21(0,1)x y a a a -=+>≠的图象恒过定点(2,1)C ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”D ．若2018201920192020101101,101101M N ++==++，则M N >【答案】D【分析】对于A ，先化简|3|3x -<得06x <<，而{}{}0506x x x x <<⊆<<，由此可判断A ；对于B ，利用指数函数经过的特殊点判断即可；对于C ，命题否定时，或要改为且；对于D ，构造函数1101()101x xf x -+=+，利用函数的单调性判断. 【详解】解：对A ，由|3|3x -<，得06x <<，所以p 是q 的充分不必要条件，故A 错误；对B ，因为(0,1)xy a a a =>≠恒过(0,1)，故函数21(01)x y a a a -=+>≠且的图象恒过定点(2,2)，故B 错误；对C ，命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =，”的逆否命题为“若1x ≠且2x ≠，则2320x x -+≠”，故C 错误；对D ，令1101()101x x f x -+=+，则1101()101x xf x -+=+19110101x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，易知函数()f x 为单调递减函数，故M N >， 故选：D.【点睛】此题考查了充要条件，指数函数的性质，四种命题的关系，代数式比较大小等知识，属于基础题.7．已知F 是椭圆22:14x E y +=的右焦点，直线0x my -=与E 交于,A B 两点，则ABF ∆的周长的取值范围为（ ）A ．(2,4)B ．[2,4)C ．(6,8)D ．[6,8)【答案】D【分析】先根据椭圆对称性和定义转化周长到||2AB a +，再根据||AB 范围得到周长的取值范围即可.【详解】记椭圆22:14x E y +=的左焦点为F '，则四边形AFBF '为平行四边形（如图所示），ABF ∆的周长等于||||||||||AB AF BF AB AF AF '++=++，因为||2AF AF a '+=，所以周长等于||2AB a + 又,A B 不在x 轴上，所以||[2,2)AB b a ∈，故ABF ∆的周长的取值范围为||2[22,4)[6,8)AB a a b a +∈+=. 故选：D.【点睛】本题考查了椭圆定义和性质的应用，属于基础题.8．已知{}n a 是等比数列，31a =，那么其前5项和5S 的取值范围是（ ）A ．[)(3]1，，-∞-+∞ B ．[)(3]5，，-∞-+∞ C ．[)1+∞， D ．[)5∞+，【答案】C【分析】设公比为q ，将5S 表示出来，252111S q q q q=++++，观察式子特点，分0q >和0q <用均值不等式求出5S 的范围.【详解】设公比为q ,则33n n a a q-=3n q -=，故252111S q q q q =++++211()()1q q q q=+++-， 令1t q q =+，则1||||2||t q q =+≥，当||1q =时，等号成立， 即2t ≥或2t ≤-，则251S t t =+-，(,2][2,)t ∈-∞-+∞，函数在(,2]-∞-递减，在[2,)+∞递增，故当2t =-时，5S 有最小值1，即51S ≥. 故选：C.【点睛】本题以等比数列为载体，考查了等比数列前n 项和，均值不等式，换元法，二次函数的最值，是多个基本知识的综合题，属于中档题.二、多选题9．已知,,a b c 分别是ABC 三个内角、、A B C 的对边，给出下列四个命题，其中正确的是（）A ．在ABC 中，若222a b c +>，则ABC 是锐角三角形；B ．若cos cos a A b B =，则ABC 是等腰三角形 C ．若cos b C ccosB b +=，则ABC 是等腰三角形D ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC 是等边三角形 【答案】CD【分析】对于A ，由余弦定理可得,角C 为锐角,但不能确定角B 和角C,判断选项A 错误;对于B ，由正弦定理可得,sin cos sin cos A A B B =,通过倍角公式，化简为22sin A sin B =，然后即可判断选项B 错误;对于C,通过和差公式和诱导公式即可化简出，sin sinB A =，然后即可判断选项C 正确; 对于D ，利用正弦定理，把cos cos cos a b cA B C==化简为tanA tanB tanC ==，即可判断选项D 正确.【详解】对于A ，222a b c +>即2220a b c +->,可得cos 0C >,即只知C 为锐角,故A 不正确;对于B ，若cos cos a A b B =，则sinAcosA sinBcosB =，则22sinAcosA sinBcosB =，则22sin A sin B =，则A B =或90A B ︒+=，ABC ∆是等腰三角形或直角三角形,故B 错误;对于C,cos cos b C c B b +=，sinB =cos sin()sin sinBcosC sinC B B C A +=+=，即A B =，则ABC 是等腰三角形，故C 正确; 对于D ，若cos cos cos a b c A B C==，则sin sin sin cos cos cos A B CA B C ==，则tanA tanB tanC ==，A B C ==，即ABC 是等边三角形，故D 正确;故选：CD【点睛】本题考查命题的判断,考查倍角公式、和差公式以及正弦定理的使用，属于中档题.10．已知函数2()(0)f x x ax b a =++>有且只有一个零点，则( ) A ．224a b -≤ B ．214a b+≥ C ．若不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，则120x x > D ．若不等式2x ax b c 的解集为()12,x x ，且124x x -=，则4c =【答案】ABD【分析】根据二次函数零点的分布，以及三个二次之间的关系，韦达定理的应用，即可容易求得.【详解】因为2()(0)f x x ax b a =++>有且只有一个零点， 故可得240a b =-=，即可240a b =>.对A ：224a b -≤等价于2440b b -+≥，显然()220b -≥，故A 正确；对B ：21144a b b b +=+≥=，故B 正确； 对C ：因为不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ， 故可得120x x b =-<，故C 错误； 对D ：因为不等式2x ax b c 的解集为()12,x x ，且124x x -=，则方程2 0x ax b c ++-=的两根为12,x x ，4====，故可得4c =，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题考查二次不等式和二次方程，以及二次函数之间的关系，属基础题.11．如图，两个椭圆22221,1259259x y y x +=+=内部重叠区域的边界记为曲线,C P 是曲线C 上的任意一点，下列四个说法正确的为（ ）A ．P 到1212(4,0),(4,0),(0,4),(0,4)F F E E --四点的距离之和为定值B ．曲线C 关于直线y x y x ==-、均对称 C ．曲线C 所围区域面积必小于36D ．曲线C 总长度不大于6π 【答案】BC【分析】由点P 在两个椭圆内部重叠区域的边界上可知，当点在上下边界上时，到12(4,0),(4,0)F F -的距离之和为定值，当点在左右边界上时，到12(0,4),,4)(0E E -的距离之和为定值，可判断A 错误；利用椭圆的对称性可得B 正确；曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部，在半径为3的圆外部，可判断出,C D ，得出答案．【详解】易知12(4,0),(4,0)F F -分别为椭圆221259x y +=的两个焦点，12(0,4),,4)(0E E -分别为椭圆221259y x +=的两个焦点.若点P 仅在椭圆221259x y +=上，则P 到10()4,F -、2(4,0)F 两点的距离之和为定值，到12(0,4)(0,4)E E -、两点的距离之和不为定值，故A 错误；两个椭圆关于直线,y x y x ==-均对称，则曲线C 关于直线y x y x ==-、均对称，故B 正确；曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C 正确；曲线C 所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长6π，故D 错误. 故选：BC【点睛】本题考查椭圆的对称性，椭圆中的范围问题等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．12．设正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+，则（ ）A ．29a a 的最大值为10B ．29a a +的最大值为10C ．222911a a +的最大值为15D ．4429a a +的最小值为200【答案】ABD【分析】根据等差数列的性质，求得29,a a 的关系式，由此结合基本不等式，判断出正确选项.【详解】因为正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+，所以()22929220a a a a +=+，即222920a a +=.①222929201022a a a a +≤==，当且仅当29a a ==A 选项正确.②由于22229291022a a a a ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以29292a a a a +≤+≤29a a ==B 选项正确.③22292222222222292929291120202011052a a a a a a a a a a ++==≥==⋅⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当29a a ==立， 所以222911a a +的最小值为15，故C 选项错误. ④结合①的结论，有()24422222222929292924002400210200a a a a a a a a +=+-⋅=-⋅≥-⨯=，当且仅当29a a ==D 选项正确. 故选：ABD【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值，属于中档题.三、填空题13．已知a ，b ，c ，d 是以2为公比的等比数列，则22a bc d+=+______.【答案】14【分析】,,b c d 可全部用a 进行代换，结合等比数列性质求解即可【详解】由题可知，23,,b aq c aq d aq ===，=2q ，则23224122164a b a aq a c d aq aq a ++===++ 故答案为14【点睛】本题考查等比数列的性质，代换出,,b c d 与a 的关系是解题的关键，属于基础题14．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为____.【答案】41,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据不等式ax ＞b 的解集为1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，可得ba，然后将二次不等式化简变形，把ba代入，最后根据一元二次不等式的解法可得结果. 【详解】由已知ax ＞b 的解集为1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，可知a ＜0，且b a ＝15， 将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0， 即5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45，故所求解集为41,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：41,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查不等式的解法，本题关键在于找到b a ＝15，考查分析能力以及计算能力，属基础题.15．设1F ，2F 是椭圆()222:124x y C a a +=>的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若2AB AF ⊥，2:3:4AB AF =，则椭圆的离心率为__________．5【分析】设3AB x =，24AF x =，由椭圆的定义和直角三角形求出x （用a 表示），然后再由勾股定理建立,a c 的等式，求得离心率．【详解】∵2:3:4AB AF =，∴可设3AB x =，24AF x =，由224AB AF BF a ++=得247BF a x =-，又2AB AF ⊥，∴222(3)(4)(47)x x a x +=-，化简得(2)(3)0x a x a --=，显然2x a <，∴3a x =， ∴2443a AF x ==，12223aAF a AF =-=，在12AF F △中，2221212AF AF F F +=，即222416499a a c +=，∴5c e a ==． 5【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等式，本题中焦点三角形是直角三角形，因此利用椭圆定义结合勾股定理列式求解．四、双空题16．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos 3sin a C a C b c +=+，则A =______；若3a =且ABC 只有唯一解，则b的范围为______. 【答案】3π({}32⋃ 【分析】由正弦定理进行边角互化，统一成角，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求出角A ；由正弦定理表示出2sin b B =，而ABC 只有唯一解，可求出角B 的范围，从而得b 的范围.【详解】因为cos 3sin a C a C b c +=+， 所以sin cos 3sin sin sin sin A C A C B C +=+，则sin cos 3sin sin sin cos cos sin sin A C A C A C A C C +=++，所以3sin cos 1A A =+，则1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3A π=；由正弦定理得，2sin sin b aB A==，所以2sin b B =，而ABC 只有唯一解时，2,32B πππ⎡⎫⎧⎫∈⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭，所以({}0,32b ⎤∈⋃⎦. 故答案为：3π；({}0,32⎤⋃⎦ 【点睛】此题考查了利用正弦定理解三角形，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.五、解答题17．已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题． （Ⅰ）求实数m 的取值集合M ；（Ⅱ）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围．【答案】（1）（2）或.【解析】试题分析：（1）方程在有解，转化为函数在上的值域，实数m 的取值集合M 可求； （2）x N ∈是x M ∈的必要条件，分、、三种情况讨论即可求a 的取值范围．(1) 由题意知，方程20x x m --=在上有解， 即m 的取值范围就为函数在上的值域，易得1|24M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭7分(2) 因为x N ∈是x M ∈的必要条件，所以 8分当时，解集为空集，不满足题意 9分当时，，此时集合则，解得 12分当时，，此时集合则11{,4422a a a <-⇒<--≥ 15分综上9144a a ><-或 16分 【解析】命题与逻辑、分类讨论思想.18．设ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且三个内角A ，B ，C 依次成等差数列.()1若sin 2sin sin B A C =，求角A ； ()2若ABC 为钝角三角形，且a c >213sincos cos 2222A A C -+的取值范围. 【答案】()13π；()213,44⎛ ⎝⎭. 【分析】()1根据A ，B ，C 依次成等差数列，2sin sin sin B A C =，推出3B π=，a c=，即可判断出结果；()2利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简，进而求出取值范围.【详解】解：()1A ，B ，C 依次成等差数列，∴2B A C B π=+=-，∴3B π=.2sin sin sin B A C =，∴2b ac =.又222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，∴22a c ac ac +-=，即()20a c -=，∴a c =， ∴ABC 为正三角形，3A π=.()2由已知23A C π+=，2131cos 13cos cos sin 2222222A A C C A +-+=-+12cos 223A A π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1cos 4A A A =+-11cos sin 426A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. a c >，ABC 为钝角三角形，∴223A ππ<<， ∴25366A πππ<+<，1sin 26A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，∴11sin 4264A π⎛⎫<+<⎪⎝⎭.21cos cos 2222A A C -+的取值范围是1,44⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题考查三角函数化简求值，正弦定理的运用，二倍角公式、两角和的正弦公式的运用，考查计算能力，属于中档题.19．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5624a a +=，11143S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足()1*12n a n T n a -=-∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式及数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由． 【答案】（1）21()n a n n =+∈N ；69nn +；（2）数列{}n b 不是等比数列．理由见解析. 【分析】（1）由等差数列的通项公式以及前n 项和公式即可求得n a ，代入11n n a a +，利用裂项求和即可求得数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和； （2）由n T 求出数列{}n b 的通项公式，再运用等比数列的定义判断即可. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，11611143S a ==， 613a ∴=，又5624a a +=，解得：511a =，2d =，21()n a n n ∴=+∈N ，111111(21)(23)22123n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++++⎝⎭， 设11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项的和为n B ，1113557(21)(23)n B n n ∴=++⋯+⨯⨯++ 1111111235572123n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭111232369n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭； （2）13a =，124n a n -=，43n n T ∴=+．当1n =时，17b =；当2n ≥时，1114434nn n n n n b T T ---=-=-=⨯，()142n n b b n +∴=≥，若{}n b 是等比数列，则有214b b =， 而17b =，212b =，所以与214b b =矛盾， 故数列{}n b 不是等比数列．【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．20．已知椭圆222:1(1)x C y m m+=>，点P 是C 上的动点，M 是右顶点，定点A 的坐标为(2,0)．（1）若3m =，求PA 的最大值与最小值；（2）已知直线:5l y x =-，如果P 到直线l ，求m 的值．【答案】（1）min ||PA =；max ||5PA =；（2）m =. 【分析】（1）设(,)P x y ，利用两点间的距离公式，将问题转化为二次函数求最值. （2）根据图形可知，当直线l 平移与椭圆第一次相切时，切点P 到直线l 的距离最小，则问题转化为椭圆的切线问题，设与l 平行的直线方程为y x t =+，将直线与椭圆方程联立，则0∆=，可得t =t =时，直线l 与其平行线距离最小，根据最小值即可求解.【详解】解：（1）3m =，椭圆方程为2219x y +=，设(,)P x y ，则22222||(2)(2)19x PA x y x =-+=-+-2891(33)942x x ⎛⎫=-+-≤≤ ⎪⎝⎭，∴94x =时min PA = 3x =-时max 5PA =．（2）根据图形可知，当直线l 平移与椭圆第一次相切时， 切点P 到直线l 的距离最小，则问题转化为椭圆的切线问题． 设与l 平行的直线方程为y x t =+，显然5t ≥-． 联立方程y x t =+和22220x m y m +-=得：()222222120mxm tx m t m +++-=，由()()4222224410m t mm tm ∆=-+-=，得：22222210m t t m t m -+-+=，即221t m =+，所以t =． 根据图形观察可知，当21t m =-+时，直线l 与其平行线距离最小．25122m -++=，由5t ≥-． 215m +，所以2512m +=， 213m +=，因此28m =， 故22m =±22m =．【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出21t m =±+5t ≥-，考查了计算求解能力.21．已知函数2()1(0)f x x ax a =++>．（1）若()f x 的值域为[0,)+∞，求关于x 的不等式()()20f x b b ≥≥的解集；（2）当2a =时，函数[]22()()2()10g x f x mf x m =-+-≥对于任意[]2,1x ∈-都成立，求m 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）(][),15,-∞-⋃+∞.【分析】（1）由函数的值域和二次函数的性质可以得到最小值的表达式，因此可以求出a 的值，从而写出函数表达式，解出()()20f xb b ≥≥的解集；（2）由[]22()()2()10g x f x mf x m =-+-≥，即可得出()min 0g x ≥，令()t f x =，转化为含参的一元二次不等式求解即可. 【详解】解：（1）()f x 的值域为[)0,+∞，所以22min 11()10242a f x f a a ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭，又0a >，2a ∴=，则2(1)2f x x x =++，由2()f x b ≥得：22210x x b ++-≥，[][](1)(1)0x b x b ∴+++-≥，①当0b >时，11b b -+>--，所以不等式的解集为{1x x b ≥-+或}1x b ≤--；②当0b =时，111b b -+=--=-，2(1)0x +≥，所以不等式的解集为R ．（2）函数[]22()()2()10g x f x mf x m =-+-≥对于任意[]2,1x ∈-都成立等价于()min 0g x ≥，令()t f x =， 又[]2,1x ∈-，[]0,4t ∴∈，则题意等价于22210t mt m -+-≥， 即[][](1)(1)0t m t m -+--≥， 所以1t m ≥+或1t m ≤-，由1t m ≥+对[]0,4t ∈恒成立知：1m ≤-， 由1t m ≤-对[]0,4t ∈恒成立知：5m ≥， 综上所述，m 的取值范围为(][),15,-∞-⋃+∞．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用二次函数的图像解含参的一元二次不等式.22．在平面直角标系xOy 中，点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>上，且（1）求椭圆M 的标准方程；（2）过椭圆M 的右顶点A 作椭圆M 的两条弦AB 、AC ，记直线AB 、AC ，BC 的斜率分别为1k 、2k 、k ，其中1k 、2k 的值可以变化，当1k =，求1212k k k k --的所有可能的值.【答案】（1）2214x y +=；（2）14. 【分析】（1）由题意可得221314a b+=，c e a ==,a b ，即得椭圆M的标准方程；（2）点()2,0A .设()11,B x y ，()22,C x y ，直线BC 的方程为()2y x m m =+≠-.把，直线BC 的方程代入椭圆M 的方程，结合韦达定理，即求答案.【详解】（1）根据题意221314a b +=，离心率c e a ==解得2a =，1b =，所以椭圆M 的标准方程为：2214x y +=.（2）点()2,0A .设()11,B x y ，()22,C x y ，直线BC 的方程为()2y x m m =+≠-.由2214y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2258410x mx m ++-=. ① 1x ，2x 是方程①的两个根，()22264454116800,m m m m ∴∆=-⨯⨯-=-+><<2m ≠-.1285m x x ∴+=-，()212415m x x -=. ()()()()212121212121212211111112224m x m x m k k k k k k x x x x x x +⎛⎫⎛⎫++∴--=---=---=- ⎪⎪---++⎝⎭⎝⎭()()()()222222511114444116444555m m m mm m ++=-=-=-=-++++.故1212k k k k --的所有可能的值为14. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查与椭圆有关的定值问题，属于较难的题目.。

莆田二中2021级高一10月阶段性检测数学试卷注意事项：1.答卷前，考生把极课二维码粘贴在答题卡指定的位置；2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效；4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1．设集合{|215},{|2}A x x B x N x =≤+<=∈≤，则A B =A ．{|12}x x ≤≤B ．{1,2}C ．{0,1}D ．{0,1,2}2．已知命题:p x ∀∈R ，2210x +>，则命题p 的否定是 A ．x ∀∈R ，2210x +≤ B ．x ∃∈R ，2210x +> C ．x ∃∈R ，2210x +< D ．x ∃∈R ，2210x +≤3．函数()f x = A ．(1,)+∞B ．[1，)+∞C ．[1，2)D ．[1，2)(2，)+∞4．若0a b <<，则下列不等式中不能成立的是 A ．11a b> B ．11a b a>- C ．||||a b >D ．33a b <5．已知()f x 是一次函数，且(1)35f x x -=-，则()f x 的解析式为 A ．()32f x x =+B ．()32f x x =-C ．()23f x x =+D ．()23f x x =-6．函数()21,11,1x x x f x x x x⎧-+<⎪=⎨+>+⎪⎩的值域为A ． (),0-∞B ．(],2-∞C ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(),2-∞7．函数2441()(1)1x x f x x x -+=>-的最小值等于A ．6B ．9C ．4D ．88．已知关于x 的不等式2240ax x a -+<在(0,2)上有解，则实数a 的取值范围是 A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．12⎛⎫∞⎪⎝⎭,+ D ．1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多个是符合题目要求，全部选出得 5 分，漏选得 3 分，选错或多选得 0 分. 9．设28150A x x x ，10Bx ax ，若A B B =，则实数a 的值可以为A ．15 B ．0C ．3D ．1310．若函数()()221120x f x x x--=≠，则下列结论正确的是 A ．1152f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()324f =-C ．()241(0)(1)f x x x =-≠- D ．2241(01)(1)1x f x x x x ⎛⎫=-≠≠ ⎪-⎝⎭且 11．若函数244y x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[8,4]--，则m 的值可能是 A ．2B ．3C ．4D ．512. 对于实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]3π=，[ 1.08]2-=-，定义函数()[]f x x x =-，则下列命题中正确的是A ．( 3.9)(4.1)f f -=B ．函数()f x 的最大值为1C ．函数()f x 的最小值为0D ．方程1()02f x -=有无数个根 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知函数()f x 按下表给出，满足()()()1ff x f ＜的x 的值为________．14．若命题“2,0x R x x a ∃∈-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是______．15．设,0()1,0x a x f x x x x -+⎧⎪=⎨+>⎪⎩，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为__________. 16．已知00x y >>，，且111x y+=，则2xy 的最小值为________；3xy x +的最小值为________.四、解答题：：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题10分）设集合{}2|230A x x x =+-<，集合{|||1}B x x a =+<. （1）若3a =，求AB ；（2）设命题 : p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18．（本小题12分）已知集合{|121}A x a x a =-<<+，B 30x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭-≤，U =R . （1）若12a =，求()U A C B ；（2）若A B φ=，求实数a 的取值范围.19．（本小题12分）已知函数2()(1)1f x mx m x =-++，m R ∈. （1）若不等式()0f x <的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，求m 的值；（2）若0m >，讨论关于x 不等式()0f x >的解集. 20．（本小题12分）已知函数2()22(1)()f x x ax a a R =--+∈.（1）求证：函数()f x 的图像与x 轴恒有两个不同的交点A 、B ，并求此两交点之间距离的最小值；（2）若()30f x +≥在区间(1,)-+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.21．（本小题12分）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（0m ≥）满足41kx m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件. 已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按816xx+元来计算） （1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？22．（本小题12分）已知二次函数()2f x ax bx c =++满足()11f -=-，对任意x ∈R 有()24121x f x x -≤≤+恒成立.（1）求()f x 的解析式；（2）若()()(),21,23f x x g x f x x ⎧≥-⎪=⎨-<-⎪⎩，对于实数162m -≤≤-，记函数()g x 在区间[],0m 上的最小值为()G m ，且()1G m m λ≥+恒成立，求实数λ的取值范围．数学参考答案1．B 因为{|215}{|14},{|2}{0,1,2}A x x x x B x x =≤+<=≤<=∈≤=N ，所以{1,2}A B =.2．D 详解：由题意得，命题“x R ∀∈，2210x +>”的否定是“x R ∃∈，2210?x +≤． 3．D 解：由题意得：1020x x -⎧⎨-≠⎩，解得：1x 且2x ≠，故函数的定义域是[1，2)(2⋃，)+∞， 4．B 解：对于A ，因为0a b <<，所以0ab >，所以0a b ab ab<<，即11a b >，所以A 成立；对于B ，若2,1a b =-=-，则11a b =--，112a =-，此时11a a b>-，所以B 不成立；对于C ，因为0a b <<，所以||||a b >，所以C 成立；对于D ，因为0a b <<，所以330a b <<，所以D 成立，故选：B5．B 设()f x kx b =+，（0k ≠）∴()()1135f x k x b x -=-+=-，即35kx k b x -+=-，所以35k b k =⎧⎨-=-⎩，解得3k =，2b =-， ∴()32f x x =-，故选B ．6．D 当1x <时,2215()1()24f x x x x =-++=--+,故5(),,(1)4f x x ⎛⎤∈-∞< ⎥⎝⎦.当1x >时,1()1(0,2)f x x =+∈,故()21,11,1x x x f x x x⎧-+<⎪=⎨>⎪⎩的值域为(,2)-∞.7．D 因为1x >，所以10x ->， 因此11()44444811f x x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当1441x x -=-，即32x =时，等号成立. 8．A (0,2)x ∈时，不等式可化为22244x a x x x<=++；02x <<， 44x x∴+>2142x x∴<+，12a ∴<则实数a 的取值范围是1(,)2-∞.9．ABD28150x x -+=的两个根为3和5，3,5A，A B B =，B A ∴⊆，B ∴=∅或{}3B =或5B或{}3,5B =，当B =∅时，满足0a =即可， 当{}3B =时，满足310a -=，13a ∴=， 当5B时，满足510a ，15a ∴=，当{}3,5B =时，显然不符合条件，∴a 的值可以是110,,35.故选：ABD. 10 . AD 由()()221120x f x x x--=≠，得()241(1)(1)f x x x =-≠- 所以1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，A 正确．()23f =，B 错误． ()241(0)(1)f x x x =-≠-， C 错误．2241(01)(1)1x f x x x x ⎛⎫=-≠≠ ⎪-⎝⎭且 D 正确．故选：AD. 11．ABC 函数244y x x =--的部分图像如图，(0)(4)4f f ==-，(2)8f =-.因为函数244y x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[84]--，， 所以m 的取值范围是[2]4，，故选ABC . 12.ACD 【详解】根据符号[]x 的意义,讨论当自变量x 取不同范围时函数()[]f x x x =-的解析式：当10x -≤<时,[]1x =-,则()[]1f x x x x =-=+ 当01x ≤<时,[]0x =,则()[]f x x x x =-= 当12x ≤<时,[]1x =,则()[]1f x x x x =-=- 当23x ≤<时,[]2x =,则()[]2f x x x x =-=-画出函数()[]f x x x =-的图像如下图所示：根据定义可知,()( 3.9) 3.940.1,f -=---=(4.1) 4.140.1f =-=,即( 3.9)(4.1)f f -=,所以A 正确；从图像可知,函数()[]f x x x =-最高点处取不到,所以B 错误；函数图像最低点处函数值为0,所以C 正确； 从图像可知()102f x -=,即()12f x =有无数个根,所以D 正确 综上,故选ACD13．2 由题中的表格可知：当x=1时，f （f （1））=f （2）=3，而f （1）=2，原不等式不成立，所以x=1不满足题意； 当x=2时，f （f （2））=f （3）=1，而f （1）=2，原不等式成立，所以x=2满足题意； 当x=3时，f （f （3））=f （1）=2，而f （1）=2，原不等式不成立，所以x=3不满足题意． 综上，满足f （f （x ））＞f （3）的x 的值为2． 14．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭命题“20x R x x a ∃∈-+<，”是假命题，则命题“20x R x x a ，∀∈-+≥”是真命题，则140a =-≤，解得14a ≥则实数a 的取值范围是14⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，15．(],2-∞解：当0x ≤时，()(0)f x f a ≥=，又11022x x x x x>⇒+⋅=， 由题意得：1a x x+，2a ∴， 16．8 9 根据题意，实数0x >，0y >，由11112x y xy+=≥，则28xy ≥，当且仅当2x =，2y =时，等号成立；因为111x y+=，所以x y xy +=()1143444159x y xy x x y x y x y y x ⎛⎫+=+=+⋅+=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4=x y y x 时，即332x y ==，等号成立.故答案为：8；9. 17．（1）{|41}AB x x =-<<；（2）02a ≤≤.（1）{}{}2|230|31A x x x x x =+-<=-<<.因为3a =，所以{||3|1}{|42}B x x x x =+<=-<<-，因此{|41}A B x x =-<<；（2）{}|31A x x =-<<，{|||1}{|11}B x x a x a x a =+<=--<<-， 因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集，因此有1113a a -≤⎧⎨-->-⎩或1113a a -<⎧⎨--≥-⎩，解得02a ≤≤.18．（1）若12a =时1|22A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}|03B x x =<≤， 由{|0U C B x x =≤或3}x >， 所以()1|02U A C B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭（2）由AB =∅知当A =∅时121a a -≥+∴2a ≤- 当A ≠∅时21113a a a +>-⎧⎨-≥⎩或211210a a a +>-⎧⎨+≤⎩∴4a ≥或122a -<≤-综上：a 的取值范围是1|24a a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭≥或. 19．（1）因为()0f x <的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以12，1为方程()0f x =的两个根由韦达定理得：112132m mm ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得2m =（2）由()0f x >得：2(1)10mx m x -++>，所以(1)(1)0mx x -->①当01m <<时，11m>，不等式的解集是{|1x x <或1x m ⎫>⎬⎭②当1m =时，不等式可化为2(1)0x ->，不等式的解集是{|1}x x ≠③当1m >时，101m <<，不等式的解集是1|x m x ⎧<⎨⎩或}1x >综上可得，当01m <<时，不等式的解集是{|1x x <或1x m ⎫>⎬⎭； 当1m =时，不等式的解集是{|1}x x ≠； 当1m >时，不等式的解集是1|x mx ⎧<⎨⎩或}1x >20．7．(1)2; （2）1a ≤【详解】（1）2()22(1)()f x x ax a a R =--+∈,2228(1)4(241)44(1)40a a a a a ++=++++==+>∆,所以函数()f x 的图像与x 轴恒有两个不同的交点A 、B . 设1(,0)A x 、2(,0)B x ,则12122,22x x a x x a +==--,12||||AB x x =-==2=≥所以AB 两交点之间距离的最小值2.（2）若()30f x +≥在区间(1,)-+∞上恒成立,则22()32211(22)0(1)f x x ax a x x a x +=--+=+-+≥>-恒成立,分离参数a 得, 212(1)1x a x x +≤>-+恒成立,设2min 1(),2(),1,101x g x a g x x x x +=≤>-∴+>+221(1)2(1)22()(1)22111x x x g x x x x x ++-++===++-≥+++,当且仅当12,21x x +==,等号成立, min ()222g x =21a ∴≤21．（1）()163601y m m m =--≥+； （2）2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. （1）由题意知，当0m =时，2x =（万件）， 则24k =-，解得2k =，241x m ∴=-+. 所以每件产品的销售价格为8161.5xx+⨯（元）， ∴2018年的利润()816161.58163601x y x x m m m x m +=⨯---=--≥+.（2）当0m ≥时，10m +>，16(128116)m m ∴++≥+，当且仅当3m =时等号成立. 83729y ∴≤-+=，当且仅当1611m m =++，即3m =万元时，max 29y =（万元）. 故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.22.（1）对任意的x ∈R 有()24121x f x x -≤≤+恒成立，当1x =时，则()313f ≤≤，所以，()()1113f a b c f a b c ⎧-=-+=-⎪⎨=++=⎪⎩，可得12a c b +=⎧⎨=⎩，1c a ∴=-，所以不等式()41f x x ≥-在R 上恒成立，即二次不等式22141ax x a x ++-≥-在R 上恒成立，即二次不等式2220ax x a -+-≥在R 上恒成立，当1x =时等号成立，()()20442410a a a a >⎧⎪∴⎨∆=--=-=⎪⎩，解得1a =，0c ∴=，因此，()22f x x x =+； （2）由题意可得()()222,212,23x x x g x x x x ⎧+≥-⎪=⎨-+<-⎪⎩. 作出函数()y g x =在区间(],0-∞上的图象如下图所示： 当20x -≤≤时，()()()2221111g x x x x g =+=+-≥-=-.当2x <-时，()()2123g x x x =-+，令()1g x =-，可得223x x +=，得2230x x +-=，此时3x =-. 由图象可知，当63m -≤<-时，函数()y g x =在区间[],0m 上的最小值为()()()2123G m g m m m ==-+， 由()1G m m λ≥+，得()21213m m m λ-+≥+，可得121323333m m m m λ⎛⎫≥---=-+- ⎪-⎝⎭，63m -≤<-，则36m <-≤， 由于双勾函数3y x x =+在区间(]3,6上单调递增，当36m <-≤时，31342m m <-+≤-， 则213233332m m ⎛⎫<-+-≤ ⎪-⎝⎭，此时，32λ≥； 当31m -≤≤-时，函数()y g x =在区间[],0m 上的最小值为()()11G m g =-=-， 由()1G m m λ≥+，得11m λ+≤-，即20m λ+≤对任意的[]3,1m ∈--恒成立， 则32020λλ-+≤⎧⎨-+≤⎩，解得2λ≥； 当112m ≤-<-时，函数()y g x =在区间[],0m 上单调递增， 函数()y g x =在区间[],0m 上的最小值为()()22G m g m m m ==+， 由()1G m m λ≥+，可得212m m m λ+≤+，即12m m λ≥-+. 函数12y x x =-+在区间11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦上单调递增，112m -<≤-，17222m m ∴<-+≤， 此时，72λ≥. 综上所述，实数λ的取值范围是7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。

湛江二中港城中学2020-2021学年度高二级第一学期期中考试数学试题1．【答案】A 2．【答案】B3．【答案】A 【解析】因为直线()10,0x y a b a b +=>>过点()1,2，所以121a b+=，所以1242(2)()448b a a b a b a b a b+=++=++≥+=，当且仅当4b aa b =，即2,4a b ==时等号成立.故选：A 【点睛】本题主要考查了均值不等式的灵活运用，考查了运算推理能力，属于中档题. 4．【答案】D5．【答案】D 【解析】根据茎叶图中数据知，乙成绩的极差为521042-=，所以A 错误； 甲成绩的平均数为()1112223243232334152309x =⨯++++++++=甲， 乙成绩的平均数为()121022323235424250523599x =⨯++++++++=乙， 所以甲成绩的平均数低于乙成绩的平均数，B 错误；甲成绩的众数是32，乙成绩的众数是32和42，两人的众数不完全相等，所以C 错误； 甲成绩的中位数是32，所以D 正确.故选：D.【点睛】本题考查茎叶图、极差、平均数、众数、中位数，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．【答案】C 【解析】A ：由折线图可知二月下旬新增确诊逐渐减少；正确B ：由折线图可知：二月十八日左右治愈人数开始超过新增确诊；正确C ：由折线图可知：二月十二日左右新增确诊数最大，但是后面人数仍然在增加；错误D ：由折线图可知：二月十日至十四日新增确诊出现大范围波动．正确故选：C ．【点睛】本题考查了学生阅读折线图的能力，属于基础题． 7．【答案】B 【解析】4235492639543.5,4244x y ++++++====，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ，∴ˆa =9．1，∴线性回归方程是y=9．4x+9．1， ∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 8．【答案】D9．【答案】B 【解析】当4ab ≤时，若令4a =，1b =，则54a b +=>，所以由4ab ≤得不到4a b +≤；当4a b +≤时，因为0,0a b >>，所以4a b +≥≥4ab ≤， 所以“4ab ≤”是“4a b +≤”的必要不充分条件 故选：B ．【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，考查了基本不等式，属于基础题.10．【答案】D11．【答案】B 【解析】从八卦中任取两卦基本事件的总数2828n C ==种，这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种，分别是（巽，坤），（兑，坤），（离，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮），所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是632814p ==.故选：B 【点睛】本题以数学文化为问题背景，考查古典概型，考查阅读理解能力. 12．【答案】D 【解析】函数是定义在R 上的奇函数，在R 上单调递增()()22(2)404(2)f x f x f x f x -+-<⇒-<-242x x ∴-<-，解得：32x -<< 故选：D【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，函数的奇偶性的应用，关键是利用函数的单调性来解抽象不等式.13．【答案】91014．【答案】85【解析】剩余数据为：84,84,84,86,87，故8484848687855x ++++==，故方差为：()()()()()2222284858485848586858785855-+-+-+-+-=.故答案为：85.【点睛】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力. 15．【答案】12 【解析】1为2230x x a -+=的根，所以1a =，从而2112310122x x x m -+<⇒<<⇒=故答案为12【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题． 16．【答案】[6，＋∞)【解析】因为a >0，b >0，1a ＋9b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )·19a b ⎛⎫⎪⎝⎭＋＝10＋b a ＋9a b ≥10＋16， 由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立． 又x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查不等式恒成立问题的解决策略——分离常数法.属于中档题.17．【答案】（1）29n a n =-（2）(8)n S n n =- 【解析】（1）依题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为32315S a ==-，所以25a =-，又17a =-，所以公差2d =， 所以1(1)n a a n d =+-=72(1)29n n -+-=-． （2）由（1）知17a =-，2d =，所以1(1)2n n n S na d -=+=(1)72(8)2n n n n n --+⨯=-【点睛】本题主要考查等差数列，熟记等差数列的通项公式与前n 项和公式即可，属于基础题型.18．【答案】（1）3A π=；（2）ABC S =△【解析】（1）由正弦定理，sin sin cos A C C A =，()0,A π∈∴sin 0A ≠，∴sin A A =，∴tan A =，()0,A π∈，∴3A π=（2）由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，得2230b b --=解得3b =，∴1sin 22ABCS bc A ==【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题. 19．【解析】随机取出2个球的可能的结果有：(a,b)、(a,c)、(a,A)、(a,B)、(b,c)、(b,A)、(b,B)、(c,A)、(c,B)、(A,B)；共10种（1）取出的2个球一个是红球一个是黑球的结果有(a,A)、(a,B)、(b,A)、(b,B)、(c,A)、(c,B)， 则取出的2个球一个是红球一个是黑球的概率是P=3/5 （2）取出的2个球都是红球的结果有(a,b)、(a,c)、(b,c)， 则取出的2个球都是红球的概率310P =. 【点睛】本题考查古典概型中基本事件的探求方法枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的，考查古典概型的概率公式，是基础题.20．【答案】（1）0.030m =（2）平均数为71，中位数为73.33（3）35【解析】（1）由()100.0100.0150.0150.0250.051m ⨯+++++=，得0.030m =. （2）众数=75平均数为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 设中位数为n ，则()0.10.150.15700.030.5n +++-⨯=，得22073.333n =≈. 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33. （3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个， 由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品、二等品各有3个、2个.记这3个一等品为a ，b ，c ，2个二等品为d ，e ，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种，其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：(),a d ，(),a e ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e .共6种. 故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为63105P ==.【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质及由频率分布直方图求平均数与中位数的方法，列举法求古典概型概率，属于基础题.21．【答案】（1）301，169，105，071，286；（2） 4.7551.36y x =+；（3）10836元. 【解析】（1）由随机数表可得，最先检测的5件服装的编号为：301，169，105，071，286； （2）由题意345678967x ++++++==， 6669738189909155977y ++++++==，所以717222155973487767 4.75280767i ii i i x y x yb x x==--⨯⨯===-⨯-∑∑， 5596 4.7551.367a y bx -⨯≈=-=， 所以该专卖店每天的纯利y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程为 4.7551.36y x =+； （3）当12x =时， 4.751251.36108.36y =⨯+=（百元）， 故可估计每天销售1200件这种服装时获纯利润10836元.【点睛】本题考查了随机数表的应用及线性回归方程的求解与应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 22．【答案】（1）见解析；（2）(),3-∞. 【解析】（1）()0f x <，()210x m x m ∴-++<，()()10x m x ∴--<.当1m <时，不等式()0f x <的解集为(),1m ；当1m =时，原不等式为()210x -<，该不等式的解集为∅； 当1m 时，不等式()0f x <的解集为()1,m ；（2）由题意，当[]1,2x ∈时，()2140x m x -++>恒成立，即[]1,2x ∈时，41m x x<+-恒成立. 由基本不等式得4113x x +-≥=，当且仅当[]21,2x =∈时，等号成立， 所以，3m <，因此，实数m 的取值范围是(),3-∞.【点睛】本题考查含参二次不等式的解法，同时也考查了利用二次不等式恒成立求参数的取值范围，在含单参数的二次不等式恒成立问题时，可充分利用参变量分离法，转化为函数的最值来求解，可避免分类讨论，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.。