2018-2019学年湖南省衡阳县高二上学期期末考试数学(理)试题扫描版含答案

①试与 1 中的回归模型相比，用 R2 说明哪种模型的拟合效果更好.
②用拟合效果好的模型预测温度为 35℃时该用哪种药用昆虫的产卵数（结果取整数）
附：一组数据 (x1, y1), (x2 , y2 )(xn, yn) 其回归直线 yˆ bˆx aˆ 的斜率和截距的最小二乘估计为
n
(xi x )( yi y)
则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为（
A. 24
B. 32
）
C. 48
D. 64π
11.已知 F1 ， F2 是双曲线的左、右焦点，点 F1 关于渐近线的对称点恰好落在以 F2 为圆心， OF2 为半径的
圆上，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2
B. 3
C. 2
D. 3
12.已知函数 f x ex ax 1 ax a a 0 ，若有且仅有两个整数 xi i 1, 2 ，使得 f xi 0 ，则 a
(1)求证: BE 平面 PAD ；
(2)求平面 PAB 与平面 PBC 所成的锐二面角的余弦值.
19.已知
A，B 为椭圆
x2 a2
y2 b2
1上的两个动点，满足 AOB
90 ．
（1）求证：原点 O 到直线 AB 的距离为定值；
（2）求
1 OA
1 OB
的最大值；
（3）求过点 O，且分别以 OA，OB 为直径的两圆的另一个交点 P 的轨迹方程． 20.一只药用昆虫的产卵数 y 与一定范围内的温度 x 有关，现收集了该种药用昆虫的 6 组观测数据如下表：
三．解答题（共 6 小题，共 70 分）
17.设等差数列an 的公差为 d、前 n 项和为 Sn ，已知 a5 9 ， S7 49 ． （1）求数列an 的通项公式： （2）令 bn an 2n ，求数列bn 的前 n 项和．

2018年衡阳市一中下学期高二第一次月考理科数学试题命题人： 审题：一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的.）1．已知命题()()0)()(,,:121221≥--∈∀x x x f x f R x x p ，则p ⌝是（ D ） A ． ()()0)()(,,121221<--∉∀x x x f x f R x x B ． ()()0)()(,,121221<--∉∃x x x f x f R x x C ． ()()0)()(,,121221<--∈∀x x x f x f R x x D ． ()()0)()(,,121221<--∈∃x x x f x f R x x2．直线022=-+y x 与椭圆1422=+y x 的位置关系为 （ C ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定3．已知21,F F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，若1222=+B F A F ，则=AB （ B ） A ．5 B ．8C ．15 D ．204．已知命题()x x x p >+∞∈∀2,,0:，命题0210log 21,:0x R x q x =⎪⎭⎫⎝⎛∈∃，则下列命题中的真命题为（ C ）A ．q ⌝B ．q p ∧C ．()q p ∧⌝D ．()q p ⌝∨5．不等式03522≥--x x 成立的一个必要不充分条件是（C ）A ．2≥xB ．21-≤xC ．20><x x 或D ．321≥-≤x x 或6．若椭圆1222=+my x 的离心率为21，则实数=m ( A )A ．3823或B ．8323或C ．23D ．837．P 是椭圆15922=+x y 上的动点，过点P 作椭圆长轴的垂线,垂足为点M ,则PM的中点的轨迹方程为( A )A ．154922=+x y B ．159422=+x y C ．153622=+x y D ．120922=+x y 8．若点P 是椭圆14922=+y x 上的一动点，21,F F 是椭圆的两个焦点，则21cos PF F ∠最小值为(B) A ．95-B ．91-C ．91D ．959. 椭圆15622=+y x 内过点()1,2-P 的弦恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( D )A ．01335=-+y xB ．01335=++y xC ．01335=+-y xD ．01335=--y x10．在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆上的点C A ,的坐标分别为()()0,22,0,22-，若点B 在椭圆181622=+y x 上，则()=++C A CA sin sin sin ( A )A.2B.22C.35D.53 11．如图，焦点在x 轴上的椭圆)0(13222>=+a y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线P F 2与y 轴的正半轴交于A 点，1APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若41=Q F ，则该椭圆的离心率为（ A ） A ．413B ．47C ．21D ．4112．已知F 是椭圆159:22=+y x C 的左焦点，P 为C 上一点，⎪⎭⎫⎝⎛34,1A ，则PF PA +的最小值为（B ） A ．4B ．313 C ．310D ．311二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．“1>x ”是“11<x”成立的____充分不必要______条件． 14．已知点()0,31-F 和()0,32F ，动点P 满足412=-PF PF ，则点P 的轨迹方程为____)0(15422<=-x y x ____________． 15．已知实数y x ,满足()()4332222=-++++y x y x ，则3-x y的最大值等于_______22_________． 16．已知函数12)(22+-=x a x x f ，xx g 3)(=，[]1,21--∈∀x ，[]1,22--∈∃x ，使)()(21x g x f =，则实数a 的取值范围为__⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,2222,1 ______． 三．解答题（本大题共6小题，共70分.应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17.（本题10分）已知双曲线过点()1,4P ，且它的两条渐近线方程为02=±y x ． 求双曲线的方程；写出它的顶点坐标，焦点坐标，并求离心率． 【解析】(1)根据题意，双曲线的两条渐近线方程为x±2y=0， 设其方程为：x 2−4y 2=λ，(λ≠0)又由双曲线过点P(4,1)，有16−4=λ，解可得λ=12，∴双曲线的标准方程为：131222=-y x ； (2)由(1)可得15312,3,32=+===c b a ，其顶点坐标为()0,32±，焦点坐标为()015，±，离心率25==a c e ．18．（本题12分）已知命题141:22=-+-m y m x p 表示双曲线，命题142:22=-+-my m x q 表示椭圆．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围及双曲线的焦距长； （2）判断命题p 为真命题是命题q 为真命题的什么条件．【解析】（1）∵命题141:22=-+-m y m x p 表示双曲线为真命题，则()()041<--m m ， ∴41<<m ，3)4()1(=---=m m c ∴双曲线的焦距长为32．（2）∵命题142:22=-+-my m x q 表示椭圆为真命题， 则⎪⎩⎪⎨⎧-≠->->-m m m m 420402，∴4332<<<<m m 或， ∵集合{}4332<<<<m m m 或是集合{}41<<m m 的真子集， ∴p 是q 的必要不充分条件19.（本题12分）已知椭圆的中心在坐标原点O ，长轴长为22，离心率22=e ，过右焦点F 的直线l 交椭圆于Q P ,两点．求椭圆的方程；当直线l 的斜率为1时，求OPQ ∆的面积．【解析】(1)由已知，椭圆方程可设为)0(12222>>=+b a by a x由题意22,222===a c e a ， 易得1,2===c b a ．∴所求椭圆方程为1222=+y x ．(2)∵直线l 过椭圆右焦点F(1,0)，且斜率为1，∴直线l 的方程为y=x−1． 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立⎩⎨⎧=+-=22122y x y x ，得01232=-+y y ， 解得31,121=-=y y ． ∴322121=-⋅=∆y y OF S ABC20．（本题12分）已知集合A 是函数()2820lg x x y -+=的定义域，集合B 是不等式)0(01222>≥-+-a a x x 的解集， B x q A x p ∈∈:,:. （1）若∅=B A ，求a 的取值范围；（2）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围. 【解析】（1）{}102<<-=x x A ， {}a x a x x B -≤+≥=11或．∅=B A ，则⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-≥+021101a a a ，解得9≥a ,所以a 的取值范围是9≥a ． （2）由（1）知210:-≤≥⌝x x p 或． ∵p ⌝是q 的充分不必要条件，∴{}210-≤≥x x x 或是{}a x a x x B -≤+≥=11或的真子集，即⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-<+⎪⎩⎪⎨⎧>->-≤+021*********a a a a a a 或，解得30≤<a ， ∴a 的取值范围是30≤<a ．21.（本题12分）过椭圆1222=+y x 的左焦点1F 的直线l 交椭圆于B A ,两点．求1A ⋅的范围；若OB OA ⊥，求直线l 的方程．【解析】(1)由椭圆方程有1,2===c b a ，()0,11-∴F设()00,y x A ，A 点在椭圆上，12220=+∴y x ()()00100,1,,y x y x ---=--=()21121121)21(200202002020021++=++=-++=++=⋅∴x x x x x x y x x又[]2,2-∈x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈⋅∴22,211(2)设B A ,两点的坐标为()()2211,,,y x B y x A当l 垂直于x 轴时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,1,22,1B A ,此时021≠=⋅，不符题意 即直线l 斜率必存在，设为k ，则直线l 方程为()1+=x k y联立()()022421221222222=-+++⎩⎨⎧=++=k x k x k y x x k y 得 222122212122,214kk x x k k x x +-=+-=+∴ 0,=⋅∴⊥OB OA()021421221)()1()1()1(2222222221221*********=++⋅-+-⋅+=++++=+⋅++=+k kk k k k k k x x k x x k x k x k x x y y x x解得2,22±=∴=k k故所求的直线方程为()12+±=x y22．（本题12分）椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23=e ，且椭圆与直线01=-+y x 相于Q P ,两点，且528=PQ . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 经过椭圆C 的左焦点与椭圆C 相交于N M ,两点，A 为椭圆C 的右顶点，求AMN ∆面积的最大值. 【解析】（1）由23==a c e ，得ab ac 21,23==∴椭圆方程可化为2224a y x =+联立⎩⎨⎧=++-=22241ay x x y 得048522=-+-a x x 设()()2211,,,y x Q y x P ，则54,5822121a x x x x -==+由()5285445824122212212=-⋅-⎪⎭⎫⎝⎛⋅=-+⋅+=a x x x x k PQ解得42=a ，∴所求椭圆方程为1422=+y x（2）由题意设直线l 方程为：3-=ty x ，()()4433,,,y x N y x M联立⎩⎨⎧=+-=44322y x ty x 得()0132422=--+ty y t41,432243243+-=+=+∴t y y t t y y ()()619113224)1(4432232212222243++++⋅+=+-⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+=-⋅=∆t tt t t y y AF S AMN当且仅当2,22±==t t 即时AMN ∆面积最大为3323+。

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