南阳市第一中学2018届高三上学期第二次考试数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集为实数集R ，集合}0)12(log |{21>-=x x A ，则=A C R （ ）A ．1(,)2+∞B ．),1(+∞C ．),1[]21,0[+∞YD ．),1[]21,[+∞-∞Y 2.下列函数中，既是偶函数，又在),0(+∞单调递增的函数是（ ） A ．12+-=x y B ．1-=x y C ．3x y = D ．xy -=23.命题“对任意的R x ∈，都有0123≤+-x x ”的否定是（ ）A ．不存在R x ∈，使0123≤+-x x B ．存在R x ∈，使0123≤+-x x C ．存在R x ∈，使0123>+-x x D ．对任意的R x ∈，都有0123>+-x x 4.已知：命题:p “1=a 是2,0≥+>xa x x 的充分必要条件”；命题:q “02,0200>-+∈∃x x R x ”，则下列命题正确的是（ ）A ．命题“q p ∧”是真命题B ．命题“q p ∧⌝)(”是真命题 C. 命题“)(q p ⌝∧”是真命题 D ．命题“)()(q p ⌝∧⌝”是真命题 5.已知325:>-x p ；0541:2≥-+x x q 则p 是q 的（ ）条件A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.函数|1|ln xy =与12+--=x y 在同一平面直角坐标系内的大致图象为（ ）7.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=)0()2()0(1)(2x e a x ax x f x为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]3,2(B ．),2(+∞ C.)3,(-∞ D ．)3,2( 8.设)(x f 是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时，，则)25(-f 等于（ ） A ．21-B ．41- C.41 D ．21 9.定义在R 上的函数⎩⎨⎧>---≤-=0),2()1(0),1(log )(2x x f x f x x x f ，则)2009(f ＝（ ）A ．－1B ．1 C.0 D ．210.已知某驾驶员喝了m 升酒后，血液中酒精含量)(x f （毫克/毫升）随时间x （小时）变化的规律近似满足表达式⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤=-1),31(5310,5)(2x x x f x ，《酒后驾车与醉酒驾车及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不过02.0毫克/毫升，此驾驶员至少要过（ ）小时后才能开车（精确到1小时） A ．2 B ．3 C. 4 D ．5.11.设函数xx x f )41()(log )(4--=，xx x f )41(log )(41-=的零点分别为21,x x ，则（ ）A ．121=x xB ． 1021<≤x x C.2121<≤x x D ．221≥x x12.设函数)(x f 对意的R x ∈，都有)3()2(+=-x f x f 且当]0,2[-∈x 时，1)21()(-=xx f ，若在区间]6,2(-内关于x 的方程1(0)2(log )(>=+-a x x f a 恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 （ ）A ．)2,1(B ．),2(+∞ C.)4,1(3 D ．)2,4(3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.计算=--+-613175.031729)27174(256027.0 ．14.已知0,0>>y x ，且112=+yx ，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围是 ．15.已知0>a ，且1≠a ，函数2)32(log +-=x y a 的图象恒过点P ，若P 在幂函数))8(f ＝ ．16.已知x x f 2sin )cos 1(=-，则)(2x f 的解析式为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 若集合},02|),{(2R x y mx x y x A ∈=+-+=，}20,01|),{(≤≤=+-=x y x y x B ，当∅≠B A I 时，求实数m 的取值范围. 18. 已知全集R U =，非空集合},02|{},032|{2<---=<+--=ax a x x A a a x x x A （1）当21=a 时，求A B C R I )(； （2）命题A x p ∈:，命题B x p ∈:，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.19. 围建一个面积为3602m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图19所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙长度为x （单位：m ）修建此矩形场地的总费用为y （单位：元） （1）将y 表示为x 的函数；（2）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.20. 函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠,且满足对于任意12,x x D ∈,有1212()()()()f x f x f x f x =+（1）求(1)f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；（3）若(4)1,(31)(26)3f f x f x =++-≤，且()f x 在(0,)+∞上是增函数，求x 的取值范围. 21. 已知函数()1f x x =-（1）解不等式：1()(1)2f x f x ≤++≤； （2）若0a >，求证：()()()f ax af x f a -≤. 22.已知函数()f x 满足12(log )()1a a f x x x a -=--，其中0a >且1a ≠. （1）对于函数()f x ，当(1,1)x ∈-时，2(1)(1)0f m f m -++<，求实数m 的集合； （2）(,2)x ∈-∞时，()4f x -的值恒为负数，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DCCBB 6-10: CAABC 11、12：BD二、填空题13.60.7 14.(4,2)- 15. 2216.242()2,[2,2]f x x x x =-+∈三、解答题17.问题等价于方程组221y x mx y x ⎧=++⎨=+⎩在[0,2]上有解，即220x mx ++=在[0,2]上有解，令2()(1)1f x x m x =+-+，则由(0)1f =知()y f x =过点（0，1） ∴()y f x =在[0,2]上与x 轴有交点等价于2(2)22(1)10f m =+-+≤ ① 或22(1)401022(2)22(1)10m mf m ⎧∆=--≥⎪-⎪<<⎨⎪⎪=+-+>⎩ ② 由①得32m ≤-，由②得312m -≤≤-，∴实数m 的取值范围为(,1)-∞-18.（1）1(,2)2A =，19(,)24B =，()uC B A =∅I （2）222,{|2}a a B x a x a +>∴=<<+Q ∵p 是q 的充分条件，∴A B ⊆①当312a -=，即1a =时，A =∅，不符合非空集合A 题意； ②当312a ->，即1a >时，{|231}A x x a =<<-要使A B ⊆需要212312a a a a ⎧>⎪≤⎨⎪-≤+⎩∴12a <≤ ③当312a -<，即1a <时，{|312}A x a x =-<<要使A B ⊆需要213122a a a a ⎧<⎪≤-⎨⎪≤+⎩∴112a ≤< 综上所述，实数a 的范围是1[,1)(1,2]2U .19.（1）设矩形的另一边长为am ，则45180(2)1802225360360y x x a x a =+-+⋅=+-由已知，360xa =，得360a x=，所以2360225360(0)y x x x =+->（2）0x >Q ，236022510800x x∴+≥= 236022536010440y x x =+-≥，当且仅当2360225x x=时，等号成立.即当24x m =时，修建墙的总费用最小，最小总费用是10440元. 20. 函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠,且满足对于任意12,x x D ∈,有1212()()()()f x f x f x f x =+求(1)f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；（1）因对于任意12,x x D ∈,有1212()()()()f x f x f x f x =+ 所以令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =； （2）令121x x ==-，得(1)(1)(1)f f f =-+-，∴1(1)(1)02f f -== 令121,x x x ==，得()(1)()f x f f x -=-+ ∴()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数；（3）依题设有，(44)(4)(4)2,(164)(16)(4)3f f f f f f ⨯=+=⨯=+=， 又(31)(26)3f x f x ++-≤，即(31)(26)(64)f x f x f ++-≤ 因为()f x 为偶函数，所以(31)(26)(64)f x x f +-≤ 又()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以0(31)(26)64x x <+-≤解上式，得35x <≤或7133x -≤<-或133x -≤< 所以x 的取值范围为{711|3350}333x x x x x -≤<--≤<<≤≠或或，且.21.（1）()(1)121(2)1f x f x x x x x ++=-+-≥---=. 因此只须解不等式122x x -+-≤当1x ≤时，原不等式等价于232x -+≤，即112x ≤≤； 当12x <≤时，原不等式等价于12≤，即12x <≤； 当2x >时，原不等式等价于232x -≤，即522x <≤； 综上，原不等式的解集为15{|}22x x ≤≤ （2）由题()()11f ax af x ax a x -=--- 当0a >时，()()1f ax af x ax ax a -=--- 1ax a ax =---11()ax a ax a f a ≤-+-=-=.22.令log ()a x t t R =∈，则tx a =，∴2()()1t t af t a a a -=-- ∴2()()1x xa f x a a a -=--，∵2()()()1x x a f x a a f x a --=-=-- ∴()f x 是R 上的奇函数当1a >时，201aa >-，x a 是增函数，x a --是增函数，∴()f x 是R 上的增函数； 当01a <<时，201aa <-，x a 是减函数，x a --是减函数，∴()f x 是R 上的增函数；综上所述，0a >且1a ≠时，()f x 是R 上的增函数. 已知函数()f x 满足12(log )()1a a f x x x a -=--，其中0a >且1a ≠. （1）由2(1)(1)0f m f m -++<，有22(1)(1)(1)f m f m f m -<--=-2211111111m m m m ⎧-<-⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩解得m ∈ （2）()f x 是R 上的增函数，∴()4f x -是R 上的增函数，由2x <，得()(2)f x f < ∴()4(2)4f x f -<-，要使()4f x -的值恒为负数，只需(2)40f -≤ 即222()401a a a a ---≤-，解得22a -≤≤+U. ∴a的取值范围是[2(1,2+。
2018-2018学年河南省南阳一中高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则∁U（M∪N）等于（）A．{1，3，5}B．{1，5}C．{l，6}D．{2，4，6}2．集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义P*Q={（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为（）A．7 B．12 C．32 D．643．已知命题p：函数y=2﹣a x+1的图象恒过定点（1，2）；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q4．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，若a=f（20.3），，c=f（log25），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b5．函数f（x）=为R的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[﹣1，0）C．（﹣2，0）D．（﹣∞，﹣2）6．下列说法正确的是（）A．命题p：“”，则¬p是真命题B．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”C．“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件D．“a＞1”是“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件7．已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）图象的一条对称轴为x=，则要得到函数F（x）=f′（x）﹣f（x+）的图象，只需把函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍B．向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍D．向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍8．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．9．已知函数f（2x）的定义域为[0，1]，则f（log2x）的定义域为（）A．[0，1]B．[1，2]C．[2，4]D．[﹣1，0]10．已知f（x）是定义在R上且以3为周期的奇函数，当时，f（x）=ln（x2﹣x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（）A．3 B．5 C．7 D．911．已知函数f（x）=，且对于任意实数a∈（0，1）关于x的方程f（x）﹣a=0都有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是（）A．（2，4]B．（﹣∞，0]∪[4，+∞）C．[4，+∞）D．（2，+∞）12．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）二、填空题（每小题5分，共20分.）13．已知直线x=是函数f（x）=asinx﹣bcosx（ab≠0）图象的一条对称轴，则直线ax+by+c=0的倾斜角为．14．函数f（x）=lg（2cosx﹣1）+的定义域是．15．已知f（x）=log（x2﹣ax+3a）在区间[2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是．16．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f′′（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣，请你根据这一发现，计算f（）+f（）+f（）+…+f（）=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．化简计算下列各式的值（1）+；（2）．18．已知集合A={x |≤2x ≤128}，B={y |y=log 2x ，x ∈[，32]．（1）若C={x |m +1≤x ≤2m ﹣1}，C ⊆（A ∩B ），求实数m 的取值范围． （2）若D={x |x ＞6m +1}，且（A ∪B ）∩D=∅，求实数m 的取值范围．19．命题p ：“关于x 的方程x 2+ax +1=0有解”，命题q ：“∀x ∈R ，e 2x ﹣2ex +a ≥0恒成立”，若“p ∧q ”为真，求实数a 的取值范围．20．函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求f （x ）的解析式；（2）设g （x ）=[f （x ﹣）]2，求函数g （x ）在x ∈[﹣，]上的最大值，并确定此时x 的值．21．已知函数f （x ）=lnx +x 2﹣2ax +a 2，a ∈R ．（1）若a=0，求函数f （x ）在[1，e ]上的最小值；（2）根据a 的不同取值，讨论函数f （x ）的极值点情况．22．已知函数f （x ）=ln （1+x ）﹣（a ＞0）．（1）若函数在x=1处的切线与x 轴平行，求a 的值；（2）若f （x ）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围；（3）证明：（）2018＜（e 是自然对数的底数）．2018-2018学年河南省南阳一中高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则∁U（M∪N）等于（）A．{1，3，5}B．{1，5}C．{l，6}D．{2，4，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意和并集的运算求出M∪N，再由补集的运算求出∁U（M∪N）【解答】解：因为M={2，3，4}，N={4，5}，所以M∪N={2，3，4，5}，又全集U={1，2，3，4，5，6}，所以∁U（M∪N）={l，6}，故选：C．2．集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义P*Q={（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为（）A．7 B．12 C．32 D．64【考点】子集与交集、并集运算的转换．【分析】先求出集合P*Q中的元素有6个，由此可得P*Q的子集个数为26个，从而得出结论．【解答】解：集合P*Q中的元素为（3，6），（3，7），（4，6），（4，7），（5，6），（5，7）共6个，故P*Q的子集个数为26=64，故选D．3．已知命题p：函数y=2﹣a x+1的图象恒过定点（1，2）；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q【考点】复合命题的真假．【分析】由函数的翻折和平移，得到命题p假，则￢p真；由函数的奇偶性，对轴称和平移得到命题q假，则命题￢q真，由此能求出结果．【解答】解：函数y=2﹣a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），所以函数y=2﹣a x+1恒过（﹣1，1）点，所以命题p假，则￢p 真．函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f（x﹣1）向左平移了1各单位，所以f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，所以命题q假，则命题￢q真．综上可知，命题p∧￢q为真命题．故选：D．4．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，若a=f（20.3），，c=f（log25），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b【考点】对数值大小的比较．【分析】由题意可知f（x）在[0，+∞）为增函数，根据函数的单调性即可判断．【解答】解：函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，∴f（x）在[0，+∞）为增函数，∵=f（﹣2）=f（2），1＜20.3＜2＜log25，∴c＞b＞a，故选：B．5．函数f（x）=为R的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[﹣1，0）C．（﹣2，0）D．（﹣∞，﹣2）【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】先求f′（x），讨论a的取值从而判断函数f（x）在每段上的单调性，当在每段上都单调递增时求得a＞0，这时需要求函数ax2+1在x=0时的取值大于等于（a+2）e ax在x=0时的取值，这样又会求得一个a的取值，和a＞0求交集即可；当在每段上都单调递减时，求得﹣2＜a＜0，这时需要求函数ax2+1在x=0处的取值小于等于（a+2）e ax在x=0处的取值，这样又会求得一个a的取值，和﹣2＜a＜0求交集即可；最后对以上两种情况下的a求并集即可．【解答】解：f′（x）=；∴（1）若a＞0，x≥0时，f′（x）≥0，即函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且ax2+1≥1；要使f（x）在R上为单调函数，则x＜0时，a（a+2）＞0，∵a＞0，∴解得a＞0，并且（a+2）e ax＜a+2，∴a+2≤1，解得a≤﹣1，不符合a＞0，∴这种情况不存在；（2）若a＜0，x≥0时，f′（x）≤0，即函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且ax2+1≤1；要使f（x）在R上为单调函数，则x＜0时，a（a+2）＜0，解得﹣2＜a＜0，并且（a+2）e ax ＞a+2，∴a+2≥1，解得a≥﹣1，∴﹣1≤a＜0；综上得a的取值范围为[﹣1，0）．故选：B．6．下列说法正确的是（）A．命题p：“”，则¬p是真命题B．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”C．“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件D．“a＞1”是“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A．利用含有量词的命题的否定去判断．B．利用含有量词的命题的否定去判断．C．利用充分条件和必要条件的定义判断．D．利用对数函数单调性的性质判断．【解答】解：A．∵sinx+cosx=，∴sinx+cosx成立，即p为真命题，则￢p为假命题，∴A错误．B．根据特称命题的否定是特称命题可知：命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x ∈R，x2+2x+3≥0”，∴B错误．C．∵△=4﹣4×3=﹣8＜0，∴x2+2x+3=0方程无解，∴C错误．D．根据对数函数的性质可知，若a＞1时，f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数，成立．若f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数，则a＞1．∴“a＞1”是“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件，∴D正确．故选D．7．已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）图象的一条对称轴为x=，则要得到函数F（x）=f′（x）﹣f（x+）的图象，只需把函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍B．向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍D．向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意根据正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由于函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）图象的一条对称轴为x=，可得2×+φ=kπ+，k∈Z，求得φ=kπ+，k∈Z．再结合0＜φ＜，可得φ=，f（x）=sin（2x+），∴f′（x）=2cos（2x+），∴F（x）=f′（x）﹣f（x+）=2cos（2x+）﹣sin（2x+）=2cos2xcos﹣2sin2xsin﹣cos2x=﹣sin2x．故把函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得y=sin[2（x+）+]=﹣sin2x的图象；再把所得图象的纵坐标伸长为原来的倍，可得F（x）=﹣sin2x的图象，故选：C．8．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．【解答】解：由于f（x）=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，故选：A．9．已知函数f（2x）的定义域为[0，1]，则f（log2x）的定义域为（）A．[0，1]B．[1，2]C．[2，4]D．[﹣1，0]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由f（2x）的定义域为[0，1]，能够导出1≤2x≤2，从而得到在f（log2x）中，1≤log2x≤2，由此能求出f（log2x）的定义域．【解答】解：∵f（2x）的定义域为[0，1]，∴0≤x≤1，1≤2x≤2，∴在f（log2x）中，令1≤log2x≤2，解得2≤x≤4，故选C．10．已知f（x）是定义在R上且以3为周期的奇函数，当时，f（x）=ln（x2﹣x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（）A．3 B．5 C．7 D．9【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由f（x）=ln（x2﹣x+1）=0，先求出当时的零点个数，然后利用周期性和奇偶性判断f（x）在区间[0，6]上的零点个数即可．【解答】解：因为函数为奇函数，所以在[0，6]上必有f（0）=0．当时，由f（x）=ln（x2﹣x+1）=0得x2﹣x+1=1，即x2﹣x=0．解得x=1．因为函数是周期为3的奇函数，所以f（0）=f（3）=f（6）=0，此时有3个零点0，3，6．f（1）=f（4）=f（﹣1）=f（2）=f（5）=0，此时有1，2，4，5四个零点．当x=时，f（）=f（）=f（）=﹣f（），所以f（）=0，即f（）=f（）=f（）=0，此时有两个零点，．所以共有9个零点．故选D．11．已知函数f（x）=，且对于任意实数a∈（0，1）关于x的方程f（x）﹣a=0都有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是（）A．（2，4]B．（﹣∞，0]∪[4，+∞）C．[4，+∞）D．（2，+∞）【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象；根的存在性及根的个数判断．【分析】利用分段函数，分析出m的范围，然后利用数形结合求解选项即可．【解答】解：函数f（x）=，可知x≤1时，函数是圆的上半部分，函数的最大值为1，x＞1时，f（x）=﹣x2+2mx﹣2m+1，的对称轴为x=m，开口向下，对于任意实数a∈（0，1）关于x的方程f（x）﹣a=0都有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x＞1时，函数的最大值中的最小值为1，此时m≥2，在平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）与y=a的图象如图：x1+x2=0，x3+x4≥2m≥4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是[4，+∞）．故选：C．12．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，令g（x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点，画出图形，数形结合，根据g（2）＞f（2），求得a的取值范围．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），可得f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．作出函数的图象，如图所示，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），即log a（2+1）＞f（2）=﹣2，∴log a3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜．又a＞0，∴0＜a＜，故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分.）13．已知直线x=是函数f（x）=asinx﹣bcosx（ab≠0）图象的一条对称轴，则直线ax+by+c=0的倾斜角为．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】先根据函数的对称轴推断出f（0）=f（），求得a和b的关系，进而求得直线的斜率，则直线的倾斜角可求得．【解答】解：由条件知f（0）=f（），∴﹣b=a，∴=﹣1，∴k=﹣=1，故倾斜角为．故答案为：．14．函数f（x）=lg（2cosx﹣1）+的定义域是{x|﹣7≤x＜﹣或＜x＜或＜x≤7} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即，解得﹣7≤x＜﹣或＜x＜或＜x≤7，故函数的定义域为{x|﹣7≤x＜﹣或＜x＜或＜x≤7}，故答案为：{x|﹣7≤x＜﹣或＜x＜或＜x≤7}．15．已知f（x）=log（x2﹣ax+3a）在区间[2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是﹣4＜a≤4．【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=x 2﹣ax +3a ，则由题意可得函数t 在区间[2，+∞）上为增函数且t （2）＞0，故有，由此解得实数a 的取值范围．【解答】解：令t=x 2﹣ax +3a ，则由函数f （x ）=g （t ）=log t 在区间[2，+∞）上为减函数，可得函数t 在区间[2，+∞）上为增函数且t （2）＞0，故有，解得﹣4＜a ≤4，故答案为：﹣4＜a ≤4．16．对于三次函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d （a ≠0），给出定义：设f ′（x ）是函数y=f （x ）的导数，f ′′（x ）是f ′（x ）的导数，若方程f ′′（x ）有实数解x 0，则称点（x 0，f （x 0））为函数y=f （x ）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f （x ）=x 3﹣x 2+3x ﹣，请你根据这一发现，计算f （）+f （）+f （）+…+f （）= 2018 ．【考点】类比推理．【分析】由题意可推出（，1）为f （x ）的对称中心，从而可得f （）+f （）=2f （）=2，从而求f （）+f （）+f （）+…+f （）=2018的值．【解答】解：f ′（x ）=x 2﹣x +3，由f ′′（x ）=2x ﹣1=0得x 0=， f （x 0）=1，则（，1）为f （x ）的对称中心，由于，则f （）+f （）=2f （）=2，则f （）+f （）+f （）+…+f （）=2018．故答案为：2018．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．化简计算下列各式的值（1）+；（2）．【考点】三角函数的化简求值；对数的运算性质．【分析】（1）利用诱导公式化简函数的表达式即可．（2）利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（1）+==﹣sinα+sinα=0；（2）==1．18．已知集合A={x|≤2x≤128}，B={y|y=log2x，x∈[，32]．（1）若C={x|m+1≤x≤2m﹣1}，C⊆（A∩B），求实数m的取值范围．（2）若D={x|x＞6m+1}，且（A∪B）∩D=∅，求实数m的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．【分析】先化简集合A，B，（1）根据集合的交集的运算和C⊆（A∩B），分类讨论，求出m的范围，（2）根据集合的并集和（A∪B）∩D=∅，求出m的范围．【解答】解：A={x|﹣2≤x≤7}，B={y|﹣3≤y≤5}（1）A∩B={x|﹣2≤x≤5}，①若C=φ，则m+1＞2m﹣1，∴m＜2；②若C≠φ，则，∴2≤m≤3；综上：m≤3；（2）A∪B={x|﹣3≤x≤7}，∴6m+1≥7，∴m≥1．19．命题p：“关于x的方程x2+ax+1=0有解”，命题q：“∀x∈R，e2x﹣2ex+a≥0恒成立”，若“p∧q”为真，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】若p为真，可得△≥0，解得a范围．若q为真，令h（x）=e2x﹣2ex+a，利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出，a的取值范围．由“p∧q”为真，可得p为真且q为真．【解答】解：若p为真，则△=a2﹣4≥0，故a≤﹣2或a≥2．若q为真，则令h（x）=e2x﹣2ex+a，则h′（x）=2e2x﹣2e=2e（e2x﹣1﹣1），令h′（x）＜0，则，∴h（x）在上单调递减；令h′（x）＞0，则x，∴h（x）在上单调递增．∴当时，h（x）有最小值，．∵∀x∈R，h（x）≥0恒成立，∴a≥0．∵“p∧q”为真，∴p为真且q为真．∴，解得a≥0．从而所求实数a的取值范围为[0，+∞）．20．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=[f（x﹣）]2，求函数g（x）在x∈[﹣，]上的最大值，并确定此时x的值．【考点】正弦函数的图象．【分析】（1）结合具体的图象进行确定其解析式；（2）首先，结合（1）对所给函数进行化简，然后，结合三角函数的单调性求解．【解答】解：（1）结合图象，得A=2，T=，∴T=，∴=，∴ω=，∴y=2sin（x+φ），将点（﹣，0）代入，得2sin（﹣+φ）=0，∴φ=，∴f（x）=2sin（x+），（2）结合（1）f（x）=2sin（x+），∴g（x）=[f（x﹣）]2，={2sin[（x﹣）+]}2，=4sin2（x+）=4× [1﹣cos（3x+）]=2﹣2cos（3x+），∴g（x）=2﹣2cos（3x+），∵x∈[﹣，]，∴3x∈[﹣，π]，∴3x+∈[﹣，]，∴cos（3x+）∈[﹣1，1]，∴cos（3x+）=﹣1时，函数取得最大值，此时，x=，最大值为4．21．已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+a2，a∈R．（1）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（2）根据a的不同取值，讨论函数f（x）的极值点情况．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，判断函数的单调性求出f（x）的最小值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调性，从而判断函数的极值问题．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=lnx+x2，其定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x＞0，所以f（x）在[1，e]上是增函数，当x=1时，f（x）min=f（1）=1；故函数f（x）在[1，e]上的最小值是1．（2）f′（x）=，g（x）=2x2﹣2ax=1，（ⅰ）当a≤0时，在（0，+∞）上g（x）＞0恒成立，此时f′（x）＞0，函数f（x）无极值点；（ⅱ）当a＞0时，若△=4a2﹣8≤0，即0＜a≤时，在（0，+∞）上g（x）≥0恒成立，此时f′（x）≥0，函数f（x）无极值点；若△=4a2﹣8＞0，即a＞时，易知当＜x＜时，g（x）＜0，此时f′（x）＜0；当0＜x＜或x＞时，g（x）＞0，此时f′（x）＞0，所以当a＞时，x=是函数f（x）的极大值点，x=是函数f（x）的极小值点，综上，当a≤时，函数f（x）无极值点；a＞时，x=是函数f（x）的极大值点，x=是函数f（x）的极小值点．22．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣（a＞0）．（1）若函数在x=1处的切线与x轴平行，求a的值；（2）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：（）2018＜（e是自然对数的底数）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1）=0，解得a的值即可；（2）通过讨论a的范围，求出f（x）的单调性，从而求出f（x）的最小值，结合题意确定a的范围即可；（3）问题转化为证明，即证，由（2）知a=1时，f（x）=ln（1+x）﹣在[0，+∞）单调递增，从而证出结论即可．【解答】解：（1）∵f（x）=ln（1+x）﹣，（a＞0），∴f′（x）=，f′（1）=0，即a=2；（2）∵f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）min≥0，当0＜a≤1时，f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，即f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）min=f（0）=0成立，即0＜a≤1，当a＞1时，令f′（x）≥0，则x＞a﹣1，令f′（x）＜0，则0≤x＜a﹣1，即f（x）在[0，a﹣1）上为减函数，在（a﹣1，+∞）上为增函数，∴f（x）min=f（a﹣1）≥0，又f（0）=0＞f（a﹣1），则矛盾．综上，a的取值范围为（0，1]．（3）要证，只需证两边取自然对数得，，即证，即证，即证，由（2）知a=1时，f（x）=ln（1+x）﹣在[0，+∞）单调递增．又，f（0）=0，所以，所以成立．2018年11月29日。
