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发生在小河边的故事［原创］浅谈有关扩大缩小的几个概念的含义
论“扩大缩小”与“增加减少”的本质区别［原创］教学思想 2007-05-28 19:42:54 阅读645 评论2 字号：大中小订阅
论“扩大缩小”与“增加减少”的本质区别
飘浮的云
“扩大（缩小）几倍就用几乘（除）”被人提出异议，从而导致“扩大（缩小）几倍”的说法从教材中消失，同时也给教学带来了种种不便，还给相关的种种表述带来冲击。在有异议的人中，有人将“扩大”视为“增加”，“缩小”视为“减少”，认为“扩大（缩小）几倍用几乘（除）”是错误的。也有人从一个错误的角度去理解，认为“缩小几倍”是不合语法和逻辑的。
其实，扩大与增加，缩小与减少是有本质区别的。只要正确地领悟了扩大与缩小的数学本质，我们就能正确地解读“扩大（缩小）几倍就用几乘（除）”，同时也能真正体会到这一定义的科学性和合理性，还能够让对这一说法有异议者发现自己的错误。
一、从运算的角度看，扩大缩小对应于乘除法，增加减少对应于加减法。
加减法是用于计算按“值”来变大变小的变化，人们在表达这类变化时使用的基本词汇是“增加”和“减少”。
【例1】一个数加上5，我们会说这是增加5；一个数减去5，我们会说这是减少5

；增加与减少是互为相反的变化。
【例2】将一个数增加5，可以加上正5，也可以减去负5；将一个数减少5，可以减去正5，也可以加上负5。正负5的作用正好相反。
人们用“增加（减少）5”来表达数学中“加上（减去）5”这种按“值”来变大变小的变化。同样，人们也要表达“乘以（除以）5”这种按“率”来变大变小的变化。事实上，人们早就选择了“扩大（缩小）5倍”来表达“乘以（除以）5”的变化。
【例3】一个数乘5，是将这个数扩大5倍；一个数除以5，则是将这个数缩小5倍；扩大与缩小是互为相反的变化。
【例4】将一个数扩大5倍，可以乘5，也可以除以1/5；将一个数缩小5倍，可以除以5，也可乘1/5。此时，1/5与5的作用相反。
对比后，我们将发现：倒数对于乘除法相当于相反数对于加减法；扩大缩小对于乘除法相当于增加减少对于加减法。
二、从图片的放大与缩小中，我们可以看到扩大缩小与增加减少是完全不同的，还可以看出“扩大几倍就用几乘、缩小几倍就用几除”是合理的。
【例5】在一幅图片中，每一个点都有一个坐标(x,y)（x,y的值以下统称坐标值）。当把图片放大（扩大）时，各点的坐标值乘以一个大于１的数；把图片缩小是则乘一个小于１且大于０的数（或除以一个大于1的数）。
把原图中各点的坐标值都乘几再用原来的颜色画出来，这正好符合人们的习惯说法——把图放大几倍；而把原图中各点的坐标值都除以几再用原来的颜色画出来，也一样符合人们的习惯说法——把一幅图缩小几倍。
【例6】如果将一幅图中各点的坐标值都增加或减少一个定值再用原色画出来，结果是图的大小没有变化，只是位置发生了变化。
【例5】【例6】揭示了“扩大缩小”与“增加减少”的本质不同：“扩大缩小”与“增加减少”的不同，正如“乘除法”与“加减法”的不同。
【例5】还说明了“扩大几倍就用几乘、缩小几倍就用几除”的合理性。
三、从语法和逻辑上看，“扩大（缩小）几倍”是正确的，正如“增加（减少）几”一样。
也有人认为“缩小几倍”有语法或逻辑上的错误。其实，只要正确地解读“扩大（缩小）几倍”，我们将发现，语法和逻辑都不存在问题。
以5倍为例。“扩大5倍”，就是“一种由小变大的变化（扩大），（所述变化前后的）两个数存在一个率为5的关系（5倍）”，因此，这种变化就是将原数乘以5得到变化后的数。同理可知，“缩小5倍”就是将原来的数除以5得到变化后的数。因此，“扩大几倍”“缩小几倍”并没有什么语法或逻辑

上的错误。
如果用上述方法去分析理解“增加（减少）5”，结果相似。比如，“增加5”是“一种由少变多的变化（增加），（所述变化前后的）两个数存在相差5的关系（5）”，也就是“原数加上5”。
要注意的是，比较两个数有两种结果。一种是倍数，另一种是相差数。前者用除法计算，后者用减法计算。
四、从加减法与乘除法的对比看，人们在生活中由于没有正确解读“扩大（缩小）几分之一”，从而对“扩大（缩小）”产生了歧义。
【例7】设原数为100，按前面的理解，将几的范围扩大之后得到：
原数增加5为105，减少5为95；减少-5为105，增加-5为95。
原数扩大5倍为500，缩小5倍为20；缩小1/5为500，扩大1/5为20。
我们知道，在加减法中，加上（减去）一个数等于减去（加上）这个数的相反数；在乘除法中，除以（乘以）一个数不为0的数等于乘以（除以）这个数的倒数。
增加与减少相反，在加上（减去）一个数中“5”与“-5”运算效果相反，因此，这种情况下可以说“5”与“-5”互为相反。再推理得：
“减少-5”=“减少5的相反”=“增加5”。
同理，“增加-5”=“减少5”。
类似地，扩大与缩小相反，也就是说扩大是缩小的相反，缩小是相反的扩大。在乘以（除以）一个数中“1/5”与“5倍”的运算效果正好相反，因此，这种情况下可以说“1/5”与“5倍”互为相反。推理得：
“扩大1/5”=“扩大5倍的相反”=“缩小5倍”。
同理，“缩小1/5”=“扩大5倍”。
因此，“缩小1/5等于扩大5倍”与“减少-5等于增加5”不仅从形式上惊人相似、从运算上完全正确，而且从逻辑推理上也是一样的。
“100减少-5为105”，“减少”反而“增加”了，难以被人们所接受，只因为人们忽略了负号的“反”作用。“100缩小1/5为500”则几乎没有人能接受，其实也是因为人们忽略了起“反”作用的倒数。
与“增加（减少）一个正数的相反数”有所不同的是，“扩大（缩小）一个大于等于1的数的倒数”被多数人重新定义，并将“扩大（缩小）”理解为“增加（减少）”了。比如，更多的人将“100缩小1/5”理解为“100减少1/5得80”，“100扩大1/5”理解为“100增加1/5得120”。这样，“扩大缩小”的歧义也就产生了。
五、从应用上来看，“扩大（缩小）几倍就用几乘（除）”有很高的实用价值。
众所周知，有了“扩大（缩小）几倍就用几乘（除）”，我们就能通俗易懂、简明扼要地描述数学中的许多规律、法则，也能更好地解说许多数学道理，还能方便地描述图形的放大和缩小等

。
相反，则会使相关描述中存在一系列语言文字上的障碍和理解上的困难。
六、从生活实际看，不统一“扩大（缩小）几倍”的含义将带来理解上的混乱。
从教材看，“扩大（缩小）几倍”的说法消失了，但是生活中有关说法是不可能消失的。
由于人们已经对“扩大缩小”产生了歧义，于是人们自然就会问：“扩大（缩小）几倍”到底是什么意思？
从上面的分析可知，歧义的产生来源于对“扩大（缩小）1/5”之类说法的重新定义。但是，多数人会说“50扩大10倍是500”、“50缩小10倍是5”、“50扩大1/5是60”、“50缩小1/5是40”等。也就是说，一般情况下，是不会发生误解的。
但是，单纯地从“1/5”到“1倍”到“2倍”再到5倍这样想下去，则会否定“50扩大10倍是500”！这种否定是对以前所构建的认识的否定，相当于对数学基础的否定。无论对个体还是数学学科，原来构建的大厦都有面临崩溃的危险，因为在逻辑上将陷入自我矛盾之中。对社会而言，则会造成人群中对“扩大几倍”“缩小几倍”的不同理解，从而造成语义上的混乱，用“扩大缩小”描述的一些问题则会产生不同答案。从这种意义上说，有人提出要彻底否定“扩大几倍就用几乘、缩小几倍就用几除”也是可以理解的，因为只有消除歧义才不会陷入自我矛盾之中。但是，能彻底否定人们在生活已形成的概念吗？这种否定对吗？
七、从扩大缩小的歧义与本义看，否定“扩大（缩小）几倍就用几乘（除）”是本末倒置。
从分析中，我们可以看到“扩大缩小”的歧义根源在于人们没有正确理解“扩大1/5等于缩小5倍”之类的数学事实。从而将“扩大”视为“增加”，“缩小”视为“减少”，进而产生歧义。但是，“扩大（缩小）”的本义与“增加（减少）”是有质的区别的，所以，否定“扩大（缩小）几倍就用几乘（除）”就是否定本义、维护歧义，所以说是本末颠倒。
综合上述分析，我们不难看出“扩大（缩小）几倍就用几乘（除）”的科学性和合理性，因而不能放弃“扩大几倍就用几乘，缩小几倍就用几除”这一科学合理的定义。在“扩大（缩小）一个大于1的数的倒数”上，我们有一错，从而让科学的定义产生了歧义。如果再错进而否定原来的定义，我们就只能失去这个科学的定义了，同时带来表述上的麻烦、语义上的混乱、系统上的崩溃等一系列问题，这不能不说是一种灾难。
现在教材采取的策略是回避，让“扩大（缩小）几倍”从书中消失，但是生活中“扩大（缩小）几倍”是不可能消失的。所以，回避不是办法。但是

，否定则是灾难。因此，只有坚持真理，才能走出“回避不是办法，否定带来灾难”的困境。在此，只能盼望各出版社把教材改回原来的科学合理而又实用的说法。同时，也要告诉人们在日常生活要避免使用“扩大（缩小）1/5”之类的说法，针对不同含义采用“缩小（扩大）5倍”
或“增加（减少）1/5”之类的说法。要避免的原因在于我们不能无视“扩大（缩小）1/5”被多数人重新定义过这一客观现实。这样做，我们不仅易于纠错，同时也不会对现有数学体系造成冲击，而且能让人们对“扩大缩小”有更深刻的认识。
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2010-08-18 19:41 阿曾
其实现在更明确了，因为“扩大几倍”是由“放大几倍”变换而来，在民国初期的教材中采用的就是“放大几倍”和“缩小几倍”的说法。在汉语中“放大5倍”的“5倍”称为“放大倍数”，在物理学的电子技术光学等都有“放大倍数”的定义，为什么要定义？就是因为不同的人按顾名思义的方式可能会有不同的理解。有了定义之后我们就应按定义来理解放大倍数的含义了。同样，在国家标准中也有“放大倍数”的定义。根据国家标准和大学物理学中的定义，放大倍数为5表示由1变成5，所以可以说“放大几倍就用几乘”才是唯一正确的了。所以，“放大5倍”和“放大到原来的5倍”结果相同。同时，这些都支持本文中的观点：放大和缩小是不考虑相差数的。因此，“放大几倍就用几乘，缩小几倍就用几除”符合国家标准和大学物理教材中定义，也符合老百姓对“缩小几倍”的理解方式，而将“缩小几倍”理解为变成一个负数只能是书呆子才会想到的无比荒唐的东西，不过有位姓刘的经济学老副教授却说“缩小一倍就没有了再缩小就变成负数了”，这是曲型的将“缩小当减少”。回复
2010-06-11 17:30锦辉
不知道信谁的！！回复
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