九年级数学单元同步练习-第二十二章 二次函数

第二十二章 二次函数

22．1 二次函数的图象和性质

22．1.1 二次函数

基础题

知识点1 二次函数的定义

1．(兰州中考)下列函数解析式中，一定为二次函数的是(C)

A．y＝3x－1 B．y＝ax2＋bx＋c

C．s＝2t2－2t＋1 D．y＝x2＋1x

2．二次函数y＝x2＋2x＋3中，自变量的取值范围为(B)

A．x＞0 B．x为一切实数

C．y＞2 D．y为一切实数

3．圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是(C)

A．S是R的正比例函数

B．S是R的一次函数

C．S是R的二次函数

D．以上答案都不对

4．若y＝(a＋2)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是a≠－2.

5．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3.

(1)当a≠2时，x，y之间是二次函数关系；

(2)当a＝2且b≠－2时，x，y之间是一次函数关系．

6．判断函数y＝(x－2)(3－x)是否为二次函数，若是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由．

解：y＝(x－2)(3－x)

＝－x2＋5x－6，

它是二次函数，它的二次项系数为－1，一次项系数为5，常数项为－6.

知识点2 建立二次函数模型

7．(教材P41习题T2变式)国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为(C)

A．y＝36(1－x) B．y＝36(1＋x)

C．y＝18(1－x)2 D．y＝18(1＋x2)

8．(教材P52习题T4变式)已知一个直角三角形两直角边的和为10，设其中一条直角边为x，则直角三角形的面积y与x之间的函数关系式是(A)

A．y＝－12x2＋5x B．y＝－x2＋10x

C．y＝12x2＋5x D．y＝x2＋10x

9．(教材P28“问题1”变式)某校九(1)班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数关系式y＝12x2－12x，它是(填“是”或“不是”)二次函数．

10．(教材P52习题T5变式)菱形的两条对角线的和为26 cm，则菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系为S＝12x(26－x)，是二次函数，自变量x的取值范围是0＜x＜26．

易错点 忽视二次函数解析式中二次项系数不为零 11．已知关于x的函数y＝(a＋2)xa2－2＋ax－2是二次函数，则a的值为2．

中档题

12．下列函数中，是二次函数的为(D)

A．y＝ax3＋x2＋bx＋c(a≠0)

B．y＝x2＋1x2

C．y＝(x＋1)2－x2

D．y＝x(1－x)

13．如果二次函数y＝x2＋2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是(C)

A．5 B．3 C．3或－5 D．－3或5

14．(教材P57习题T8变式)已知矩形的周长为36 m，矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的这条边长为x m，圆柱的侧面积为y m2，则y与x的函数关系式为(C)

A．y＝－2πx2＋18πx

B．y＝2πx2－18πx

C．y＝－2πx2＋36πx

D．y＝2πx2－36πx

15．(秦皇岛海港区月考)某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的销售单价为x元(x＞40)，请你用x的代数式来表示销售量y＝－10x＋1__000件，销售该品牌玩具获得利润w＝－10x2＋1__300x－30__000元．

16．(唐山月考改编)已知函数y＝(m2＋m)·xm2－2m＋2.

(1)当函数是二次函数时，求m的值；

(2)当函数是一次函数时，求m的值．

解：(1)由题意，得m2－2m＋2＝2，

解得m＝2或m＝0.

又因为m2＋m≠0，

解得m≠0且m≠－1.所以m＝2.

(2)由题意，得m2－2m＋2＝1，解得m＝1.

又因为m2＋m≠0，

解得m≠0且m≠－1.所以m＝1.

17．一辆汽车的行驶距离s(单位：m)与行驶时间t(单位：s)的函数关系式是s＝9t＋12t2，经12 s汽车行驶了多远？行驶380 m需要多少时间？

解：当t＝12时，s＝9×12＋12×122＝180.

∴经12 s汽车行驶了180 m.

当s＝380时，9t＋12t2＝380.

解得t1＝20，t2＝－38(不合题意，舍去)．

∴该汽车行驶380 m需要20 s.

18．(教材P29练习T2变式)一块矩形的草地，长为8 m，宽为6 m．若将长和宽都增加x m，设增加的面积为y m2.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)若要使草地的面积增加32 m2，长和宽都增加多少米？

解：(1)y＝(8＋x)(6＋x)－8×6，即y＝x2＋14x.

(2)当y＝32时，x2＋14x＝32.

解得x1＝2，x2＝－16(舍去)．

答：长和宽都增加2米．

19．(教材P57习题T7变式)小李家用40 m长的篱笆围成一个一边靠墙(墙足够长)的矩形菜园，如图所示． (1)写出这块菜园的面积y(m2)与垂直于墙的一边长x(m)之间的关系式，并指出它是一个什么函数；

(2)直接写出x的取值范围．

解：(1)因为矩形菜园中垂直于墙的一边长为x m，则与墙平行的一边长为(40－2x)m.根据题意，得

y＝x(40－2x)，即y＝－2x2＋40x.它是一个二次函数．

(2)0＜x＜20.

综合题

20．(教材P41习题T8变式)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 cm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向C以4 cm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y cm2.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)求自变量x的取值范围；

(3)四边形APQC的面积能否等于172 cm2.若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．

解：(1)由题意可知，AP＝2x，BQ＝4x，则

y＝12BC·AB－12BQ·BP

＝12×24×12－12·4x·(12－2x)，

即y＝4x2－24x＋144.

(2)∵0＜AP＜AB，0＜BQ＜BC，

∴0

(3)不能．理由：

当y＝172时，4x2－24x＋144＝172.

解得x1＝7，x2＝－1.

又∵0

∴四边形APQC的面积不能等于172 cm2.

22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质

基础题

知识点1 二次函数y＝ax2的图象

1．如图，函数y＝－2x2的图象是(C)

A．① B．② C．③ D．④

2．(承德期中)若抛物线y＝ax2经过点P(－1，－2)，则它一定经过点(A)

A．(1，－2) B．(－1，2) C．(1，2) D．(2，1) 3．(唐山路北区期末)抛物线y＝13x2，y＝－3x2，y＝－x2，y＝2x2的图象开口最大的是(A)

A．y＝13x2 B．y＝－3x2

C．y＝－x2 D．y＝2x2

4．(唐山路南区期中)抛物线y＝(－x)2开口向上．(填“上”或“下”)

5．填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值．

抛物线 开口方向 对称轴 顶点

坐标 最值

y＝x2 向上 y轴 (0，0) 最小值0

y＝－x2 向下 y轴 (0，0) 最大值0

y＝15x2 向上 y轴 (0，0) 最小值0

y＝－15x2 向下 y轴 (0，0) 最大值0

6.已知二次函数y＝ax2的图象经过点A(－1，－12)．

(1)求这个二次函数的解析式并画出其图象；

(2)请说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴．

解：(1)y＝－12x2.图象如图．

(2)顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴．

知识点2 二次函数y＝ax2的性质

7．(毕节中考)抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝12x2的共同性质是(B)

A．开口向上 B．对称轴是y轴

C．都有最高点 D．y随x的增大而增大

8．已知点(－1，y1)，(－3，y2)都在函数y＝x2的图象上，则(D)

A．y1

C．0

9．已知点(x1，y1)、(x2，y2)是函数y＝(m－3)x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是(D)

A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3

10．分别求出符合下列条件的抛物线y＝ax2的解析式：

(1)经过点(－3，2)；

(2)与y＝13x2开口大小相同，方向相反．

解：(1)∵y＝ax2过点(－3，2)，

∴2＝a·(－3)2，解得a＝29. ∴y＝29x2.

(2)∵抛物线y＝ax2与y＝13x2开口大小相同，方向相反，

∴a＝－13.

∴y＝－13x2.

易错点 求区间内最值时忽视对称轴位置

11．当－1≤x≤2时，二次函数y＝x2的最大值是4，最小值是0．

中档题

12．已知二次函数y＝x2和y＝2x2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0)；③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们开口的大小是一样的．其中正确的说法有(C)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

提示：①②③正确，④错误．

13．(宁夏中考)已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是(C)

14．关于抛物线y＝－x2，给出下列说法：

①抛物线开口向下，顶点是原点；

②当x＞10时，y随x的增大而减小；

③当－1＜x＜2时，－4＜y＜－1；

④若(m，p)、(n，p)是该抛物线上两点，则m＋n＝0.

其中正确的说法有(C)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

提示：①②④正确，③错误．

15．二次函数y＝ax2(a<0)的图象对称轴右侧上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．若y1>y2，则x1－x2＜0.(填“＞”“＜”或“＝”)

16．已知y＝mxm2＋1的图象是不在第一、二象限的抛物线，则m＝－1．

17．当－1≤x≤3时，二次函数y＝－x2的最小值是－9，最大值是0．

18．二次函数y＝ax2的图象与直线y＝2x－1交于点P(1，m)．

(1)求a、m的值；

(2)写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？

(3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴．

解：(1)将(1，m)代入y＝2x－1，得

m＝2×1－1＝1.

∴P点坐标为(1，1)．

将P(1，1)代入y＝ax2，得1＝a·12，

解得a＝1.

故a＝1，m＝1.