高考模拟数学文科

2020年新疆乌鲁木齐市高考（文科）数学三模试卷一、选择题（共12小题）.1．已知i是虚数单位，则2i（1+i）＝（）A．﹣2+2i B．2+2i C．2i D．﹣2i2．已知集合A＝{x|（x﹣2）（x+2）≤0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．∅B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}3．命题P：∀x∈R，x2+1≥1，则￢P是（）A．∀x∈R，x2+1＜1B．∀x∈R，x2+1≥1C．D．4．已知等差数列{a n}满足a1+a3+a5＝18，a3+a5+a7＝30，则a2+a4+a6＝（）A．20B．24C．26D．285．若角α的终边过点P（3，﹣4），则sin2α的值为（）A．B．C．D．6．某校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是（）A．85B．85.5C．86D．86.57．正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成角的大小为（）A．0°B．45°C．60°D．90°8．在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，点D满足，则＝（）A．B．C．1D．29．直线y＝x﹣2与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB，则p的值为（）A．B．1C．D．210．在四面体ABCD中，AB＝，DA＝DB＝CA＝CB＝1，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π11．M是双曲线C：上位于第二象限的一点，F1，F2分别是左、右焦点，MF1⊥F1F2．x轴上的一点N使得∠NMF2＝90°，A，B两点满足，，且A，B，F2三点共线，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数y＝f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝42﹣|x﹣1|﹣4，且对任意实数x∈[2k ﹣2，2k+1﹣2]（k∈N，k≥2），都有，若g（x）＝f（x）﹣log a x有且仅有5个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＜0时，f（x）＝log3（1﹣x），则f（8）＝．15．若f（x）＝2sinωx（0＜ω＜1）在区间上的最大值是，则ω＝．16．在正项等比数列{a n}中，a4+a6＝，2a1，，a2成等差数列，则数列{a n•a n+1}的前n项之积的最小值为．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C所对的边，a＝，c＝1，sin A+cos A＝0．（Ⅰ）求b；（Ⅱ）若D为BC边上一点，且AD⊥AB，求△ACD的面积．18．在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习．复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查．知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如图的等高条形图：（Ⅰ）将频率视为概率，求学习时长不超过1小时但考试成绩超过120分的概率；（Ⅱ）是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.828 K2＝．19．如图，将直角边长为的等腰直角三角形ABC，沿斜边上的高AD翻折，使二面角B ﹣AD﹣C的大小为，翻折后BC的中点为M．（Ⅰ）证明BC⊥平面ADM；（Ⅱ）求点D到平面ABC的距离．20．已知椭圆C：右焦点为F（2，0），P为椭圆上异于左右顶点A，B的一点，且△PAB面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线AP与直线x＝a交于点Q，线段BQ的中点为M，证明直线FM平分∠PFB．21．已知f（x）＝e x﹣alnx+2a（a＞0）．（Ⅰ）当a＝e时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设x0是f（x）的极小值点，求f（x0）的最大值．选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）设C1与C2交点为A，B，求△AOB的面积．23．设a，b均为正数，且a2+b2＝2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a3+b3）≥4；（Ⅱ）．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一.项是符合题目要求的.1．已知i是虚数单位，则2i（1+i）＝（）A．﹣2+2i B．2+2i C．2i D．﹣2i【分析】根复数的基本运算进行求解即可．解：2i（1+i）＝2i+2i2＝﹣2+2i，故选：A．2．已知集合A＝{x|（x﹣2）（x+2）≤0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．∅B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|（x﹣2）（x+2）≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}．故选：D．3．命题P：∀x∈R，x2+1≥1，则￢P是（）A．∀x∈R，x2+1＜1B．∀x∈R，x2+1≥1C．D．【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出其特称命题可得答案．解：命题的否定是：∃x0∈R，+1＜1，故选：C．4．已知等差数列{a n}满足a1+a3+a5＝18，a3+a5+a7＝30，则a2+a4+a6＝（）A．20B．24C．26D．28【分析】由题意利用等差数列的性质，求出公差d的值，可得要求式子的值．解：∵等差数列{a n}满足a1+a3+a5＝18，a3+a5+a7＝30，设公差为d，相减可得6d＝30﹣18＝12，∴d＝2．则a2+a4+a6＝a1+a3+a5+3d＝24，故选：B．5．若角α的终边过点P（3，﹣4），则sin2α的值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用三角函数的定义和三角函数关系式的恒等变换求出结果．解：角α的终边过点P（3，﹣4），所以，．所以＝﹣．故选：D．6．某校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是（）A．85B．85.5C．86D．86.5【分析】直接根据平均值的求解公式即可求解．解：由题意可知，两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩＝85．故选：A．7．正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成角的大小为（）A．0°B．45°C．60°D．90°【分析】利用异面直线所成的角的定义，取A′A的中点为E，则直线B′M与CN所成角就是直线B′M与BE成的角．解：取A′A的中点为E，连接BE，则直线B′M与CN所成角就是直线B′M与BE 成的角，由题意得B′M⊥BE，故异面直线B′M与CN所成角的大小为90°，故选：D．8．在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，点D满足，则＝（）A．B．C．1D．2【分析】画出图形，建立坐标系，求出相关的向量，然后求解数量积．解：在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，点D满足，可知：D是BC的一个3等分点，建立如图所示的坐标系，则B（1，0），C（0，1），D（，），可得＝（1，0）•（，）＝．故选：A．9．直线y＝x﹣2与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB，则p的值为（）A．B．1C．D．2【分析】直线与抛物线联立求出两根之和及两根之积，再由OA⊥OB可得数量积＝0，求出p的值．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组⇒y2＝2p（y+2），可得y2﹣2py﹣4p＝0，∴y1y2＝﹣4p，y1+y2＝2p，∵OA⊥OB，所以数量积＝0，∴x1x2+y1y2＝0，所以＝4，4+（﹣4p）＝0，⇒p＝1．故选：B．10．在四面体ABCD中，AB＝，DA＝DB＝CA＝CB＝1，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】根据线段长度得到△ABC与△ABD均为直角三角形，得到球心以及半径，即可求出四面体ABCD的外接球的表面积．解：设AB的中点为O，连接OD，OC，如图，∵在四面体ABCD中，AB＝，DA＝DB＝CA＝CB＝1，∴AD2+BD2＝AB2，AC2+BC2＝AB2，即△ABC与△ABD均为直角三角形，故OA＝OB＝OC＝OD，即O为外接球球心，OA＝R＝；∴四面体ABCD的外接球的表面积为4πR2＝2π．故选：B．11．M是双曲线C：上位于第二象限的一点，F1，F2分别是左、右焦点，MF1⊥F1F2．x轴上的一点N使得∠NMF2＝90°，A，B两点满足，，且A，B，F2三点共线，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由双曲线的方程可得其左右焦点的坐标，再由MF1⊥F1F2可得M的坐标，设N 的坐标，由题意＝0，可得N的坐标，由，，可得A，B的坐标，再由A，B，F2三点共线可得对应边成比例，求出a，c的关系，进而求出离心率的值．解：由双曲线的方程可得左右焦点坐标F1（﹣c，0），F2（c，0），因为M在第二象限，且MF1⊥F1F2，可得M（﹣c，），设N（m，0），由∠NMF2＝90°可得＝0，即（m+c，﹣）•（2c，﹣）＝0，整理可得2c（m+c）+＝0，解得m＝﹣，即N（﹣，0），由，，所以A（﹣﹣，），B（﹣c，），由A，B，F2三点共线，可得＝，即＝＝，整理可得c4﹣6a2c2+a4＝0，即e4﹣6e2+1＝0，解得e2＝3，因为双曲线的离心率e＞1，所以e＝+1，故选：A．12．定义在R上的函数y＝f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝42﹣|x﹣1|﹣4，且对任意实数x∈[2k ﹣2，2k+1﹣2]（k∈N，k≥2），都有，若g（x）＝f（x）﹣log a x有且仅有5个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】作出y＝f（x）的函数图象，根据y＝f（x）和y＝log a x的图象有5个交点列不等式组得出a的范围．解：当x∈[0，2]时，f（x）＝42﹣|x﹣1|﹣4，故f（x）在[0，2]上的函数图象关于直线x＝1对称，又任意实数x∈[2k﹣2，2k+1﹣2]（k∈N，k≥2），都有，作出y＝f（x）的函数图象如图所示：∵g（x）＝f（x）﹣log a x有且仅有5个零点，∴y＝log a x的图象与y＝f（x）的图象有5个交点，显然a＞1∴，解得＜a＜．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．【分析】首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到2本数学书相邻的个数，最后根据概率公式计算即可．解：2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有共有＝6种结果，其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故本数学书相邻的概率P＝．故答案为：．14．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＜0时，f（x）＝log3（1﹣x），则f（8）＝﹣2．【分析】直接利用奇函数的定义即可得到答案．解：因为定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＜0时，f（x）＝log3（1﹣x），则f（8）＝﹣f（﹣8）＝﹣log3[1﹣（﹣8）]＝﹣log39＝﹣2；故答案为：﹣2．15．若f（x）＝2sinωx（0＜ω＜1）在区间上的最大值是，则ω＝．【分析】根据已知区间，确定ωx的范围，求出它的最大值，结合0＜ω＜1，求出ω的值．解：，故答案为：16．在正项等比数列{a n}中，a4+a6＝，2a1，，a2成等差数列，则数列{a n•a n+1}的前n项之积的最小值为2﹣20．【分析】直接利用关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出数列的积，最后利用二次函数性质的应用求出结果．解：正项等比数列{a n}中，a4+a6＝，2a1，，a2成等差数列，设首项为a1，公比为q，则：，整理得：，解得．所以：，则：，所以，所以＝＝，当n＝5时，数列{a n•a n+1}的前n项之积的最小值为．故答案为：2﹣20三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C所对的边，a＝，c＝1，sin A+cos A＝0．（Ⅰ）求b；（Ⅱ）若D为BC边上一点，且AD⊥AB，求△ACD的面积．【分析】（Ⅰ）根据已知条件和特殊角的三角函数值求得角A的度数，然后由余弦定理求得b的值；（Ⅱ）欲求△ACD的面积的面积，只需通过解直角三角形求得高AD的长度即可．解：（Ⅰ）由，得，∴A＝150°．又∵，c＝1，又a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即，解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∴，∴，∴．18．在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习．复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查．知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如图的等高条形图：（Ⅰ）将频率视为概率，求学习时长不超过1小时但考试成绩超过120分的概率；（Ⅱ）是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.828K2＝．【分析】（Ⅰ）由等高条形图得到学习时长不超过1小时，但考试成绩超过120分的人数，由古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）由题意填写2×2列联表，求出K2，结合临界值表得结论．解：（Ⅰ）从等高条形图中看出，学习时长不超过1小时，但考试成绩超过120分的人数为10人，∴其概率为；（Ⅱ）依题意，得2×2列联表≤120分＞120分合计数学成绩在线学习时长≤1小时151025＞1小时51520合计202545∵，∴没有99%的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”．19．如图，将直角边长为的等腰直角三角形ABC，沿斜边上的高AD翻折，使二面角B ﹣AD﹣C的大小为，翻折后BC的中点为M．（Ⅰ）证明BC⊥平面ADM；（Ⅱ）求点D到平面ABC的距离．【分析】（Ⅰ）证明DM⊥BC，AM⊥BC，然后证明BC⊥平面ADM；（Ⅱ）设点D到平面ABC的距离为d，通过V A﹣BCD＝V D﹣ABC，求解点D到平面ABC的距离．【解答】（Ⅰ）证明：∵折叠前AB＝AC，AD是斜边上的高，∴D是BC的中点，∴BD＝CD，又因为折叠后M是BC的中点，∴DM⊥BC，折叠后AB＝AC，∴AM⊥BC，AM∩DM＝M，∴BC⊥平面ADM；（Ⅱ）解：设点D到平面ABC的距离为d，由题意得V A﹣BCD＝V D﹣ABC，∵，∴，∴．20．已知椭圆C：右焦点为F（2，0），P为椭圆上异于左右顶点A，B的一点，且△PAB面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线AP与直线x＝a交于点Q，线段BQ的中点为M，证明直线FM平分∠PFB．【分析】（Ⅰ）由题意得，，解出a2和b2的值即可；（Ⅱ）设直线AP的方程为x＝my﹣3，将其与椭圆的方程联立，消去x，可求出点P的坐标，易得点Q和M的坐标，设∠MFB＝α，则tan，再结合正切的二倍角公式与直线的斜率与倾斜角的关系证得∠PFB＝2α＝2∠MFB即可．解：（Ⅰ）由题意得，，解得a2＝9，b2＝5，∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）证明：设直线AP的方程为x＝my﹣3，代入，得（5m2+9）y2﹣30my ＝0，解得y＝0或，∴，∴，易知直线AP与x＝3的交点，而B（3，0），∴线段BQ的中点，设∠MFB＝α，则，∴，，∴tan2α＝tan∠PFB，又∵2α∈（0，π），∠PFB∈（0，π），∴∠PFB＝2α＝2∠MFB，即直线FM平分∠PFB．21．已知f（x）＝e x﹣alnx+2a（a＞0）．（Ⅰ）当a＝e时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设x0是f（x）的极小值点，求f（x0）的最大值．【分析】（Ⅰ）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，表示出f（x）的最大值，根据函数的单调性求出函数的最大值即可．解：（Ⅰ）当a＝e时，f（x）＝e x﹣elnx+2e，，显然f'（1）＝0，∵，∴f'（x）在（0，+∞）上是增函数，0＜x＜1时，f'（x）＜f'（1）＝0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；（Ⅱ）由，且，∴f'（x）在（0，+∞）上单调递增，∴存在极小值点x0满足f'（x0）＝0，即，∴＝，令g（x）＝e x（1﹣xlnx+2x），则g'（x）＝e x（1﹣xlnx+2x+1﹣2lnx﹣1）＝（x+2）ln x （﹣x），由x＞0，∴由g'（x）＝0得x＝e2，∴．故f（x0）的最大值是g（e2）＝．选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）设C1与C2交点为A，B，求△AOB的面积．【分析】（Ⅰ）由题意曲线C1的参数方程化为普通方程，然后化为极坐标方程．（Ⅱ）联立方程，求出A、B坐标，然后求解三角形的面积解：（Ⅰ）由题意曲线C1的参数方程为（t为参数），得（x﹣2）2+（y ﹣3）2＝5，即x2+y2﹣4x﹣6y+8＝0曲线C1的极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+8＝0；（Ⅱ）联立方程，解得，，∴A（0，2），B（1，1），∴．23．设a，b均为正数，且a2+b2＝2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a3+b3）≥4；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由分析法证明，只要证明a4+b4+ab3+ba3≥（a2+b2）2，由完全平方公式展开，整理即为ab（a﹣b）2≥0，即可得证；（Ⅱ）运用基本不等式推得+≤，结合不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）∵a2+b2＝2，要证（a+b）（a3+b3）≥4，只需要证明a4+b4+ab3+ba3≥（a2+b2）2，也就是要证明a4+b4+ab3+ba3﹣a4﹣b4﹣2a2b2≥0，即证ab（a﹣b）2≥0，∵a，b均为正数，∴ab（a﹣b）2≥0，∴（a+b）（a3+b3）≥4；（Ⅱ）∵a，b均为正数，∴，∴，∴，又∵a2+b2＝2，∴．。

2022年陕西省宝鸡市高考文科数学二模试卷一.选择题：共计12小题，每小题5分，共60分1．（5分）若复数z 满足2z +z =3﹣2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝（ ） A ．1+2iB ．1﹣2iC ．﹣1+2iD ．﹣1﹣2i2．（5分）已知全集为U ，集合A ，B 为U 的子集，若（∁U A ）∩B ＝∅，则A ∩B ＝（ ） A ．∁U BB ．∁U AC ．BD ．A3．（5分）“0＜m ＜2”是“方程x 2m+y 22−m=1表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A ．充要条件B ．.充分不必要条件C ．.必要不充分条件D ．.既不充分也不必要条件4．（5分）庄子说：一尺之锤，日取其半，万世不竭．这句话描述的是一个数列问题．现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正数n 后，输出的S ∈(3132，127128)，则输入的n 的值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．45．（5分）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3=3，则S 9S 6=（ ）A ．2B ．73C ．83D ．36．（5分）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ； ②若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ③若m ∥n ，n ⊥β，m ∥α，则α⊥β；④若m ∩n ＝A ，m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β，则α∥β． 其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）若变量x ，y 满足条件{x −y ≤0x −2y +2≥0x ≥−2，则目标函数z ＝x +y 的最小值为（ ）A ．﹣6B ．﹣2C ．﹣4D ．48．（5分）设函数f(x)=sin(2x −5π6)，将函数f （x ）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g （x ）的图象，若g （x ）为偶函数，则φ的最小值是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．（5分）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，现工厂决定从20只相同的“冰墩墩”，15只相同的“雪容融”和10个相同的北京2022年冬奥会徽章中，采取分层抽样的方法，抽取一个容量为n 的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取4只，则n 为（ ） A ．3B ．2C ．5D ．910．（5分）已知直线y ＝x +a 与曲线y =√2−x 2的两个不同的交点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，2）B ．（0，2）C ．(√2，2)D ．[√2，2)11．（5分）已知x ＞0，y ＞0，lg 2x +lg 8y ＝lg 2，则1x+13y 的最小值是（ ）A ．4B ．2√2C ．2D ．2√312．（5分）定义方程f （x ）＝f ′（x ）的实根x 0叫做函数f （x ）的“新驻点”，其中f ′（x ）是函数f （x ）的导函数．若函数g （x ）＝xe x +1，h （x ）＝lnx +1，φ（x ）＝x 3﹣1的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a二.填空部分：每小题5分，共计4小题，总计20分13．（5分）已知平面向量a →，b →满足a →=（1，√3），|b →|＝3，a →⊥（a →−b →），则a →与b →夹角的余弦值为 ．14．（5分）函数f(x)=log 12(x 2−ax +3a)在区间[2，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．15．（5分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＞0，前n 项和为S n ．若a n =√S n +√S n−1(n ∈N ∗，n ≥2），则数列{1a n a n+1}的前15项和为 ．16．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →=AB →，F 1B →•F 2B →=0，则C 的离心率为 ．三.解答部分：共计6小题，共计70分，除二选一10分外，其余每小题12分17．（12分）函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）+1（ω＞0，|φ|＜π2）的图像过点(π3，1)，且相邻对称轴间的距离为π2．（1）求ω，φ的值；（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边为a ，b ，c ，若f(A2)=3，且a ＝2，求△ABC 的面积最大值；18．（12分）近年来，随之物质生活水平的提高以及中国社会人口老龄化加速，家政服务市场规模逐年增长，下表为2017年﹣2021年中国家政服务市场规模及2022年家政服务规模预测数据（单位：百亿元） 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 市场规模3544587088100（1）若2017﹣2021年对应的代码依次为1﹣5，根据2017年﹣2021年的数据，用户规模y 关于年度代码的线性回归方程y =b x +a ；（2）把2022年的年代代码6代入（1）中求得回归方程，若求出的用户规模与预测的用户规模误差上下不超过5%，则认为预测数据符合模型，试问预测数据是否符合回归模型？ 参考数据：y=59，∑ 5i=1x i y i ＝1017，参考公式：b=∑ n i=1x i y i −nxy ∑ ni=1x i 2−nx2，a =y −b x ．19．（11分）如图所示，平面P AB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为8的正方形，∠APB ＝90°，点E ，F 分别是DC ，AP 的中点． （1）证明：DF ∥平面PBE ；（2）若AB ＝2P A ，求四棱锥P ﹣ABED 的体积．20．（10分）已知曲线C 上任意一点到F （3，0）距离比它到直线x ＝﹣5的距离小2，经过点F （3，0）的直线l 的曲线C 交于A ，B 两点． （1）求曲线C 的方程；（2）若曲线C 在点A ，B 处的切线交于点P ，求△P AB 面积最小值．21．（10分）已知函数f （x ）＝ax ﹣1﹣e x ，其中a ∈R ．e ＝2.718⋯为自然对数的底数． （1）讨论函数的单调性；（2）若方程f （x ）＝xlnx 对x ∈（1，e ）有实根，求a 的取值范围．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+sinα+cosα，y =cosα−sinα（α为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的方程为θ＝β（0＜β＜π2，ρ∈R ）． （1）求曲线C 的普通方程；（2）若曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，且|OA |+|OB |＝3，求直线l 的斜率． 23．已知函数f （x ）＝lg （|x ﹣m |+|x ﹣2|﹣3）（m ∈R ）． （1）当m ＝1，求函数f （x ）的定义域；（2）若不等式f （x ）≥0对于R 恒成立，求实数m 的取值范围．2022年陕西省宝鸡市高考文科数学二模试卷参考答案与试题解析一.选择题：共计12小题，每小题5分，共60分1．（5分）若复数z 满足2z +z =3﹣2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝（ ） A ．1+2iB ．1﹣2iC ．﹣1+2iD ．﹣1﹣2i【解答】解：复数z 满足2z +z =3﹣2i ， 设z ＝a +bi ，可得：2a +2bi +a ﹣bi ＝3﹣2i ． 解得a ＝1，b ＝﹣2． z ＝1﹣2i ． 故选：B ．2．（5分）已知全集为U ，集合A ，B 为U 的子集，若（∁U A ）∩B ＝∅，则A ∩B ＝（ ） A ．∁U BB ．∁U AC ．BD ．A【解答】解：因为（∁U A ）∩B ＝∅，所以B ⊆A ， 所以A ∩B ＝B ． 故选：C ．3．（5分）“0＜m ＜2”是“方程x 2m+y 22−m=1表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A ．充要条件B ．.充分不必要条件C ．.必要不充分条件D ．.既不充分也不必要条件 【解答】解：若方程x 2m+y 22−m=1表示焦点在x 轴上的椭圆，则{m ＞02−m ＞0m ＞2−m，解得1＜m ＜2，所以“0＜m ＜2”是“方程 x 2m+y 22−m=1表示焦点在x 轴上的椭圆“的必要不充分条件． 故选：C ．4．（5分）庄子说：一尺之锤，日取其半，万世不竭．这句话描述的是一个数列问题．现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正数n后，输出的S∈(3132，127128)，则输入的n的值为（）A．7B．6C．5D．4【解答】解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值0，输入n的值后，执行循环体，S=12，k＝1；判断1＞n不成立，执行循环体，S=34，k＝2；判断2＞n不成立，执行循环体，S=78，k＝3；判断3＞n不成立，执行循环体，S=1516，k＝4；判断4＞n不成立，执行循环体，S=3132，k＝5；判断5＞n不成立，执行循环体，S=6364，k＝6；判断6＞n不成立，执行循环体，S=127128，k＝7；…由于输出的S∈(3132，127128)，可得：当S=6364，k＝6时，应该满足条件6＞n，即：5≤n＜6，可得输入的正整数n 的值为5． 故选：C ．5．（5分）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3=3，则S 9S 6=（ ）A ．2B ．73C ．83D ．3【解答】解：设公比为q ，则S 6S 3=a 1(1−q 6)1−q a 1(1−q 3)1−q=1−q 61−q =1+q 3＝3，所以q 3＝2， 所以S 9S 6=1−q 91−q =1−231−2=73．故选：B ．6．（5分）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ； ②若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ③若m ∥n ，n ⊥β，m ∥α，则α⊥β；④若m ∩n ＝A ，m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β，则α∥β． 其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：对于①，假设n ⊂β，α∩β＝l ，因为n ∥α，所以n ∥l ，又m ⊥α， 所以m ⊥l ，而n ∥l ，所以m ⊥n ，正确；对于②，若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α或m ⊂α，故错误；对于③，若m ∥n ，n ⊥β，则m ⊥β，又m ∥α，所以在平面α内一定存在一条直线l ，使m ∥l ，而m ⊥β，所以l ⊥β，l ⊂α，则α⊥β，正确；对于④，由面面平行的判定定理，可以判断出是正确的． 故真命题有3个． 故选：C ．7．（5分）若变量x ，y 满足条件{x −y ≤0x −2y +2≥0x ≥−2，则目标函数z ＝x +y 的最小值为（ ）A ．﹣6B ．﹣2C ．﹣4D ．4【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x =−2x −y =0，解得A （﹣2，﹣2），由z ＝x +y ，得y ＝﹣x +z ，由图可知，当直线y ＝﹣x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为﹣4． 故选：C ．8．（5分）设函数f(x)=sin(2x −5π6)，将函数f （x ）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g （x ）的图象，若g （x ）为偶函数，则φ的最小值是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解答】解：函数f(x)=sin(2x −5π6)，将函数f （x ）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g （x ）＝sin （2x +2φ−5π6）的图象． 若g （x ）为偶函数，则2φ−5π6=k π+π2，k ∈Z ， 令k ＝﹣1，求得φ的最小值为π6，故选：A ．9．（5分）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，现工厂决定从20只相同的“冰墩墩”，15只相同的“雪容融”和10个相同的北京2022年冬奥会徽章中，采取分层抽样的方法，抽取一个容量为n 的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取4只，则n 为（ ） A ．3B ．2C ．5D ．9【解答】解：根据分层抽样的定义可得：420=n 20+15+10，解得n ＝9．故选：D ．10．（5分）已知直线y＝x+a与曲线y=√2−x2的两个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（0，2）C．(√2，2)D．[√2，2)【解答】解：曲线y=√2−x2线是以（0，0）为圆心，√2为半径位于x轴上方的半圆．当直线l过点A（−√2，0）时，直线l与曲线有两个不同的交点，此时0=−√2+a，解得a=√2．当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，圆心（0，0）到直线x﹣y+a＝0的距离d=2=√2解得a＝2或﹣2（舍去），若曲线C和直线l有且仅有两个不同的交点，则直线l夹在两条直线之间，因此√2≤a＜2，故选：D．11．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y＝lg2，则1x +13y的最小值是（）A．4B．2√2C．2D．2√3【解答】解：lg2x+lg8y＝lg2x+lg23y＝（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y＝lg2，则x+3y＝1，进而由基本不等式的性质可得，1 x +13y=（x+3y）（1x+13y）＝2+3yx+x3y≥4，故选：A．12．（5分）定义方程f（x）＝f′（x）的实根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，其中f′（x）是函数f（x）的导函数．若函数g（x）＝xe x+1，h（x）＝lnx+1，φ（x）＝x3﹣1的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【解答】解：∵函数g（x）＝xe x+1，g'（x）＝xe x+e x，∴a为xe x+1＝xe x+e x的根，解得x＝0，即a＝0．∵h（x）＝lnx+1，h′（x）=1x，∴b为lnx+1=1x的根，可得x＝1，即可b＝1，∵φ（x ）＝x 3﹣1，φ'（x ）＝3x 2，∴c 为x 3﹣1＝3x 2的根，即函数φ1（x ）＝x 3﹣1﹣3x 2的零点，∵φ1′（x ）＝3x 2﹣6x ＝3x （x ﹣2），∴当x ∈（0，2）时，φ1′（x ）＜0，函数单调递减，当x ∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）时，φ1′（x ）＞0，函数单调递增，又∵φ1（0）＜0，φ1（2）＜0，φ1（4）＞0，∴c ∈（2，4）， ∴c ＞b ＞a ． 故选：C ．二.填空部分：每小题5分，共计4小题，总计20分13．（5分）已知平面向量a →，b →满足a →=（1，√3），|b →|＝3，a →⊥（a →−b →），则a →与b →夹角的余弦值为23．【解答】解：|a →|=2，|b →|=3； ∵a →⊥(a →−b →)；∴a →⋅(a →−b →)=a →2−a →⋅b →=4−6cos ＜a →，b →＞=0； ∴cos ＜a →，b →＞=23． 故答案为：23．14．（5分）函数f(x)=log 12(x 2−ax +3a)在区间[2，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围是 （﹣4，4] ．【解答】解：设t ＝x 2﹣ax +3a ，则y ＝log 12t 为减函数，则若f （x ）在区间[2，+∞）上是减函数，则满足t ＝x 2﹣ax +3a ，在区间[2，+∞）上是增函数且t ＞0恒成立，即{−−a2≤24−2a +3a ＞0得{a ≤4a ＞−4， 得﹣4＜a ≤4，即实数a 的取值范围是（﹣4，4]， 故答案为：（﹣4，4]15．（5分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＞0，前n 项和为S n ．若a n =√S n +√S n−1(n ∈N ∗，n ≥2），则数列{1a n a n+1}的前15项和为 1531． 【解答】解：数列{a n }中，a 1＝1，a n ＞0，前n 项和为S n ．若a n =√S n +√S n−1(n ∈N ∗，n ≥2），则S n −S n−1=√S n +√S n−1，整理得√n −√S n−1=1，所以数列{√S n }是以1为首项，1位公差的等差数列， 则√S n =1+(n −1)=n ，所以a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2n ﹣1． 所以1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)．所以T 15=12(1−13+13−15+⋯+129−131)=1531． 故答案为：1531．16．（5分）已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →=AB →，F 1B →•F 2B →=0，则C 的离心率为 2 ． 【解答】解：如图，∵F 1A →=AB →，∴A 为F 1B 的中点，且O 为F 1F 2的中点， ∴AO 为△F 1F 2B 的中位线，又∵F 1B →⋅F 2B →=0，∴F 1B ⊥F 2B ，则OB ＝F 1O ＝c ． 设B （x 1，y 1），A （x 2，y 2）， ∵点B 在渐近线y =ba x 上， ∴{x 12+y 12=c 2y 1=ba x 1，得{x 1=a y 1=b ．又∵A 为F 1B 的中点，∴{x 2=−c+a2y 2=b2， ∵A 在渐近线y =−b ax 上， ∴b2=−b a⋅a−c 2，得c ＝2a ，则双曲线的离心率e =ca =2．故答案为：2．三.解答部分：共计6小题，共计70分，除二选一10分外，其余每小题12分17．（12分）函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）+1（ω＞0，|φ|＜π2）的图像过点(π3，1)，且相邻对称轴间的距离为π2．（1）求ω，φ的值；（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边为a ，b ，c ，若f(A2)=3，且a ＝2，求△ABC 的面积最大值；【解答】解：（1）∵相邻对称轴间的距离为π2．∴2πω=π，∴ω＝2，∴f （x ）＝2sin （2x +φ）+1，∵f （x ）的图像过点(π3，1)，∴2sin （2×π3+φ）+1＝1，∴sin （2×π3+φ）＝0， ∴φ=−2π3+k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ=π3；（2）由（1）知f （x ）＝2sin （2x +π3）+1，又f(A2)=3， ∴2sin （A +π3）+1＝3，∴sin （A +π3）＝1， 又π3＜A +π3＜4π3，∴A +π3=π2，∴A =π6， 在△ABC 中，由余弦定理有a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，∴4≥2bc −√3bc ， ∴bc ≤2−3=8+4√3，当且仅当b ＝c 时取等号， ∴△ABC 的面积最大值为S =12×（8+4√3）sinπ6=2+√3．18．（12分）近年来，随之物质生活水平的提高以及中国社会人口老龄化加速，家政服务市场规模逐年增长，下表为2017年﹣2021年中国家政服务市场规模及2022年家政服务规模预测数据（单位：百亿元） 年份2017201820192020 2021 2022市场规模3544587088100（1）若2017﹣2021年对应的代码依次为1﹣5，根据2017年﹣2021年的数据，用户规模y关于年度代码的线性回归方程y=b x+a；（2）把2022年的年代代码6代入（1）中求得回归方程，若求出的用户规模与预测的用户规模误差上下不超过5%，则认为预测数据符合模型，试问预测数据是否符合回归模型？参考数据：y=59，∑5i=1x i y i＝1017，参考公式：b=∑ni=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．【解答】解：（1）由表中的数据可得，x=15×(1+2+3+4+5)=3，y=59，∑5i=1x i2=55，∑5i=1x i y i＝1017，故b=∑ni=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2=1017−5×3×3955−5×32=13.2，a=y−b x=59﹣13.2×3＝19.4，故y=13.2x+19.4．（2）当x＝6时，y=13.2×6+19.4=98.6，∵|98.6﹣100|＜100×5%，∴认为预测数据符合模型．19．（11分）如图所示，平面P AB⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为8的正方形，∠APB ＝90°，点E，F分别是DC，AP的中点．（1）证明：DF∥平面PBE；（2）若AB＝2P A，求四棱锥P﹣ABED的体积．【解答】（1）证明：设G是PB的中点，连接FG，EG，由于F 是P A 中点，所以FG ∥AB ，FG =12AB ， 由于E 是CD 的中点，所以DE ∥AB ，DE =12AB ， 所以FG ∥DE ，FG ＝DE ，则四边形DEGF 是平行四边形， 所以DF ∥EG ，因为DF ⊄平面PBE ，EG ⊂平面 PBE ， 所以DF ∥平面PBE ．（2）由于AB ＝2P A ＝8，所以PA =4，PB =√82−42=4√3， 过P 作PH ⊥AB ，交AB 于H ，由于平面P AB ⊥平面ABCD ，PH ⊂平面ABCD ，且交线为AB ， 所以PH ⊥平面ABCD ， 由12×AB ×PH =12×PA ×PB ⇒PH =2√3，直角梯形ABED 的面积为4+82×8=48，所以V P−ABED =13×48×2√3=32√3． 20．（10分）已知曲线C 上任意一点到F （3，0）距离比它到直线x ＝﹣5的距离小2，经过点F （3，0）的直线l 的曲线C 交于A ，B 两点． （1）求曲线C 的方程；（2）若曲线C 在点A ，B 处的切线交于点P ，求△P AB 面积最小值．【解答】解：（1）由题意知曲线C 上任意一点到F （3，0）距离与它到直线x ＝﹣3的距离相等，由抛物线的定义可知，曲线C 的方程为y 2＝12x ． （2）设点P （x 0，y 0），A （y 1212，y 1），B （y 2212，y 2），由题设直线l 的方程为my ＝x ﹣3，联立方程{my =x −3y 2=12x ，消去x 得y 2﹣12my ﹣36＝0，则y 1+y 2＝12m ，y 1y 2＝﹣36，由y 2＝12x 得2yy ′＝12，即y ′=6y ，则切线AP 的方程为y ﹣y 1=6y 1（x −y 1212），即为y =6y 1x +y 12，同理切线BP 的方程为y =6y 2x +y 22， 把点P （x 0，y 0），代入切线AP ，BP 方程得{y 0=6y 1x 0+y12y 0=6y 2x 0+y 22，解得{x 0=y 1y212y 0=y 1+y 22，则P （y 1y 212，y 1+y 22），即P （﹣3，6m ）， 点P （﹣3，6m ）到直线l ：x ﹣my ﹣3＝0的距离d =2√m +1=5√m 2+1，线段|AB |=√(m 2+1)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2]=√(m 2+1)(144m 2+144)=12（m 2+1），S △P AB =12|AB |d ＝36（m 2+1）√m 2+1=36（m 2+1）32，故当m ＝0时，△P AB 面积有最小值36．21．（10分）已知函数f （x ）＝ax ﹣1﹣e x ，其中a ∈R ．e ＝2.718⋯为自然对数的底数． （1）讨论函数的单调性；（2）若方程f （x ）＝xlnx 对x ∈（1，e ）有实根，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）f ′（x ）＝a ﹣e x ，当a ≤0时，f ′（x ）≤0恒成立，故函数f （x ）在R 上递减， 当a ＞0时，令f ′（x ）＞0， 解得x ＜lna ，故函数f （x ）在（﹣∞，lna ）递增，（lna ，+∞）递减， 综上所述，当a ≤0时，f （x ）在R 上递减，当a ＞0时，f （x ）在（﹣∞，lna ）递增，（lna ，+∞）递减； （2）由已知有：ax ﹣1﹣e x ＝xlnx 在（1，e ）有实数根， 参变分离可得：a =xlnx+e x +1x， 构造g （x ）=xlnx+e x +1x ，则g′(x)=(e x +1)(x−1)2，∵x ∈（1，e ），∴g ′（x ）＞0在（1，e ）恒成立， 故g （x ）在（1，e ）恒增，g(1)=e +1，g(e)=1+1e +e e−1， 故a 的取值范围是：(e +1，1+1e +e e−1)．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+sinα+cosα，y =cosα−sinα（α为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的方程为θ＝β（0＜β＜π2，ρ∈R ）． （1）求曲线C 的普通方程；（2）若曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，且|OA |+|OB |＝3，求直线l 的斜率．【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为{x =2+sinα+cosα，y =cosα−sinα（α为参数），转换为普通方程为（x ﹣2）2+y 2＝2， （2）根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，得把（x ﹣2）2+y 2＝2转换为极坐标方程为ρ2﹣4ρcos θ+2＝0；由于{ρ2−4ρcosθ+2=0θ=β，故ρ2﹣4ρcos β+2＝0， 所以ρ1+ρ2＝4cos β，ρ1ρ2＝2 故4cos β＝3；所以cosβ=34，sin β=√74； 故tanβ=√73； 故直线的斜率k =√73．23．已知函数f （x ）＝lg （|x ﹣m |+|x ﹣2|﹣3）（m ∈R ）． （1）当m ＝1，求函数f （x ）的定义域；（2）若不等式f （x ）≥0对于R 恒成立，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）m ＝1时，函数f （x ）＝lg （|x ﹣1|+|x ﹣2|﹣3）， 令|x ﹣1|+|x ﹣2|﹣3＞0，则不等式等价于{x ＜1(1−x)+(2−x)−3＞0或{1≤x ≤2(x −1)+(2−x)−3＞0或{x ＞2(x −1)+(x −2)−3＞0， 解得x ＜0或无解或x ＞3，所以函数f （x ）的定义域为（﹣∞，0）∪（3，+∞）；（2）若不等式f （x ）≥0对于R 恒成立，则|x ﹣m |+|x ﹣2|﹣3≥1恒成立，即|x ﹣m |+|x ﹣2|≥4，因为|x ﹣m |+|x ﹣2|≥|（x ﹣m ）﹣（x ﹣2）|＝|2﹣m |， 所以不等式可化为|2﹣m |≥4，即|m ﹣2|≥4， 所以m ﹣2≤﹣4或m ﹣2≥4， 解得m ≤﹣2或m ≥6，所以m 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．。

高考数学模拟试题含答案详解一、选择题1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $，求 $ f(2) $ 的值。

答案：将 $ x = 2 $ 代入函数 $ f(x) $，得 $ f(2) = 2^2 4\times 2 + 3 = 1 $。

2. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1 = 3$，公差为 $d = 2$，求第 $n$ 项 $a_n$ 的表达式。

答案：等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n 1)d$，代入$a_1 = 3$ 和 $d = 2$，得 $a_n = 3 + (n 1) \times 2 = 2n + 1$。

3. 已知等比数列 $\{b_n\}$ 的首项为 $b_1 = 2$，公比为 $q = 3$，求第 $n$ 项 $b_n$ 的表达式。

答案：等比数列的通项公式为 $b_n = b_1 \times q^{n1}$，代入 $b_1 = 2$ 和 $q = 3$，得 $b_n = 2 \times 3^{n1}$。

4. 已知三角形的两边长分别为 $a = 5$ 和 $b = 8$，夹角为$60^\circ$，求第三边长 $c$。

答案：利用余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 2ab \cos C$，代入 $a = 5$，$b = 8$，$C = 60^\circ$，得 $c^2 = 5^2 + 8^2 2 \times5 \times 8 \times \cos 60^\circ = 49$，所以 $c = 7$。

5. 已知函数 $ g(x) = \frac{1}{x} $，求 $ g(x) $ 的定义域。

答案：由于 $x$ 不能为 $0$，所以 $g(x)$ 的定义域为 $x \neq 0$。

二、填空题1. 已知函数 $ h(x) = \sqrt{4 x^2} $，求 $ h(x) $ 的定义域。

答案：由于根号内的值不能为负，所以 $4 x^2 \geq 0$，解得$2 \leq x \leq 2$。

2020年四川省高考数学（文科）模拟试卷1一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）若复数z 1与z 2＝﹣3﹣i （i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z 1＝（ ） A ．﹣3iB ．﹣3+iC ．3+iD ．3﹣i2．（5分）已知集合A ＝{0，1，2，3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，3}B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{0，1，2，3}3．（5分）甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ）A ．25B ．12C ．35D ．454．（5分）若α为第二象限的角，且tan α=−512，则cos α＝（ ） A ．513B ．−513C ．1213D ．−12135．（5分）已知双曲线的一个焦点与抛物线y 2=4√7x 的焦点重合，且与直线y ＝x ﹣1交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为−23，则此双曲线的标准方程是（ ） A ．x 23−y 24=1 B ．x 24−y 23=1C ．x 22−y 25=1D ．x 25−y 22=16．（5分）若e 1→，e 2→是两个单位向量，且（2e 1→+e 2→）⊥（﹣2e 1→+3e 2→），则|e 1→+2e 2→|＝（ ） A ．√6B ．6C ．√2D ．27．（5分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且a ＝5，cosC =45，△ABC 的面积为3，则c ＝（ ） A ．√11B ．2√3C ．√13D ．√148．（5分）已知sin(α+π6)=45，cos(β−π6)=1213，α，β∈(0，π6)，则cos （α+β）＝（ ）A ．6365B ．3365C ．1665D ．56659．（5分）如图，正四棱锥P ﹣ABCD 的侧面P AB 为正三角形，E 为PC 中点，则异面直线BE 和P A 所成角的余弦值为（ ）A ．√33B ．√32C ．√22D ．1210．（5分）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，f(32+x)=f(x −32)，且x ∈(−32，0)时，f （x ）＝log 2（﹣3x +1），则f （2020）＝（ ） A ．4B ．log 27C ．2D ．﹣211．（5分）已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，若点A 在抛物线上，且|AF |＝5，则|P A |+|PO |的最小值为（ ） A ．√5B ．2√5C ．√13D ．2√1312．（5分）已知函数f(x)=23x 3+ax 2在x ＝2处取得极值，则实数a ＝（ ） A ．﹣2B ．1C ．0D ．﹣1二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知实数x ，y 满足不等式组{x +y ≥m ，x +2y ≤2，y ≥0.若z ＝2x ﹣y 的最小值为﹣1，则m＝ ，z 的最大值是 ．14．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y =ax 2+bx （a ，b 为常数）过点P （2，﹣5），且该曲线在点P 处的切线与直线2x ﹣7y +3＝0垂直，则2a +3b 的值是 ． 15．（5分）一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°距塔64海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为 海里/小时．16．（5分）在底面半径为3高为4+2√3的圆柱形有盖容器内，放入一个半径为3的大球后，再放入与球面，圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入小球的个数最多为 个．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＞0，且S n=14（a n+1）2．（1）求{a n}的通项公式；（2）令c n＝a n a n+1，求数列{a n+1c n}前n项和T n．18．（12分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm），得到如图的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）；（2）已知尺寸在[63.0，64.5）上的零件为一等品，否则为二等品．将这80个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取1个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率．19．（12分）如图，已知BD为圆锥AO底面的直径，点C是圆锥底面的圆周上，AB＝BD＝AD＝2，∠BDC=π6，AE＝ED，F是AC上一点，且平面BFE⊥平面ABD．（Ⅰ）求证：AD⊥BF；（Ⅱ）求多面体BCDEF的体积．20．（12分）已知O 为坐标原点，点F 1，F 2为椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点，点E （a ，b ）在抛物线N ：x 2=4√33y 上，直线EF 2与椭圆M 的一个交点为F ，且EF 的中点恰为F 2．（1）求椭圆M 的标准方程；（2）过抛物线N 上一点P 与抛物线N 相切的直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，设AB 中点为C ，直线OP 与直线OC 的斜率分别是k 1，k 2，证明：k 1k 2为定值． 21．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣x ﹣lnx ． （1）求函数f （x ）的极值；（2）若x 1，x 2是方程ax +f （x ）＝x 2﹣x （a ＞0）的两个不同的实数根，求证：lnx 1+lnx 2+2lna ＜0．四．解答题（共2小题，满分10分）22．（10分）在极点为O 的极坐标系中，直线l ：ρcos θ＝1上有一动点P ，动点M 在射线OP 上，且满足|OP |•|OM |＝2，记M 的轨迹为C ． （1）求C 的极坐标方程，并说明C 是何种曲线；（2）若M 1(ρ1，π6)，M 2（ρ2，0），M 3(ρ3，−π6)均在曲线C 上，求△M 1M 2M 3的面积． 23．已知不等式|2x ﹣1|＜2的解集与关于x 的不等式﹣x 2﹣px +q ＞0的解集相同． （1）求实数p ，q 值；（2）若实数a ，b ∈R +，满足a +b ＝p +4q ，求1a+4b 的最小值．2020年四川省高考数学（文科）模拟试卷1参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）若复数z 1与z 2＝﹣3﹣i （i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z 1＝（ ） A ．﹣3iB ．﹣3+iC ．3+iD ．3﹣i【解答】解：∵复数z 1与z 2＝﹣3﹣i （i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称， ∴复数z 1与z 2＝﹣3﹣i （i 为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数， 则z 1＝﹣3+i ． 故选：B ．2．（5分）已知集合A ＝{0，1，2，3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，3}B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{0，1，2，3}【解答】解：A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |﹣2≤x ≤2}， ∴A ∩B ＝{0，1，2}． 故选：B ．3．（5分）甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ）A ．25B ．12C ．35D ．45【解答】解：由题意可得x 甲=16（88+87+85+92+93+95）＝90， 设被污损的数字为x ，则x 乙=16（85+86+88+90+99+x ）＝89+x6， 满足题意时，x 甲＞x 乙． 即：90＞89+x6，解得x ＜6，即x 可能的取值为0，1，2，3，4，5，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率为：p =610=35． 故选：C ．4．（5分）若α为第二象限的角，且tan α=−512，则cos α＝（ ） A ．513B ．−513C ．1213D ．−1213【解答】解：∵α是第二象限角，且tan α=sinαcosα=−512， ∴sin α=−512cos α，∵cos α＜0，sin α＞0，sin 2α+cos 2α＝1， ∴（−512cos α）2+cos 2α＝1，可得：cos α=−1213， 故选：D ．5．（5分）已知双曲线的一个焦点与抛物线y 2=4√7x 的焦点重合，且与直线y ＝x ﹣1交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为−23，则此双曲线的标准方程是（ ） A ．x 23−y 24=1 B ．x 24−y 23=1C ．x 22−y 25=1D ．x 25−y 22=1【解答】解：设双曲线方程为：x 2a −y 2b =1．将y ＝x ﹣1代入x 2a −y 2b =1，整理得（b 2﹣a 2）x 2+2a 2x ﹣a 2﹣a 2b 2＝0．由韦达定理得x 1+x 2=2a 2a 2−b2，则a 2a 2−b 2=−23．又c 2＝a 2+b 2＝7，解得a 2＝2，b 2＝5， 所以双曲线的方程是x 22−y 25=1．故选：C ．6．（5分）若e 1→，e 2→是两个单位向量，且（2e 1→+e 2→）⊥（﹣2e 1→+3e 2→），则|e 1→+2e 2→|＝（ ） A ．√6B ．6C ．√2D ．2【解答】解：∵（2e 1→+e 2→）⊥（﹣2e 1→+3e 2→），∴（2e 1→+e 2→）•（﹣2e 1→+3e 2→）＝﹣4e 1→2+3e 2→2+4e 1→⋅e 2→=−1+4e 1→⋅e 2→=0．可得：e 1→⋅e 2→=14．则|e 1→+2e 2→|=√e 1→2+4e 2→2+4e 1→⋅e 2→=√1+4+4×14=√6． 故选：A ．7．（5分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且a ＝5，cosC =45，△ABC 的面积为3，则c ＝（ ） A ．√11B ．2√3C ．√13D ．√14【解答】解：∵cosC =45，C ∈（0，π）， ∴sin C =35．∵△ABC 的面积为3， ∴12×5×b ×35=3，解得b ＝2．则c 2＝52+22﹣2×5×2×45=13， 解得c =√13． 故选：C ．8．（5分）已知sin(α+π6)=45，cos(β−π6)=1213，α，β∈(0，π6)，则cos （α+β）＝（ ） A ．6365B ．3365C ．1665D ．5665【解答】解：已知：sin(α+π6)=45，cos(β−π6)=1213，α，β∈(0，π6)， 所以：π6＜α+π6＜π3，故：cos(α+π6)=35， −π6＜β−π6＜0，所以：sin(β−π6)=−513，则：cos （α+β）＝cos[（α+π6）+（β−π6）]， =cos(α+π6)cos(β−π6)−sin(α+π6)sin(β−π6)， =35⋅1213−(−513)⋅45， =5665 故选：D ．9．（5分）如图，正四棱锥P ﹣ABCD 的侧面P AB 为正三角形，E 为PC 中点，则异面直线BE 和P A 所成角的余弦值为（ ）A ．√33B ．√32C ．√22D ．12【解答】解：连结AC ，BD ，交于点O ，连结PO ，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设AB =√2，则OA ＝OB ＝OP ＝1，A （1，0，0），B （0，1，0），C （﹣1，0，0），P （0，0，1），E （−12，0，12）， BE →=（−12，﹣1，12），PA →=（1，0，﹣1），设异面直线BE 和P A 所成角为θ， 则cos θ=|BE →⋅PA →||BE →|⋅|PA →|=1√32⋅2=√33．∴异面直线BE 和P A 所成角的余弦值为√33． 故选：A ．10．（5分）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，f(32+x)=f(x −32)，且x ∈(−32，0)时，f （x ）＝log 2（﹣3x +1），则f （2020）＝（ ） A ．4B ．log 27C ．2D ．﹣2【解答】解：根据题意，f（x）满足f(32+x)=f(x−32)，即f（x+3）＝f（x），函数f（x）是周期为3的周期函数，则f（2020）＝f（1+2019）＝f（1），又由f（x）为奇函数，则f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣log2（3+1）＝﹣2，故选：D．11．（5分）已知F为抛物线y2＝4x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，若点A在抛物线上，且|AF|＝5，则|P A|+|PO|的最小值为（）A．√5B．2√5C．√13D．2√13【解答】解：∵|AF|＝5，由抛物线的定义得点A到准线的距离为5，即A点的横坐标为4，又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标为（4，±4）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（﹣2，0），则|P A|+|PO|的最小值为|AB|=√(4+2)2+42=2√13，故选：D．12．（5分）已知函数f(x)=23x3+ax2在x＝2处取得极值，则实数a＝（）A．﹣2B．1C．0D．﹣1【解答】解：f′（x）＝2x2+2ax，∵f（x）在x＝2处取得极值，∴8+4a＝0，∴a＝﹣2．故选：A．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知实数x ，y 满足不等式组{x +y ≥m ，x +2y ≤2，y ≥0.若z ＝2x ﹣y 的最小值为﹣1，则m ＝1 ，z 的最大值是 4 ．【解答】解：先作出实数x ，y 满足约束条件{x +y ≥m ，x +2y ≤2，y ≥0.的可行域如图，∵目标函数z ＝2x ﹣y 的最小值为：﹣1，由图象知z ＝2x ﹣y 经过平面区域的A 时目标函数取得最小值﹣1． 由{2x −y =−1x +2y =2，解得A （0，1）， 同时A （0，1）也在直线x +y ﹣m ＝0上， ∴1﹣m ＝0， 则m ＝1，∵z ＝2x ﹣y 过点C （2，0）时取最大值； 所以其最大值为 z ＝2×2﹣0＝4． 故答案为：1.4．14．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y =ax 2+b x（a ，b 为常数）过点P （2，﹣5），且该曲线在点P 处的切线与直线2x ﹣7y +3＝0垂直，则2a +3b 的值是 ﹣8 ． 【解答】解：∵直线2x ﹣7y +3＝0垂直的直线的斜率k =−72， 曲线y =ax 2+bx （a ，b 为常数）过点P （2，﹣5）， 且该曲线在点P 处的切线与直线2x ﹣7y +3＝0垂直， ∴y ′＝2ax −bx 2，即有{4a−b4=−724a+b2=−5，解得：a＝﹣1，b＝﹣2，故2a+3b＝﹣8，故答案为：﹣8．15．（5分）一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为8√6海里/小时．【解答】解：如图所示，∠MPN＝75°+45°＝120°，∠PNM＝45°．在△PMN中，PMsin45°=MNsin120°，∴MN=64×√3√2=32√6，∴v=MN4=8√6（海里/小时）．故答案为：8√6．16．（5分）在底面半径为3高为4+2√3的圆柱形有盖容器内，放入一个半径为3的大球后，再放入与球面，圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入小球的个数最多为6个．【解答】解：画出圆柱与大球以及小球相切的轴截面图形（如图左图）设小球的半径为r则依题意（r+3）2＝（r﹣3）2+（4+2 √3−3﹣r）2．解得r＝1，则小球的球心在半径为2的圆上，并且小球的直径为2，小球球心所在截面（如图右图）两个小球的球心距离是2，边长为2的正六边形恰好在半径为2上．故能放6个．故答案为：6．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＞0，且S n =14（a n +1）2． （1）求{a n }的通项公式；（2）令c n ＝a n a n +1，求数列{a n +1c n}前n 项和T n ．【解答】解：（1）a 1＝1，且S n =14（a n +1）2， n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1=14（a n +1）2−14（a n ﹣1+1）2， 化简可得（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）＝0，由a n ＞0，可得a n ﹣a n ﹣1＝2，即{a n }为首项为1，公差为2的等差数列， 则a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1； （2）c n ＝a n a n +1＝（2n ﹣1）（2n +1），a n +1c n =（2n ﹣1）+1(2n−1)(2n+1)=（2n ﹣1）+12（12n−1−12n+1），可得前n 项和T n ＝（1+3+…+2n ﹣1）+12（1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1） =12n （1+2n ﹣1）+12（1−12n+1）＝n 2+n2n+1．18．（12分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm ），得到如图的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）； （2）已知尺寸在[63.0，64.5）上的零件为一等品，否则为二等品．将这80个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取1个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：（0.075+0.225）×0.5＝0.15，0.15+0.75×0.5＝0.525，所以中位数在[63.0，63.5）内，设为a，则0.15+（a﹣63.0）×0.75＝0.5，解得a≈63.47，所以估计中位数为63.47；（2）尺寸在[63.0，64.5）上的频率为（0.750+0.650+0.200）×0.5＝0.8，且1﹣0.8＝0.2，所以从生产线上随机抽取1个零件，估计所抽取的零件是二等品的概率为0.2．19．（12分）如图，已知BD为圆锥AO底面的直径，点C是圆锥底面的圆周上，AB＝BD＝AD＝2，∠BDC=π6，AE＝ED，F是AC上一点，且平面BFE⊥平面ABD．（Ⅰ）求证：AD⊥BF；（Ⅱ）求多面体BCDEF的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵△ABD是等边三角形，AE＝ED，∴AD⊥BE，∵平面BFE⊥平面ABD，且交线为BE，∴AD⊥平面BEF，∵BF⊂平面BEF，∴AD⊥BF．（Ⅱ）解：∵∠BDC＝30°，∠BCD＝90°，BD＝2，∴CD=√3，cos∠CAD=4+4−32×2×2=58，在Rt△AEF中，cos∠CAD=AEAF=58，∵AE＝1，∴AF=85，CF=25，∴点F到平面ABE的距离为点C到平面ABE的距离的4 5，∴V F﹣ABE=12×45V C−ABD=25V A−BCD，∴多面体BCDEF 的体积为：V BCDEF =35V A−BCD =35×13S △BCD ×AO =15×√32×√3=310．20．（12分）已知O 为坐标原点，点F 1，F 2为椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点，点E （a ，b ）在抛物线N ：x 2=4√33y 上，直线EF 2与椭圆M 的一个交点为F ，且EF 的中点恰为F 2．（1）求椭圆M 的标准方程；（2）过抛物线N 上一点P 与抛物线N 相切的直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，设AB 中点为C ，直线OP 与直线OC 的斜率分别是k 1，k 2，证明：k 1k 2为定值． 【解答】解：（1）由题意F 恰为（0，b ）， 所以中点F 2（c ，0）满足c =a2， 因为a 2＝b 2+c 2，所以a 2=43b 2， 由①②解得a ＝2，b =√3，c ＝1， 所以椭圆M 的标准方程为x 24+y 23=1；（2）证明：设P （t ，√3t 24），因为抛物线N ：y =√34x 2，求导y ′=√32x ，则直线AB 方程：y =√32t （x ﹣t ）+√34t 2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线AB 代入椭圆x 24+y 23=1得：12（1+t 2）x 2﹣12t 3x +3t 4﹣48＝0，因此x 1+x 2=t 31+t 2，y 1+y 2=√32t （x 1+x 2）−√32t 2=−√3t 22(1+t 2)，所以C （t 32(1+t )，−√3t 24(1+t 2)），则k 1=√34t ，k 2=−√32t ，所以k 1k 2=−38（点差法等其他方法正常给分）． 21．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣x ﹣lnx ．（1）求函数f （x ）的极值；（2）若x 1，x 2是方程ax +f （x ）＝x 2﹣x （a ＞0）的两个不同的实数根，求证：lnx 1+lnx 2+2lna ＜0．【解答】解：（1）依题意，f ′（x ）＝2x ﹣1−1x =2x 2−x−1x =(2x+1)(x−1)x．故当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＜0，当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0． 故当x ＝1时，函数f （x ）有极小值f （1）＝0，无极大值；证明：（2）∵x 1，x 2是方程ax +f （x ）＝x 2﹣x （a ＞0）的两个不同的实数根． ∴{ax 1−lnx 1=0ax 2−lnx 2=0，两式相减得a(x 1−x 2)+ln x 2x 1=0，解得a =ln x2x 1x 2−x 1．要证：lnx 1+lnx 2+2lna ＜0，即证：x 1x 2＜1a 2，即证：x 1x 2＜(x 2−x 1)2(ln x 2x 1)，即证(ln x 2x 1)2＜(x 2−x 1)2x 1x 2=x 2x 1−2+x 1x 2， 不妨设x 1＜x 2，令x 2x 1=t ＞1．只需证ln 2t ＜t −2+1t．设g(t)=ln 2t −t −1t+2，则g ′(t)=2tlnt −1+1t 2=1t (2lnt −t +1t )；令h （t ）＝2lnt ﹣t +1t ，则h ′（t ）=2t −1−1t 2=−(1t −1)2＜0，∴h （t ）在（1，+∞）上单调递减， ∴h （t ）＜h （1）＝0，即g ′（t ）＜0，∴g （t ）在（1，+∞）上为减函数，则g （t ）＜g （1）＝0． 即ln 2t ＜t −2+1t 在（1，+∞）上恒成立， ∴原不等式成立，即lnx 1+lnx 2+2lna ＜0． 四．解答题（共2小题，满分10分）22．（10分）在极点为O 的极坐标系中，直线l ：ρcos θ＝1上有一动点P ，动点M 在射线OP 上，且满足|OP |•|OM |＝2，记M 的轨迹为C ． （1）求C 的极坐标方程，并说明C 是何种曲线；（2）若M 1(ρ1，π6)，M 2（ρ2，0），M 3(ρ3，−π6)均在曲线C 上，求△M 1M 2M 3的面积． 【解答】解：（1）极点为O 的极坐标系中，直线l ：ρcos θ＝1上有一动点P ，动点M 在射线OP 上，记M 的轨迹为C ． 设点P （1，y 0），M （x ，y ）．由于点O ，P ，M 三点共线，所以yx=y 0，由于且满足|OP |•|OM |＝2，整理得√1+y 02⋅√x 2+y 2=2，化简得x 2+y 2＝2x ，（除去原点（0，0）），转换为极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ， 整理得ρ＝2cos θ．故该曲线为以（1，0）为圆心，1为半径的圆．（2）由于点M 1(ρ1，π6)，M 2（ρ2，0），M 3(ρ3，−π6)均在曲线C 上， 所以ρ1=2cosπ6=√3，ρ2＝2cos0＝2，ρ3=2cos(−π6)=√3， 所以转换为直角坐标M 1(32，√32)，M 2（2，0），M 3(32，−√32)，所以|M 1M 2|=(12)2+(32)2=1，|M 1M 3|=√3，|M 2M 3|=(−12)2+(32)2=1，所以S △M 1M 2M 3=12×√3×12=√34． 23．已知不等式|2x ﹣1|＜2的解集与关于x 的不等式﹣x 2﹣px +q ＞0的解集相同． （1）求实数p ，q 值；（2）若实数a ，b ∈R +，满足a +b ＝p +4q ，求1a+4b 的最小值．【解答】解：（1）由不等式得﹣2＜2x ﹣1＜2，解得−12＜x ＜32， 依题意，不等式﹣x 2﹣px +q ＞0的解集为(−12，32)，故{−14+12p +q =0−94−32p +q =0，解得{p =−1q =34； （2）由（1）得，a +b =−1+4×34=2， ∴1a +4b=12(a +b)(1a+4b)=12(4a b+b a+5)≥12(2√4a b⋅b a+5)=92，当且仅当“4a b =ba ”时取等号，∴1a+4b的最小值为92．。