新教材北师大版高中数学必修第一册 第二章函数 3函数的单调性和最值 教学课件

定义中的“任意 x1，x2∈D”能否改成“存在 x1，x2∈D”？ [提示] 不能．
1.下列命题中真命题的个数为( ) ①定义在(a，b)上的函数 f(x)，如果∃x1，x2∈(a，b)，当 x1<x2 时， 有 f(x1)<f(x2)，那么 f(x)在(a，b)上是增函数； ②如果函数 f(x)在区间 I1 上为减函数，在区间 I2 上也为减函数，那 么 f(x)在区间 I1 和 I2 上就一定是减函数； ③∀x1，x2∈(a，b)，且 x1≠x2，当fxx11－ －fx2x2<0 时，f(x)在(a，b) 上为减函数；
第二章 函数
§3 函数的单调性和最值 第1课时 函数的单调性
学习目标
核心素养
1．理解函数单调区间、单调性等概 1．通过单调区间、单调性等
念．(重点)
概念的学习，培养抽象概括素
2．会划分函数的单调区间，判断单调 养．
性．(重点、易混点)
2．通过用定义证明函数的单
3．会用定义证明函数的单调性．(难点) 调性，培养逻辑推理素养.
合作探究·释疑难
类型1 函数单调性的判定与证明 类型2 求函数的单调区间 类型3 函数单调性的应用
类型 1 函数单调性的判定与证明
【例 1】 求证：函数 f(x)＝x12在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞， 0)上是增函数．
[证明] 对于任意的 x1，x2∈(－∞，0)，且 x1<x2， 有 f(x1)－f(x2)＝x121－x122＝x22x－21x22x21＝x2－xx121xx222＋x1. ∵x1<x2<0， ∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0.
(1)(－∞，－4] (2)(－∞，1) [(1)∵ f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3 的开 口向下，要使 f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即 a≤－ 4.∴实数 a 的取值范围为(－∞，－4]．

因为x1<x2≤2,所以x1-x2<0,4-x1-x2>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以f(x)在区间(-∞,2]上是增加的.
-16-
§3 函数的单调性
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课课堂堂篇篇 探探究究学学习习
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思想方法
用图像法求函数的单调区间
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§3 函数的单调性
一
二
三
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【做一做2】 已知函数y=f(x)的图像如图所示,则函数的单调减区
间为
.
答案:
-∞,-
3 2
,
1 2
,
+
∞
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§3 函数的单调性
一
二
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函数单调区间的写法 (1)求函数的单调区间,必须先看函数的定义域.如果一个函数有 多个单调增(或减)区间,这些增(或减)区间应该用逗号隔开(即“局 部”),而不能用并集的符号连接(并完之后就成了“整体”). (2)因为函数的单调性反映函数图像的变化趋势,所以在某一点处 无法讨论函数的单调性,因此,书写函数的单调区间时,区间端点的 开或闭没有严格规定.习惯上,若函数在区间端点处有定义,则写成 闭区间,当然写成开区间也可以;若函数在区间端点处没有定义,则 必须写成开区间.
2.加绝对值的函数图像的处理方法 常见的加绝对值的函数有两种,一种是y=f(|x|),自变量上加绝对 值;另一种是y=|f(x)|,函数值上加绝对值.加绝对值的函数图像的画 法也有两种: (1)通过讨论绝对值内的式子的正负,去掉绝对值符号,把函数化 为分段函数,再依次画出分段函数每一段的函数图像. (2)利用函数图像的变换,即通过图像间的对称变换,得到已知函 数的图像.

最值问题的主要依据.一元二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系
通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)
对称轴在所给区间内.
2.对于一元二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨
论:
对称轴 x=h 与[m,n]
f(x)的单调性
∴当x=300时,f(x)max=25 000.即产量为300台时利润最大,最大利润为25 000
元.
探究点三 利用函数的最值解决恒成立问题
【例5】 已知x2-x+a>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.
解(方法一)令y=x2-x+a,
要使x2-x+a>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,
000
050)2+307 050.
所以当x=4 050,即每辆车的月租金为4 050元时,租赁公司的月收益最大,最
大月收益是307 050元.
规律方法 1.本题建立的是一元二次函数模型,应利用配方法求函数的最
值.
2.解函数应用题的一般步骤是
变式训练3
某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加
[a,b]上一定有最值.
变式探究
本例已知条件不变,判断f(x)在区间[1,3]上的单调性,并求f(x)在区间[1,3]上
的最值.
(1 -2 )(1 2 -4)
解任取x1,x2∈[1,3],且x1<x2,由本例知,f(x1)-f(x2)=
.
1 2
当1≤x1<x2≤2时,f(x1)>f(x2),f(x)在区间[1,2]上单调递减;

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三、强化新知
（1）
单调性推论
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三、强化新知
例2:如图是定义在闭区间[-6，9]上的函数 y=f(x) 的图象，根据图象说出 y=f(x) 的单调区间，以及 在每一单调区间上，函数 y=f(x) 是单调递增还是单调递减。
判号 下结论
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三、强化新知
证明函数单调性的步骤：
1.取值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2
2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形；
3.判号:确定f(x1)-f(x2)的正负； 4.下结论.
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三、强化新知
y 随 x 的增大的而 减小
在区间(0, +∞)上，
y 随 x 的增大的而增大
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二、探索新知，形成概念
问3：如何用数学符号语言描述图象
从左往右呈现上升趋势？
追问①：在不计算具体数值的情况下，比较下列大小关系？
<
>
追问②：随着自变量 x 取值增大，与之对应的函数值怎么变化？
解:单调区间： [-5,-2)，[1,3)， [4.5,7)， [8,9]， [-6,-5)， [-2,1)， [3,4.5)， [7,8) 其中 f(x) 在区间[-5,-2)，[1,3)， [4.5,7)， [8,9]上是单调递减， 在区间[-6,-5)， [-2,1)，[3,4.5)， [7,8)上是单调递增。
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三、强化新知
y
例3. 探究、画出反比例