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等比数列求和公式的推导

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构造函数在确定参数的范围及求值问题中的应用
刘玉 邵东县第一中学 邮编42800
夏桂芳（新疆石河子市第二中学，高级教师，邮编832000）
摘要：构造函数，是重要的数学方法. 运用构造法解题，是培养学生创造意识和创新
思维的手段之一. 其实创新思维是整个创新活动的关键，敏锐的观察力，创造性的想象，
独特的知识结构及活跃的灵感是其基本特征. 而构造法正是从这方面训练学生的思维，使
学生的思维由单一型转变为多角度，从而培养学生的创新思维能力.
关键词：构造函数，参数，求值
正文：
构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型，
从而使问题得以解决。构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用. 它是以广泛抽
象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点而采取相应的解决办法，其基本
的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法。在解题过程中，若按习惯定
势思维去探求解题途径比较困难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想，拓宽自己
思维范围。运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生
的解题能力也有所帮助。具体的说构造法就是根据题设条件和结论的特殊性，构造出一些新的
数学形式，并借它认识与解决原问题的一种思想方法. 通过巧妙地构造辅助函数，把原来的问
题转化为研究辅助函数的性质，从而达到解题目的. 本文主要运用构造辅助函数解答关于求参
数范围及求值问题的非函数问题.
一、确定参数的范围
例1 若不等式221(1)xmx对满足22m的所有m都成立，求x的取值范围.
解：原不等式可化为2(1)(21)0mxx.
构造函数2()(1)(21)fmxmx，22m，其图象是一条线段.
根据题意，只须

0)12()1(2)2(0)12()1(2)2(22xxfxxf，即


0122032222xx
xx

解得 231271x.
所以，使不等式221(1)xmx对满足22m的所有m都成立的x取值范围为
2312
71
x
.

点评：注意到本题有两个变量x、m，且x本来为主元，但为了解题方便，把原不等式看为
m
的一次函数，大大简化了运算. 在多字母的关系式中，应对参数的策略常常是“反客为主、变更主
元”，重新构造函数.

例2 nannxfxxx)1(21lg)(，其中a是实数,n是任意自然数且2n.
若)(xf在1,(x时有意义，求a的取值范围；
解： )(xf当1,(x时有意义等价于

12(1)0,(,1,2xxxnnaxn
且1,(x时恒成立，

即

.1,(,)1()2()1(xnnnna
xxx

恒成立. ①

因为

1,()1,3,2,1(,在）（nk

n

k
x

上都是增函数,

所以
121()()()()xxxngxnnn








在(-∞,1]上也是增函数,从而它在1x时()gx取得最大

值 1(1)12112(1)(1)2nnngnnnnn（）.
因此, ①式等价于 1(1)(1)2agn，

也就是a的取值范围为)1(21naa.
例3 已知不等式32)1(121212111aglnnn 对一切大于1的自然数n都成
立，求实数a的取值范围.
解：构造函数),2(212111)(Nnnnnnnf，
由011221121)()1(nnnnfnf，
知)(nf为增函数，最小值为653121)2(f.
故只须32)1(12165agl成立，解得2511a.
以上三例都是历年的高考试题，都与不等式恒成立有关，直接入手，难以解决，根据题目的特
点，构造函数，就可以使问题快速解决. 数列实际上是一列特殊的函数值，因此有许多与自然数有
关的问题从函数的角度去处理有较好的效果.
二、求值问题
例4 设7()5fxaxbx，ba,为常数，(7)7f，则)7(f的值为（ ）
A. -17 B. -7 C. 14 D. 7
解：5)(7bxaxxf
bxaxxf75)(
，

令7()()5xfxaxbx，则)(x为奇函数，从而有)7()7(，

5)7(5)7(ff

17)7(f
例5 设,分别是方程032xxgl 和032xx的根，求的值.
解：构造函数3)(2ttgltf ，则)(tf在区间),0( 上是单调增函数，
由是方程032xxgl的根，得230lg，即()0f；
由是方程032xx的根，得230，所以230
因此 2(3)lg，也就是2(3)(3)30lg，即(3)0f.
从而有 0)3()(faf.
由)(tf在区间),0( 上是单调增函数得 3a ，
所以3a.
总之，构造函数具有较强的灵活性和创新性，在数学解题时，观察题目的特点,发现条件中的关
系, 结合所学函数以及数学问题所处的背景，灵活构造，构造出符合题目特点的函数, 必会事半功
倍，收到意想不到的效果.

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等比数列求和公式推导过程数形结合

等比数列求和公式推导过程数形结合

等比数列求和公式推导过程数形结合全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：等比数列是数学中非常常见的一种数列，它的每一项与前一项的比值都相等。

对于等比数列求和公式的推导过程，其实可以通过数学推理和数形结合来完成。

在这篇文章中，我们将通过详细的步骤来演示等比数列求和公式的推导过程，并从数学和几何的角度来理解这一公式。

让我们来回顾一下等比数列的定义。

设等比数列的首项为a，公比为r，则该数列的第n项可以表示为an=a*r^(n-1)。

等比数列的求和问题是一个非常重要的数学问题，可以用来解决许多实际问题。

现在，我们来推导等比数列求和公式。

我们假设等比数列的首项为a，公比为r，前n项和为S_n。

我们知道数列的第n项为a*r^(n-1)，将前n项相加可以得到S_n = a + a*r + a*r^2 + ... + a*r^(n-1)。

接下来，我们将S_n乘以公比r，得到我们将这两个式子相减，得到化简得到S_n(1-r) = a(1 - r^n)。

我们将上式两边同时除以（1-r），得到等比数列前n项和的公式为通过上面的推导过程，我们得到了等比数列求和公式的表达式，这个公式对于等比数列的求和问题非常有用。

在实际应用中，我们也可以通过几何的方法来理解等比数列求和公式。

考虑一个长度为a的正方形，现在我们将正方形分成r等分，并对每一个小正方形依次进行放缩，则形成了一个等比数列。

这个等比数列的首项就是正方形的面积a，公比就是r。

接下来，我们将这个等比数列的前n项依次放到一起，得到的就是等比数列的前n项和S_n。

通过在几何图形上的放缩、旋转等操作，我们可以直观地感受到等比数列的和公式和几何图形之间的关系。

第二篇示例：等比数列是数学中一种常见的数列，它的每一项与前一项之比均为一个常数，这个常数被称为等比数列的公比。

等比数列在数学中有着重要的应用，可以通过等比数列来描述很多自然现象和科学问题，比如光学中的光线反射和折射、生物中的生长规律等等。

高中数学必修五等比数列前n项和公式的推导和应用

高中数学必修五等比数列前n项和公式的推导和应用


1 1 27 q 8 ( 2) 由 a1 27 , a 9 , 可得 : 243 243
又由 q 0, 可得：
q
Sn
于是当 n 8时
8 1 27 1 3 1640 1 81 1 ( ) 3
1 3
例 2、在等比数列 a n 中，求满足下列条件的 量 :
由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子 里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个 格子里的麦粒数依次是
1，2，2 ， 2， 2
1 2 22 23
2
3
63
因此，发明者要求的麦粒总数就是
263，
如果把各格所放的麦粒数看成一个数列， 我们可以得到一个首项为1，公比为2的等比 数列，而发明者要求的麦粒总数就可以看成 这个等比数列的前64项的和。
1 n
n· a1
1-q
例1、求下列等比数列前8项的和
(1) 1 1 1 , , , 2 4 8
(2)a1 27, a9
1 ,q 0 243
1 1 ,q (1) 因为 a1 解： 2 2
Sn 1 2
所以当 n 8时
8 1 1 2 255 1 256 1 2
由公式得： 30000
整理得 1.1n 1.6
5000 (11.1n ) 11.1
两边取对数，得 n lg1.1 lg1.6,
用计算器算得n
lg1.1 lg1.6

0.2 0.041
5
答：从今年起，大约 5年可使总销售量达到 30000 台。
1、 求 等 比 数 列 1, x , x , x , 的 前n 项 和s n .
等比数列的求和

等比数列的求和

等比数列的求和在数学中，等比数列是一种常见的数列形式。

它的每一项与前一项相乘得到下一项，比如1，2，4，8，16...就是一个等比数列，其中每一项都是前一项的两倍。

求和是数学中常见的操作，而对于等比数列来说，求和也有相应的方法。

本文将详细介绍等比数列的求和公式及其应用，帮助读者更好地理解和运用这一概念。

一、等比数列的定义与性质首先，我们来了解等比数列的定义和性质。

等比数列的定义如下：定义1：若数列a₁，a₂，a₃，...，an，...的每一项与它的前一项的比相等（不为零），即a(n+1)/an=d（称为等比数列的公比），则称该数列为等比数列。

在等比数列中，每一项与它的前一项的比值为常数d，这个常数也被称为等比数列的公比。

等比数列的公比决定了数列中每一项之间的关系。

而等比数列的性质主要有以下几点：性质1：等比数列的前两项之比不为零，即a₂/a₁≠0。

性质2：等比数列的任意三项可以构成一个比例，即a₁/a₂=a₂/a₃。

性质3：等比数列的任意两项都可以构成一个等比，即an/am=a(n-m)。

性质4：等比数列中，除了首项之外，任意一项与它前一项的比值都等于公比，即a(n+1)/an=d。

通过这些性质，我们可以更好地理解等比数列的特点和规律。

二、等比数列求和公式的推导接下来，我们将推导出等比数列求和公式。

设等比数列的首项为a₁，公比为q，首项与公比都已知。

现在我们考虑等比数列的前n项和S(n)，即S(n)=a₁+a₂+...+an。

我们将这个等比数列重复放置一次，并将两个数列按位相减，得到：a₁+a₂+...+ana₁*q+a₂*q+...+an*q------------------------------(a₁+a₁*q)+(a₂+a₂*q)+...+(an+an*q)可以观察到，相邻两项之间的“相同元素”(例如a₁*a₁*q)可以相加并合并为一个公比q，这样我们得到一个新的数列：(a₁+a₁*q)+(a₂+a₂*q)+...+(an+an*q)这个新的数列中，每一项都是原数列中对应项的公比倍。

等比数列前n项和公式的推导和运算

等比数列前n项和公式的推导和运算

由此对于一般的等比数列，其前 n项和
S n a 1 a 1 q a 1 q 2 a 1 q n 1 ，如何化简？
等比数列前n项求和公式
推导公式
a a q 已知：等比数列 { n}， 1， ，n
求：Sn
解：Sn=a1+a2 + a3 +a4 + …+an
=a1+a1q +a1q2+a1q3 +…+a1qn-1
(1) 等比数列前n项和公式： 利用“错位相减法”推
{ { Sn=
na 1
a1(1qn)
(q=1)
(q=1)
导
Sn=
1-q
na 1 (q=1)
a1anq (q=1)
1-q
(2) 等比数列前n项和公式的应用：
1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提； ２.在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。
所 S 1以 0 1 .1 a 1 ( 1 1 .1 1 .1 1)0 1 .1 a (1 .1 1 01 )
答：从今 10年 年内 起该家电厂 量的 是 1.1销 a(1.1售 101总 )万台 .
3、 (1)在等比a数 n中列 ， a1an66,a2an112,8
sn12,求 6n、 q
1 、求等 1 ,x,x2,比 x3, 的 数 n项 前 列 sn.和
2、某家电厂去量 年是 的 a万销台售，计划1在 内 0 以 每一年比上一 10% 年 ，增 问加 从今1年 0年起 内该家 厂的销售总量台 是多少万
3 、 ( 1 ) 在等 a n 中 a 1 比 a n ， 6 ,数 a 2 a 6 n 1 1 列 ,2
复习:等比数列 {an}