等比数列求和公式

等比数列求和公式万年历2013年3月6日星期三10:43 癸巳年正月廿五设置闹钟站内搜索支持本站公益活动等比数列等比数列的通项公式等比数列求和公式(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。

(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)；推广式：an=am×q^(n-m)；(3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)(q为比值，n为项数）(4)性质：①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2(5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠0）".(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。

等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。

（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。

（2）等比数列求和公式：Sn=nA1(q=1)Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)(前提：q≠1)任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。

等比数列的求和公式在数学中，等比数列是指一个数列中的各项依次相等的数之比保持不变。

求等比数列的和是数学中的一道常见问题，有一个通用的求和公式可以应用于求解。

设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。

那么等比数列的求和公式可以表示为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示前n项等比数列的和。

下面我们将通过一个例题来说明如何应用等比数列的求和公式。

例题：求等比数列1，2，4，8，16的前5项和。

解析：首先，我们可以将已知条件进行整理，得到a=1，r=2，n=5。

根据等比数列的求和公式，我们可以代入已知条件进行计算：Sn = 1 * (1 - 2^5) / (1 - 2)= 1 * (1 - 32) / -1= -31因此，等比数列1，2，4，8，16的前5项和为-31。

除了直接使用求和公式外，还可以通过拆分等比数列为几个部分来求解。

例如，对于例题中的等比数列1，2，4，8，16，我们可以将其拆分为以下部分进行求和：S1 = 1S2 = 1 + 2S3 = 1 + 2 + 4S4 = 1 + 2 + 4 + 8S5 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16观察可以发现，每一项的和可以通过前一项的和加上当前项来得到。

因此，我们可以利用这个规律，从第一项开始逐步求和，直到求得前n 项的和。

这个方法称为“递推求和法”。

以例题为例，我们可以通过递推求和法来求解：S1 = 1S2 = S1 + 2 = 1 + 2 = 3S3 = S2 + 4 = 3 + 4 = 7S4 = S3 + 8 = 7 + 8 = 15S5 = S4 + 16 = 15 + 16 = 31通过递推求和法，我们得到了前5项等比数列的和为31，与使用求和公式所得结果一致。

总结起来，等比数列的求和问题可以通过求和公式或递推求和法进行求解。

使用求和公式可以直接得到结果，递推求和法则需要逐步计算每一项的和。

根据实际情况选择合适的方法来解决问题。

等比数列的求和公式与性质等比数列是数学中常见的一种数列形式，它的求和公式以及性质在数学问题的解决过程中非常有用。

本文将介绍等比数列的求和公式与性质。

一、等比数列的求和公式在等比数列中，后一项与前一项的比值常数称为等比数列的公比，用q表示。

若首项为a，公比为q，求和的项数为n时，等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式计算得出：Sn = a * [(1 - q^n) / (1 - q)]该公式称为等比数列的求和公式。

其中，a表示首项，q表示公比，n表示项数。

二、等比数列求和公式的推导我们来推导等比数列求和公式的过程。

设Sn为要求的等比数列的前n项和，首项为a，公比为q。

首先，我们将等比数列的前n项与公比q相乘得到新的数列，记为qSn，即：qSn = q * [(aq) + (aq^2) + ... + (aq^n)]（式1）然后，我们将等比数列的前n项与公比q相乘后再减去等比数列本身，记为Sn - (aq)，即：Sn - aqSn = [(aq) + (aq^2) + ... + (aq^n)] - [(aq^(n+1))]（式2）对于等比数列的括号中的每一项，我们将其都乘以公比q，得到：Sn - aqSn = [(aq) + (aq^2) + ... + (aq^n)] - [(aq^(n+1))]（式3）= [(aq) + (aq^2) + ... + (aq^n) + (aq^(n+1))] - [(aq^(n+1))]（式4）我们可以看到，等比数列的求和Sn减去公比q与Sn的乘积aqSn 后，得到的结果就是等比数列的前n项与其下一项aq^(n+1)之和。

进一步整理上述式子，化简得到：Sn - aqSn = (aqSn - aq^(n+1)) - [(aq^(n+1))]（式5）Sn - aqSn = aqSn - 2aq^(n+1)+ aq^(n+1)（式6）Sn - (aqSn) = Sn - (aq^(n+1) - aqSn)（式7）括号内的(aqSn)与Sn相减，得到：Sn - (aqSn) = (Sn - aqSn)（式8）再进一步，将式2与式8相结合，消除公式中的Sn-aqSn，得到：Sn - aqSn = (Sn - aqSn) - (aq^(n+1) - aqSn)（式9）Sn - aqSn = 0 - aq^(n+1)（式10）根据等比数列的定义，Sn - aqSn可以表示为Sn - aqSn = Sn*(1-q)，代入式10中，得到：Sn*(1-q) = 0 - aq^(n+1)（式11）将式11两边的Sn移到一边，得到：Sn = a * [(1 - q^n) / (1 - q)]（式12）经过推导，我们成功地得到了等比数列的求和公式。

等比数列求和公式和等差数列求和公式
等比数列求和公式：设等比数列的首项为a，公比为r，求前n项和为Sn，则等比数列求和公式为：
Sn=a*(r^n1)/(r1)
其中，n为项数。

举例说明：
假设有一个等比数列，首项a为3，公比r为2，求前5项的和。

根据等比数列求和公式，代入a=3，r=2，n=5：
S5=3*(2^51)/(21)
=3*(321)/1
=3*31
=93
所以前5项的和为93。

等差数列求和公式：设等差数列的首项为a，公差为d，求前n项和为Sn，则等差数列求和公式为：
Sn=n*(a+l)/2
其中，n为项数，l为最后一项（第n项）。

举例说明：
假设有一个等差数列，首项a为2，公差d为3，求前6项的和。

首先需要确定最后一项l，可以通过等差数列通项公式
an=a+(n1)*d来计算，代入a=2，d=3，n=6：
l=a+(n1)*d
=2+(61)*3
=2+5*3
=2+15
=17
然后，代入公式Sn=n*(a+l)/2，代入n=6，a=2，l=17：
S6=6*(2+17)/2
=6*19/2
=6*9.5
=57
所以前6项的和为57。

等比数列的求和公式与应用等比数列是数学中常见的数列类型，它的特点是每一项与它的前一项的比都是相等的。

对于一个等比数列，求和公式是其中一个重要的概念。

本文将介绍等比数列的求和公式以及它的应用。

一、等比数列的求和公式对于一个等比数列，如果它的首项是a，公比是r，共有n项，那么它的求和公式为：S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，S_n表示等比数列的前n项和。

二、等比数列求和公式的推导为了更好地理解等比数列求和公式的来源，我们来推导它。

假设等比数列的首项是a，公比是r，前n项和是S_n。

我们可以将等比数列按照如下形式进行反向排列：a * (1 - r^(n-1)), a * (1 - r^(n-2)), ..., a * (1 - r^2), a * (1 - r), a如果我们将这两列数列对应项相加，我们可以得到：(a * (1 - r^n) / (1 - r)) + (a * (1 - r^(n-1)) / (1 - r)) + ... + (a * (1 - r^2) / (1 - r)) + (a * (1 - r) / (1 - r)) + a经过简化，我们可以得到：S_n = (a * (1 - r^n) / (1 - r))这就是等比数列求和公式的推导过程。

三、等比数列求和公式的应用等比数列求和公式在数学和实际生活中都有广泛的应用。

下面介绍几个常见的应用场景。

1. 财务计算等比数列求和公式可以用于财务计算中。

例如，某人每年的工资增长率是10%，他从毕业到退休共工作30年，那么他的总工资可以通过等比数列求和公式来计算。

2. 数学问题等比数列求和公式可以用于解决一些数学问题。

例如，有一种紧凑的存储设备，每年存储容量增长30%，现在要计算设备在未来5年的总存储容量，就可以使用等比数列求和公式。

3. 基金投资等比数列求和公式还可以应用于基金投资中。

例如，某基金每年的收益率是5%，如果一个人每年投资1000元，持续投资10年，那么他的投资总额可以通过等比数列求和公式来计算。

等比数列公式求和公式等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列。

等比数列的求和公式是指将等比数列的前n项求和的公式。

下面将详细介绍等比数列和求和公式的相关知识。

一、等比数列的定义等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列。

设等比数列的首项为a，公比为r，那么等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)其中，an表示等比数列的第n项。

二、等比数列的性质1. 等比数列的任意项与首项之比等于公比：a2/a1 = a3/a2 = ... = an/a(n-1) = r2. 等比数列的任意项与末项之比等于公比的n-1次方：an/a1 = r^(n-1)3. 等比数列的前n项和可以通过公式计算得到。

三、等比数列的求和公式等比数列的前n项和可以通过求和公式计算得到。

设等比数列的首项为a，公比为r，前n项和为Sn，则有以下求和公式：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)四、等比数列求和公式的推导下面通过推导，来证明等比数列求和公式的正确性。

计算等比数列的前n项和Sn：Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)将Sn乘以公比r：r * Sn = ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^n将等式两边相减：Sn - r * Sn = a - ar^n化简得：Sn * (1 - r) = a * (1 - r^n)再将等式两边除以(1 - r)，得到等比数列的求和公式：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)五、等比数列求和公式的应用等比数列求和公式在数学和实际问题中有着广泛的应用。

通过求和公式，我们可以快速求解等比数列的前n项和，从而简化计算过程。

在金融、工程、物理等领域中，等比数列求和公式也经常被使用。

六、例题解析下面通过一个例题来说明等比数列求和公式的具体应用。

例题：已知等比数列的首项为2，公比为0.5，求该等比数列的前10项和。

等比数列和的求和公式
等比数列和的求和公式是一种计算等比数列和的有效方法，它可以有效地帮助人们计算出等比数列的总和。

等比数列是一种特殊条件下的数列，指的是每一项与它的前一项之比相同的数列，记为~{a_n}~。

等比数列的总和可以用公式~S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)~求得，其中
~q~是两项之比。

虽然使用等比数列和的求和公式不难理解，但仍有一些要指出的关键点。

首先，任意一个等比数列都有一个界定的常数~q~，如果~q=1~，那么这个等比数列就变
成了一个等差数列。

而当~q=0~时，前n项及其总和全部变为了a_1。

其次，等比
数列的总和也是有界的，即当~q=-1~时，等比数列的总和是收敛的，而当~q>1~时，等比数列的总和是正无穷的。

最后，如果求解等比数列的总和，可以考虑将等比数列分解为多个等差数列，然后使用等差数列求和公式计算出等比数列总和。

总之，等比数列和的求和公式是一个很有效的等比数列求和方式，也是许多数学计算的基础。

因此，熟悉和正确使用这一公式，对于人们掌握等比数列知识和解决类似问题来说是十分重要的。

等比数列求和公式例题等比数列求和公式是求等比数列之和的公式。

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠0。

注：q=1 时，an为常数列。

利用等比数列求和公式可以快速的计算出该数列的和。

1、等比数列求和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1)。

通项公式：an=a1×q^(n-1)2、等差数列求和公式：Sn=na1+n(n-1)d/2。

3、文字公式：末项=首项+(项数-1)×公差；项数＝（末项－首项）÷公差+1；首项=末项-(项数-1)×公差；和=(首项+末项)×项数÷2；末项:最后一位数；首项:第一位数等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。

这个常数叫做等差数列的公差。

前n项和公式为: Sn=a1*n+ [n* (n-1)*d]/2或Sn= [n* (al+an)]/2。

等差数列：an=a1+(n-1)d；知道首尾==> Sn = (a1+an)n/2；知道首项==> Sn = [2na1+n(n-1)d]/2；等比数列：an = a1*q^(n-1)Sn = a1(1-q^n)/1-q当-1<q<1时，Sn非零当n趋于无穷，Sn = a1/1-q等差数列求和公式有①等差数列公式an=a1+(n-1)d、②前n项和公式为:Sn=na1 +n(n-1③若公差d= 1时:Sn=(a1+an④若m+n=p+q则:存在am+an=a⑤若m+n=2p则:am+an=2ap,以上n均等差数列是常见数列的一种可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每-项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差公差常用字母d表示。

等比数累求和公式等比数列是指一个数列中的每一项与它前一项的比值都相等的数列。

比如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，因为每一项都是前一项的两倍。

等比数列的求和公式是一个非常有用的工具，可以用来计算等比数列的前n项和。

这个公式可以用来解决很多实际问题，比如计算利息、计算复利、计算人口增长等等。

等比数列求和公式的形式是Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项的和，a表示首项，r表示公比，n表示项数。

我们来看一个简单的例子。

假设有一个等比数列，首项为2，公比为3，我们想要计算前5项的和。

根据等比数列求和公式，我们可以计算出Sn = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3) = 242。

所以，这个等比数列的前5项的和是242。

除了计算前n项的和之外，等比数列求和公式还可以用来计算无穷项的和。

当公比的绝对值小于1时，等比数列的和会趋向于一个有限的值。

例如，如果公比为0.5，那么等比数列的和将是无穷个0.5的和，即1。

这是因为每一项都是前一项的一半，所以无论有多少项，和都是1。

另外一个应用等比数列求和公式的例子是计算复利。

假设你将1000元存入银行，年利率为5%，每年复利一次。

如果你想知道存款在5年后的总额，可以使用等比数列求和公式。

首项是1000元，公比是1.05（因为每年利息是本金的 1.05倍），项数是5。

根据公式计算，总额为1000 * (1 - 1.05^5) / (1 - 1.05) ≈ 1282.04元。

等比数列求和公式还可以用来计算人口增长。

假设某个城市的人口每年增长5%，如果我们知道了初始人口和增长率，可以使用等比数列求和公式来预测未来的人口数量。

这个公式非常有用，可以帮助我们规划城市发展，制定人口政策等。

等比数列求和公式是一个非常实用的数学工具，可以用来解决很多实际问题。

通过这个公式，我们可以计算等比数列的前n项和，预测未来的人口增长，计算复利等等。

等比数列求和公式及其概念是什么等比数列求和公式q≠1时 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)q=1时Sn=na1(a1为首项,an为第n项,d为公差,q 为等比)这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠0。

注：q=1时，{an}为常数列。

利用等比数列求和公式可以快速的计算出该数列的和。

等比数列的概念1、等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数(不为0)，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q来表示。

定义可以用公式表达为：a(n+1)/an=q(式中n为正整数，q为常数)。

特别注意的是，q是一个与项数n无关的常数2、等比中项：三个数 a、G、b依次组成等比数列，则G叫做的等比中项，且G2=a+b(等比中项的平方等于前项与后项之积)。

如何学好高中数学1.背诵数学公式数学的出题方式有很多种，但是解题方法却是相对固定的，需要熟练掌握数学公式。

在学习高中数学的时候，我们一定要先把数学公式背诵清楚，做到在考试的时候能够记得起计算公式，这是学好高中数学的关键步骤。

如果连数学公式都不记得，那做题和解题就无从谈起了。

2、高质量的题海战术与文科相比，数学这门学科更重视“刷题”。

一般来说，数学是“刷题”越多，成绩越好，但我们在采取题海战术的同时，一定注意效率。

首先，我们需要明白我们正在做的题属于什么类型;其次，要根据自己的考试情况灵活学习，基本的策略是：哪里薄弱，就重点学习哪里;实在搞不懂的部分，就暂时放弃。

有针对性的练习，才进步得快。

所以要想数学成绩进步快，专项训练绝对是必要的。

有些学生好高骛远，一开始就每天练一套高考试卷，以为这样考得越多越能吃透高考，殊不知，这种练习有很大的侥幸成分，倘能各个击破，全都扎实了，还怕高考不成?3.学会独立思考高中数学的学习需要具备一定的逻辑思维能力，通过独立思考可以提高学习效果。

1、等比数列求和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1)。

通项公式：an=a1×q^(n-1)2、等差数列求和公式：Sn=na1+n(n-1)d/2。

3、文字公式：末项=首项+(项数-1)×公差；项数＝（末项－首项）÷公差+1；首项=末项-(项数-1)×公差；和=(首项+末项)×项数÷2；末项:最后一位数；首项:第一位数等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。

这个常数叫做等差数列的公差。

前n项和公式为: Sn=a1*n+ [n* (n-1)*d]/2或Sn= [n* (al+an)]/2。

等差数列：an=a1+(n-1)d；知道首尾==> Sn = (a1+an)n/2；知道首项==> Sn = [2na1+n(n-1)d]/2；等比数列：an = a1*q^(n-1)Sn = a1(1-q^n)/1-q当-1<q<1时，Sn非零当n趋于无穷，Sn = a1/1-q等差数列求和公式有①等差数列公式an=a1+(n-1)d、②前n项和公式为:Sn=na1 +n(n-1③若公差d= 1时:Sn=(a1+an④若m+n=p+q则:存在am+an=a⑤若m+n=2p则:am+an=2ap,以上n均等差数列是常见数列的一种可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每-项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差公差常用字母d表示。

①若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq；②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列；③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2；④ 若G是a、b的等比中项，则G^2=ab（G ≠ 0）；⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零；注意：上述公式中an表示等比数列的第n 项。

等比数列求和公式等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比例都相等。

如果等比数列的首项为a，公比为r，那么它的第n项可以表示为a*r^(n-1)。

接下来我们来推导等比数列的求和公式。

假设等比数列的首项为a，公比为r，它的前n项和为S_n。

我们可以将数列从第一项到第n项表示为：a, ar, ar^2, ar^3, ..., ar^(n-1)接着我们将数列的每一项与公比r相乘，得到：ar, ar^2, ar^3, ..., ar^(n-1), ar^n然后我们将这两个数列相减：S_n - ar^n = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-2) + ar^(n-1) -ar^n可以观察到，右边这一部分是一个等差数列，且首项为a，公差为ar，共有n-1项。

等差数列的前n-1项和可以表示为：S = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-2) + ar^(n-1)如果我们乘以公比r，得到：rS = ar + ar^2 + ... + ar^(n-1) + ar^n然后我们将上述两个公式相减：S_n - ar^n - rS = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-2) + ar^(n-1)- ar^n - (ar + ar^2 + ... + ar^(n-1) + ar^n)可以合并同类项得到：S_n - ar^n - rS = a - ar^n再对左边的等式进行因式分解，得到：S_n-rS=a(1-r^n)因为我们求的是前n项的和，所以公式变为：S_n=a(1-r^n)/(1-r)最后，将等比数列的求和公式总结如下：S_n=a(1-r^n)/(1-r)这就是等比数列的求和公式。

使用这个公式，我们可以快速计算等比数列的前n项和。

等比求和的两个公式等比数列是数学中一种常见的数列，它的求和公式有两个。

下面我将分别介绍这两个公式及其应用。

第一个公式是等比数列的求和公式，也叫做等比级数的求和公式。

等比级数是以一个非零实数为首项，以一个非零实数为公比的数列。

公比指的是相邻两项之间的比值。

等比数列的求和公式如下：S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q)其中，S_n表示等比级数的前n项和，a表示首项，q表示公比。

这个公式的应用非常广泛。

例如，在金融领域中，等比级数的求和公式可以用来计算复利的本金和利息。

假设有一笔本金为P的投资，年利率为r，投资期限为n年。

每年的利息都会按照等比级数的方式进行累计。

根据等比级数的求和公式，我们可以计算出n年后的本金和利息总额。

第二个公式是等比数列的部分和公式。

等比数列的部分和指的是数列的前n项和。

部分和公式如下：S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q)这个公式在实际应用中也非常常见。

例如，在工程中，我们经常会遇到等比数列的部分和问题。

比如，某个工程项目需要在每个阶段都进行相同的工作量，且工作量呈等比增长。

我们可以使用等比数列的部分和公式来计算出前n个阶段总共需要完成的工作量。

等比数列的求和公式包括等比级数的求和公式和等比数列的部分和公式。

这两个公式在金融、工程等领域有着广泛的应用。

通过运用这些公式，我们可以更方便地计算等比数列的和，解决实际问题。

在实际应用中，我们还可以使用计算机软件或者计算器来快速计算等比数列的和，提高计算效率。

等比数列通项公式求和等比数列是指具有相同的比例关系的数列，即任意相邻两项的比相等。

通项公式表示为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。

求等比数列的和有多种方法，这里我们主要介绍通项公式求和的方法。

假设等比数列的首项为a1，公比为r，要求前n项的和Sn。

方法1：代入法求和我们可以通过将前n项的和Sn代入通项公式来求和。

将Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)放缩整理得到Sn=(a1*r^n-a1)/(r-1)这是等比数列求和的标准公式，其中a1、r、n为已知条件，代入相应的数值即可求解。

方法2：差分法求和使用差分法可以较快地求得等比数列的和。

首先，我们将Sn写成两个部分的和，即Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an。

然后，我们将Sn每一项与公比r相除，得到新的数列b1, b2, ..., bn-1, bn。

那么，新的数列的和S'n可以表示为S'n = b1 + b2 + ... + bn-1+ bn。

通过对S'n进行求和，我们可以得到：S'n = a1/r + a2/r + ... + an-1/r + an/r接下来，我们将Sn减去r倍的S'n：Sn - rS'n = (a1 + a2 + ... + an) - r(a1/r + a2/r + ... +an/r)= a1 + a2 + ... + an - (a1 + a2 + ... + an)=0因此，Sn-rS'n=0，即Sn=rS'n。

展开得到：Sn = r(a1/r + a2/r + ... + an-1/r + an/r)= a1 + a2 + ... + an-1 + an这说明，原等比数列的和Sn等于公比r乘以新数列的和S'n。

而新数列的和可以通过等比数列的通项公式求解。

通过上述两种方法，我们可以很方便地求得等比数列的和。

等⽐数列求和公式等⽐数列等⽐数列的通项公式等⽐数列求和公式 (1) 等⽐数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。

(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)； 推⼴式：an=am×q^(n-m)； (3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) (q为⽐值，n为项数） (4)性质： ①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq； ②在等⽐数列中，依次每 k项之和仍成等⽐数列. ③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2 (5) "G是a、b的等⽐中项""G^2=ab（G ≠ 0）". (6)在等⽐数列中，⾸项a1与公⽐q都不为零. 注意：上述公式中an表⽰等⽐数列的第n项。

等⽐数列 如果⼀个数列从第2项起，每⼀项与它的前⼀项的⽐等于同⼀个常数，这个数列就叫做等⽐数列。

这个常数叫做等⽐数列的公⽐，公⽐通常⽤字母q表⽰(q≠0)。

（1）等⽐数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1） 若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作⾃变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的⼀群孤⽴的点。

（2）等⽐数列求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n) (前提：q≠ 1) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m) （3）从等⽐数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} （4）等⽐中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等⽐中项。

等比数列的求和公式
在数学中，等比数列是一种特殊的数列，其中每个数字都是前一个数字乘以相同的固定比例得到的。

求和公式是一种用于计算等比数列前n项和的公式。

接下来，我将以清晰、简洁的方式介绍等比数列的求和公式。

等比数列主要是由三个要素组成：首项 (a)，公比 (r) 和项数 (n)。

首项是数列的第一个数字，公比是指相邻两个数字的比例，项数是数列的前n项。

对于一个等比数列，我们可以用以下公式来计算前n项的和：
Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)
其中，Sn代表前n项的和，a代表首项，r代表公比，n代表项数。

举个例子来说明等比数列的求和公式的应用。

假设我们有一个等比数列，首项是2，公比是3，我们想要求这个数列的前5项和。

首先，我们确定等式中的变量值，a = 2，r = 3，n = 5。

接下来，我们将这些值代入公式中：
S5 = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3)
计算结果为：
S5 = 2 * (-242) / (-2)
经过简化，我们得到：
S5 = 121
所以，这个等比数列的前5项和是121。

等比数列的求和公式可以方便地计算出任意项数的数列和。

使用这个公式，我们可以解决各种与等比数列相关的问题。

总结一下，等比数列的求和公式是通过首项、公比和项数来计算前n项和的公式。

这个公式在数学中具有广泛的应用，可以帮助我们快速求解等比数列的和。

掌握这个公式，将有助于我们更好地理解和解决与等比数列相关的问题。