方程的根与函数的零点练习题1

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8
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6
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4
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2
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. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
－2 .
－4
－6
f (2) ln 2 2 0，f (3) ln 3 0，即f (2) f (3) 0
又 f (x)在(0, )连续
由函数零点存在定理知，f (x)在(2,3)内至少有一个零点
易证f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数， 所以函数在定义域(0,+∞)内仅有一个零点.
[例2]方程ex－x－2＝0的根所在区间为( AD ). A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D(1,2)
(法1)令f(x)=ex－x－2，
(法2)ex－x－2＝0的根
f(-2)=e-2+2－2=e-2>0，
⇔ex=x－2的根
f(-1)=e-1+1－2=e-1-1<0， ⇔y=ex和y=x－2的交点横坐标
f(0)=e0－0－2=-1<0， f(1)=e1－1－2=e－3<0， f(2)=e2－2－2=e2－4>0.
画图 检验f(-2)·f(-1)<0 及f(1)·f(2)<0
函数零点存在定理的运用2——确定零点个数
[例3]函数f(x)=ex+ln|x|的零点个数为___2___个.
函数零点存在定理的运用3——由零点个数求参数
记载了费拉里的四 次方程 一般解法
1802～1829·挪威 阿贝尔
证明了五次以上一般方程 没有求根公式
ln x 2x 6 0
y ln x 2x 6
超越方程
零点问题
不能用代数运算求解 一种判定函数有零点的方法

考点12：零点定理【题组一 求零点】1．函数f （x ）2120810x x log x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+⎩（），（）（＞）的零点为_____. 【答案】﹣3【解析】当0x ≤时，()120,38xf x x =-=∴=-； 当0x >时，()()2log 10,0f x x x =-+=∴=，不满足，排除；故函数零点为3- 故答案为：3- 2．若函数()()2log a f x x =+的零点为2-，则a =________. 【答案】3【解析】根据题意，若函数f （x ）＝log 2（x +a ）的零点为﹣2， 则f （﹣2）＝log 2（a ﹣2）＝0，即a ﹣2＝1，解可得a ＝3，故答案为33．设函数[)()222,1,()2,,1x x f x x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩，则函数()y f x =的零点是________________. 【答案】0或1【解析】()0f x =等价于1220x x ≥⎧⎨-=⎩或2120x x x <⎧⎨-=⎩，解得1x =或0x =，所以，函数()y f x =的零点是0或1．故答案为：0或1． 【题组二 零点区间】1．函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】A【解析】3(0)log 210f =-<，3(1)log (12)1110f =++-=>，所以(0)(1)0f f <， 根据零点存在性定理，函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是(0,1)，故选：A. 2．已知函数()26log 21f x x x =--+.在下列区间中,包含()f x 零点的区间是( ) A ．()0,1B ．()1,3C ．()3,5D ．()5,7【答案】D【解析】函数()26log 21f x x x =--+，在其定义域上连续， 又()2255log 53log 08f =-=<，()2237log 72log 04f =--=>， 故函数()f x 的零点在区间()5,7上.故选：D. 3．函数1()sin 2f x x x =-在下列哪个区间必有零点（ ） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】∵(0)0sin 00f =-=，1024f ππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()02f ππ=>， ∴()02f f ππ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，∴在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内必有零点.故选：B .【题组三 零点个数】1．函数()231xf x log x =-的零点个数为 .【答案】2【解析】函数()231xf x log x =-的零点，即方程2310xlog x -=的解，即213xlog x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，转化为函数2y log x =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的交点，在同一平面直角坐标系上作出函数2y log x =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，如下所示：从函数图象可知，2y log x =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭有两个交点，即方程2310x log x -=有两个实数根，即函数()231x f x log x =-有两个零点.2．函数()22xf x e x =+-在区间()21-，内零点的个数为 .【答案】2【解析】令22e 20,2xxx e x +-==-+,画出2,2xy e y x ==-+的图象如下图所示,由图可知,图象有两个交点,故原函数有2个零点.3．函数f （x ）＝cosπx ﹣（12）x+1在区间[﹣1，2]上的零点个数为 . 【答案】3【解析】根据题意可知，函数1()cos ()12xf x x π=-+在区间[1,2]-上的零点的个数， 即为函数cos y x π=的图象与函数1()12xy =-的图象在区间[1,2]-上的交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数图象如图所示：可以发现有三个公共点，所以函数1()cos ()12xf x x π=-+在区间[1,2]-上有三个零点， 4．函数()2ln f x x x =+的零点个数是 .【解析】因为ln y x =与2yx 均在0,上为增函数，所以函数()2ln f x x x =+至多一个零点又221111ln 10f e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1ln1110f =+=>，()110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，即函数()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点.5．函数()3f x x =,则()f x 的零点个数为________. 【答案】1【解析】函数()f x 定义域为[)0,+∞303x x -=⇔-=令123,y x y =-=()f x 的零点的个数就是函数123,y x y =-=，[)0,x ∈+∞的交点个数如上图所示，则()f x 的零点个数为1.故答案为：16．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(4)f x f x =-,且当[0,2]x ∈时,()cos f x x =,则()()lg g x f x x =-的零点个数为____________. 【答案】10【解析】由于定义在R 上的偶函数()y f x =满足()4()f x f x =-, 所以()y f x =的图象关于直线2x =对称,画出[0,)x ∈+∞时，()y f x =部分的图象如图,在同一坐标系中画出lg y x =的图象, 由图可知：当(0,)x ∈+∞时,有5个交点, 又lg y x =和()y f x =都是偶函数,所以在(,0)x ∈-∞上也是有5个交点,所以()()lg g x f x x =-的零点个数是10， 故答案为：10.7．函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为_______________. 【答案】6【解析】函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点，即方程25sin log ||022x x π⎛⎫-=⎪⎝⎭的解，令()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭，()2log ||h x x = 也就是函数()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()2log ||h x x =的交点，在同一平面直角坐标系中画出()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()2log ||h x x =的图象如下所示，由图可知()5sin 22g x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭与()2log ||h x x =有6个交点，即25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭有6个零点.故答案为：68．f(x)是R 上的偶函数，f(x ＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x 2，则函数y ＝f(x)－|log 5x|的零点个数为 . 【答案】5【解析】∵f(x ＋2)＝f(x)，∴函数()f x 的周期为2． 由题意可得()5f x log x =，在同一坐标系内画出函数()y f x =和5y log x =的图象，如下图，由图象得，两函数图象有5个交点， 所以函数y ＝f(x)－|log 5x|共有5个零点． 9．若偶函数()f x 的图像关于32x =对称,当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x x =,则函数()()20log g x f x x =-在[]20,20-上的零点个数是 .【答案】26【解析】令()20log h x x =，定义域为非零的实数集，()()2020log log h x x x h x -=-==，所以该函数为偶函数，又()f x 是偶函数()g x ∴是偶函数，且0x ≠，由()()20log 0g x f x x =-=得()20log f x x =当0x >时有()20log f x x = 偶函数()f x 的图象关于32x =对称， ()()f x f x ∴-=且()()3f x f x =-，()()()()333f x f x f x f x ∴+=-+=-=⎡⎤⎣⎦，()f x ∴是3T =的周期函数，32kx ∴=,k Z ∈为()f x 的对称轴 当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x x =∴()()()()()2021111120f f f f h =-=-===当(]0,20x ∈,()f x ,()h x 在同一坐标系中的图象如下可知()f x 与()h x 在(]0,20上有13个交点即()g x 在(]0,20上有13个零点()g x 是偶函数()g x ∴在[]20,20-上共有26个零点．10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=-+,且在区间[)2,4上,()2,234,34x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩,则函数()3log y f x x =-的零点的个数为______. 【答案】5【解析】由题,因为()f x 满足()()22f x f x -=-+,所以()f x 关于()2,0中心对称, 又因为()f x 是奇函数,所以()()()222f x f x f x -=--=-+,所以()()22f x f x -=+,即()f x 的周期为4,画出()y f x =与3log y x =的图像,如图所示,则交点有5个,故函数()3log y f x x =-的零点有5个,故答案为:5 11．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是 . 【答案】2020【解析】对任意实数x 都有f （x +2）＝f [1+（1+x ）]＝f [1﹣（1+x ）]＝f （﹣x ）， 由于f （x ）为偶函数，f （﹣x ）＝f （x ）∴f （x +2）＝f （x ） ∴函数f （x ）是以2为周期的周期函数，且值域为[]0,1．方程()02019x f x -=的根的个数即函数()f x 图象与直线y 2019x=的交点个数， 当2019x =时，y 12019x ==，当x 2019>时，函数()f x 图象与直线y 2019x=无交点，由图像可得二者的交点个数为2020个12．已知定义在R 上,且最小正周期为4的函数()f x ,满足()()f x f x -=-,则在区间()10,10-内函数()y f x =的零点个数的最小值是______【答案】9【解析】函数()f x 是奇函数，则(0)0f =，又周期为4，则(2)(2)f f -=，又(2)(2)f f -=-，所以(2)(2)0f f -==，所以(2)0,f k k Z =∈．在(10,10)-上有9个偶数，因此函数至少有9个零点．故答案为：9.【题组四 根据零点求参数】1．方程24(2)50x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()02，内，则m 的取值范围是 . 【答案】7,53⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】∵方程24(2)50x m x m +-+-=的一根在区间(−1,0)内,另一根在区间(0,2)内， ∴函数()24(2)5x m x f x m +-=+-的两个零点一个在区间(−1,0)内,另一个在区间(0,2)内，则(1)4(2)50(0)50(2)162(2)50f m m f m f m m -=--+->⎧⎪=-<⎨⎪=+-+->⎩，解得753m -<<，∴m 的取值范围是7,53⎛⎫-⎪⎝⎭. 2．已知函数()()2log 13f x x x m =+++的零点在区间(]0,1上，则m 的取值范围为 . 【答案】[4,0-）【解析】由题意，函数2()log (1)3f x x x m =+++是定义域上的单调递增函数， 又由函数()f x 在区间(0,1]上存在零点，则满足()()0010f f ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，即22log (01)300log (11)310m m ++⨯+<⎧⎨++⨯+≥⎩，解得40m -≤<，即实数m 的取值范围为[4,0)-。

2020届高考数学命题猜想函数与方程﹑函数模型及其应用1【考向解读】求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．【命题热点突破一】函数零点的存在性定理1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．例1 、（2018年全国I卷理数）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.【变式探究】【2017课标1，理21】已知函数.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）()0,1.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时， ()f x 取得最小值，最小值为.①当1a =时，由于，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于，即，故()f x 没有零点；③当()0,1a ∈时，，即. 又，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数n 满足，则.由于，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点.综上， a 的取值范围为()0,1.【变式探究】(1)已知偶函数y ＝f(x)，x ∈R 满足f(x)＝x2－3x(x ≥0)，函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，－1x，x<0，则函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x3，x ≤a ，x2，x>a ，若存在实数b ，使函数g(x)＝f(x)－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．【答案】（1）B （2）（－∞，0）∪（1，＋∞）【解析】（1）作出函数f （x ）与g （x ）的图像如图所示，易知两个函数的图像有3个交点，所以函数y ＝f （x ）－g （x ）有3个零点.（2）令φ（x ）＝x3（x ≤a ），h （x ）＝x2（x>a ），函数g （x ）＝f （x ）－b 有两个零点，即函数y ＝f （x ）的图像与直线y ＝b 有两个交点.结合图像，当a<0时，存在实数b 使h （x ）＝x2（x>a ）的图像与直线y ＝b 有两个交点；当a ≥0时，必须满足φ（a ）>h （a ），即a3>a2，解得a>1.综上得a ∈（－∞，0）∪（1，＋∞）.【感悟提升】函数的零点、方程的根的问题都可以转化为函数图像的交点问题，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数问题的有效方法．在解决函数零点问题时，既要利用函数的图像，也要利用函数零点的存在性定理、函数的性质等，把数与形紧密结合起来．【变式探究】已知函数f(x)＝|x ＋a|(a ∈R)在[－1，1]上的最大值为M(a)，则函数g(x)＝M(x)－|x2－1|的零点的个数为( ) 络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校每日的套题销售量y(单位：万套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x<6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21万套．(1)求m 的值；(2)假设每套题的成本为2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【解析】解：（1）因为x ＝4时，y ＝21，代入y ＝mx －2＋4（x －6）2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.（2）由（1）可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4（x －6）2，所以每日销售套题所获得的利润f （x ）＝（x －2）·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4（x －6）2（x －2）＝4x3－56x2＋240x －278（2<x<6），从而f ′（x ）＝12x2－112x ＋240＝4（3x －10）（x －6）（2<x<6）.令f ′（x ）＝0，得x ＝103（x ＝6舍去），且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，103上，f ′（x ）>0，函数f （x ）单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫103，6上，f ′（x ）<0，函数f （x ）单调递减，所以x ＝103是函数f （x ）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f （x ）取得最大值，即当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.【感悟提升】 函数建模首先要会根据题目的要求建立起求解问题需要的函数关系式(数学模型)，然后通过求解这个函数模型(求单调性、最值、特殊的函数值等)，对实际问题作出合乎要求的解释．需要注意实际问题中函数的定义域要根据实际意义给出，不是单纯根据函数的解析式得出．【变式探究】调查发现，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是关于车流密度x （单位：辆/千米）的连续函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20<x<200时，车流速度v 是关于车流密度x 的一次函数.（1）当0<x<200时，求函数v （x ）的解析式；（2）当车流密度x 为多少时，车流量（每小时通过桥上某观测点的车辆数）f （x ）＝x ·v （x ）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）【解析】解：（1）由题意知，当0<x ≤20时，v （x ）＝60；当20<x<200时，设v （x ）＝ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故所求函数v （x ）的解析式为v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤20，13（200－x ），20<x<200. （2）由（1）可知v （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤20，13（200－x ），20<x<200.当0<x ≤20时，f （x ）＝60x 为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20<x<200时，f （x ）＝13x （200－x ）＝－13（x2－200x ）＝－13（x －100）2＋10 0003，当x ＝100时，f （x ）取得最大值10 0003≈3333.综上可知，当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【高考真题解读】1. （2018年全国I 卷理数）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.2. （2018年浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1). (1,4) (2).【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为。

函数的零点问题分类练习13. 证明：设函数2()31x xf x x -=-+. 由函数的单调性定义，可以证出函数()f x 在(1,)-+∞是减函数.而0(0)3210f =-=-<，115(1)3022f =-=>，即(0)(1)0f f <，说明函数()f x 在区间(0,1)内有零点，且只有一个. 所以方程231x xx -=+在(0,1)内必有一个实数根.点评：等价转化是高中数学解题中处理问题的一种重要思想，它是将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，每个问题的求解过程正是这样一种逐步的转化. 此题可变式为研究方程231x xx -=+的实根个数.14、解析：由f (x )＝x 2－1，得y ＝f (x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ，∴由x 2－2x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝2，因此，函数f (x －1)的零点是0和2.答案：0和215、解析：选C.令log a (x ＋1)＋x 2－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查图象y 1＝log a (x ＋1)与y 2＝－x 2＋2的交点个数．16、解析：选B.设f (x )＝x 3－(12)x －2，则f (0)＝0－(12)－2<0；f (1)＝1－(12)－1<0；f (2)＝23－(12)0>0.∴函数f (x )的零点在(1,2)上．17、解析：①错，如图．②错，应有三个零点．③对，奇、偶数图象与x 轴的交点关于原点对称，其和为0.④设u (x )＝|x 2－2x |＝|(x －1)2－1|，如图向下平移1个单位，顶点与x 轴相切，图象与x 轴有三个交点．∴a ＝1.答案：③④ 18、【解析】 分别作出函数f(x)=3-2-x 与函数g(x)=x 2的图象，如图所示．∵f(0)=2，g(0)=0，∴从图象上可以看出它们有2个交点． 【答案】 25、解析：选C.log 5(x －1)＝0，解得x ＝2，∴函数f (x )＝log 5(x －1)的零点是x ＝2，故选C. 6、解析：选B.由题意知2a ＋b ＝0，∴b ＝－2a ，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)，使g (x )＝0，则x ＝0或－12.7、解析：选B.由题意知，Δ＝4－4a <0，∴a >1. 8解析：设方程f (x )＝0的另一根为x ，由根与系数的关系，得1＋x ＝－2aa ＝－2， 故x ＝－3，即另一个零点为－3. 答案：－39【解析】 设x 0为其中一根，即f(x 0)＝0，因为函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，所以f(－x 0)＝f(x 0)＝0，即－x 0也为方程一根，又因为方程f(x)＝0有2 009个实数解，所以其中必有一根x 1，满足x 1＝－x 1，即x 1＝0，所以这2 009个实数解之和为0.【答案】 0三．已知零点的个数，求参数的范围1. 已知f(x)=2ax+4在（-2 ,1）上有零点，则实数a 的取值范围 .2.若关于x 的方程mx 2+2x+1=0至少有一个负根，求实数m 的取值范围。