a ， ∴函数f (x )在(1a
，＋∞)上单调递增，在(0，1
a
)上单调递减． 综上所述，当a <0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；
当a >0时，函数f (x )在(1a ，＋∞)上单调递增，在(0，1
a
)上单调递减．
(2)∵当x ∈[1e ，e]时，函数g (x )＝(ln x －1)e x
＋x －m 的零点，即当x ∈[1e ，e]时，方
程(ln x －1)e x
＋x ＝m 的根．
令h (x )＝(ln x －1)e x ＋x ，h ′(x )＝(1x
＋ln x －1)e x
＋1.
由(1)知当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋1x －1在(1
e ，1)上单调递减，在(1，e)上单调递增，
∴当x ∈[1
e ，e]时，
f (x )≥f (1)＝0.
∴1x ＋ln x －1≥0在x ∈[1
e ，e]上恒成立． ∴h ′(x )＝(1x
＋ln x －1)e x
＋1≥0＋1>0，
∴h (x )＝(ln x －1)e x
＋x 在x ∈[1e ，e]上单调递增．
∴h (x )min ＝h (1
e )＝－2e 1e ＋1e
，
h (x )max ＝e.
∴当m <－2e 1
e ＋1e 或m >e 时，函数g (x )在[1
e ，e]上没有零点；
当－2e 1
e ＋1e ≤m ≤e 时，函数g (x )在[1
e ，e]上有一个零点．
3．(2019·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝x 2
＋2x
－a ln x (a ∈R )．
(1)若f (x )在x ＝2处取得极值，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)当a >0时，若f (x )有唯一的零点x 0，求[x 0]．
注：[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.6]＝0，[2.1]＝2，[－1.5]＝－2. 参考数据：ln2＝0.693，ln3＝1.099，ln5＝1.609，ln7＝1.946. 解：(1)∵f (x )＝x 2
＋2x
－a ln x ，
∴f ′(x )＝2x 3
－ax －2
x
2
(x >0)， 由题意得f ′(2)＝0，则2×23
－2a －2＝0，a ＝7， 经验证，当a ＝7时，f (x )在x ＝2处取得极值， ∴f (x )＝x 2
＋2x －7ln x ，f ′(x )＝2x －2x 2－7x
，
∴f ′(1)＝－7，f (1)＝3，
则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3 ＝－7(x －1)，即7x ＋y －10＝0. (2)令g (x )＝2x 3
－ax －2(x >0)， 则g ′(x )＝6x 2－a ， 由a >0，g ′(x )＝0，可得x ＝a
6
， ∴g (x )在(0，
a
6
)上单调递减，在(
a
6
，＋∞)上单调递增． 由于g (0)＝－2<0，故当x ∈(0，
a
6
)时，g (x )<0， 又g (1)＝－a <0，故g (x )在(1，＋∞)上有唯一零点，设为x 1，从而可知f (x )在(0，x 1)上单调递减，在(x 1，＋∞)上单调递增，
由于f (x )有唯一零点x 0，故x 1＝x 0，且x 0>1， 则g (x 0)＝0，f (x 0)＝0，可得2ln x 0－3
x 30
－1
－1＝0. 令h (x )＝2ln x －
3
x 3
－1
－1(x >1)，易知h (x )在(1，＋∞)上单调递增， 由于h (2)＝2ln2－107<2×0.7－10
7
<0，
