变化率与导数练习题 Prepared on 24 November 2020
1．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为时，函数的平均变化率为( )
A ．
B ．
C ．2
D ．0
解析：Δy Δx ＝f －f 1－1
＝错误!＝. 答案：A
2．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么Δt 趋于0时，Δs Δt
为
( )
A ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度
B ．在t 时刻物体的瞬时速度
C ．当时间为Δt 时物体的速度
D ．在时间t ＋Δt 时物体的瞬时速度
解析：Δs Δt
中Δt 趋于0时得到的数值是物体在t 时刻的瞬时速度． 答案：B
3．一辆汽车在起步的前10秒内，按s ＝3t 2＋1做直线运动，则在2≤t ≤3这段时间内的平均速度是( )
A ．4
B ．13
C ．15
D ．28
解析：Δs ＝(3×32＋1)－(3×22＋1)＝15.
∴Δs Δt ＝153－2
＝15. 答案：C
4．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在 s 末的瞬时速度为( )
A ．－4.8 m/s
B ．－0.88 m/s
C ．0.88 m/s
D ．4.8 m/s
解析：Δs Δt ＝2[1－＋Δt 2]－21－Δt ＝－－2Δt .当Δt 趋于0时，Δs Δt
趋于－. 答案：A
5．函数y ＝1x 在区间[1,3]上的平均变化率为________．
解析：Δy Δx ＝13－13－1＝－13. 答案：－13 6．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，且y ＝f (x )在[2，a ]上的平均变化率为94
，则a ＝________. 解析：在区间[2，a ]上的平均变化率Δy Δx ＝a 2－2a ＋3－3a －2
＝a ，由已知可得a ＝94. 答案：94
7．已知函数f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2. (1)分别求y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π6及⎣⎡⎦
⎤π6，π2上的平均变化率． (2)比较两个平均变化率的大小，说明其几何意义．
解：(1)当x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π6时， k 1＝f ⎝⎛⎭⎫π6－f 0π6－0＝12－0π6
－0＝3π. 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2时，
k 2＝f ⎝⎛⎭⎫π2－f ⎝⎛⎭⎫π6π2－π6＝1－12π3
＝32π. (2)由(1)可知：k 2⎤0，π2上的图像如图所示． 可以发现，y ＝sin x 在⎣⎡⎦
⎤0，π2上随着x 的增大，函数值变化得越来越慢． 8．若一物体运动方程如下(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)：
s ＝⎩⎪⎨⎪⎧
3t 2＋2， t ≥3，29＋3t －32， 0≤t ＜3.求： (1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v 0；
(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．
解：(1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为
Δt ＝5－3＝2，
物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为
Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482
＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为
Δs Δt ＝29＋3×0＋Δt －32－29－3×0－32Δt
＝3Δt －18， 当Δt 趋于0时，Δs Δt
趋于－18， ∴物体在t ＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.
(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为
Δs Δt ＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－3×1－32Δt
＝3Δt －12， 当Δt 趋于0时，Δs Δt
趋于－12， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12 m/s.
