2016高考_一中一轮-数理-作业11 (2)

【31份】2016届高考数学（文科人教A版）大一轮课时作业（第1-5章）目录课时提升作业(一)集合(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·黄山模拟)已知集合A={-1,0,1},B={x|x≤0},则A∩B=( )A.{-1}B.{0}C.{-1,0}D.{0,1}【详细分析】选C.由交集的定义得A∩B={-1,0}.2.(2015·泰安模拟)设集合A={x|2x-1≤3},集合B={x|y=lg(x-1)},则A∩B等于( )A.(1,2)B.[1,2]C.(1,2]D.[1,2)【详细分析】选C.A={x|2x-1≤3}={x|x≤2},B={x|y=lg(x-1)}={x|x>1},所以A∩B=(1,2],故选C.3.已知集合A={1,16,4x},B={1,x2},若B⊆A,则x=( )A. 0B. -4C. 0或-4D. 0或±4【详细分析】选C.由B⊆A知.x2=16或x2=4x,解得x=±4或0.经检验.x=0或-4符合题意,故选C.【误区警示】解答本题时易误选D,出错的原因是忽视了集合中元素的互异性.4.已知集合A={1,2},集合B满足A∪B={1,2,3},则集合B有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【详细分析】选D.因为A∪B={1,2,3},A={1,2},所以集合B中应含有元素3,故集合B可以为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},故选D.5.(2015·福州模拟)设集合S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则(R S)∪T=( )A.(- 2,1]B.(-∞,-4]C.(-∞,1]D.[1,+∞)【详细分析】选C.因为S={x|x>-2},所以R S={x|x≤-2},又因为T={x|x2+3x-4≤0}={x|-4≤x≤1},所以(R S)∪T={x|x≤1}.6.(2014·山东高考)设集合A={x|x2-2x<0},B={x|1≤x≤4},则A∩B=( )A.(0,2]B.(1,2)C.[1,2)D.(1,4)【详细分析】选C.A=(0,2),B=,数轴上表示出来得到A∩B=[1,2).故答案为C.【加固训练】已知集合M={1,2,3,4},N={-2,2},下列结论成立的是( )A.N⊆MB.M∪N=MC.M∩N=ND.M∩N={2}【详细分析】选D.由M={1,2,3,4},N={-2,2},可知-2∈N,但是-2∉M,则N⊈M,故A错误.因为M∪N={1,2,3,4,-2}≠M,故B错误.M∩N={2}≠N,故C错误,D正确,故选D.7.(2015·衡水模拟)已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩U B=( )A.{3}B.{4}C.{3,4}D.∅【详细分析】选A.由U={1,2,3,4},U(A∪B)={4},知A∪B={1,2,3},又B={1,2},所以A中一定有元素3,没有元素4,所以A∩U B={3}.【一题多解】本题还可用Venn图求解如下:如图,由图及已知易得A∩U B={3}.【加固训练】已知A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则 (R A)∩B=( )A.{-2,-1}B.{-2}C.{-2,0,1}D.{0,1}【详细分析】选A.由x+1>0⇒x>-1,所以R A={x|x≤-1},故得(R A)∩B={-2,-1}.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2014·重庆高考)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(U A)∩B= .【详细分析】由题意知U A={4,6,7,9,10},B={1,3,5,7,9},故(U A)∩B={7,9}.答案:{7,9}9.设集合U={-1,1,2,3},M={x|x2-5x+p=0},若U M={-1,1},则实数p的值为.【解题提示】先求集合M,再利用根与系数之间的关系求p.【详细分析】由U M={-1,1}知M={2,3}.则方程x2-5x+p=0的两根为x=2和x=3,从而p=2×3=6.答案:610.已知集合A={1,3,m},B={1,m},A∪B=A,则m= .【详细分析】由A∪B=A知B⊆A,则m=3或m=m,即m=3或m=0或m=1,又当m=1时不合题意,因此m=0或3.答案:0,3(20分钟40分)1.(5分)(2015·龙岩模拟)集合P={x||x|≤3,x∈Z},集合Q={x|x2+2x-3>0},ðQ=( )则P∩RA.[-3,0)B.{-3,-2,-1}C.{-3,-2,-1,0}D.{-3,-2,-1,0,1}【详细分析】选 D.因为P={x|-3≤x≤3,x∈Z},RðQ={x|x2+2x-3≤0}={x|-3≤x≤1},所以P∩RðQ={-3,-2,-1,0,1}.2.(5分)已知a∈R,b∈R,若{a,ba,1}={a2,a+b,0},则b2 015-a2 015= .【详细分析】由a≠0知ba=0,从而b=0,则有{0,1,a}={0,a,a2},从而有a2=1且a≠1,所以a=-1,故b2 015-a2 015=1.答案:13.(5分)某校高三(1)班50个学生选择选修模块课程,他们在A,B,C三个模块中进行选择,且至少需要选择1个模块,具体模块选择的情况如下表:模块模块选择的学生人数模块模块选择的学生人数A 28 A与B 11B 26 A与C 12C 26 B与C 13则三个模块都选择的学生人数是.【解题提示】设三个模块都选择的学生人数是x,用Venn图表示三个两两相交的集合,把每一部分的学生数用x表示,再根据总数为50列方程求解.【详细分析】设三个模块都选择的学生人数为x,则各部分的人数如图所示,则有(1+x)+(5+x)+(2+x)+(12-x)+(13-x)+(11-x)+x=50,解得x=6.答案:64.(12分)已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值.(2)若A⊆R B,求实数m的取值范围.【详细分析】由已知得A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}.(1)因为A∩B=[0,3],所以m20,m23-=⎧⎨+≥⎩.所以m=2.(2) R B={x|x<m-2或x>m+2},因为A⊆R B,所以m-2>3或m+2<-1,即m>5或m<-3.因此实数m的取值范围是{m|m>5或m<-3}.【加固训练】已知全集U=R,集合A={x|x2-x-6<0},B={x|x2+2x-8>0}, C={x|x2-4ax+3a2<0},若U(A∪B)⊆C,求实数a的取值范围.【详细分析】A={x|-2<x<3},B={x|x<-4,或x>2},A∪B={x|x<-4,或x>-2}, U(A∪B)={x|-4≤x≤-2},而C={x|(x-a)(x-3a)<0}.(1)当a>0时,C={x|a<x<3a},显然不成立,(2)当a=0时,C=∅,不成立.(3)当a<0时,C={x|3a<x<a}, 要使U(A∪B)⊆C,只需3a4, a2,<-⎧⎨>-⎩即-2<a<4 3 -.5.(13分)(能力挑战题)已知集合A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0, a∈R,x∈R}.若A∪B=A,试求实数a的取值范围.【详细分析】因为A∪B=A,所以B⊆A,易知A={0,-4}.(1)当A=B={0,-4}时,0,-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根,所以22168(a1)a10,a10,⎧-++-=⎪⎨-=⎪⎩所以a=1.(2)当B A时,有B≠∅和B=∅两种情况.①当B≠∅时,B={0}或B={-4},所以方程x2+2(a+1)x+a2-1=0,有相等的实数根0或-4, 所以Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,所以a=-1,所以B={0}满足条件.②当B=∅时,Δ<0,a<-1.综上知实数a的取值范围是{a|a≤-1或a=1}.课时提升作业(二)命题及其关系、充分条件与必要条件(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是( )A.若a≠b≠0,a,b∈R,则a2+b2=0B.若a=b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0C.若a≠0且b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0D.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0【详细分析】选D.“a2+b2=0”的否定为“a2+b2≠0”,“a=b=0”的否定为“a≠0或b≠0”,故选D. 2.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是( )A.原命题真,逆命题假B.原命题假,逆命题真C.原命题与逆命题均为真命题D.原命题与逆命题均为假命题【详细分析】选A.逆否命题为:若a,b都小于1,则a+b<2是真命题,所以原命题是真命题.逆命题为:若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2.例如,a=3,b=-3满足条件a,b中至少有一个不小于1,但此时a+b=0,故逆命题是假命题.3.(2015·青岛模拟)已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【详细分析】选C.显然a>0且b>0⇒a+b>0且ab>0,反之,若ab>0,则a与b同号,又a+b>0,所以a与b同正,即a+b>0且ab>0⇒a>0且b>0.4.(2013·福建高考)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【详细分析】选A.若a=3,则A={1,3},从而A⊆B.若A⊆B,则a=2或a=3,从而“a=3”是“A⊆B”的充分而不必要条件.【加固训练】(2014·上海模拟)设集合M={x|x≥2},P={x|x>1},那么“x∈M∪P”是“x∈M ∩P”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【详细分析】选B.因为M∪P={x|x>1},M∩P={x|x≥2},所以“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件.故选B.5.(2015·兰州模拟)已知命题p:x2+2x-3>0,命题q:x>a,且q的一个充分不必要条件是p,则a的取值范围是( )A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.[-1,+∞)D.(-∞,-3]【详细分析】选B.由题意知p⇒q,且q p,则有q⇒p,且p q.从而p是q的必要不充分条件.所以{x|x>a}{x|x2+2x-3>0},即{x|x>a}{x|x>1或x<-3},从而a≥1.【误区警示】解答本题易忽略端点的取值而造成错解.6.(2015·龙岩模拟)命题“对任意x∈[1,2),x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A.a≥4B.a>4C.a≥1D.a>1【详细分析】选B.由题意知a≥x2对x∈[1,2)恒成立,当x∈[1,2)时,1≤x2<4,则a≥4.从而a>4是命题为真的一个充分不必要条件.【加固训练】下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( )A.a>b+1,B.a>b-1C.a2>b2D.a3>b3【详细分析】选A.a>b+1⇒a>b;反之,例如a=2,b=1满足a>b,但a=b+1即a>b推不出a>b+1,故a>b+1是a>b成立的充分而不必要的条件.故选A.7.(2015·重庆模拟)若p是q的必要条件,s是q的充分条件,那么下列推理一定正确的是( )A.p⇔sB.p⇔sC.p⇒sD.s⇒p【解题提示】用推出式表示p与q,s与q的关系,找出s与p的关系,然后写出其逆否命题. 【详细分析】选C.由已知得q⇒p,s⇒q,则s⇒p.s⇒p等价于p⇒s.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2015·合肥模拟)命题:“若a-b<0,则ac2-bc2<0”的否命题是.【详细分析】由命题与其否命题的关系知,已知命题的否命题是:若a-b≥0,则ac2-bc2≥0.答案:若a-b≥0,则ac2-bc2≥09.(2015·铜陵模拟)已知集合A={x|a-2<x<a+2},B={x|x≤-2或x≥4},则A∩B=∅的充要条件是.【详细分析】A∩B=∅⇔a24,a22,+≤⎧⎨-≥-⎩⇔0≤a≤2.答案:0≤a≤210.(2015·银川模拟)已知“命题p:(x-m)2>3(x-m)”是“命题q:x2+3x-4<0”成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围为.【详细分析】p:x>m+3或x<m,q:-4<x<1,因为p是q成立的必要不充分条件.则{x|-4<x<1}{x|x>m+3,或x<m},所以m+3≤-4或m≥1,即m≤-7或m≥1,故m的取值范围为(-∞,-7]∪[1,+∞).答案:(-∞,-7]∪[1,+∞)(20分钟40分)1.(5分)(2015·宜昌模拟)下列关于命题的说法正确的是( )A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2=1,则x≠1”B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件C.命题“a,b都是有理数”的否定是“a,b都不是有理数”D.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题【详细分析】选D.对于A,命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2≠1,则x≠1”,所以A错误;对于B,x=-1时,x2-5x-6=0;x2-5x-6=0时,x=-1或x=6,所以应是充分不必要条件;所以B错误;对于C,命题“a,b都是有理数”的否定是“a,b不都是有理数”,所以C错误;对于D,命题“若x=y,则sin x=sin y”是真命题,所以它的逆否命题也是真命题,所以D正确.故选D.2.(5分)(2015·临沂模拟)已知p:-4<k<0,q:函数y=kx2-kx-1的值恒为负,则p是q成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【详细分析】选A.由函数y=kx2-kx-1的值恒为负得①k=0时,y=-1<0恒成立;②k<0时,Δ=(-k)2+4k<0,即-4<k<0,所以q成立的充要条件是-4<k≤0,即p⇒q,反之,q p,故选A.3.(5分)设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n= .【详细分析】由Δ=16-4n≥0,得n≤4,又n∈N*,则n=1,2,3,4.方程x2-4x+n=0的根为x=4164n2±-.当n=1,2时,方程没有整数根,当n=3时,方程有整数根1,3,当n=4时,方程有整数根2,综上知n=3或4.答案:3或44.(12分)已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.(1)写出否命题,判断其真假,并证明你的结论.(2)写出逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.【详细分析】(1)否命题:已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,若a+b<0,则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).该命题是真命题,证明如下:因为a+b<0,所以a<-b,b<-a.又因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.所以f(a)<f(-b),f(b)<f(-a),因此f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),所以否命题为真命题.(2)逆否命题:已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则a+b<0.真命题,可证明原命题为真来证明它.因为a+b≥0,所以a≥-b,b≥-a,因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),故原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.5.(13分)(能力挑战题)已知集合A={y|y=x2-32x+1,x∈[34,2]},B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.【详细分析】y=x2-32x+1= (x-34)2+716,因为x∈[34,2],所以716≤y≤2,所以A={y|716≤y≤2}.由x+m2≥1,得x≥1-m2,所以B={x|x≥1-m2}. 因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A⊆B,所以1-m2≤716,解得m≥34或m≤-34,故实数m的取值范围是(-∞,-34]∪[34,+∞).课时提升作业(三)简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2014·湖北高考)命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是( )A.∀x∉R,x2≠xB.∀x∈R,x2=xC.∃x0∉R,x02≠x0D.∃x0∈R,x02=x0【详细分析】选 D.全称命题的否定是特称命题,所以命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是“∃x0∈R,x02=x0”.2.(2015·开封模拟)已知命题p,q,“p为真”是“p∧q为假”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【详细分析】选A.由“p为真”知p为假,则“p∧q为假”;反之,若“p∧q为假”,则命题p,q至少有一个为假,从而“p为假”不一定成立,即“p为真”不一定成立,因此,“p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件.【加固训练】(2015·成都模拟)已知命题p:∃x0∈R,2-x0>0x e,命题q:∀a∈R+且a≠1,log a(a2+1)>0,则( )A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题C.命题p∨q是假命题D.命题p∧q是真命题【详细分析】选B.对于命题p:∃x0∈R,2-x0>0x e,当x0=0时,此命题成立,故是真命题;命题q:∀a∈R+且a≠1,log a(a2+1)>0,当0<a<1时,对数式的值是负数,故命题q是假命题.由此知命题p∨q是真命题,命题p∧q是真命题,命题p∨q是真命题,命题p∧q是假命题,故选B.3.(2015·滁州模拟)“对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解”等价于( )A.∃x0∈R,使得f(x0)>0成立B.∃x0∈R,使得f(x0)≤0成立C.∀x∈R,f(x)>0成立D.∀x∈R,f(x)≤0成立【详细分析】选A.“对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解”的意思就是∃x0∈R,使得f(x0)>0成立,故选A.4.已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,使x02+2ax0+2-a=0”,若命题“p ∧q”是真命题,则实数a的取值范围是( )A.{a|a≤-2或a=1}B.{a|a≥1}C.{a|a≤-2或1≤a≤2}D.{a|-2≤a≤1}【详细分析】选A.由题意知,p:a≤1,q:a≤-2或a≥1,因为“p∧q”为真命题,所以p,q均为真命题,所以a≤-2或a=1.5.已知命题p:函数y=a x(a>0且a≠1)在R上是增函数,命题q:log a2+log2a≥2(a>0且a≠1),则下列命题为真命题的是( )A.p∨qB.p∧qC.(p)∧qD.p∨(q)【详细分析】选 D.当0<a<1时,y=a x在R上是减函数,因此p假,p真,当a=12时,log a2+log2a=-2<2,因此q假,q真.从而命题p∨(q)为真命题.6.(2015·龙岩模拟)下列命题中,假命题是( )A.∀x∈R,3x-2>0B.∃x0∈R,tanx0=2C.∃x 0∈R,log 2x 0<2D.∀x ∈N *,(x-2)2>0【详细分析】选D.因为函数y=3x 的值域是(0,+∞),所以A 正确;因为函数y=tanx 的值域是R,所以B 正确;当x 0=时,log 2x 0=-1<2成立,所以C 正确;当x=2时,(x-2)2=0,所以D 不正确.【加固训练】已知命题p:∃x 0∈R,使tan x 0=33,命题q:x 2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2},下列结论:①命题“p ∧q ”是真命题; ②命题“p ∧(q)”是假命题; ③命题“(p)∨q ”是真命题; ④命题“(p)∨(q)”是假命题. 其中正确的是( ) A.②③ B.①②④ C.①③④D.①②③④【详细分析】选D.命题p 是真命题,命题q 也是真命题.所以p,q 是假命题,从而得①②③④都正确.7.已知f(x)=3sin x-πx,命题p:∀x ∈(0,2π),f(x)<0,则( ) A.p 是假命题,p:∀x ∈(0,2π),f(x)≥0 B.p 是假命题,p:∃x 0∈(0,2π),f(x 0)≥0C.p 是真命题,p:∀x ∈(0,2π),f(x)>0D.p 是真命题,p:∃x 0∈(0,2π),f(x 0)≥0【详细分析】选D.由三角函数线的性质可知, 当x ∈ (0,2π)时,sin x<x, 所以3sin x<3x<πx,所以f(x)=3sin x-πx<0. 即命题p:∀x ∈(0,2π),f(x)<0为真命题. 根据全称命题的否定为特称命题可知:p:∃x0∈(0,2),f(x 0)≥0. 二、填空题(每小题5分,共15分)8.命题:“对任意k>0,方程x 2+x-k=0有实根”的否定是 .【详细分析】“任意k>0”的否定为“存在k>0”,“方程x 2+x-k=0有实根”的否定为“方程x 2+x-k=0无实根”.从而命题的否定为“存在k 0>0,方程x 2+x-k 0=0无实根”. 答案:存在k 0>0,方程x 2+x-k 0=0无实根9.已知命题p:∃x 0∈R,mx 02+2≤0,命题q:∀x ∈R,x 2-2mx+1>0,若“p ∨q ”为假命题,则实数m 的取值范围为 .【详细分析】因为命题“p ∨q ”是假命题,所以命题p,q 都是假命题,所以命题p:∃x 0∈R,mx 02+2≤0是假命题,则m ≥0,命题q:∀x ∈R,x 2-2mx+1>0是假命题,所以Δ=(-2m)2-4≥0,所以m 2≥1,得m ≤-1或m ≥1,所以实数m 的取值范围是[1,+∞). 答案:[1,+∞)10.(2015·枣庄模拟)命题“ax 2-2ax+3>0不成立”是真命题,则实数a 的取值范围是 . 【详细分析】若对∀x ∈R,ax 2-2ax+3>0成立,则a=0或解得0≤a<3.即对∀x ∈R,ax 2-2ax+3>0成立,则0≤a<3.所以“ax 2-2ax+3>0不成立”是真命题,则a<0或a ≥3. 答案:(-∞,0)∪[3,+∞)(20分钟 40分)1.(5分)(2014·江西高考)下列叙述中正确的是( ) A.若a,b,c ∈R,则“ax 2+bx+c ≥0”的充分条件是“b 2-4ac ≤0” B.若a,b,c ∈R,则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a>c ”C.命题“对任意x ∈R,有x 2≥0”的否定是“存在x 0∈R,有x 02≥0” D.l 是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l ⊥α,l ⊥β,则α∥β【详细分析】选D.对于选项A,a<0时不成立;对于选项B,b=0时不成立;对于选项C,应为x2<0;对于选项D,垂直于同一直线的两平面平行.所以只有D正确.【加固训练】(2014·马鞍山模拟)下列命题中,错误的是( )A.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”B.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题C.命题p:∃x 0∈R,使得x02+x0+1<0,则p:任意x∈R,都有x2+x+1≥0D.“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件【详细分析】选B.根据逆否命题的定义,命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”,故A正确;若p∧q为假命题,则p,q至少存在一个假命题,但p,q不一定均为假命题,故B错误;命题p:∃x0∈R,使得x02+x0+1<0的否定为:任意x∈R,都有x2+x+1≥0,故C正确;因为x>2⇒x2-3x+2>0,x2-3x+2>0⇒x<1或x>2,故“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件,故D 正确.故选B.2.(5分)(2014·辽宁高考)设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )A.p∨qB.p∧qC.(p)∧(q)D.p∨(q)【详细分析】选A.当非零向量a,c方向相同且都和非零向量b垂直时,结论a·b=0,b·c=0成立,但是a·c=0不成立,可知命题p是假命题,命题p是真命题;易知命题q为真命题,命题q是假命题.结合复合命题p∨q,p∧q,p的真假判断方法知,选项A正确.3.(5分)(2014·新课标全国卷Ⅰ)不等式组x y1,x2y4+≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D.有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p 3:∀(x,y)∈D,x+2y ≤3,p 4:∃(x,y)∈D,x+2y ≤-1. 其中真命题是( ) A.p 2,p 3 B.p 1,p 2 C.p 1,p 4D.p 1,p 3【解题提示】画出可行域,求出x+2y 的最优解,根据最优解判断命题的真假. 【详细分析】选B.画出可行域如图所示,设x+2y=z,则1z y x ,22=-+ 当直线经过点(2,-1)时z 取得最小值, z min =2+2×(-1)=0,即z ≥0, 所以命题p 1,p 2是真命题.4.(12分)已知命题p:方程2x 2+ax-a 2=0在[-1,1]上有解;命题q:只有一个实数x 满足不等式x 2+2ax+2a ≤0,若命题“p ∨q ”是假命题,求a 的取值范围. 【详细分析】由2x 2+ax-a 2=0,得(2x-a)(x+a)=0,所以x=a2或x=-a,所以当命题p 为真命题时,|a2|≤1或|-a|≤1,所以|a|≤2. 又“只有一个实数x 满足不等式x 2+2ax+2a ≤0”.即抛物线y=x 2+2ax+2a 与x 轴只有一个公共点,所以Δ=4a 2-8a=0,所以a=0或a=2. 所以当命题q 为真命题时,a=0或a=2. 因为命题“p ∨q ”为假命题,所以a>2或a<-2;即a 的取值范围为a>2或a<-2.5.(13分)(能力挑战题)设a 为实数,给出命题p:关于x 的不等式x 11()2-≥a 的解集为∅,命题q:函数f(x)=lg[ax 2+(a-2)x+98]的定义域为R,若命题“p ∨q ”为真,“p ∧q ”为假,求a 的取值范围.【详细分析】若p 正确,则由0<x 11()2-≤1,得a>1.若q 正确,则ax 2+(a-2)x+98>0解集为R. 当a=0时,-2x+98>0不合题意,舍去; 当a ≠0时,则2a 0,9(a 2)4a 0,8>⎧⎪⎨--⨯<⎪⎩解得12<a<8. 由题意知,p 和q 中有且仅有一个正确,所以a 1,1a a 82>⎧⎪⎨≤≥⎪⎩或或a 1,1a 8,2≤⎧⎪⎨<<⎪⎩ 所以a ≥8或12<a ≤1. 【方法技巧】根据命题真假确定参数取值范围的方法 (1)把所给命题当真求出参数的取值范围.(2)根据含逻辑联结词命题的真值表递推所给命题的真假. (3)由(2)的结果列关于参数的不等式(组),并解之即可.课时提升作业(四) 函数及其表示(25分钟 50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·青岛模拟)若函数f(x)=|x|的定义域为M={-1,0,1},值域为N,则M ∩N=( ) A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{0}D.{1}【详细分析】选B.由题意N={0,1},所以M ∩N={0,1}. 2.(2015·淮南模拟)函数y=+的定义域是( )A.[-1,+∞)B.(-1,+∞)C.[-1,1)∪(1,+∞)D.(-1,1)∪(1,+∞)【详细分析】选C.由得x ≥-1且x ≠1.3.下列四组函数中,表示同一函数的是( )A.f(x)=|x|,g(x)=2xB.f(x)=lg x 2,g(x)=2lg xC.f(x) =2x 1x 1--,g(x)=x+1D.f(x)=x 1+·x 1-,g(x)=2x 1-【详细分析】选A.A 中,g(x)=2x =|x|,两个函数的定义域和对应法则相同,是同一函数;B 中的两个函数的定义域不同,故不表示同一函数;C 中,f(x)=2x 1x 1--=x+1(x ≠1),与g(x)=x+1两个函数的定义域不同,故不表示同一函数;D 中,f(x)的定义域为[1,+∞),g(x)的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),所以不是同一函数.4.已知函数f(x)=x 2,x 0,x 1,x 0.⎧>⎨+≤⎩若f(a)+f(1)=0,则实数a 的值等于( )A.-3B.-1C.1D.3【详细分析】选A.当a>0时,由f(a)+f(1)=0得2a +2=0,可见不存在实数a 满足条件,当a ≤0时,由f(a)+f(1)=0得a+1+2=0,解得a=-3,满足条件,故选A. 【一题多解】本题还可以采用如下解法:选A.方法一:由指数函数的性质可知:2x >0,又因为f(1)=2,所以a ≤0,所以f(a)=a+1,即a+1+2=0,解得:a=-3.故选A.方法二:验证法,把a=-3代入得f(a)=a+1=-2,又因为f(1)=2,所以f(a)+f(1)=0,满足条件,从而选A.【加固训练】若函数f(x)=则f(f(10))= ( )A.lg101B.2C.1D.0【详细分析】选B.f(10)=lg10=1,故f(f(10))=f(1)=12+1=2.【方法技巧】求函数值的四种常考类型及解法(1)f(g(x))型:遵循先内后外的原则.(2)分段函数型:根据自变量值所在区间对应求值,不确定时要分类讨论.(3)已知函数性质型:对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值,要用好其函数性质,将待求值调节到已知区间上求解.(4)抽象函数型:对于抽象函数求函数值,要用好抽象的函数关系,适当赋值,从而求得待求函数值.5.(2015·临沂模拟)设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)的表达式是( )A.2x+1B.2x-1C.2x-3D.2x+7【详细分析】选B.g(x+2)=f(x)=2x+3=2(x+2)-1,令t=x+2,则g(t)=2t-1,故g(x)=2x-1.6.现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是( )【详细分析】选C.从球的形状可知,液体的高度开始时增加的速度越来越慢,当超过半球时,增加的速度又越来越快.7.(2015·太原模拟)根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为c,x A,xf(x)c,x A A⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩(A,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么c 和A 的值分别是( ) A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16【详细分析】选D.因为组装第A 件产品用时15分钟, 所以cA=15,① 所以必有4<A,且c c24==30.② 联立①②解得c=60,A=16. 二、填空题(每小题5分,共15分) 8.函数y=x 1x++ln(2-x)的定义域为 . 【详细分析】由已知得x 10,x 0,2x 0,+≥⎧⎪≠⎨⎪->⎩解得-1≤x<2且x ≠0,所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,2).答案:[-1,0)∪(0,2)9.(2015·龙岩模拟)已知f(x)=则f(f(3))的值为 .【详细分析】f(3)=log 3(9-6)=1,所以f(f(3))=f(1)=3e 0=3. 答案:310.(2015·杭州模拟)若f(x)=x221+ +sin x,则f(-2)+f(-1)+f(0)+f (1)+ f(2)= . 【详细分析】因为f(x)=x 221++sin x, 所以f(-x)=x 221-+-sin x=x x 2221⨯+-sin x,故f(x)+f(-x)=2,则有f(2)+f(-2)=2,f(1)+f(-1)=2,而f(0)=0221++ sin 0=1, 所以f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=5. 答案:5(20分钟 40分)1.(5分)(2015·中山模拟)若一系列函数的解+析+式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解+析+式为y=x 2+1,值域为{1,3}的同族函数有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个【详细分析】选C.由x 2+1=1得x=0,由x 2+1=3得x=±2,所以函数的定义域可以是{0,2},{0,-2},{0,2,-2},故值域为{1,3}的同族函数共有3个. 【加固训练】具有性质:f(1x)=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数: ①f(x)=x-1x ;②f(x)=x+1x; ③f(x)=x,0x 1,0,x 1,1,x 1x⎧⎪<<⎪=⎨⎪⎪->⎩满足“倒负”交换的函数是( )A.①②B.①③C.②③D.①【详细分析】选B.①f(1x )=1x-x=-f(x),满足. ②f(1x )=1x+x=f(x),不满足. ③0<x<1时,f(1x )=-x=-f(x),x=1时,f(1x )=0=-f(x),x>1时,f(1x )=1x=-f(x),满足.2.(5分)设函数f(x)满足f(x)=1+f log 2x,则f(2)= .【详细分析】由已知得f=1-f·log 22,则f=,则f(x)=1+·log 2x,故f(2)=1+·log 22=. 答案:3.(5分)设函数f(x)=2(x 1),x 1,4x 1,x 1,⎧+<⎪⎨--≥⎪⎩则使得f(x)≥1的自变量x 的取值范围是 .【详细分析】f(x)≥1等价于2x 1,(x 1)1<⎧⎨+≥⎩或x 1,4x 11,≥⎧⎪⎨--≥⎪⎩由2x 1,(x 1)1<⎧⎨+≥⎩得x ≤-2或0≤x<1. 由x 1,4x 11≥⎧⎪⎨--≥⎪⎩得1≤x ≤10. 综上所述,x 的取值范围是x ≤-2或0≤x ≤10. 答案:x ≤-2或0≤x ≤104.(12分)(2015·珠海模拟)设函数f(x)=x ax b,x 0,2,x 0,+<⎧⎨≥⎩且f(-2)=3,f(-1)=f(1).(1)求f(x)的解+析+式. (2)画出f(x)的图象.【详细分析】(1)由f(-2)=3,f(-1)=f(1)得2a b 3,a b 2,-+=⎧⎨-+=⎩解得a=-1,b=1,所以f(x)=x x 1,x 0,2,x 0.-+<⎧⎨≥⎩(2)f(x)的图象如图:5.(13分)(能力挑战题)若函数f(x)=.(1)求的值.(2)求f(3)+f(4)+…+f(2015)+f+f+…+f的值.【详细分析】(1)因为f(x)==1-,所以==-1.(2)由f(x)=1-得,f=1-=1-,所以,两式两边分别相加,得f(x)+f=0,所以,f(3)+f(4)+…+f(2015)+f+f+…+f=0×2013=0.课时提升作业(五)函数的单调性与最值(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列函数中,在区间(1,+∞)上是增函数的是( )A.y=-x+1B.y=1 1x -C.y=-(x-1)2D.y=31-x【详细分析】选B.函数y=-x+1在(1,+∞)上为减函数;y=11x-在(1,+∞)上为增函数;y=-(x-1)2在(1,+∞)上为减函数;y=31-x在(1,+∞)上为减函数,故选B.2.(2015·济南模拟)“m=1”是“函数f(x)=x2-6mx+6在区间(-∞,3]上为减函数”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【详细分析】选B.若m=1,则f(x)=x2-6x+6=(x-3)2-3,由二次函数的图象及其性质知,f(x)在区间(-∞,3]上为单调减函数,即“m=1”是“函数f(x)=x2-6mx+6在区间(-∞,3]上为减函数”的充分条件;反过来,若函数f(x)=x2-6mx+6在区间(-∞,3]上为减函数,则3≤3m,即m≥1,不能推出m=1,即“m=1”不是“函数f(x)=x2-6mx+6在区间(-∞,3]上为减函数”的必要条件.综上所述,“m=1”是“函数f(x)=x2-6mx+6在区间(-∞,3]上为减函数”的充分不必要条件.3.(2015·烟台模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足:对∀x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则( )A.f(3)<f(-2)<f(1)B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3)D.f(3)<f(1)<f(-2)【详细分析】选 B.因为(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,所以函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,所以f(3)>f(2)>f(1).因为f(-2)=f(2),所以f(3)>f(-2)>f(1).【加固训练】(2015·江南十校模拟)已知定义在R上的函数f(x),其导函数f′(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是( )A.f(b)>f(c)>f(d)B.f(b)>f(a)>f(e)C.f(c)>f(b)>f(a)D.f(c)>f(e)>f(d)【详细分析】选C.依题意得,当x∈(-∞,c)时,f′(x)>0;当x∈(c,e)时,f′(x)<0;当x∈(e,+∞)时,f′(x)>0.因此,函数f(x)在(-∞,c)上是增函数,在(c,e)上是减函数,在(e,+∞)上是增函数,又a<b<c,所以f(c)>f(b)>f(a).4.(2015·厦门模拟)“a ≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【详细分析】选C.当a=0时,f(x)=|(ax-1)x|=|x|在区间(0,+∞)上单调递增;当a<0时,结合函数f(x)=|(ax-1)x|=|ax 2-x|的图象知函数在(0,+∞)上单调递增,如图(1)所示;当a>0时,结合函数f(x)=|(ax-1)x|=|ax 2-x|的图象知函数在(0,+∞)上先增后减再增,不符合条件,如图(2)所示.所以,要使函数f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)上单调递增只需a ≤0.即“a ≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的充分必要条件.【加固训练】已知函数f(x)=22x ax 1,x 1,ax x 1,x 1,⎧++≥⎪⎨++<⎪⎩则“-2≤a ≤0”是“函数f(x)在R 上单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【详细分析】选B.f(x)在R 上单调递增的充分必要条件是a=0或22a1,2a 0,11,2a1a 11a 111,⎧-≤⎪⎪<⎪⎨⎪-≥⎪⎪+⨯+≥⨯++⎩解得a=0或-12≤a<0,即-12≤a ≤0, 由此可知“-2≤a ≤0”是“函数f(x)在R 上单调递增”的必要而不充分条件,故选B.5.(2015·阜阳模拟)函数y=x+,x∈的值域是( )A.[5,8]B.C.[ 4,8]D.【详细分析】选D.y=x+≥2=4,当x=2∈时“=”成立,所以y min=4, y max=+8=. 6.已知f(x)是定义在R上的增函数,函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,若对任意的x,y ∈R,不等式f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0恒成立,则当x>3时,x2+y2的取值范围是( )A.(3,7)B.(9,25)C.(13,49]D.(9,49)【详细分析】选C.因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,即函数y=f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),又因为f(x)是定义在R上的增函数且f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0恒成立,所以f(x2-6x+21)<-f(y2-8y)=f(8y-y2)恒成立,所以x2-6x+21<8y-y2,所以(x-3)2+(y-4)2<4恒成立,设M(x,y),则当x>3时,M表示以(3,4)为圆心2为半径的右半圆内的任意一点,则x2+y2表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方,结合圆的知识可知13<x2+y2≤49.7.设x∈R,若函数f(x)为单调递增函数,且对任意实数x,都有f(f(x)-e x)=e+1(e是自然对数的底数),则f(ln 2)的值等于( )A.1B.e+1C.3D.e+3【解题提示】利用换元法,将函数转化为f(t)=e+1,根据函数的对应关系求出t的值,即可求出函数f(x)的表达式,即可得到结论.【详细分析】选C.设t=f(x)-e x,则f(x)=e x+t,则条件等价为f(t)=e+1,令x=t,则f(t)=e t+t=e+1,因为函数f(x)为单调递增函数,所以函数为一对一函数,解得t=1, 所以f(x)=e x+1,即f(ln 2)=e ln 2+1=2+1=3.故选C. 二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2015·郑州模拟)定义运算a bc d　=ad-bc,若函数f(x)=x12x x3--+　在(-∞,m)上单调递减,则实数m的取值范围是.【详细分析】由已知得f(x)=(x-1)(x+3)+2x=(x+2)2-7,在(-∞,-2]上单调递减,要使函数f(x)在(-∞,m)上单调递减,所以m≤-2.答案:(-∞,-2]【加固训练】设函数f(x)=ax1x2a++在区间(-2,+∞)上是增函数,那么a的取值范围是.【详细分析】因为f(x)=222ax2a2a12a1a, x2a x2a+-+-=-++函数f(x)在区间(-2,+∞)上是增函数,所以22a10, 2a2,⎧->⎨-≤-⎩解得a≥1.答案:[1,+∞)9.(2014·天津高考)函数f(x)=lgx2的单调递减区间是.【详细分析】设t=x2,根据复合函数的单调性可知,当t=x2单调递减时,函数f(x)=lgx2单调递减,而函数t=x2的单调递减区间为(-∞,0),故函数f(x)=lgx2的单调递减区间是(-∞,0).答案:(-∞,0)10.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为 .【详细分析】由f(x)=min{2x ,x+2,10-x}(x ≥0)画出图象,最大值在A 处取到,联立y x 2,y 10x,=+⎧⎨=-⎩得y=6.答案:6(20分钟 40分)1.(5分)定义在R 上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)>0,则函数f(x)在[a,b]上有( ) A.最小值f(a) B.最大值f(b) C.最小值f(b)D.最大值a bf()2+ 【解题提示】先探究f(x)在[a,b]上的单调性,再判断最值情况. 【详细分析】选C.设x 1<x 2, 由已知得f(x 1)=f((x 1-x 2)+x 2) =f(x 1-x 2)+f(x 2).又x 1-x 2<0,所以f(x 1-x 2)>0,所以f(x 1)>f(x 2),即f(x)在R 上为减函数, 所以f(x)在[a,b]上亦为减函数, 所以f(x)min =f(b),f(x)max =f(a),故选C. 2.(5分)(2015·太原模拟)使函数y=2x kx 2+-与y=log 3(x-2)在(3,+∞)上具有相同的单调性,则实数k 的取值范围是 .【详细分析】由y=log3(x-2)的定义域为(2,+∞),且为增函数,故在(3,+∞)上是增函数.又函数2x k2(x2)4k4k y2, x2x2x2+-+++ ===+---使其在(3,+∞)上是增函数,故4+k<0,得k<-4.答案:(-∞,-4)3.(5分)函数f(x)=x+2的最大值为.【详细分析】方法一:设=t(t≥0),所以x=1-t2. 所以y=x+2=1-t2+2t=-t2+2t+1=-(t-1)2+2.所以当t=1,即x=0时,y max=2.方法二:f(x)的定义域为{x|x≤1},f′(x)=1-.由f′(x)=0,得x=0.当0<x≤1时,f′(x)<0,f(x)为减函数.当x<0时,f′(x)>0,f(x)为增函数.所以当x=0时,f(x)max=f(0)=2.答案: 24.(12分)(2015·宁波模拟)已知函数f(x)=lg(x+ax-2),其中a是大于0的常数.(1)求函数f(x)的定义域.(2)当a∈(1,4)时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值.(3)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.【详细分析】(1)由x+ax-2>0,得2x2x a0,x-+>当a>1时,x 2-2x+a>0恒成立,定义域为(0,+∞), 当a=1时,定义域为{x|x>0且x ≠1},当0<a<1时,定义域为{x|0<x<1-1a -或x>1+1a -}. (2)设g(x)=x+ax-2,当a ∈(1,4),x ∈[2,+∞)时, g ′(x)=222a x a1x x --=>0恒成立,所以g(x)=x+ax -2在[2,+∞)上是增函数. 所以f(x)=lg(x+ax -2)在[2,+∞)上是增函数.所以f(x)=lg(x+ax -2)在[2,+∞)上的最小值为f(2)=lg a2.(3)对任意x ∈[2,+∞)恒有f(x)>0, 即x+ax-2>1对x ∈[2,+∞)恒成立. 所以a>3x-x 2, 令h(x)=3x-x 2, 而h(x)=3x-x 2=-(x-32)2+94在x ∈[2,+∞)上是减函数, 所以h(x)max =h(2)=2.所以a>2.5.(13分)(能力挑战题)已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f =f(x 1)-f(x 2),且当x>1时,f(x)<0. (1)求f(1)的值.(2)证明:f(x)为单调递减函数.(3)若f(3)=-1,求f(x)在[2,9]上的最小值. 【详细分析】(1)令x 1=x 2>0, 代入得f(1)=f(x 1)-f(x 1)=0,故f(1)=0.(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1,由于当x>1时,f(x)<0,所以f<0,即f(x1)-f(x2)<0,因此f(x1)<f(x2),所以函数f(x)为单调递减函数.(3)因为f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数,所以f(x)在[2,9]上的最小值为f(9).由f=f(x1)-f(x2)得,f=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.所以f(x)在[2,9]上的最小值为-2.课时提升作业(六)函数的奇偶性与周期性(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·蚌埠模拟)已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数,则f(1)的值( )A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负【详细分析】选A.因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,又f(x)是R上的单调递增函数,所以f(1)>f(0)=0.2.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )A.y=1xB.y=e-xC.y=-x2+1D.y=lg |x|【详细分析】选C.A中,y=1x为奇函数,故排除A;B中,y=e-x为非奇非偶函数,故排除B;C中,y=-x2+1的图象关于y轴对称,故为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减;D中,y=lg |x|为偶函数,在x∈(0,+∞)时单调递增,排除D.3.(2015·泉州模拟)设f(x)是周期为4的奇函数,当0≤x≤2时,f(x)=x(2-x),则f(2015)等于( )A.1B.-1C.3D.-3【详细分析】选B.f(2015)=f(4×503+3)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-f(1)=-1×(2-1)=-1.【方法技巧】周期性问题常与奇偶性相结合,解题时注意以下两点:(1)周期的确定:特别是给出递推关系要明确周期如何确定.(2)周期性与奇偶性在解题时,一般情况下周期性起到自变量值转换作用,奇偶性起到调节转化正负号的作用.【加固训练】(2015·皖北八校模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且x∈(-2,0)时,f (x)=2x+12,则f(2 013)=( )A.-1B.0C.1D.±1【详细分析】选A.因为f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.因为f(x-2)=f(x+2),所以f(x+4)=f(x),即函数的周期为4.所以f(2 013)=f(4×503+1)=f(1).因为f(-1)=2-1+12=1,f(-1)=-f(1)=1,即f(1)=-1,所以f(2013)=f(1)=-1,故选A.4.x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为( )A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数【详细分析】选 D.当n为整数时,必有[n+x]=n+[x]成立.设k∈Z,且k≠0,则f(x+k)=(x+k)-[x+k]=(x+k)-([x]+k)=x-[x]=f(x),所以f(x)必为周期函数,故选D.【一题多解】本题还可以采用如下方法:。

第7讲 函数的图象基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．函数f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为________．解析 ∵x ∈[0,4]，∴x2∈[0,16]，∴x2＝0，π2，3π2，5π2，7π2，9π2都满足f(x)＝0，此时x 有6个值． ∴f(x)的零点个数为6.答案 62．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点向左平移________个单位长度，再向下平移________个单位长度．解析 y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1，将y ＝lg x 的图象向左平移3个单位长度得到y ＝lg(x ＋3)的图象，再向下平移1个单位长度，得到y ＝lg(x ＋3)－1的图象．答案 3 13．使log2(－x)＜x ＋1成立的x 的取值范围是________．解析 在同一坐标系内作出y ＝log2(－x)，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)．答案 (－1,0)4．直线y ＝1与曲线y ＝x2－|x|＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．解析 如图，作出y ＝x2－|x|＋a 的图象，若要使y ＝1与其有4个交点，则需满足a －14＜1＜a ，解得1＜a ＜54.答案 ⎝⎛⎭⎫1，545．若方程|ax|＝x ＋a(a>0)有两个解，则a 的取值范围是________．解析 画出y ＝|ax|与y ＝x ＋a 的图象，如图．只需a>1.答案 (1，＋∞)6．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝ex 关于y 轴对称，则f(x)＝________.解析 与y ＝ex 图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x ，依题意，f(x)图象向右平移一个单位，得y ＝e －x 的图象．∴f(x)的图象可由y ＝e －x 的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e －(x ＋1)＝e －x －1.答案 e －x －17．函数f(x)＝log21＋x 1－x(x≠0)的图象在第________象限． 解析 函数f(x)的定义域为(－1,0)∪(0,1)，当x ∈(0,1)时，1＋x 1－x ＝－1＋21－x＞1，f(x)＝log21＋x 1－x＞0，此时函数f(x)的图象在第一象限；又函数f(x)是奇函数，所以x ∈(－1,0)时，函数f(x)的图象在第三象限．答案 一、三8．(2015·长沙模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ ＞，2x ，且关于x 的方程f(x)－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围是________．解析 当x≤0时，0＜2x≤1，所以由图象可知要使方程f(x)－a ＝0有两个实根，即函数y ＝f(x)与y ＝a 的图象有两个交点，所以由图象可知0＜a≤1.答案 (0,1]二、解答题9．已知函数f(x)＝x 1＋x. (1)画出f(x)的草图；(2)指出f(x)的单调区间．解 (1)f(x)＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，函数f(x)的图象是由反比例函数y ＝－1x 的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示．(2)由图象可以看出，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)．10．已知函数f(x)＝|x2－4x ＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m|使方程f(x)＝m 有四个不相等的实根}．解 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －－1，x ∈－∞，1]∪[3，＋，－－＋1，x ∈，，作出函数图象如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)在同一坐标系中作出y ＝f(x)和y ＝m 的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)．由图知0＜m ＜1，∴M ＝{m|0＜m ＜1}．能力提升题组(建议用时：25分钟)1．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2x －1，x≥0，x2－2x －1，x<0，则对任意x1，x2∈R ，若0<|x1|<|x2|，给出下列不等式：①f(x1)＋f(x2)<0；②f(x1)＋f(x2)>0；③f(x1)－f(x2)>0；④f(x1)－f(x2)<0.其中成立的是________(填序号)．解析 函数f(x)的图象如图所示：且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．又0<|x1|<|x2|，∴f(x2)>f(x1)， 即f(x1)－f(x2)<0.答案 ④2．函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________．解析 令1－x ＝t ，则x ＝1－t.由－2≤x≤4，知－2≤1－t≤4，所以－3≤t≤3.又y ＝2sin πx ＝2sin π(1－t)＝2sin πt.在同一坐标系下作出y ＝1t和y ＝2sin πt 的图象．由图可知两函数图象在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称． 因此这8个交点的横坐标的和为0，即t1＋t2＋…＋t8＝0.也就是1－x1＋1－x2＋…＋1－x8＝0，因此x1＋x2＋…＋x8＝8.答案 83．已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f(x)＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f(x)＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k≠－1)有四个根，则k 的取值范围是________．解析 由题意作出f(x)在[－1,3]上的图象如图，记y ＝k(x ＋1)＋1，∴函数y ＝k(x ＋1)＋1的图象过定点A(－1,1)．记B(2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数y ＝f(x)与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点，故kAB ＜k ＜0，kAB ＝0－12－－＝－13，∴－13＜k ＜0. 答案 ⎝⎛⎭⎫－13，0 4．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x ＋1x＋2的图象关于点A(0,1)对称． (1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)＋a x，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)设f(x)图象上任一点P(x ，y)，则点P 关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f(x)＝x ＋1x(x≠0)． (2)g(x)＝f(x)＋a x ＝x ＋a ＋1x ，g′(x)＝1－a ＋1x2. ∵g(x)在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a≥3，故a 的取值范围是[3，＋∞).。

2016届高考数学一轮复习 3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数课时作业 理 湘教版1.已知角θ是第二象限角，sin θ＝43，那么角2θ为( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】：因为sin θ＝43且角θ为第二象限角，所以cos θ＝－θ2sin 1-错误！未找到引用源。

＝－47，则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－错误！未找到引用源。

，sin 2θ＝2sin θcos θ＝－错误！未找到引用源。

.由于角2θ的正弦值与余弦值均为负，故角2θ为第三象限角.【答案】：C2. 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴.若P （4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－552，则y ＝（ ） A.－8 B.8 C.－4 D.4【解析】根据题意sin θ＝－552<0及P （4，y)是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角.再由三角函数的定义得，2224y y +＝－552， 又∵y<0，∴y ＝－8（合题意)，y ＝8（舍去).综上知y ＝－8.【答案】A3.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是 （ ）A.π3 B. π6 C. π3- D. π6-【解析】: 将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转, ∴C 、D 不正确. 又∵拨慢10分, ∴转过的角度应为圆周的21126=, 即为1π2π=63⨯. 【答案】： A4.集合A ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z n n x x ，π3cos和B ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z m m x x π，632sin 之间满足的关系是（ )A.A≠⊂B B.A≠⊃B C.A ＝B D.A ≠B【解析】设x ∈B ，则x ＝sin632-m π＝sin （23ππ-m )＝－cos 3m π，设m ＝n ＋3，则x ＝－cos 33+n π＝－cos （3πn ＋π）＝cos 3πn ，∴x ∈A ，即B ⊆A ，反之设y ∈A 可证得y ∈B ， 即A ⊆B ，所以A ＝B. 【答案】C5.在平面直角坐标系中，点O （0,0)，P （6,8)，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转43π后得向量OQ ，则点Q 的坐标是（ )A.（－72，－2)B.（－72，2)C.（－46，－2)D.（－46，2) 【解析】设x 轴正方向逆时针到向量OP 的角为α， 则从x 轴的正方向逆时针到向量OQ 的夹角为α＋43π， 这里cos α＝53，sin α＝54. 设Q 坐标为（x ，y)，根据三角函数的定义x ＝10cos （α+43π）＝10×（53+54）×（-22）＝－72，y ＝10sin （α+43π）=－2， 即Q （－72，－2). 【答案】A6.如图,设点A 是单位圆上的一定点,动点P 从A 出发在圆上 按逆时针方向转一周,点P 所旋转过的弧AP 的长为l ,弦AP 的长为d ,则函数d =f (l )的图象大致为 （ ）【解析】: 如图,取AP 的中点为D, 设∠DOA=θ,则d=2sin θ,l=2θR=2θ, ∴d=2sin2l.故选C. 【答案】： C二、填空题7.函数y ＝x x cos 21sin -+的定义域是 . 【解析】由题意知 sin x ≥0, 21-cos x ≥0, 即 sin x ≥0, cos x ≤21. ∴x 的取值范围为3π＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z. 【答案】[3π+2k π,π+2k π]（k ∈Z)8.（2014·大庆调研）已知扇形的周长是4cm ，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是 .【解析】设此扇形的半径为r ，弧长为l ， 则2r ＋l ＝4， 则面积S ＝21rl ＝21r （4－2r)＝－r 2＋2r ＝－（r －1)2＋1， ∴当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2. 从而α＝12=r l ＝2. 【答案】29.已知点P （sin α-cos α，tan α）在第一象限，且α∈［0，2π］，则α的取值范围是 .【解析】: 由已知得sin cos ,tan 0,a a a >⎧⎨>⎩∴ππ5π2πππ2π2π,424k a k k a k k Z +<<+<<+∈+2或. 当k=0时,π4＜α＜π2或π＜α＜5π4.∵0≤α≤2π,∴π42a π<<或π＜α＜5π4.【答案】：π42a π<<或π＜α＜5π410.若角α终边上的点P 与A (a ,2a )关于x 轴对称(a ≠0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，则sin α·cos α＋sin β·cos β＋ tan α·tan β的值为 . 【解析】：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a)，点Q 的坐标为(2a ，a)..1212-525552tan tan cos sin cos sin ,21cos sin tan ,5)2(2cos ,5)2(sin ,2cos sin tan ,5)2(cos ,52)2(2-sin 2222222222222222-=⨯+∙+∙-=∙+∙+∙===+==+=-===-+=-=-+=）（故有a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aaa a a a a a a a a a a a a ββββββββ【答案】-1三、解答题11.(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；(2)若角θ的终边与7π6角的终边相同，求在［0,2π)内终边与3θ角的终边相同的角； (3)已知角α是第二象限角，试确定2α、3a所在的象限.【解析】(1)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π3＋k π，k ∈Z .(2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )． 依题意0≤2π7＋2k π3＜2π⇒－37≤k ＜187，k ∈Z .∴k ＝0，1，2，即在[0，2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.(3)∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°，k ∈Z . ∴2k ·360°＋180°＜2α＜2k ·360°＋360°，k ∈Z . ∴2α是第三、第四象限角或角的终边在y 轴负半轴上．∵k ·180°＋45°＜α2＜k ·180°＋90°，k ∈Z ，当k ＝2m (m ∈Z )时，m ·360°＋45°＜α2＜m ·360°＋90°；当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，m ·360°＋225°＜α2＜m ·360°＋270°.∴α2为第一或第三象限角．12.（2014·济宁模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P （－3，3).（1)求sin 2α－tan α的值；（2)若函数f （x)＝cos （x －α)cos α－sin （x －α)sin α，求函数y ＝3f （2π-2x ）－2f 2（x)在区间0,π2上的值域.【解析】 (1)∵角α的终边经过点P (－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33，∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －a )sin α＝cos x ，x ∈R ，∴y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. ∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1， 故函数y ＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2[f (x )]2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为[－2，1]．13.(2013·无锡调研)如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，B 点坐标为(1,0)，∠BOA ＝60°，质点A 以1弧度/秒的角速度按逆时针方向在单位圆上运动；质点B 以1弧度/秒的角速度按 顺时针方向在单位圆上运动，过点A 作AA 1⊥y 轴于A 1，过点B 作BB 1⊥y 轴于B 1. (1)求经过1秒后，∠BOA 的弧度数；(2)求质点A ，B 在单位圆上的第一次相遇所用的时间；(3)记A 1B 1的距离为y ，请写出y 与时间t 的函数关系式，并求出y 的最大值.【解析】(1)3π＋2. (2)设经过t 秒后相遇，则有t(1＋1)＋3π＝2π， ∴t ＝65π，即经过65π秒后A ，B 第一次相遇.(3)y ＝|sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πt －sin(－t)| ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+6πsin 3cos 23sin 23t t t ， ∴当t ＋6π＝k π＋2π (k ∈N )，即t ＝k π＋3π(k ∈N )时， y max ＝3.。

十一 圆周运动1．(多选)在“天宫一号”的太空授课中，航天员王亚平做了一个有趣的实验．在T 形支架上，用细绳拴着一颗明黄色的小钢球．设小球质量为m ，细绳长度为L.王亚平用手指沿切线方向轻推小球，小球在拉力作用下做匀速圆周运动．测得小球运动的周期为T ，由此可知( )A ．小球运动的角速度ω＝T2πB ．小球运动的线速度v ＝2πLTC ．小球运动的加速度a ＝2π2L T2 D ．细绳中的拉力为F ＝4m π2LT2答案：BD 解析：小球运动的角速度ω＝2πT ，选项A 错误；线速度v ＝ωL ＝2πLT，选项B 正确；加速度a ＝ω2L ＝4π2LT2，选项C 错误；细绳中的拉力为F ＝ma ＝4m π2LT2，选项D 正确．2.(2013·新课标全国卷Ⅱ)(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v c 时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处( )A ．路面外侧高内侧低B ．车速只要低于v c ，车辆便会向内侧滑动C ．车速虽然高于v c ，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动D ．当路面结冰时，与未结冰时相比，v c 的值变小答案：AC 解析：汽车在公路转弯处做圆周运动，需要外力提供向心力，当汽车行驶的速率为v c 时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，即没有指向公路两侧的摩擦力，此时的向心力由地面的支持力和重力的合力提供，故路面外侧高内侧低，选项A 正确；当车速低于v c 时，车所需向心力mv 2r减小，车可能只是具有向内侧滑动的趋势，不一定能够滑动，选项B 错误；同理，当车速高于v c ，且不超出某一最高限度，车辆可能只是有向外侧滑动的趋势，不一定能够滑动，当超过最大静摩擦力时，才会向外侧滑动，故选项C 正确；当路面结冰时，只是最大静摩擦力变小，v c 值不变，选项D 错误．3．(2015·济南高三期末)如图所示，绳的一端悬于O 点，另一端系一小球；在O 点正下方A 处有一钉子．现使小球由高处摆下，当绳摆到竖直位置时与钉子相碰．则绳碰钉子前与碰钉子后瞬间相比(不计空气阻力)( )A ．小球的线速度变大B ．小球的角速度变大C ．小球的向心加速度变小D ．绳子的拉力变大答案：BD 解析：绳碰钉子前后瞬间小球的线速度不变，圆周运动的半径变小，根据公式v ＝ωr 知，角速度变大；由a ＝v 2r 知加速度变大；根据F －mg ＝m v 2r知绳子的拉力变大．正确选项是B 、D.4．如图是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r 2的小齿轮，Ⅲ是半径为r 3的后轮，假设脚踏板的转速为n ，则自行车前进的速度为( )A.πnr 1r 3r 2B.πnr 2r 3r 1C.2πnr 1r 3r 2D.2πnr 2r 3r 1答案：C 解析：前进速度即为Ⅲ轮的线速度，由同一个轮上的角速度相等，同一皮带传动的两轮边缘的线速度相等可得ω1r 1＝ω2r 2，ω3＝ω2，再有ω1＝2πn ，v ＝ω3r 3，所以v ＝2πnr 1r 3r 2，选项C 正确．5．(多选)如图所示，水平放置的两个用相同材料制成的轮P 和Q 靠摩擦传动，两轮的半径R ∶r ＝2∶1.当主动轮Q 匀速转动时，在Q 轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在Q 轮边缘上，此时Q 轮转动的角速度为ω1，木块的向心加速度为a 1；若改变转速，把小木块放在P 轮边缘也恰能静止，此时Q 轮转动的角速度为ω2，木块的向心加速度为a 2，则( )A.ω1ω2＝22B.ω1ω2＝21C.a 1a 2＝11D.a 1a 2＝12答案：BC 解析：静摩擦力提供向心力，F fmax ＝ma 1＝ma 2，故a 1∶a 2＝1∶1，C 对，D 错．ω21·r ＝ω22·R 得ω1∶ω2＝2∶1，A 错，B 对．6．如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A 和B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则( )A ．小球A 的线速度必定等于小球B 的线速度B ．小球A 的角速度必定小于小球B 的角速度C ．小球A 的运动加速度必定小于小球B 的运动加速度D ．小球A 对筒壁的压力必定大于小球B 对筒壁的压力答案：B 解析：分析小球受力，小球受重力、支持力，合力为小球做圆周运动的向心力，即mgtan θ＝ma ＝m v 2r＝mr ω2，所以二者加速度相同，对筒壁的压力相同，C 、D 错误；因小球A 的半径大，所以线速度大而角速度小，选项B 正确，A 错误．7．(2015·连云港模拟)(多选)如图所示，质量为m 的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周运动．圆环半径为R ，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时( )A ．小球对圆环的压力大小等于mgB ．小球受到的向心力等于0C ．小球的线速度大小等于gRD ．小球的向心加速度大小等于g答案：CD 解析：小球在最高点时刚好不脱离圆环，则圆环刚好对小球没有作用力，小球只受重力，重力竖直向下提供向心力，选项A 、B 错误；根据牛顿第二定律得mg ＝ma ，解得小球的向心加速度大小为a ＝g ，选项D 正确；由a ＝v 2R得v ＝gR ，选项C 正确．8．质量为m 的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管的直径，如图所示，已知小球以速度v 通过最高点时对圆管的外壁的压力恰好为mg ，则小球以速度v2通过圆管的最高点时( )A ．小球对圆管的内、外壁均无压力B ．小球对圆管的外壁压力等于mg 2C ．小球对圆管的内壁压力等于mg2D ．小球对圆管的内壁压力等于mg答案：C 解析：依题意，小球以速度v 通过最高点时，由牛顿第二定律得2mg ＝m v 2R小球以速度v2通过圆管的最高点时，设小球受向下的压力F N ，有mg ＋F N ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫v 22R ，解得F N＝－mg2上式表明，小球受到竖直向上的支持力，由牛顿第三定律知小球对圆管内壁有向下的压力，大小为mg2.选项C 正确．9．(2015·汕头质检)(多选)如图所示，m 为在水平传送带上被传送的物体(可视为质点)，A 为终端皮带轮，已知皮带轮半径为r ，传送带与皮带轮之间不打滑，则要求使物体被水平抛出，A 轮转动( )A ．角速度越小越好，最大为grB ．线速度越大越好，至少为grC ．转速越大越好，至少为12πg r D ．周期越小越好，最大值为12πr g答案：BC 解析：物体的速度越大越容易做平抛运动，物体恰好做平抛运动时，皮带的支持力为零，mg ＝m v 2r ，解得最小速度v ＝gr ，A 错误，B 正确；最小转速n ＝v 2πr ＝12πgr，C 正确；最大周期T ＝2πrv＝2πrg，D 错误． 10．(2014·安徽理综)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，取g ＝10 m/s 2.则ω的最大值是( )A. 5 rad/sB. 3 rad/s C ．1.0 rad/sD ．0.5 rad/s答案：C 解析：该题考查圆周运动中的临界问题，要明确临界条件是达到最大静摩擦力．对物体进行受力分析，当ω最大时，有μmg cos θ－mg sin θ＝mr ω2，解得ω＝1.0 rad/s ，C 正确．11．如图所示，光滑的水平平台中间有一光滑小孔，手握轻绳下端，拉住在平台上做圆周运动的小球．某时刻，小球做圆周运动的半径为a 、角速度为ω，然后松手一段时间，当手中的绳子向上滑过h 时立刻拉紧，达到稳定后，小球又在平台上做匀速圆周运动．设小球质量为m ，平台面积足够大．求：(1)松手之前，轻绳对小球的拉力大小； (2)小球最后做匀速圆周运动的角速度． 答案：(1)m ω2a (2)ωa2a ＋h2解析：(1)松手前小球做匀速圆周运动，绳子的拉力提供小球的向心力，所以有：T ＝m ω2a(2)松手后，由于拉力消失，小球将沿切线方向飞出做匀速直线运动，其速度v ＝ωa当运动了一定距离，绳子突然被拉紧，作出运动示意图如图所示，把速度v 分解成切向速度v 1和法向速度v 2，绳拉紧后，瞬间让v 2＝0，小球以v 1做匀速圆周运动半径r ＝a ＋h ，v 1＝aa ＋h v ＝a 2ωa ＋h得ω′＝v 1r ＝ωa2a ＋h212．质量为1 kg 的小球用长为L ＝0.5 m 的细线悬挂在O 点，O 点距地面高度为H ＝1 m ，如果使小球绕OO ′轴在水平面内做圆周运动，若细线受到拉力为T m ＝12.5 N 就会被拉断．(1)当小球的角速度为多大时线将断裂？(2)求细线被拉断后小球落地点与悬点的水平距离．(取g ＝10 m/s 2)答案：(1)5 rad/s (2)0.6 m解析：(1)设细线与竖直方向的夹角为θ，细线被拉断瞬间对小球有T m sin θ＝m ω20L sin θ T m cos θ＝mg解得ω0＝5 rad/s ，cos θ＝0.8(从而可知sin θ＝0.6)．(2)细线被拉断后，小球做平抛运动，初速度v 0＝ω0L sin θ＝1.5 m/s 抛出时的高度h ＝H －L cos θ＝0.6 m 由平抛运动规律知h ＝12gt 2，x ＝v 0t设所求水平距离为s ，则由几何关系知s ＝x 2＋L sin θ2以上各式联立解得s＝0.6 m.13．如图所示，质量为m的小球置于正方体的质量为M的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计．(1)要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，盒子做圆周运动的角速度多大？(2)设小球在最高点对盒子的压力为F1，在最低点对盒子的压力为F2，试作出(F2－F1)­ω2图象．(3)盒子运动到与圆心等高的位置时，这位同学对盒子的作用力多大？答案：(1)gR(2)见解析图(3)(M＋m)R2ω4＋g2解析：(1)要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则有mg＝mRω2解得ω＝g R(2)ω≤gR 时，F2－mg＝mRω2，mg－F1＝mRω2解得F2－F1＝2mRω2当ω>gR时，F2－mg＝mRω2，F1＋mg＝mRω2解得F2－F1＝2mg因此(F2－F1)­ω2图象如图所示(3)当盒子运动到与圆心等高的位置时，这位同学对盒子作用力的水平分力F′提供向心力，竖直分力F″与重力平衡，即F′＝(M＋m)Rω2，F″＝(M＋m)g则该同学对盒子的作用力为F＝F′2＋F″2＝(M＋m)R2ω4＋g2。