高一数学知识点复习：函数的基本性质

人教版高一数学第一章函数的基本性质知识点归纳2021-2021高一数学第一章的内容是集合，下面是查字典数学网整理的第一章函数的基本性质知识点，请大家学习。

1、函数单调性(1).增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质;必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2;当x1 (2) 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：任取x1，x2D，且x1(B)图象法(从图象上看升降)_(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：函数单调性u=g(x) 增增减减y=f(u) 增减增减y=f[g(x)] 增减减增注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗?2.函数的奇偶性(1)偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.(2).奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).(3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称;○2 确定f(-x)与f(x)的关系;○3 作出相应结论：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是奇函数.注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)f(x)=0或f(x)/f(-x)=1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .第一章函数的基本性质知识点的全部内容就是这些，查字典数学网预祝大家在新学期取得更好的成绩。

高中数学函数性质总结高中数学函数顺磁性总结函数性质1..函数的单调性(1)设x1x2a,b,x1x2那么f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；x1x2f(x1)f(x2)(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在a,b上是减函数.x1x2(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数.注：如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公益性定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数;如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的邻域上用上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.(x1x2)f(x1)f(x2)02.奇偶多项式的图象特征偶函数的奇函数图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，函数如果一个函数的为萤关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．注：若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).注：对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数xabab;两个函数yf(xa)与yf(bx)的图象关于直线x对称.22a 注：若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称;若2f(x)f(xa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数.3.多项式函数P(x)anxan1xnn1a0的奇偶性多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数yf(x)的图象的对称性(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).(2)函数yf(x)的图象关于直线xab对称f(amx)f(bmx)2f(abmx)f(mx).4.两个函数图象的对称性(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.(2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线x(3)函数yf(x)和yf1ab 对称.2m(x)的图象关于直线y=x对称.25.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象.5.彼此间反函数的两个函数原函数的关系f(a)bf1(b)a.27.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y11[f(x)b],并不是ky[f1(kxb),而函数y[f1(kxb)是y1[f(x)b]的反函数.k6.几个常见的函数方程(1)正比例函数f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.(2)指数函数f(x)a,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.(3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).(4)幂函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(1).(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，"xf(0)1,limx0g(x)1.x7.几个函数方程的周期(约定a;0)（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0，1(f(x)0)，f(x)1或f(xa)(f(x)0),f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),则f(x)的周期T=2a；21(3)f(x)1(f(x)0)，则f(x)的周期T=3a；f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，则1f(x1)f(x2)f(x)的周期T=4a；(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a；(6)f(xa)f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=6a.或f(xa)8.分数指数幂(1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）.（a0,m,nN，且n1）.a9.根式的性质（1）(na)a.（2）当n为奇数时，aa；nnna,a0当n为偶数时，a|a|.a,a0nn10.有理指数幂的运算性质(1)aaarsrrsrs(a0,r,sQ).(2)(a)a(a0,r,sQ).(3)(ab)ab(a0,b0,rQ).注：若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的连续函数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用于.33.纳指式与对数式的互化式rrrslogaNbabN(a0,a1,N0).34.对数的换底公式logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).logmann推论logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).mlogaN11.对数的四则运算法则若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)loga(MN)logaMlogaN;MlogaMlogaN;Nn(3)logaMnlogaM(nR).(2)loga2注：设函数f(x)logm(axbxc)(a0),记b4ac.若f(x)的定义域为2R,则a0，且0;若f(x)的值域为R,则a0，且0.对于a0的情形,需要单独检验.12.对数换底不等式及其推论1,则函数ylogax(bx)a11(1)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为增函数.aa11(2)(2)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为减函数.aa若a0,b0,x0,x推论:设nm1，p0，a0，且a1，则（1）logmp(np)logmn.（2）logamloganloga【例1】求下列各式的值：n（3）（1）n（n1,且nN*）；（2）(xy)2.n（3）3；解：（1）当n为奇数时，nn（3）|3|3.当n为偶数时，n2mn.2（2）(xy)2|xy|.当xy时，(xy)2xy；当xy时，(xy)2yx.a3na3n【例2】已知a21，求n的值.naa3n3nnn2naa(aa)(a1a2n)12n2n解：na1a211221nnnaaaa212n【例4】已知函数f(x)a23x(a0,且a1).（1）求该变量的图象恒过的定点坐标；（2）同时指出该函数的单调性.2时，a23xa01.32所以，该函数的图象恒过定点(,1).3（2）∵u23x是减函数，∴当0a1时，f(x)在R上是增函数；当a1时，f(x)在R上是减函数.21【例3】求下列函数的单调区间：（1）yax2x3；（2）y.x0.21u2解：（1）设ya,ux2x3.解：（1）当23x0，即x由ux22x3(x1)24知，u在(,1]上为减函数，在[1,)上为增函数.根据yau的单调性，当a1时，y关于u为增函数；当0a1时，y关于u为减函数.∴当a1时，原函数的增区间为[1,)，减区间为(,1]；当0a1时，原函数的增区间为(,1]，减区间为[1,).（2）函数的定义域为{x|x0}.设y而根据y1,u0.2x.易知u0.2x为减函数.u11的图象可以得到，在区间(,1)与(1,)上，y关于u均为减函数.u1∴在(,0)上，原函数为增函数；在(0,)上，原函数也为增函数.xx2f(x1)f(x2)【例1】若f(x)ax(a0,且a1)，则f(1.)22证x1x2f(x1)f(x2)x1x2ax1ax2ax1ax22ax1ax2(ax1ax2)220.f()a22222xx2f(x1)fx(2)∴f(1.（注：此性质为函数的镜面性）)22bx【例2】已知函数f(x)2(b0,a0).ax111（1）判断f(x)的奇偶性；（2）若f(1),log3(4ab)log24，求a，b的值.22bx解：（1）f(x)定义域为R，f(x)2f(x)，故f(x)是奇函数.ax1b1（2）由f(1)，则a2b10.又log3(4a-b)=1，即4a-b=3.a12a2b10由得a=1，b=1.4ab3exa【例3】（01天津卷.19）设a＞0，f(x)是R上的偶函数.aex（1）求a的值；（2）证明f(x)在(0,)上是增函数．exa解：（1）∵f(x)是R上的偶函数，∴f(x)f(x)0.aexexaexa111∴xx0(a)ex(a)ex0(a)(exex)0.aeaeaaaex－e-x不可能恒为“0”，∴当1－a＝0时等式恒成立，∴a＝1．a（2）在(0,)上任取x1＜x2，ex11111f(x1)f(x2)x1ex2x2(ex1ex2)(x1)(ex1ex2)(1x1x2)x2aeeeeee( ex1ex2)(ex1ex21)x1x2x1x2∵e＞1，x1＜x2，∴ee1，∴ee＞1，＜0，ex1ex2∴f(x1)f(x2)0，∴f(x)是在(0,)上的增函数．【例4】已知2021年底世界人口比例达到54.8亿.（1）若人口的平均增长率为1.2%，写出经过t年后的世界性人口数y（亿）与t的函数解析式；（2）若人口的平均增长率为x%，写出201*年底世界常住人口为y （亿）与x的函数解析式.如果要使201*年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率须控制在多少以内？t*解：（1）经过t年后的世界人口数为y54..8(11.t2)54.8t1.0N12,（2）201*年底的世界人口数y与x的函数解析式为y54.8(1x)18.由y54.8(1x)1866.8，解得x100(18所以，人口的年平均比率应百分比控制在1.1%以内.66.81)1.1.54.数学必修1函数概念及性质（知识点总结）（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．2如果只给出解析固定式y=f(x)，而无指明它的定义域，则函数的定义域即是指能或使这个式指能注意：○3函数的定义域、满射技术指标要写成集合或区间的形式．子有意义的实数的集合；○定义域补充能而使函数式有意义的实数x的集合称为变量的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不绝对值；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各这部分都有使到意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以守恒(6)实际中的函数的定义域还要保证实际结构性问题有意义.(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。

函数及其性质总结知识点函数是数学中的一个重要概念，也是高中数学课程的重点内容之一。

函数是描述两个集合之间的依赖关系的映射，它在数学、物理、化学、经济学等领域都有着广泛的应用。

本文将从函数的定义、基本性质、常见函数及其性质等方面对函数进行总结。

一、函数的定义在数学上，函数是描述两个集合之间的依赖关系的一种数学结构。

具体来说，设A和B 是两个集合，如果对于A中的每一个元素x，都有且仅有一个元素y与之对应，那么就称这样的依赖关系为从集合A到集合B的一个函数。

通常用f表示函数，记作f: A → B，其中A称为函数的定义域，B称为函数的值域。

二、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指函数中自变量的取值范围，值域是函数中因变量的取值范围。

2. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数的图象关于原点对称的性质。

若函数满足f(-x) = f(x)，则称函数为偶函数；若函数满足f(-x) = -f(x)，则称函数为奇函数。

3. 单调性：函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。

若对于任意的x1<x2，有f(x1)≤f(x2)，则称函数为单调不减；若对于任意的x1<x2，有f(x1)≥f(x2)，则称函数为单调不增。

4. 周期性：若存在一个正数T，使得对于定义域上任意的x，都有f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期性。

三、常见函数及其性质1. 一次函数：y = kx + b，其中k和b为常数。

一次函数的图象为一条直线，斜率k决定了函数的单调性和斜率的大小，截距b决定了函数的平移。

2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的图象为抛物线，开口方向由a的正负决定，顶点的坐标由(-b/2a, c-b^2/4a)决定。

3. 幂函数：y = x^n，其中n为常数。

幂函数的图象形状由n的奇偶性和正负性决定，若n 为正偶数，则图像在第一象限共线上，n为正奇数则图像在一、三象限上共线，n为负偶数则在第四象限，负奇数图像在二、四象限上共线。

高一数学函数知识点总结一、函数的定义与性质函数是数学中非常重要的一个概念，它是我们研究变化规律的工具之一。

函数是一种将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的元素的规则。

数学中常用的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等等。

函数的性质有很多，其中一个重要的性质是单调性。

函数在定义域上的单调性指的是函数的增减关系，可以分为递增和递减。

另外，函数还有奇偶性、周期性等性质，这些性质可以用来做函数图像的研究。

二、函数的运算函数的运算是数学中常用的操作之一。

我们可以通过不同函数的运算，得到新的函数。

函数的运算包括函数的加法、乘法、复合运算等等。

函数的加法指的是将两个函数的相同自变量对应的函数值相加。

函数的乘法指的是将两个函数的相同自变量对应的函数值相乘。

函数的复合运算指的是将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

这些运算能够帮助我们更好地理解函数之间的关系。

三、函数的图像与性质函数的图像是函数可视化的一种方式，通过画出函数的图像，我们可以更加清晰地看到函数的变化规律。

函数的图像是一个平面上的曲线，它展示了函数的自变量和因变量之间的关系。

通过观察函数的图像，我们可以得到函数的一些特性。

例如，函数的增减性可以通过图像的上升和下降来判断。

函数的极值可以通过图像的拐点来判断。

函数的周期性可以通过图像的重复性来判断。

因此，图像可以帮助我们更好地理解函数的性质。

四、函数的应用函数在现实生活中有广泛的应用。

它可以用来描述各种变化规律，解决许多实际问题。

下面我们来看一些例子。

1. 经济学中，函数可以用来描述消费者支出和收入之间的关系，帮助经济学家研究消费行为。

2. 物理学中，函数可以用来描述物体的运动规律、力与加速度之间的关系等等，帮助物理学家解决相关问题。

3. 生物学中，函数可以用来描述生物的生长规律、种群的增长规律等等，帮助生物学家研究生物的变化。

这些仅仅是函数在实际应用中的一些例子，实际上函数的应用非常广泛，几乎应用于各个领域。