2020年陕西省咸阳市高考数学模拟试卷（理科）（二）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 己知全集U =R ，A ={x|x >0}，B ={x|x >−1}，则(∁U A)∩B =( )A. (−1,0]B. (−1,1)C. (−1,+∞)D. [0,1)2. 已知复数z =41+i (i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A. 2B. 2iC. −2D. −2i3. 已知向量a ⃗ =(1,3)，b ⃗ =(3,2)，则向量a ⃗ 在向量b ⃗ 上的投影等于( )A. 9√1010B. 9C. −3D. 9√13134. 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛(如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，)若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆第10层球的个数为( )A. 66B. 55C. 45D. 385. 已知一组数据的茎叶图如图所示．下列说法错误的是( )A. 该组数据的极差为12B. 该组数据的中位数为21C. 该组数据的平均数为21D. 该组数据的方差为116. 已知0<a <b <1，则下列不等式不成立．．．的是( ) A. (12)a >(12)bB. lna >lnbC. 1a >1bD. 1lna >1lnb7. 已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⫋β，α∩β=b ，则“a//α”是“a//b ”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件8. (2x −1)(x +2)3的展开式中x 2项的系数为( )A. 24B. 18C. 12D. 49. 若α∈(0,π2)，且2cos2α=sin(α+π4)，则sin2α的值为( )A. 18B. 38C. 12D. 7810. 抛物线x 2=2py(p >0)的焦点与双曲线x 216−y 29=1的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p 的值为( )A. 52B. 403C. 203D. 8√7311. 将函数y =cos(2x +φ)(−π2<φ<π2)的图象向右平移3π8个单位长度单位后得函数f(x)图象，若f(x)为偶函数，则( )A. f(x)在区间[−π4,π2]上单调递减 B. f(x)在区间[−π4,π2]匀上单调递增 C. f(x)在区间[π4,π2]上单调递减 D. f(x)在区间[π4,π2]上单调递增12. 已知函数f(x)={13x 3−x 2−3x +2,x ≤5−log 3(x +4),x >5，则函数y =f(f(x))的零点个数为( )A. 6B. 7C. 9D. 10二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足不等式组{x −2y ≥0x +3y −3≥0x −3≤0，则z =2x −y 的最大值为______．14. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=−f(x +32)，且f(−2)=3，则f(2020)= ．15. 在△ABC 中内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =1，b =√2，sinAsinBcosC =sin 2C ，则△ABC 的面积为______．16. 已知各棱长都相等的直三棱柱所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为56π，则该三棱柱的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等差数列{a n }满足a 2=3，a 4+a 7=20，其前n 项和为S n ．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式a n 及S n ；(Ⅱ)若b n =an2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18. 已知四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，PD ⊥平面ABCD ，且AB//CD ，CD =2AB =2AD ，AD ⊥CD ． (Ⅰ)求证：平面PBC ⊥平面PBD ；(Ⅱ)若PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角B −PC −D 的余弦值．19. 已知某校6个学生的数学和物理成绩如表：学生的编号i 1 2 3 4 5 6 数学x i 89 87 79 81 78 90 物理y i79 75 77 73 72 74(Ⅰ)若在本次考试中，规定数学在80分以上(包括80分)且物理在75分以上(包括75分)的学生为理科小能手．从这6个学生中抽出2个学生，设X 表示理科小能手的人数，求X 的分布列和数学期望；(Ⅱ)通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用x 表示数学成绩，用y 表示物理成绩，求y 与x 的回归方程．参考数据和公式：y ∧=b ∧x +a ∧，其中b ̂=∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i−x)2=∑x i ni=1y i −nx⋅y ∑x i2n i=1−nx2，a ∧=y −b ∧x ．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)过点(1,32)，且其离心率为12，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线与椭圆C 分别相交于M ，N 两点． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)是否存在圆心在原点的定圆与直线MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=e ax −ax −1(a ∈R 且a ≠0)．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)对任意x 1，x 2∈[−1,1]，|f(x 1)−f(x 2)|≤e 2−3恒成立，求a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为C 1：{x =1+cosαy =sinα(α为参数)，曲线C 2：x 22+y 2=1．(Ⅰ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C 1，C 2的极坐标方程； (Ⅱ)射线θ=π6(ρ≥0)与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的交点为B ，求|AB|．23.已知关于x的不等式|x−2|−|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．(1)求M的值；(2)正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证：1a+b +1b+c≥1．答案和解析1.【答案】A【解析】解：全集U=R，A={x|x>0}，B={x|x>−1}，则∁U A=(−∞,0]，则(∁U A)∩B=(−1,0]，故选：A．求出∁U A，再计算出结果．考本题查集合的交并补运算，基础题．2.【答案】C【解析】解：复数z=41+i =4(1−i)(1+i)(1−i)=4−4i2=2−2i，∴z的虚部为−2．故选：C．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：a⃗在b⃗ 方向上的投影为|a⃗|⋅cos<a⃗,b⃗ >=|a⃗|⋅a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=a⃗ ⋅b⃗|b⃗|=√13=9√1313．故选：D．可知a⃗在b⃗ 方向上的投影为a⃗ ⋅b⃗|b⃗|，根据向量a⃗,b⃗ 的坐标即可求出投影的值．本题考查了向量投影的计算公式，向量夹角的余弦公式，向量坐标的数量积运算，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：∵“三角形数”可写为：1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，15=1+2+3+4+5，∴“三角形数”的通项公式为：a n=1+2+3+⋯…+n=n(n+1)2，∴三角锥垛有10层，则该堆第10层球的个数a10=10×(10+1)2=55，故选：B．三角形数”可写为：1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，15=1+2+3+4+5，所以“三角形数”的通项公式为：a n=1+2+3+⋯…+n=n(n+1)2，从而求出第10层球的个数．本题主要考查了合情推理中的归纳推理，是基础题．5.【答案】D【解析】解：由题意，极差为26−14=12，中位数为21，平均数19(14+18+40+21+22+23+25+26)=21，方差19[(14−21)2+(18−21)2+⋯+(26−21)2]2=1069，D错误，故选：D．根据茎叶图，对选项进行排查，得到答案．考查茎叶图的应用，考查极差，中位数，平均数，方差等，基础题．6.【答案】B【解析】解：∵函数y=lnx，在(0,+∞)上单调递增，∴当0<a<b<1时，lna<lnb．故选：B．根据函数y=lnx，在(0,+∞)上单调递增，可得当0<a<b<1时，lna<lnb．本题考查了不等关系与不等式和利用函数单调性比较大小，属基础题．7.【答案】A【解析】解：a⫋β，α∩β=b，则“a//α”⇒“a//b”，反之也成立．∴a⫋β，α∩β=b，则“a//α”是“a//b”的充要条件．故选：A．利用线面平行的性质定理与判定定理即可判断出关系．本题考查了线面平行的性质定理与判定定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：∵(x +2)3的展开式的通项公式是：T r+1=C 3r x 3−r⋅2r ，r =0，1，2，3， ∴(2x −1)(x +2)3的展开式中x 2项的系数为2×C 32×22−C 31×2=18．故选：B ．先求(x +2)3的展开式，再求出x 2项的系数． 本题主要考查二项式定理，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：∵2cos2α=sin(α+π4)， ∴2(cos 2α−sin 2α)=√22(sinα+cosα)，∴2(cosα+sinα)(cosα−sinα)=√22(sinα+cosα)，∵α∈(0,π2)，cosα+sinα≠0，∴2(cosα−sinα)=√22，解得cosα−sinα=√24，两边平方可得cos 2α+sin 2α−2cosαsinα=18，即1−sin2α=18， ∴sin2α=78． 故选：D ．利用二倍角公式，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2(cosα+sinα)(cosα−sinα)=√22(sinα+cosα)，结合已知可得cosα+sinα≠0，解得cosα−sinα=√24，两边平方利用二倍角公式即可求解sin2α的值．本题主要考查了二倍角公式，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．【解析】解：由双曲线的方程可得右焦点坐标为：(5,0)渐近线的方程为：3x±4y=0，而由抛物线的方程的的坐标为(0,p2)，所以两个焦点连线的斜率为：p2−5=−p10，由题意可得−p10=−43，解得p=403，故选：B．由双曲线及抛物线的方程可得两个焦点的坐标，及渐近线的斜率，求出两个焦点所在的直线的斜率，由题意可得斜率等于其中一条渐近线的斜率的负倒数，求出p的值．本题考查抛物线及双曲线的性质，及直线垂直的性质，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：将函数y=cos(2x+φ)(−π2<φ<π2)的图象向右平移3π8个单位长度单位后得函数f(x)图象，则f(x)=cos[2(x−3π8)+φ]=cos(2x+φ−3π4)，若f(x)为偶函数，则φ−3π4=kπ，k∈Z，即φ=3π4+kπ，k∈Z，∵−π2<φ<π2，∴当k=−1时，φ=−π4，即f(x)=cos(2x−π4−3π4)=cos(2x−π)=−cos2x，当−π4≤x≤π2时，−π2≤2x≤π，此时f(x)=−cos2x不具备单调性，故A，B错误，当π4≤x≤π2时，π2≤2x≤π，此时f(x)=−cos2x为增函数，故D周期，故选：D．根据三角函数平移关系求出f(x)的解析式，结合f(x)是偶函数求出φ，利用三角函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式以及利用三角函数的单调性是解决本题的关键．难度不大．【解析】 【分析】本题考查了函数和方程问题，考查函数的单调性，极值问题，考查数形结合思想，属于较难题．根据函数的单调性画出函数f(x)的图象，结合图象求出y =f(f(x))的零点个数即可． 【解答】解：x ≤5时，f(x)=13x 3−x 2−3x +2， f′(x)=x 2−2x −3=(x −3)(x +1)， 令f′(x)>0，解得：3<x ≤5或x <−1； 令f′(x)<0， 解得：−1<x <3；故f(x)在(−∞,−1)上递增，在(−1,3)上递减，在(3,5]上递增， 故f(x)极大值=f(−1)=113，f(x)极小值=f(3)=−7，f(5)=113， 而f(−3)=−7，f(−2)=43，f(0)=2，f(1)=−53<0，f(4)=−4，f(5)=113，故存在x 1∈(−3,−2)，x 2∈(0,1)，x 3∈(4,5)使得f(x)=0， x >5时，f(x)在(5,+∞)递减，f(x)<−log 39=−2， 画出函数f(x)的图象，如图示：，函数y =f(f(x))的零点个数，即y =f(x)和y =x 1，y =x 2和y =x 3的交点个数，结合图象f(x)和y =x 1有4个交点，f(x)和y =x 2的图象有3个交点， f(x)和y =x 3的图象没有交点，故函数y=f(f(x))的零点个数为7个，故选：B．13.【答案】6【解析】解：作出实数x，y满足不等式组{x−2y≥0x+3y−3≥0x−3≤0对应的平面区域如图：(阴影部分)．由z=2x−y得y=2x−z，平移直线y=2x−z，由图象可知当直线y=2x−z经过点A(3,0)时，直线y=2x−z的截距最小，此时z最大．代入目标函数z=2x−y，得z=6.即z=2x−y的最大值为6．故答案为：6．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14.【答案】3【解析】【分析】本题考查了函数的周期性的判断与应用，抽象函数的应用，考查计算能力，属于基础题．由题意可知函数f(x)的周期为3，从而解得．【解答】解：∵f(x)=−f(x+32)，∴f(x+32)=−f(x+3)，∴f(x)=f(x+3)，∴函数f(x)的周期为3，∵f(−2)=3，故f(2020)=f(3×673+1)=f(1)=f(−2)=3，故答案为：3．15.【答案】12【解析】解：∵sinA⋅sinB⋅cosC=sin2C，∴得到cosC=sin2CsinAsinB =c2ab，又cosC=a2+b2−c22ab，∴a2+b2−c22ab =c2ab，解得3c2=a2+b2，又∵a=1，b=√2，∴3c2=1+2=3，解得c=1，∴cosC=1+2−12×1×√2=√22，sinC=√1−cos2C=√22，∴S△ABC=12absinC=12×1×√2×√22=12．故答案为：12．利用正弦定理，余弦定理化简已知等式可得3c2=a2+b2，结合已知可求c的值，利用余弦定理可求cosC的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．16.【答案】36√2【解析】解：如图，∵三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都相等，6个顶点都在球O的球面上，∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O ，再设球的半径为r ，由球O 的表面积为56π，得4πr 2=56π，∴r =√14．设三棱柱的底面边长为a ，则上底面所在圆的半径为√33a ，且球心O 到上底面中心H 的距离OH =a2，∴r 2=(a2)2+(√33a)2，即r =√216a ， ∴a =2√6．则三棱柱的底面积为S =12×2√6×3√2=6√3． ∴V ABC−A 1B 1C 1=6√3×2√6=36√2． 故答案为：36√2．通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，由球的表面积求出球的半径，设出三棱柱的底面边长，通过解直角三角形求得a ，然后由棱柱的体积公式得答案． 本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力，是中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 1+d =32a1+9d =20， 解得：a 1=1，d =2(4分) ∴a n =2n −1，S n =n 2，(6分) (Ⅱ)(错位相减法)T n =12+322+523+⋯+2n−12n，①①式两边同时乘12，得12T n =122+323+524+⋯2n−12n+1，② ①−②可得，12T n =12+2(122+123+⋯+12n )−2n−12n+1，(8分)12T n =2(12+122+123+⋯12n )−12−2n−12n+1，12T n =2(1−12n )−12−2n−12n+1，(10分)∴T n =3−2n+32n. (12分)【解析】(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 1+d =32a 1+9d =20，联立解得：a 1，d.j 可得a n ，S n ．(Ⅱ)利用错位相减法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：取CD 的中点E ，连接AE ，BE ，BD ．∵CD =2AB ，∴AB =DE ．又∵AB =AD ，AD ⊥DC ，∴四边形ABED 为正方形，则AE ⊥BD ． ∵PD ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AE ． ∵PD ∩BD =D ，∴PE ⊥平面PBD ． ∵AB =EC ，AB//EC ，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴BC//AE ，∴BC ⊥平面PBD ． 又BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD ．(Ⅱ)解：∵PD ⊥平面ABCD ，∴∠PBD 为PB 与平面ABCD 所成的角， 即∠PBD =45°，则PD =BD ．设AD =1，则AB =1，CD =2，PD =BD =√2．以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0,√2)，B(1,1,0)，C(0,2,0)． ∵DA ⊥平面PDC ，∴平面PDC 的一个法向量DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)． 设平面PBC 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， ∵PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−√2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，则{PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =x +y −√2z =0BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−x +y =0，取x =1，则m ⃗⃗⃗ =(1,1,√2). 设二面角D −PC −B 的平面角为θ， ∴cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1√2+1+1=12． 由图可知二面角D −PC −B 为锐角，故二面角D −PC −B 的余弦值为12．【解析】(Ⅰ)取CD 的中点E ，连接AE ，BE ，BD.推导出四边形ABED 为正方形，则AE ⊥BD.推导出PD ⊥AE.从而PE ⊥平面PBD. 推导出四边形ABCE 为平行四边形，从而BC//AE ，进而BC ⊥平面PBD.由此能证明平面PBC ⊥平面PBD ．(Ⅱ)推导出∠PBD 为PB 与平面ABCD 所成的角，∠PBD =45°，PD =BD.以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B −PC −D 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由题意得X 的可能取值为0，1，2，6个学生中理科小能手有2人， P(X =0)=C 42C 62=25，P(X =1)=C 21C 41C 62=815，P(X =2)=C 22C 62=115．∴X 的分布列为E(X)=0×25+1×815+2×115=23． (Ⅱ)x =16(85+87+79+81+78+90)=84， y =16(79+75+77+73+72+74)=75，b ̂=n i=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2=∑x i n i=1y i −nx⋅y∑x i 2n i=1−nx2=15， a ∧=y −b ∧x =75−15×84=2915，∴回归方程为y ̂=15x +2915．【解析】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望的求，考查回归直线方程的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(Ⅰ)由题意得X 的可能取值为0，1，2，分虽求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．(Ⅱ)x =84，y =75，由此能求出回归方程．20.【答案】解：(Ⅰ)椭圆C 经过点(1,32)，∴1a 2+94b 2=1，又∵ca =12，解之得a 2=4，b 2=3.所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(Ⅱ)当直线MN 的斜率不存在时，由对称性，设M(x 0,x 0)，N(x 0,−x 0).∵M ，N 在椭圆C 上， ∴x 024+x 023=1， ∴x 02=127．∴O 到直线MN 的距离为d =|x 0|=2√217，x 2+y 2=127．当直线MN 的斜率存在时，设MN 的方程为y =kx +m ， 由{y =kx +m x 24+y 23=1，得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0．设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2．∵OM ⊥ON ，∴x 1x 2+y 1y 2=0∴x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=(k 2+1)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0． ∴(k 2+1)⋅4m 2−123+4k 2−8k 2m 23+4k 2+m 2=0，即7m 2=12(k 2+1)．∴O 到直线MN 的距离为d =√k 2+1=√127=2√217， 故存在定圆x 2+y 2=127与直线MN 总相切．【解析】(Ⅰ)椭圆C 经过点(1,32)，结合离心率，求出a ，b 即可得到椭圆方程．(Ⅱ)当直线MN 的斜率不存在时，由对称性，设M(x 0,x 0)，N(x 0,−x 0).推出x 02=127．求出O 到直线MN 的距离为d =|x 0|=2√217，x 2+y 2=127. 当直线MN 的斜率存在时，设MN 的方程为y =kx +m ，由{y =kx +m x 24+y 23=1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，利用韦达定理，结合x 1x 2+y 1y 2=0，转化求解得到7m 2=12(k 2+1)，然后求解O 到直线MN 的距离，说明定圆x 2+y 2=127与直线MN 总相切．本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题，是难题．21.【答案】解：(Ⅰ)由f′(x)=ae ax −a =a(e ax −1)．当a <0时，x ∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x ∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．当a >0时，x ∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； x ∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．综上所述，f(x)在区间(−∞,0)上单调递减，在区间(0,+∞)上单调递增． (Ⅱ)由题意知对任意x 1，x 2[−1,1]，|f(x 1)−f(x 2)|≤e 2−3恒成立，⇔f max (x)−f min (x)≤e 2−3又由(Ⅰ)知，f(x)在区间[−1,0]上单调递减，在区间[0,1]上单调递增．所以只需：{f(1)−f(0)≤e 2−3f(−1)−f(0)≤e 2−3⇔{e a −a −1≤e 2−3e −a +a −1≤e 2−3⇔{e a −a −e 2+2≤0.(1)e −a +a −e 2+2≤0.(2)，设ℎ(a)=e a −a −e 2+2．∵ℎ′(a)=e a −1，∴ℎ(a)在区间(0,+∞)上单调递增；在区间(−∞,0)上单调递减． 注意到ℎ(2)=0，所以，当0≤a ≤2不等式(1)成立；当a >2时不等式(1)不成立． 又ℎ(−2)=e −2+2−e 2+2=4+e −2−e 2<0，∴当−2≤a <0不等式(1)也成立， 所以，−2≤a ≤2时不等式(1)成立．此时−2≤a ≤2，不等式(2)也成立，而当a <−2时，−a >2，由函数ℎ(a)的性质知，不等式(2)不成立． 综上所述，不等式组的解为−2≤a ≤2． 又∵a ≠0，∴实数a 的取值范围为[−2,0)∪(0,2]．【解析】(Ⅰ)求出导函数，通过当a <0时，当a >0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．(Ⅱ)由题意知对任意x 1，x 2[−1,1]，|f(x 1)−f(x 2)|≤e 2−3恒成立⇔f max (x)−f min (x)≤e 2−3，利用列出不等式组，{f(1)−f(0)≤e 2−3f(−1)−f(0)≤e 2−3推出{e a −a −e 2+2≤0⋯(1)e −a +a −e 2+2≤0⋯(2)，设ℎ(a)=e a −a −e 2+2.利用函数的导数，判断函数的单调性，转化求解函数的最值，推出结果．本题是函数与导数综合题目，考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，恒成立问题，考查分析解决问题的能力．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =1+cosαy =sinα(α为参数)可化为普通方程：(x −1)2+y 2=1，由{x =ρcosθy =ρsinθ可得曲线C 1的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ2(1+sin 2θ)=2．(Ⅱ)射线θ=π6(ρ≥0)与曲线C 1的交点A 的极径为ρ1=2cos π6=√3，射线θ=π6(ρ≥0)与曲线C 2的交点B 的极径满足ρ22(1+sin 2π6)=2，解得ρ2=2√105， 所以|AB|=|ρ1−ρ2|=√3−2√105．【解析】(Ⅰ)由{x =ρcosθy =ρsinθ可得C 1，C 2的极坐标方程；(Ⅱ)求出A ，B 的极径，即可求|AB|．本题考查了直角坐标方程转化为极坐标方程、直线与圆的相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)由绝对值不等式得|x −2|−|x +3|≥≤|x −2−(x +3)|=5，若不等式|x −2|−|x +3|≥|m +1|有解， 则满足|m +1|≤5，解得−6≤m ≤4． ∴M =4．(2)由(1)知正数a ，b ，c 满足足a +2b +c =4，即14[(a +b)+(b +c)]=1 ∴1a+b+1b+c =14[(a +b)+(b +c)](1a+b+1b+c)=14(1+1+b+c a+b+a+b b+c)≥14(2+2√b+c a+b⋅a+b b+c)≥14×4=1，当且仅当b+ca+b =a+b b+c即a +b =b +c =2，即a =c ，a +b =2时，取等号．∴1a+b+1b+c≥1成立．【解析】(1)根据绝对值不等式的性质进行转化求解． (2)利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．本题主要考查不等式的求解和应用，根据绝对值不等式的性质以及基本不等式的应用，利用1的代换是解决本题的关键．。
绝密★启用前陕西省2020年宝鸡市高考模拟检测（二）数学（文科）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.若复数z=（1+i ）（2-i ），则复数z 的虚部为A.3B.-3C.1D.i 2.设全集U=R,集合2{|340}A x x x =-->,则U C A =A.{x|-1<x<4}B.{x|-4<x<1}C.{x|-1≤x ≤4}D.{x|-4≤x ≤1}3.总体由编号为01,02，...，39,40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如右表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A.23B.21C.35D.32 4.已知圆22:40C x y x +-=与直线l 切于点3),P ,则直线l 的方程为.3360A x --=.360B x -= .340C x +-= .360D x -=5.等比数列{},0n n a a >且563854a a a a +=,则3132310log log log a a a +++L =A.12B.15C.8 3.2log 5D +6.设f(x)是定义在R 上的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则A.0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->> 0.40.33.(log 0.3)(2)(2)B f f f -->> C.0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>D.0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->> 7.执行如下的程序框图，则输出的S 是 A.36 B.45 C.-36D.-458.点P 是△ABC 所在平面内一点且,PB PC AP +=u u u r u u u r u u u r 在△ABC 内任取一点,则此点取自△PBC 内的概率是 1.2A 1.3B 1.4C 1.5D 9.函数f ()2sin(2)3x x π=-的图象为C,以下结论中正确的是 ①图象C 关于直线512x π=对称; ②图象C 关于点(0)3,π-对称;③由y=2sin2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C. A.① B.①②C.②③D.①②③ 10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为3.244A π+ 5.244B π+ C.24+π 3.84D π+11.直l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点,且交抛物线于A,B 两点,交其准线于C,已知||6,2,AF CB BF ==u u u r u u u r 则|BF|=A.2 4.3B 8.3C D.312.已知函数1()3()3x x f x =+,则使得f(2x)>f(x+1)成立的x 的取值范围是 A.(-∞,1) B.(1,+∞) 1.(,1)3C - D.1(,)(1,)3-∞-⋃+∞ 第II 卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13.已知函数sin ,0,()612,0,x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩则f(f(3))=_____ 14.设变量x,y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则函数z=2y-3x 的最大值为___15.数列{a n }满足()*1232321n n a a a na n N ++++=-∈L ,则3a =_____,n a =_____. 16.若f(n)为2*1()n n N +∈的各位数字之和,如2141197,(14)19717f +==++=,记()()()*121321()(),()(),()(),()(),k k f n f n f n f f n f n f f n f n f f n k N +====∈L 则2020(8)f =_____.三、解答题:共70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题:共60分17.已知函数2()2sin cos 1,.f x x x x x R =+-∈(I)求f(x)的单调递增区间;(II)△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,若()12A f =且A 为锐角,a=3,sinC=2sinB,求△ABC 的面积.18.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,AC ⊥BC,E 为11A C 的中点,1.CE AC ⊥(I)证明:CE ⊥平面11.AB C(II)若112,C E AA AB BC ==求点E 到平面1AB C 的距离，19.某调查机构为了了解某产品年产量x(吨)对价格y(千克/吨)和利润z 的影响,对近五年该产品的年产量和价格统计如下表:(I)求y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+； (II)若每吨该产品的成本为2千元,假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值?参考公式:()()()1122211ˆˆˆ,n ni i i ii i n n i i i i x y n x y x x y y b a y bx xnx x x ====-⋅⋅--===---∑∑∑∑20.已知椭圆C 2222:1(0)x y b a a b+=<<的离心率为32且经过点3(1,2(I)求随圆C 的方程;(II)过点(0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B,且满足条件OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r 的点M 在椭圆C 上,求直线l 的方程.21.已知函数2()1(0)f x nx ax x a =--+≥.(I)讨论函数f(x)的极值点的个数;(II)若f(x)有两个极值点12,,x x 证明:()()1212(12ln 2)f x f x x x +<+-+.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,若多做,则按所做的第一题计分,作答时请先涂题号，22.(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系x0y 中，把曲线1:C 2cos (2sin x y αα=⎧⎨=⎩α为参数),纵坐标不变，得到曲线2.C 以坐标原点为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程sin()4πρθ-= (I)写出2C 的普通方程和3C 的直角坐标方程;(II)设点M 在2C 上,点N 在3C 上,求|MN|的最小值以及此时M 的直角坐标.23.(选修4-5:不等式选讲)已知f(x)=|x+3|-|x-2|(I)求函数f(x)的最大值m;(II)正数a,b,c 满足a+2b+3c=m,求证:12336.5a b c ++≥。
