【八年级下】数学·一次函数与三角形面积的铅垂线法
关于一次函数，我们已经为大家推送了不少微课、重难点专项，今天为大家推送一次函数与面积结合问题，分两讲：动点和铅垂线法。今天我们两讲，这一讲为大家讲解一次函数与三角形面积的铅垂线法！话不多说，请看下文↓↓
一．问题分析
我们知道，一次函数的图像是一条直线，其与坐标轴围成一个三角形，若要求这个“坐标三角形”的面积，则只要知道其与x轴，y轴的交点坐标即可，难度不大，故不展开．
但如果有两条直线相交，你会求它们与坐标轴围成的三角形面积吗？
甚至如果有三条直线相交，你能求出这三条直线围成的三角形面积吗？
本讲就主要研究后2类问题及其变式．
二．实例感悟
(1)两线与一轴
即有两条直线相交，分别求两直线与x轴，y轴围成的三角形面积．
例1：
已知直线y1＝－x＋3与y2＝x＋1，求两直线与坐标轴围成的三角形面积．
分析：
显然，我们要先求出5个关键点的坐标，y1与x轴交点A的坐标，与y轴交点B的坐标，y2与x轴交点C的坐标，与y轴交点D的坐标，以及y1与y2的交点E的坐标．并确定△CEA是两直线与x轴围成的三角形，△DEB是两直线与y轴围成的三角形．
小结：
我们发现，三角形的底和高是可以不断变化的，如果两个点均在x轴上，则用横坐标相减的绝对值表示两点间的距离，若两个点均在y轴上，则用纵坐标相减的绝对值表示两点间的距离，当然，明确左右和上下的情况下，右减左和上减下，可保证为正．
变式1：
直线y1＝k1x＋b1(k1＞0)和直线y2＝k2x＋b2(k2＜0)相交于点(－2，0)，且两直线与y轴所围成的三角形面积是4，求b1－b2．
解析：
变式2：
在平面直角坐标系中，一条直线经过A(－1，5)，B(－2，a)，C(3，－3)三点，这条直线与y轴交于点D，求△OBD的面积．
解析：
同样操作，先将这条直线的解析式求出，从而知道点B的坐标，与y轴交点D的坐标，画出草图，谁为高，谁为底，一目了然．
《三角形的面积》微课教学设计
教学内容：三角形面积计算方法的推导
教学目标：
1、探索并掌握三角形的面积公式，并能熟练进行计算。
2、使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方法的价值，发展学生的空间观念和初步的推理能力。
3、让学生在探索活动中获得积极的情感体验，进一步培养学生学习数学的兴趣。
教学重点：探索并掌握三角形的面积公式，并能熟练计算。
教学难点：理解三角形面积公式的推导过程。
教学准备：随机选择发放一个长方形、正方形、平行四边形，一个锐角钝角或直角三角形，极个别学生发放两个一模一样的三角形。演示用教学课件。
教学过程
一、动手操作，激趣导入
1、请每个同学请将手中的长方形、正方形、平行四边形沿对角对折，发现了什么？
2、你能算出这个图形的面积吗？
3、请你拿出老师为你们准备的三角形，说说你能算出他们的面积吗？
二、动手推导并反馈。
预设：部分学生迅速能通过推导，想象并推导出三角形的面积，部分学生可能束手无策，有两个三角形的学生可以马上进行拼接（有的可以，有的则不行）。 1、说说你的发现：预设三种情况
（1）我发现可以把它门看成一个长方形和平行四边形，只要算出平行四边形然后再除以2就可以求出三角形的面积了。
（2）我这里有两个三角形，可以拼成一个平行四边形，用底乘高算出平行四边形的面积，然后再除以2求出一个三角形的面积了。
（3）我的两个三角形不能拼成平行四边形。算不出来。
学生的第一种回答，可以请在实物投影仪上画一画，让学生感受他的想法。
第二种回答和第三种回答可以在实物投影仪上展示，并请学生说一说同样是两个三角形，怎么会有不同的结果。引导学生说出必须是两个完全一样的三角形才能拼成一个平行四边形。
2、现在老师还有一些三角形，你们需要帮助吗？
学生找寻相同的三角形，没有找到的可以相互配合。
3、请说说你用三角形拼成了什么图形？三角形的底是拼成图形的什么？三角形的高是拼成图形的什么？三角形的面积可以怎样 计算？
课件名称：三角形的面积
一、教学目标
1. 学生能理解三角形的面积公式，并能够运用公式计算三角形的面积。
2. 通过实践活动，学生增强合作学习的意识，提高解决问题的能力。
3. 通过数学历史和数学趣闻的介绍，激发学生对数学学习的兴趣和热情。
二、教学内容及过程
1. 引入（5分钟）
教师展示三角形模型，引导学生回答三角形的定义，并提出问题：“你们知道这个三角形的面积怎么计算吗？”鼓励学生积极回答，引入课题。
2. 知识点讲解（20分钟）
（1）三角形面积公式的推导。通过PPT演示将三角形转化为平行四边形，引导学生理解公式的推导过程。
（2）公式及实例分析。讲解公式形式及含义，举一些实际例子，如已知底和高的情况，让学生加深对公式的理解和记忆。
3. 课堂练习（15分钟） （1）基础练习。根据公式计算一些简单三角形的面积，让学生练习并口头回答结果。
（2）综合练习。给出一个实际问题，如“已知三角形底边长为6cm，高为4cm，求该三角形的面积”，让学生运用公式解决。
4. 小组讨论（10分钟）
将学生分成小组，让他们互相讲解解题思路和方法，加强学生对三角形面积计算的理解。
5. 总结与拓展（5分钟）
（1）总结。回顾本节课学习的重点和难点，加深学生对三角形的面积计算的理解。
（2）拓展。介绍更多关于三角形面积计算的方法和应用，如海伦公式等，并引入数学历史和趣闻，激发学生对数学学习的兴趣和热情。
三、教学评价
1. 针对教学目标进行评价，观察学生是否能够理解三角形的面积公式，并能够运用公式计算三角形的面积。
2. 通过课堂练习和小组讨论等活动，观察学生是否能够积极参与，合作解决问题。
3. 在拓展环节，观察学生是否对数学历史和趣闻产生兴趣，是否有进一步的探索欲望。 四、教学材料
1. PPT课件，包含三角形定义、公式推导过程、实例分析等内容。
2. 三角形模型、直尺、三角板等教学工具。
3. 练习题和拓展材料。
《三角形的面积》教学设计
教学目标：
1. 理解三角形面积公式的推导过程，正确运用三角形面积计算公式进行计算。
2. 培养学生观察能力、动手操作能力和类推迁移的能力。
教学重点：理解三角形面积计算公式，正确计算三角形的面积。
教学难点：理解三角形面积公式的推导过程。
教具准备：每个学生为三种类型的三角形各准备两个完全一样的三角形和一个平行四边形。
教学过程：
一、情境导入
1.出示平行四边形
提问：（1）这是什么图形？计算平行四边形的面积公式是什么？（板书：平行四边形面积=底×高）
（2）底是2厘米，高是1.5厘米，求它的面积。
2.教师：同学们，我们现在有大部分同学都是少先队员了，那我们少先队员都要佩戴什么呢？对了，就是队徽和红领巾，那么，我们知道红领巾是什么形状的的吗？如果要裁剪一条红领巾，你知道要用多大的红布吗？所需红布的大小就是求这个三角形的什么？（课件出示课本图片，揭示课题：三角形面积的计算）
教师：今天我们一起研究“三角形的面积”（板书）
二：探索新知 观看微课，推导三角形面积计算公式。
师：对于刚才的问题，我们先来观看一段视频，相信你们通过视
频，相信你们就能解决问题了。（课件播放微课视频）
暂停微课，让学生拿出准备好的教具，根据微课的提示，进行“摆一摆，拼一拼”活动。
1. 教师参与学生拼摆，个别加以指导。
2. 继续播放微课，拼摆图形。（适当暂停微课）
3.学生讨论：①两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形能帮助我们推导出三角形面积公式吗？为什么？②观察拼成的平行四边形，三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？
4.引导学生明确：①两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。②三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。（同时板书）
5.这个平行四边形的底等于三角形的高，高等于三角形的高（同时板书）。
6.三角形面积的计算公式是怎样推导出来的？为什么要加上“除以2”？（强化理解推导过程）
