12--第十二讲 复习极限与导数 新课程

第十一章 极限、导数和复数高考能力要求1．了解数列极限和函数极限的概念. 2．掌握极限的四则运算法则，会求某些数列和函数的极限.3．了解函数连续的意义；理解闭区间上连续函数有最大值和最小值.4．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.5. 熟记八个基本导数公式(c ,mx (m 为有理数)，x x a e x x a x x log ,ln ,,,cos ,sin 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.6．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．7．了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．8．掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．9．了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想.高考热点分析1．求数列的极限或已知极限求参数，主要考查数列的有关知识和极限的四则运算法则.2．求函数的极限或利用函数的极限判断函数在给定点处的连续性，主要考查分段函数的左、右极限及连续的概念，以选择题、填空题为主.3．利用导数研究函数的单调性，求函数的极大（小）值，求函数在连续区间上的最大、最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题.高考复习建议1．从数列或函数的变化趋势来理解极限，复习时应给予足够的重视.2．在数列或函数极限存在的前提下，求极限时，要注意用好四则运算法则.3．极限本身便是一种很重要的数学思想方法，应注意体会.4．导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.5．重视复数的概念和运算，注意复数问题实数化..11．1 数列的极限知识要点1．数列}{n a 的极限是A ，粗略地说，就是当数列的项数n 无限_______时，数列a n 的项_________于A ，这就是数列极限的描述性定义．2．极限的四则运算如果∞→n lim a n ＝A ，∞→n lim b n ＝B ，那么∞→n lim(a n ±b n )＝ ． ∞→n lim(a n ·b n )＝ ．∞→n lim (nn b a )＝ (B ≠0)∞→n lim(c ·a n )＝ ．3．三个基本极限 (1) ∞→n lim C ＝(2) ∞→n lim n 1＝(3) ∞→n lim q n＝ (｜q ｜< )例题讲练【例1】 求下列极限 (1) 222435limnn n n n +--+∞→(2) )]1([lim n n n n -+∞→【例2】 已知0)(lim 112=--++∞→b an n n n ，求实数a 、b 的值．【例3】 设首项为1，公比为q （q >0）的等比数列{n a }的前n 项之和为n S ，又设,1+=n n S S n T 求n n T →∞lim ．【例4】 已知31)1(331lim =++∞→+nn n a n ，求a 的取值范围．小结归纳 1．求数列极限的基本思路是：进行恒等变形后运用极限的运算法则与常用三个极限进行.2．变形的方法有：(1) 同除以分子分母中的最高次幂；(2) 利用有理化因式变形；(3) 对于无穷项的和与积的极限，必须先求出前n 项的和或积，再求极限.3．已知极限值求参数：把参数当做已知的实数先求极限，从而得到方程(或不等式)解方程(或解不等式).4．求数列的极限应注意：(1) 参加运算的每个数列的极限必须存在；(2) 分式数列的各项及其极限中的分母均不能为零； (3) 只有有限个数列的四则运算才能进行.基础训练题 一、选择题1． 下列命题正确的是（ ）A ．若22lim ,lim a a a a nn n n ==→∞→∞则 B ．若a a a a n n nn ==∞→∞→lim ,lim 2则 C ．若bab a b b a a n n n n n n n ===∞→∞→∞→lim,lim ,lim 则D.若0)(lim ,0lim ,lim ==∞=∞→∞→∞→n n n n n n n b a b a 则2． (2006陕西卷))11(21lim22--+∞→n n n n 等于 ( )A ．1B ．12C ．14D ．03． 已知b a ,是互不相等的正数，则n n ba b a n +-→∞lim等于（ ）A ．1B ．－1或 1C ．0D ．－1或04． )12112131211(lim +-+-+-+++-+∞→n n n n n n n n ＝ （ ）A ．–1B ．0C ．21D ．15． 2123limn nn →∞++++= （ ）A ．2B ．1C ．12D ．06．（2006湖南理）若数列}{n a 满足：311=a ，且对任意正整数m ，n 都有n m n m a a a ⋅=+，则++∞→21(lim a a n=+)n a（ ）A ．21B ．32C ．23D ．2二、填空题7． 3213223lim 23n n n nn +→∞-+＝ .8． =----∞→)]11()411)(311)(211[(lim 2222n n ．9．=++++++++∞→)(lim11413122242322n n n C C C C n C C C C .10．如图P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为21的半圆后得到图形P 2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3、P 4、，P n ，，记纸板P n 的面积为S n ，则=∞→n n S lim .三、解答题 11．求)0(22lim 11>+++-∞→a a a n n n n n12．有一系列椭圆，满足条件（1）中心在原点；（2）以x＝1为准线；（3）离心率n n e )(21=，n ＝1，2，3，…，求所有这些椭圆的长轴长之和.13．设正整数列{a n }为一等比数列，且a 2＝4，a 4＝16,求2221lg lg lg lim n a a a nn n n +++++∞→ .提高训练题 14．在数列{a n }中，a 1＝23，且恒有a n ＋1－2a n ＋1＝0，S n 是数列{ a n }的前n 项和． （1）求数列{ a n }的通项a n ； （2）计算nn n a nS -→∞lim.P 1 P 2P 3 P 415．一动点由坐标平面的原点出发，向右移动1个单位到A 1(1, 0)，然后向上移动21个单位到A 2 (1, 21)，…，以后按左、下、右、上方向移动，每次移动的长度为前一次移动长度的一半，求动点的极限位置与原点的距离．11．2 函数的极限与函数的连续性知识要点一、x →∞时，函数)(x f 的极限(1) 当自变量x 取 值并且 增大时，如果函数)(x f 无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数)(x f 的极限是a ，记作 ，也可记作当x a x f →+∞→)(,.(2) 当自变量x 取 值并且 增大时，如果函数)(x f 无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数)(x f 的极限是a ，记作 ，也可记作)(,x f x -∞→a →.(3) 如果 且 ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f (x )的极限是a ，记作 .(4) 对于常函数)(x f ＝C ，（x ∈R ），也有)(lim x f x ∞→＝ ．二、当0x x →时，函数)(x f 的极限1．当自变量x 常数)(00x x x ≠时，如果函数)(x f 一个常数a ，就说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限是a ，记作 .也可记作当0x x →时，()f x a →；0lim ()x x f x →也叫做函数)(x f 在点 处的极限.2．函数的左、右极限(1) 如果当x 从点0x x =左侧(即0x x <)无限趋于0x 时，函数)(x f 无限趋近于常数a ，就说a 是函数)(x f 在点0x 处的 ，记作 .(2) 如果当x 从点0x x =右侧（即0x x >）无限趋于0x 时，函数)(x f 无限趋于常数a ，就说a 是函数)(x f 在点0x 处的 ，记作 .3． 0l i m ()x x f x →⇔＝a4．函数极限的四则运算与 四则运算法则一样. 5．若函数)(x f 在某个区间内连续，且0x 是这个区间内的一个值，则0lim ()x x f x →＝ .三、函数的连续性1．如果函数)(x f 在点0x x =处及其附近有定义，而且 ，就说函数)(x f 点0x 处连续.2．连续必须满足三个条件：(1) 函数y ＝f (x )在点0x x =处有 ；(2) )(lim 0x f x x → ；(3) )(lim 0x f x x →＝ .3．连续和不连续点：如果函数y ＝f (x )在点0x x =对连续的三个条件中有 个不具备，那么函数f (x )在点0x x =处不连续，点0x x =称为此函数的 点. 4．开区间上的连续：若)(x f 在(a ，b )内 都连续，则称)(x f 在开区间(a , b )内连续.5．闭区间上的连续：对于闭区间[a , b ]上的函数f (x ),如果f (x )在开区间(a , b )内 ，且在a 点右连续，在b 点左连续，则称)(x f 在闭区间[ a ,b ]上连续.6．最大值、最小值定理如果函数)(x f 在闭区间[a , b ]上是连续函数，那么)(x f 在闭区间[a , b ]上有 和 .例题讲练【例1】 求下列极限 (1) 13422lim+--+∞→x x x x x(2) )11(lim 22--+∞→x x x(3) 121122lim---→x x x x(4) )1311(lim 31+-+-→x x x【例2】已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<=)21(1)1(21)10()(xxxxxf⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<=)21(1)1(21)10()(xxxxxf（1）求)(xf在点x＝1处的左、右极限，函数)(xf在点x＝1处是否有极限？（2）函数)(xf在点x＝1处是否连续？（3）写出函数)(xf的连续区间.【例3】已知2222lim x mxxxn+++→-=，求m、n的值．【例4】已知函数)(xf在1=x处连续，且21)(lim1=-→xxfx，求)1(f的值.小结归纳1．函数极限的求法与数列极限的求法类似.2．求极限)(limxfxx→的方法，将0xx=代入)(xf中，若分母不为零，则)()(lim0xfxfxx=→；若分母为零，则分子分母同时约去因式)(0xx-后再求函数的极限．3．函数)(xf在0xx=处连续的充要条件是0xx=处左、右连续．基础训练题一、选择题1．给出下列命题：⑴若f(x)在0x处无定义，则lim()x xf x→一定不存在⑵)(limxfxx→是否存在与f(x)在0x处是否有定义无关⑶)(limxfxx+→与)(limxfxx-→都存在，则)(limxfxx→存在⑷若)(limxfxx→不存在，则2)]([limxfxx→必定不存在.正确命题的个数是（）A．0 B．1C．2 D．32．函数0||)(==xxxf在处（）A．无定义B．不存在极限C．不连续D．连续3．=-+→xxx11lim（）A．1 B．21C．0 D．－14．函数)(xf在x＝0x处连续，是)(xf在0xx=处有极限的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（2006四川理）已知⎩⎨⎧=≠+=1,21,32)(xxxxf⎩⎨⎧=≠+=1,21,32)(xxxxf，下面结论正确的是（）A．f(x)在x＝1处连续B．f(1)＝5C．2)(lim1=→xfxD．5)(lim1=→xfx6．若322(2)()24(2)xxf x xxa x+⎧->⎪=--⎨⎪≤⎩2322(2)()24(2)xxf x xxa x+⎧->⎪=--⎨⎪≤⎩在点x＝2 处连续，则a＝（）A．31B．41C．41-D．21-二、填空题7．若⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=)0()0()(2xxaxexfx为R上的连续函数，则实数a＝ .8．_______lim9332=--→xxx9．函数23122)(+--=xxxxf的不连续点是 .10．（2006北京理）22132lim 1x x x x →-++-的值等于_____________.三、解答题11．求下列函数的极限(1) 357243lim 2323+++-∞→x x x x x (2) 357243lim 23232+++-→x x x x x12．已知函数1 (1)()1log () (1)2x xf x x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪ 2(1)(1) 求f (x )定义域；(2) 作出f (x )的图象；(3) 求f (x )的连续区间，并求极限52lim x →)(x f 的值．13．函数0(0)(01)()42(13)4(3)x x x f x x x x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨-+-≤<⎪⎪-≥⎩ 20(0)(01)()42(13)4(3)x x x f x x x x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨-+-≤<⎪⎪-≥⎩⑴ 画出函数的图象；⑵ 在x ＝0，x ＝3处函数()f x 是否连续？ ⑶ 求函数()f x 的连续区间.提高训练题14．已知函数()2 3 (15).x f x x x =+--≤≤ (1) 求函数f (x )的最大值和最小值； (2) 解方程f (x )＝0.15．（2006福建卷） 如图，连结△ABC 的各边中点得到一个新的△A 1B 1C 1，又连结的△A 1B 1C 1各边中点得到△A 2B 2C 2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC ，△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，…，这一系列三角形趋向于一个点M ，已知A(0,0) ,B(3,0),C(2,2)，则点M 的坐标是 .11．3 导数的概念及性质(理科)知识要点1．导数的概念：函数y ＝)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比xy∆∆的 ，即)(x f '＝ ＝ ． 2．导函数：函数y ＝)(x f 在区间(a , b )内 的导数都存在，就说)(x f 在区间( a , b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的 ，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值 ，就是)(x f 在0x 处的导数.3．导数的几何意义：设函数y ＝)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 .4．求导数的方法(1) 八个基本求导公式)('C ＝ ； )('n x ＝ ；(n ∈Q) )(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝)('x e ＝ ， )('x a ＝)(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝ (2) 导数的四则运算)('±v u ＝ ])(['x Cf ＝ )('uv ＝ ，)('vu ＝ )0(≠v(3) 复合函数的导数设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x 处可导， 且)(x f '＝，即x u x u y y '⋅'='.例题讲练【例1】 若)(a f '＝－3，试求0()(3)limk f a k f a k k→+--的值.【例2】 求下列函数的导数：(1) 2122+-=x x y (2) ax e x y 2=【例3】 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧++=11)(2x x x f ⎪⎩⎪⎨⎧++=11)(2x x x f )0()0(>≤x x 在x ＝0处的可导性．【例4】 已知a >0，函数,1)(x axx f -= ),0(+∞∈x ，设120,x a<< 记曲线y ＝f (x )在点M ))(,(11x f x 处的切线为l .(1) 求l 的方程；(2) 设l 与x 轴的交点为),0,(2x 证明：① a x 102≤<； ② .1,1211ax x a x <<<则若小结归纳 1．对例1的解决关键是紧扣定义，把分母凑成对应的)3()(k a k a --+或将分子替代为定义的样子.2．函数的导数实质是一个极限问题，不应理解为平均变化率，而是平均变化率的极限.3．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导. 4．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础. 基础训练题 一、选择题1． 一质点的运动方程是S ＝5－32t ，则在一段时间[1，1＋Δt]内的平均速度为 （ ） A ．3Δt ＋6 B ．－3Δt ＋6 C ．3Δt －6 D ．－3Δt －6 2． 函数)(x f 在0x x =可导，则x f h x f h )()(000lim-+→（ ）A ．与0x 、h 都有关B ．仅与0x 有关与h 无关C ．仅与h 有关与0x 无关D ．与0x 、h 均无关3．（2006安徽卷）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=4． 23)(23++=x ax x f ,若4)1(=-'f ，则a 的值为( )A ．319B ．310C ．313D ．3165．下列四个等式：① x x e e 22)(=' ② x x x 2)3(8])3[(7282⋅+='+③ xx 2)(ln 2=' ④ x x a a 222)(='其中正确的有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．（2006江西卷）对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)'()0x f x -≥，则必有 （ ）A ．(0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +>二、填空题7． 如果曲线23032y x y x x x =+=-=与在处的切线互相垂直，则x 0的值为 . 8．（2006湖北卷）半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2，周长C(r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)'＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

解析：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是y＝f(r)＝0.2×
4 3
πr3－0.8πr2＝0.8πr33－r2，0<r≤6. 令f′(r)＝0.8π(r2－2r)＝0，则r＝2.
当r∈(0,2)时，f′(r)<0；当r∈(2,6)时，f′(r)>0.
则f(r)的最大值为f(6)，最小值为f(2)．
A．0≤a<1
B．0<a<1
C．－1<a<1
D．0<a<12
• 解析：∵y′＝3x2－3a，令y′＝0，可得：a＝x2.
• 又∵x∈(0,1)，∴0<a<1.
• 答案：B
生活中的优化问题
• 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
• ____________________[通关方 略]____________________
所以f′(x)＝－x12＋1x＝x－x2 1，x∈(0，＋∞)．
因此f′(2)＝14，即曲线y＝f(x)在点f(2，f(2))处的切线斜率为14.
又f(2)＝ln 2－12，
所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线Leabharlann 程为y－ln2－12
＝
1 4
(x－
2)，即x－4y＋4ln 2－4＝0.
(2)因为f(x)＝ax＋ln x－1，所以f′(x)＝－xa2＋1x＝x－x2a. 令f′(x)＝0，得x＝a. ①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数f(x) 无最小值． ②若0<a<e，当x∈(0，a)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(0，a)上单 调递减，当x∈(a，e)时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(a，e]上单调递增， 所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值ln a. ③若a≥e，则当x∈(0，e)时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单 调递减， 所以当x＝e时，函数f(x)取得最小值ae.

数的最值恒大于0或者小于0的问题.
3.利用导数研究方程的根的个数,其具体步骤为:①将方程移项、整 理,转化为方程F(x)=0;②利用导数研究函数y=F(x)图象的变化情况; ③利用数形结合思想研究F(x)与x轴交点的个数,从而得到方程根的 个数.
1.已知函数f(x)的导函数f‘(x)的图象如图所示, 那么函数f(x)的图象最有可能的是 ( )
常规函数(由基本初等函数构成)等,这些函数尤其适合利用导数解 决.在复习过程中,要注意等价转化、分类讨论、数形结合等数学思 想方法的训练.在解决导数的综合应用题中,这些思想始终贯穿于其 中,是解决问题的关键,在研究函数的有关性质时,一定要注意优先考 虑定义域.
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
(A)1.
(B) 1 . (C) 5 .
(D) 2 .
2
2
2
【解析】由题可知|MN|=x2-ln x(x>0),不妨令h(x)=x2-ln x,则h'(x)=2x- 1 ,
令h'(x)=0解得x= ,因x∈(0, )时,h'(x)<0,当x∈( ,+∞)时,h'(x)>0x,

第十二节导数的综合应用【最新考纲】会用导数解决实际问题，能利用导数解决函数的零点、不等式恒成立或证明问题．1．生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．2．利用导数解决生活中的优化问题的基本思路3．导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题、利用导数进行研究．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．()(2)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象与x轴最多有3个交点，最少有一个交点．()(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值大于0，则f(x)＞g(x)．()(4)“存在x∈(a，b)，使f(x)≥a”的含义是“任意x∈(a，b)，使f(x)≥a”．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件解析：y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)．当x∈(0，9)时，y′>0，当x∈(9，＋∞)时，y′<0，则当x＝9时，y有最大值．即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．答案：C3．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．解析：由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可，f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，得x＝±1，只需f(－1)·f(1)<0，即(a＋2)(a －2)<0，故a∈(－2，2)．答案：(－2，2)4．若f(x)＝ln xx ，0<a<b<e ，则f(a)，f(b)的大小关系为________．解析：由题意可知，f ′(x)＝1－ln xx 2，当x ∈(0，e)时，1－ln xx 2>0，即f′(x)>0，∴f(x)在(0，e)上为增函数， 又∵0<a<b<e ， ∴f(a)<f(b)． 答案：f(a)<f(b)5．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为________．解析：因为12π＝2πrh ＋2πr 2，所以rh ＋r 2＝6. 所以V ＝πr 2h ＝πr(6－r 2)(0<r<6)． 由V′＝π(6－3r 2)＝0得r ＝ 2.当0<r<2时，V ′>0；当2<r<6时，V ′<0.所以当r ＝2时，V 取极大值，也是最大值，此时h ＝22， 所以r ∶h ＝1∶2. 答案：1∶2一个“构造”把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时常用的方法．两个转化一是利用导数研究含参数函数的单调性问题，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．两点注意1．注意实际问题中函数定义域的确定．2．如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．一、选择题1．(2016·潍坊模拟)方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数是()A．3B．2C．1 D．0解析：设f(x)＝x3－6x2＋9x－10，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x －3)，由此可知函数的极大值为f(1)＝－6<0，极小值为f(3)＝－10<0，所以方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数为1个．答案：C2．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的关系是R＝R(x)＝⎩⎨⎧400x －12x 2，（0≤x ≤400），80 000，（x>400），则总利润最大时，年产量是( )A ．100B ．150C ．200D ．300解析：由题意，总成本函数为C ＝C(x)＝20 000＋100 x ，总利润P(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000，（0≤x ≤400），60 000－100x ，（x>400），又P′(x)＝⎩⎨⎧300－x ，（0≤x ≤400） ，－100，（x>400），令P′(x)＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，总利润P(x)最大． 答案：D3．若存在正数x 使2x (x －a)<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞) 解析：∵2x (x －a)<1，∴a>x －12x .令f(x)＝x －12x ，∴f ′(x)＝1＋2－x ln 2>0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)>f(0)＝0－1＝－1， ∴a 的取值范围为(－1，＋∞)，答案：D4．若定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，则不等式f(x)>3e x＋1(e为自然对数的底数)的解集为() A．(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(3，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(3，＋∞)解析：由f(x)>3e x＋1得，ex f(x)>3＋e x，构造函数F(x)＝e x f(x)－e x－3，得F′(x)＝e x f(x)＋e x f′(x)－e x＝e x[f(x)＋f′(x)－1]．由f(x)＋f′(x)>1，e x>0，可知F′(x)>0，即F(x)在R上单调递增，又因为F(0)＝e0f(0)－e0－3＝f(0)－4＝0，所以F(x)>0的解集为(0，＋∞)．答案：A5．(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0.则a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)解析：a＝0时，不符合题意．a≠0时，f′(x)＝3ax2－6x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2 a.若a>0，则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意．则a<0，由图象结合f(0)＝1>0知，此时必有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a >0，即a ×8a 3－3×4a 2＋1>0，化简得a 2>4.又a<0，所以a<－2. 答案：C 二、填空题6．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________．解析：设f(x)＝x 3－3x ＋c ， 对f(x)求导可得，f ′(x)＝3x 2－3， 令f′(x)＝0，可得x ＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增， 在(－1，1)上单调递减．若f(1)＝1－3＋c ＝0，可知c ＝2； 若f(－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2. 答案：－2或27．(2017·开封一模)已知函数f(x)＝ax 3－3x ＋1对x ∈(0，1]总有f(x)≥0成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ∈(0，1]时不等式ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x －1x3，设g(x)＝3x －1x3，x ∈(0，1]，g ′(x)＝3x 3－（3x －1）·3x 2x 6＝－6⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 4.g′(x)与g(x)随x的变化情况如下表：因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，＋∞)．答案：[4，＋∞)8．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p－p2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．解析：设该商品的利润为y元，由题意知，y＝Q(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000则y′＝－3p2－300p＋11 700，令y′＝0得p＝30或p＝－130(舍)，当p∈(0，30)时，y′>0，当p∈(30，＋∞)时，y′<0，因此当p＝30时，y有最大值，y max＝23 000.答案：3023 000三、解答题9．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k>0)．现已知相距18 km 的A ，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a ，b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC ＝x(km)．(1)试将y 表示为x 的函数；(2)若a ＝1，且x ＝6时，y 取得最小值，试求b 的值． 解：(1)设点C 受A 污染源污染程度为kax 2，点C 受B 污染源污染程度为kb（18－x ）2，其中k 为比例系数，且k>0. 从而点C 处受污染程度y ＝ka x 2＋kb（18－x ）2.(2)因为a ＝1，所以，y ＝k x 2＋kb（18－x ）2，y ′＝k ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2x 3＋2b （18－x ）3 令y′＝0，得x ＝181＋3b，又此时x ＝6，解得b ＝8，经验证符合题意， 所以，污染源B 的污染强度b 的值为8.10．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝ae x ln x ＋bex －1x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f(x)>1.(1)解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝ae xln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b xe x －1.由题意可得f(1)＝2，f ′(1)＝e. 故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f(x)＝e x ln x ＋2x e x －1.，从而f(x)>1等价于xln x>xe －x －2e ，设函数g(x)＝xln x ，则g′(x)＝1＋ln x.所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x)<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x)>0.故g(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .设函数h(x)＝xe －x －2e ，则h′(x)＝e －x (1－x)．所以当x ∈(0，1)时，h ′(x)>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x)<0.故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－1e .综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.11．已知函数f(x)＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a>0， (1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(－2，0)内恰有两个零点，求a 的取值范围． 解：(1)由题意得，f ′(x)＝x 2＋(1－a)x －a ＝(x ＋1)(x －a)．由f′(x)＝0，得x 1＝－1，x 2＝a>0.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a ，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)．(2)由(1)知f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1，0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(－2，0)内恰有两个零点，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）<0，f （－1）>0，f （0）<0.解得0<a<13. 所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.导数应用中的高考热点题型函数是中学数学的核心内容，而导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：求单调区间、求极值、求最值、求函数的零点或方程的根、求参数的范围，证明不等式等，涉及到的数学思想方法有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等．中、高档难度题型均有．热点1利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题．函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质，必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)判断函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.当a ≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a>0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x)>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x)<0. 所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；当a>0时，f(x)在x ＝1a处取得最大值，最大值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 令g(a)＝ln a ＋a －1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0. 于是，当0<a<1时，g(a)<0；当a>1时，g(a)>0.因此，a 的取值范围是(0，1)．1．判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f′(x)的符号问题上，而f′(x)>0或f′(x)<0，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题．2．若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．【变式训练】 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫23. (1)求a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝(f(x)－x 3)·e x ，若函数g(x)在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．解：(1)由f(x)＝x 3＋ax 2－x ＋c ，得f′(x)＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ×23－1， 解之，得a ＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝x 3－x 2－x ＋c.则f′(x)＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1), 列表如下：所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)； f(x)的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1. (3)函数g(x)＝(f(x)－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c)·e x ，有g′(x)＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c)e x＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，因为函数g(x)在x ∈[－3，2]上单调递增，所以h(x)＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3，2]上恒成立． 只要h(2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞)．热点2 利用导数研究函数的零点或曲线交点问题研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图象交点的个数；(2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围．设函数f(x)＝ln x ＋m x ，m ∈R. (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x 3零点的个数． 解：(1)由题设，当m ＝e 时，f(x)＝ln x ＋e x ，则f′(x)＝x －e x 2，由f′(x)＝0，得x ＝e.∴当x ∈(0，e)，f ′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x)>0，f(x)在(e ，＋∞)上单调递增，∴当x ＝e 时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e ＋e e＝2， ∴f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)＝f′(x)－x 3＝1x －m x 2－x 3(x>0)， 令g(x)＝0，得m ＝－13x 3＋x(x>0)． 设φ(x)＝－13x 3＋x(x ≥0)， 则φ′(x)＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减． ∴x ＝1是φ(x)唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x)的最大值点．∴φ(x)的最大值为φ(1)＝23. 又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x)的图象(如图)，可知①当m>23时，函数g(x)无零点； ②当m ＝23时，函数g(x)有且只有一个零点； ③当0<m<23时，函数g(x)有两个零点； ④当m ≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．综上所述，当m>23时，函数g(x)无零点； 当m ＝23或m ≤0时，函数g(x)有且只有一个零点； 当0<m<23时，函数g(x)有两个零点．用导数研究函数的零点，常用两种方法：一是用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；二是将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．热点3 利用导数研究不等式问题(满分现场)导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题．归纳起来常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题．(2015·课标全国Ⅰ卷)(本小题满分12分)设函数f(x)＝e 2x －aln x.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；a规范解答：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2e 2x －a x(x>0).2分 当a ≤0时，f ′(x)>0，f ′(x)没有零点；3分当a>0时，设u(x)＝e 2x，v(x)＝－a x ， 因为u(x)＝e 2x 在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－a x在(0，＋∞)上单调递增．所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(a)>0，当b 满足0<b<a 4且b<14时，f ′(b)<0， 故当a>0时，f ′(x)存在唯一零点.6分(2)证明：由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x)<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x)>0.故f(x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝x 0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x 0).9分由于2e2x 0－a x 0＝0， 所以f(x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋aln 2a ≥2a ＋aln 2a.a【满分规则】(1)本题易失分点是①忽视f(x)的定义域；②忽视当a≤0时，f′(x)>0的情况；③求解使f′(b)<0的b所满足的约束条件；④用f′(x0)＝0，求解f(x0)的表达式．(2)得满分的原则①讨论函数的性质应首先求出函数的定义域；②当解析式中含有参数时，应注意分类讨论；③准确计算，正确推理、论证，并用规范的文字语言、符号语言进行表述．【构建模板】第一步：求函数f(x)的导函数f′(x)；第二步：分类讨论f′(x)的单调性；第三步：判断f′(x)零点的个数；第四步：证明f(x)在f′(x)的零点取到最小值．第五步：求出f(x)最小值的表达式，证明结论成立；第六步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范．【变式训练】(2014·课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝aln x ＋1－a 2x 2－bx(a ≠1)，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.(1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f(x 0)<a a －1，求a 的取值范围． 解：(1)f′(x)＝a x＋(1－a)x －b. 由题设知f′(1)＝0，解得b ＝1.(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f(x)＝aln x ＋1－a 2x 2－x ， f ′(x)＝a x ＋(1－a)x －1＝1－a x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a 1－a (x －1)． ①若a ≤12，则a 1－a≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f(x 0)<aa －1的充要条件为 f(1)<aa －1，即1－a 2－1<a a －1， 解得－2－1<a<2－1.②若12<a<1，则a 1－a >1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x)<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x)>0. f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 1－a ，＋∞上单调递增． 所以存在x 0≥1，使得f(x 0)<a a －1的充要条件为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 1－a <a a －1. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 1－a ＝aln a 1－a ＋a 22（1－a ）＋a a －1>a a －1，所以不合题意． ③若a>1，则f(1)＝1－a 2－1＝－a －12<a a －1恒成立，所以a>1.综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．1．(2014·课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝e x －e －x －2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b 的最大值． 解：(1)f′(x)＝e x －e －x －2≥0，等号仅当x ＝0时成立， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x－e－2x－4b(e x＋e－x)＋(8b－4)x，g′(x)＝2[e2x＋e－2x－2b(e x＋e－x)＋(4b－2)]＝2(e x＋e－x－2)(e x＋e－x－2b＋2)．①当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x＝0时成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0；②当b>2时，若x满足2<e x＋e－x<2b－2，即0<x<ln(b－1＋b2－2b)时，g′(x)<0.而g(0)＝0，因此当0<x<ln(b－1＋b2－2b)时，g(x)<0.综上，b的最大值为2.2．已知函数f(x)＝e x(x2＋ax－a)，其中a是常数．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．解：(1)由f(x)＝e x(x2＋ax－a)可得f′(x)＝e x[x2＋(a＋2)x]．当a＝1时，f(1)＝e，f′(1)＝4e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.(2)令f′(x)＝e x[x2＋(a＋2)x]＝0，解得x ＝－(a ＋2)或x ＝0.当－(a ＋2)≤0，即a ≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f ′(x)≥0， 所以f(x)是[0，＋∞)上的增函数，所以方程f(x)＝k 在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根． 当－(a ＋2)>0，即a<－2时，f ′(x)，f(x)随x 的变化情况如下表：由上表可知函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－(a ＋2))＝a ＋4e a ＋2. 因为函数f(x)是(0，－(a ＋2))上的减函数，是(－(a ＋2)，＋∞)上的增函数，且当x ≥－a 时，有f(x)≥e －a (－a)>－a ，又f(0)＝－a.所以要使方程f(x)＝k 在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋4e a ＋2，－a . 3．已知函数f(x)＝x 2－ln x －ax ，a ∈R.(1)当a ＝1时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)>x ，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f(x)＝x 2－ln x －x ，f ′(x)＝（2x ＋1）（x －1）x. 当x ∈(0，1)时，f ′(x)<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0. 所以f(x)的最小值为f(1)＝0.(2)由f(x)>x ，得f(x)－x ＝x 2－ln x －(a ＋1)x>0.由于x>0，所以f(x)>x 等价于x －ln x x>a ＋1. 令g(x)＝x －ln x x ，则g′(x)＝x 2－1＋ln x x 2. 当x ∈(0，1)时，g ′(x)<0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x)>0. 故g(x)有最小值g(1)＝1.故a ＋1<1，即a 的取值范围是(－∞，0)．4．已知函数f(x)＝ax ＋xln x 的图象在点x ＝e(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a 的值；(2)若k ∈Z ，且k<f （x ）x －1对任意x>1恒成立，求k 的最大值． 解：(1)因为f(x)＝ax ＋xln x ，所以f′(x)＝a ＋ln x ＋1.因为函数f(x)＝ax ＋xln x 的图象在点x ＝e 处的切线斜率为3， 所以f′(e)＝3，即a ＋ln e ＋1＝3，所以a ＝1.(2)由(1)知，f(x)＝x ＋xln x ，又k<f （x ）x －1对任意x>1恒成立，即k<x ＋xln x x －1对任意x>1恒成立． 令g(x)＝x ＋xln x x －1， 则g′(x)＝x －ln x －2（x －1）2， 令h(x)＝x －ln x －2(x>1)，则h′(x)＝1－1x ＝x －1x>0， 所以函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增．因为h(3)＝1－ln 3<0，h(4)＝2－2ln 2>0，所以方程h(x)＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x 0，且满足x 0∈(3，4)．当1<x<x 0时，h(x)<0，即g′(x)<0，当x>x 0时，h(x)>0，即g′(x)>0，所以函数g(x)＝x ＋xln x x －1在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以[g(x)]min ＝g(x 0)＝x 0（1＋ln x 0）x 0－1＝x 0（1＋x 0－2）x 0－1＝x 0∈(3，4)． 所以k<[g(x)]min ＝x 0∈(3，4) ，故整数k 的最大值为3.5．(2016·贵阳期末)已知函数f(x)＝ax －a e x(a ∈R ，a ≠0)． (1)当a ＝－1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝－1时，f(x)＝－x ＋1e x ，f ′(x)＝x －2e x . 由f′(x)＝0，得x ＝2.当x 变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以，函数f(x)的极小值为f(2)＝－1e 2，函数f(x)无极大值． (2)F′(x)＝f′(x)＝ae x －（ax －a ）e x e 2x ＝－a （x －2）e x. ①当a<0时，F(x)，F ′(x)的变化情况如下表：若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝a e 2＋1>0， 解得a>－e 2，所以此时－e 2<a<0；②当a>0时，F(x)，F ′(x)的变化情况如下表：因为F(2)>F(1)>0，且F(1－10a )＝e1－10a －10e1－10a <e －10e1－10a<0， 所以此时函数F(x)总存在零点．综上所述，所求实数a 的取值范围是(－e 2，0)．6．(2017·河南、河北、山西省质检(二))已知函数f (x )＝x 2＋a ln x ＋1(a ∈R)．(1)判断函数f (x )的单调性；(2)若对于任意的x ∈[1，e]，任意的a ∈(－2，－1)，不等式ma －12f (x )<a 2恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝2x ＋a x ＝2x 2＋a x，x >0.①当a ≥0时，恒有f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数； ②当a <0时，当0<x < －a 2时，f ′(x )<0，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a 2上是减函数；当x >－a 2时，f ′(x )>0，则f (x )在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a 2，＋∞上是增函数．综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数；当a <0时，f (x )在 ⎝⎛⎭⎪⎫0， －a 2上是减函数，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a 2，＋∞上是增函数． (2)由题意知对任意a ∈(－2，－1)，任意x ∈[1，e]，不等式ma －12f (x )<a 2恒成立，等价于2ma －2a 2<f (x )min . 因为a ∈(－2，－1)，所以 22< －a 2<1. 由(1)知，当a ∈(－2，－1)时，f (x )在x ∈[1，e]上是增函数．所以f (x )min ＝f (1)＝2，所以ma －a 2<1，即m >a ＋1a. 设h (a )＝a ＋1a ，a ∈(－2，－1)，h ′(a )＝1－1a2>0， 所以h (a )在(－2，－1)上单调递增．所以h (a )<h (－1)＝－2.所以实数m 的取值范围为m ≥－2.。