函数考点及例题

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[高一]函数的概念及表示常考点及例题解析

考点一：判断两函数是否为同一个函数

[例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）2)(xxf，33)(xxg；

（2）xxxf)(，;01,01)(xxxg

（3）1212)(nnxxf，1212)()(nnxxg（n∈N*）；

（4）xxf)(1x，xxxg2)(；

（5）12)(2xxxf，12)(2tttg

[解析]（1）由于xxxf2)(，xxxg33)(，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.

（2）由于函数xxxf)(的定义域为),0()0,(，而;01,01)(xxxg的定义域为R，所以它们不是同一函数.

（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴xxxfnn1212)(，xxxgnn1212)()(，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.

（4）由于函数xxf)(1x的定义域为0xx，而xxxg2)(的定义域为10xxx或，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.

（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.

[答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数

考点二：求函数的定义域、值域

题型1：求有具体函数的定义域 新浪微博@高中生学数学 /icx750

[例2].若)12(log1)(21xxf，则)(xf定义域为（ ）

A. )0,21( B.]0,21( C. ),21( D.),0(

【答案】A

题型2：求抽象函数的定义域

[例3]已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，求f(log2x)的定义域.

[解析]因为y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，即－1≤x≤1时2－1≤2x≤21，所以y＝f(x)的定义域为[12，2].令12≤log2x≤2，所以2≤x≤22＝4，故所求y＝f(log2x)的定义域为[2，4].

[例4]设xxxf22lg，则xfxf22的定义域为（ ）

A. 4,00,4；B. 4,11,4；C. 2,11,2；D. 4,22,4

[解析]由202xx得，()fx的定义域为22x，故22,2222.xx

解得4,11,4x。

故xfxf22的定义域为4,11,4.选B.

题型3；求函数的值域

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[例5]已知函数)(6242Raaaxxy，若0y恒成立，求32)(aaaf的值域

[解析]依题意，0y恒成立，则0)62(4162aa，解得231a，

所以417)23()3(2)(2aaaaf，从而4)1()(maxfaf，419)23()(minfaf，所以)(af的值域是]4,419[

考点三：用图像法表示函数

[例6]一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是( )

[解析]由题意得y＝10x(2≤x≤10)，选A.

考点四：用列表法表示函数

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[例7]、已知函数()fx，()gx分别由下表给出

则[(1)]fg的值为 ；满足[()][()]fgxgfx的x的值是

[解析]由表中对应值知[(1)]fg=(3)1f；

当1x时，[(1)]1,[(1)](1)3fggfg，不满足条件

当2x时，[(2)](2)3,[(2)](3)1fgfgfg，满足条件，

当3x时，[(3)](1)1,[(3)](1)3fgfgfg，不满足条件，

∴满足[()][()]fgxgfx的x的值是2x

考点五：用解析法表示函数

题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式

[例8]、已知)11(xxf=2211xx，则)(xf的解析式可取为

[解析] 令txx11，则11ttx，∴ 12)(2tttf.∴12)(2xxxf.

故应填212xx

题型2：求二次函数的解析式

[例9]、二次函数)(xf满足xxfxf2)()1(，且1)0(f。 x 1 2 3

()fx 1 3 1 x 1 2 3

()gx 3 2 1 新浪微博@高中生学数学 /icx750

⑴求)(xf的解析式；

⑵在区间]1,1[上，)(xfy的图象恒在mxy2的图象上方，试确定实数m的范围。

[解析]⑴设2()(0)fxaxbxca，则22(1)()[(1)(1)]()2fxfxaxbxcaxbxcaxab

与已知条件比较得：22,0aab解之得，1,1ab又(0)1fc，

2()1fxxx

⑵由题意得：212xxxm即231mxx对1,1x恒成立，

易得2min(31)1mxx

考点六：分段函数

题型1：根据分段函数的图象写解析式

[例10]、为了预防流感，某学校对教室用药物消毒新浪微博@高中生学数学 /icx750

法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为ay1161（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

（Ⅰ）从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 ；

（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。

[解析] （Ⅰ）观察图象，当1.00t时是直线，故ty10；当1.0t时，图象过)1,1.0(

所以a1.01611，即1.0a，所以1.0,)161(1.00,101.0tttyt（Ⅰ）6.016116125.01615.01.01.0taa，所以至少需要经过6.0小时

题型2：由分段函数求参数的取值范围

[例11]已知函数f(x)＝.10,621,100|,lg|xxxx若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，新浪微博@高中生学数学 /icx750

则abc的取值范围是( )

A.(1,10) B.(5,6)

C.(10,12) D.(20,24)

[解析]不妨设a＜b＜c，由f(a)＝f(b)＝f(c)及f(x)图象知110＜a＜1＜b＜10＜c＜12，所以－lg a＝lg b＝－12c＋6，所以ab＝1，所以abc的范围为(10,12)，故选C.

考点七：映射的概念

[例12]为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文,,,abcd对应密文2,2,23,4.abbccdd例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ）

A．7,6,1,4；B．6,4,1,7；C．4,6,1,7；D．1,6,4,7

[解析] 当接收方收到密文14，9，23，28时，

有214292323428abbccdd，解得6417abcd，解密得到的明文为C．

考点八 函数的单调性

题型1：讨论函数的单调性

[例13]已知函数()23xxfxab，其中常数,ab满足0ab

（1）若0ab，判断函数()fx的单调性； 新浪微博@高中生学数学 /icx750

（2）若0ab，求(1)()fxfx时的x的取值范围．

解：⑴ 当0,0ab时，任意121,,xxRxx，则12112()()(22)(33)xxxxfxfxab

∵ 121222,0(22)0xxxxaa，121233,0(33)0xxxxbb，

∴ 12()()0fxfx，函数()fx在R上是增函数。当0,0ab时，同理函数()fx在R上是减函数。

⑵(1)()2230xxfxfxab，当0,0ab时，3()22xab，则1.5log()2axb；当0,0ab时，3()22xab，则1.5log()2axb.

题型2：研究抽象函数的单调性

[例14]、 定义在R上的函数)(xfy，0)0(f，当x＞0时，1)(xf，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）。