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初二数学12.9 二次根式代阳

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中小学个性化教育专家

1 环球雅思学科教师辅导讲义

学员编号： 年 级：八年级 课时数： 3

学员姓名：胡钵涵 辅导科目：数学 学科教师：代阳

课 题 二次根式

授课时间： 备课时间：

教学目标 1掌握二次根式、及其性质；最简二次根式的定义，以及如何化为最简二次根式

2掌握二次根式的四则运算

重点、难点 最简二次根式和二次根式的四则运算

考点及考试要求 1掌握二次根式、及其性质；最简二次根式的定义，以及如何化为最简二次根式

2掌握二次根式的四则运算

【本节知识要点】

知识点一：二次根式及其性质

1、 一般地，我们把形如（a≥0）•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．“a”称为被开方数

注意：①二次根式a（0a）也可表示为)0(2aa

②只有当被开方数是非负数时，二次根式才在实数范围内有意义

2、①（a）2=a（a≥0） ②2a=a（a≥0），2a=-a（a0）{aa2}

例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？为什么？

2 ,223,,1,1,8,0.35,21xxmxx,12x

例题2若式子43x在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________

练习当x是多少时，23xx+x2在实数范围内有意义？

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2 例题3 （32）2 （35）2 （72）2 （0）2 22(35)(53)

9 2(4) 25 2(3) 24129xx

练习（56）2 （478）2 （221aa）2 (2332)(2332) 2)5( 2a

例41当x>2，化简2(2)x-2(12)x =__________

2 ．①2)3.0( ；②2)52(

3．二次根式31x有意义的条件是

4．若m<0，则332||mmm=

5 二次根式13)3(2mm的值是__________

知识点二：二次根式的四则运算

3最简二次根式：（1）被开方数中不含得尽方的因数（或因式）

（2）被开方数不含分母

4二次根式的乘法：(00)ababab，

5二次根式的除法：：00)aaabbb（，

二次根式相乘，把被开方数相乘后，一定要将被开方数化简，化简的方法是把每个因数分解质因数，写成2ab的形式，再用积的算式平方根的性质和2(0)aaa进行化简 中小学个性化教育专家

3 注意：只有当 a≥0时，才有1aa与互为倒数关系

6二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．

7同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•

例题5把下列根式化为最简二次根式

5312 2442xyxy 238xy 121 132 baa

例题6 计算下列各式，其中字母都大于0

36aab 225715aba 3232xyxy 34052

4510 7+27+397 28-38+58 21418122

练习：计算 3)154276485( 43524352（）

xxxx3)1246( 21)2()12(18

例题7比较大小 （1）2532与， （2）310522与

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4 例题8若3的整数部分是a，小数部分是b，则ba3 。

例题9已知：132x，求12xx的值。

【当堂练习】

一、选择题

1. 下列运算正确的是（ ）

A.332 B.12211

C.0230 D.6208322352

2. 如果a+442aa=2，那么a的取值范围是（ ）

A. a≤0 B. a≤2 C. a≥－2 D. a≥2

3. 当1＜x＜4时，化简221xx－1682xx结果是（ ）

A. －3 B. 3 C. 2x－5 D. 5

4. 函数5yx的自变量x的取值范围（ ）

Ａ.5x Ｂ.5x Ｃ.5x Ｄ.5x.

5. 计算29328的结果是（ ）

A.22 B.22 C.2 D.223

6. 下列各式中与2是同类二次根式的是 （ ）

A.23 B.6 C.8 D.10

7. 若42)42(2aa，则a的取值范围为（ ）

A.a≥2 B.a≤2 C.a≥―2 D.a≤―2

8. 下列方程中，有实数解的是（ ）

A.041x B.xx32 C.012x D.0332xx

9. 式子1313xxxx成立的条件是（ ）

A.x≥3 B.x≤1 C.1≤x≤3 D.1＜x≤3 中小学个性化教育专家

5 10. 如果1≤a≤2，则2122aaa的值是（ ）

A.a6 B.a6 C.a D.1

二.填空题

11. 若x22无意义,则x______

12. 当x______时,x24有最小值为_____

13. 计算: 28-3=________.

14. 函数121xyx的自变量x的取值范围是_______________.

三.解答题

15. 计算：

（1）21437 （2）225241 （3） )459(43332

（4）126312817 （5）2484554 （6）2332326

16. 化简3382—2aaaa

17. 化简：babababbaba 中小学个性化教育专家

6

18. 0)13(27132

19. 观察下列各式及验证过程：823833;322322

验证：32212222212222383222223

验证：833133133133338383322233

①按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想1544变形结果并验证；

②针对上述各式的反映规律，用含n（n 为任意自然数，且n≥2）的等式表示这个规律，并说明理由。

20. 已知：的值。求代数式22,211881xyyxxyyxxxy

21. 已知131a，131b，求abbaab的值

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7

22. 阅读此题的解答过程，化简：ababbabaa322442（ba20）

解：原式＝abababbaa)44(222 ①

＝22)2(2abaabbaa ②

＝abababaa22 ③

＝abababaa22 ④

＝ab

问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误，请填写出该步的代号 ；

(2)错误的原因是_____________________；

【课后作业】

一、选择题

1． 下列式子一定是二次根式的是（ ）

A．2x B．x C．22x D．22x

2．若bb3)3(2，则（ ）

A．b>3 B．b<3 C．b≥3 D．b≤3

3．若13m有意义，则m能取的最小整数值是（ ）

A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=3

4．若x<0，则xxx2的结果是（ ）

A．0 B．—2 C．0或—2 D．2

5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）

A．14 B．48 C．ba D．44a

6．如果)6(6xxxx，那么（ ）

A．x≥0 B．x≥6 C．0≤x≤6 D．x为一切实数

7．小明的作业本上有以下四题： 中小学个性化教育专家

8 ①24416aa；②aaa25105；③aaaaa112；④aaa23。做错的题是（ ）

A．① B．② C．③ D．④

8．化简6151的结果为（ ）

A．3011 B．33030 C．30330 D．1130

9．若最简二次根式aa241与的被开方数相同，则a的值为（ ）

A．43a B．34a C．a=1 D．a= —1

10．化简)22(28得（ ）

A．—2 B．22 C．2 D． 224

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新人教版八年级数学下册二次根式的知识点汇总

新人教版八年级数学下册二次根式的知识点汇总

二次根式的学问点汇总

学问点一： 二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必需留意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x>0）、0、42、-2、1xy、xy（x≥0，y•≥0）．

分析：二次根式应满意两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．

学问点二：取值范围

1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

例2．当x是多少时，31x在实数范围内有意义？

例3．当x是多少时，23x+11x在实数范围内有意义？

学问点三：二次根式（）的非负性

（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这特性质也就是非负数的算术平方根的性质，与肯定值、偶次方类似。这特性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

例4(1)已知y=2x+2x+5，求xy的值．(2)若1a+1b=0，求a2004+b2004的值

学问点四：二次根式（）的性质

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.

例1 计算

1．（32）2 2．（35）2 3．（56）2 4．（72）2

初二数学二次根式知识点归纳

初二数学二次根式知识点归纳

__________________________________________________

__________________________________________________ 初二数学二次根式知识点归纳

1.二次根式定义：形如（a≥0）的式子，叫做二次根式.

2.二次根式的性质：

①≥0(a≥0)

这是因为(a≥0)表示a的算术平方根，根据算术平方根的意义，当a>0时，>0，当a=0时，= 0 . ∴≥0.利用这一性质，可以解决下面问题：若，

则x=－2，y=2；

②()2= a (a≥0)，在探究这一性质时，教科书所采用的方法是不完全归纳法，而根据算术平方根的意义有：如果x2=a(x≥0)，则x=，所以代入上式得()2=a．

③= a (a≥0) ，根据算术平方根的意义该性质的推导过程应是：因为当a≥0时，a2的算术平方根是a, 所以.

3.代数式：用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示的数的字母连接起来的式子，叫代数式.

4.利用二次根式性质化简：利用=a(a≥0)化简某些代数式时，一般应将被开方数化为完全平方式，如化简(x>－1)=.

典例讲解

例1、填空题：

（1）式子中x的取值范围是______________. __________________________________________________

__________________________________________________ （2）当x满足条件______________时，式子有意义.

（3）当x=______________时，有最小值，最小值是______________.

（4）如果是正整数，那么x能取的最小自然数是______________.

答案：

（1）x>－2 （2）x≥0且x≠1

（3）－25；9 （4）6

八年级下册数学二次根式笔记

八年级下册数学二次根式笔记

八年级下册数学二次根式笔记

一、二次根式的定义

1. 二次根式：形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。

2. 二次根式的性质：非负性，即被开方数是非负数。

二、二次根式的性质和运算法则

1. 二次根式的乘法运算法则：√a × √b = √(a×b)（a≥0，b≥0）。

2. 二次根式的除法运算法则：√a ÷ √b = √(a÷b)（a≥0，b>0）。

3. 二次根式的乘方运算法则：√a^n = a^(n/2)（a≥0，n是正整数）。

4. 二次根式的加减运算法则：同类二次根式可以进行加减运算。

三、二次根式的化简

1. 完全平方公式：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2；a^2-2ab+b^2=(a-b)^2。

2. 平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。

3. 完全立方公式：a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3。

4. 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)。 5. 二次根式化简的一般步骤：去括号、合并同类项、化简。

四、二次根式的应用

1. 在实际问题中，经常需要求解一些与二次根式有关的数学问题，如长度、面积、体积等。

2. 在数学证明中，二次根式也经常被用来证明一些重要的数学定理，如勾股定理、毕达哥拉斯定理等。

五、练习与巩固

为了更好地掌握二次根式的知识，需要多做一些练习题，通过练习巩固所学知识。可以参考教材上的练习题或找一些相关的练习册进行练习。在练习过程中，要注意解题的思路和方法，掌握各种运算法则和公式的应用，提高解题的速度和准确性。

初二数学二次根式知识点+练习题详细

初二数学二次根式知识点+练习题详细

二次根式的知识点汇总

知识点一： 二次根式的概念

形如 （ ）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：

因为负数没有平方根，所以 是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是

二次根式，而 ， 等都不是二次根式。

知识点二：取值范围

1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a≧0 时， 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤ 0 时，没有意义。

知识点三：二次根式 （ ）的非负性

（ ）表示 a 的算术平方根， 也就是说， （ ）是一个非负数， 即 0（ ）。

注：因为二次根式 （ ）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数， 0 的算术平方

根是 0，所以非负数（ ）的算术平方根是非负数，即 0（ ），这个性质也就是非负

数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若

，则 a=0,b=0 ；若 ，则 a=0,b=0 ；若 ，则 a=0,b=0 。

知识点四：二次根式（ ） 的性质

（ ）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式 （ ）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以

反过来应用：若 ，则 ，如： ， . 知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注： 1、化简本身，即

时，一定要弄明白被开方数的底数；若 a 是负数，则等于

a 是正数还是负数，若是正数或 a 的相反数 -a, 即

0，则等于

；

a

2、

中的

a 的取值范围可以是任意实数，即不论

a 取何值，

一定有意义；

3、化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简。